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专题12 利用导数研究不等式恒成立问题
(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
h(x)＝f(x)－g(x) 或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x) ≥0或u(x) ≤0，将比较法的
min max
思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．
(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数 a，另一端是变量表达式v(x)的
不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问
题来解决．
(1)∀x∈D，∃x∈D，f(x)＞g(x)，等价于函数f(x)在D 上的最小值大于g(x)在D 上的最小值
1 1 2 2 1 2 1 2
即f(x) ＞g(x) (这里假设f(x) ，g(x) 存在)．其等价转化的基本思想是：函数 y＝f(x)的任意一个函数值
min min min min
大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有函数值．
(2)∀x∈D ，∃x∈D ，f(x)＜g(x)，等价于函数f(x)在D 上的最大值小于函数g(x)在D 上的最大值(这里
1 1 2 2 1 2 1 2
假设f(x) ，g(x) 存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值小于函数y＝g(x)的某
max max
一个函数值，但并不要求小于函数y＝g(x)的所有函数值．
典例1.已知函数f(x)＝ax＋ln x＋1，若对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．
典例2.设函数f(x)＝ln x＋，k∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的
底数)；
(2)若对任意的x＞x＞0，f(x)－f(x)＜x－x 恒成立，求k的取值范围．
1 2 1 2 1 2
典例3.已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数g(x)＝，对∀x∈，∃x∈，使f′(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
1 2 1 2典例4.已知函数f(x)＝，g(x)＝－x3＋(a＋1)x2－3ax－1，其中a为常数．
(1)当a＝1时，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a＜0，对于任意的x∈[1,2]，总存在x∈[1,2]，使得f(x)＝g(x)，求实数a的取值范围．
1 2 1 2
专项突破练
一、单选题
1．若不等式 对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ， ，若 ， 恒成立，则实
数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．4．已知不等式 对任意 恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于 的不等式 ，对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
8．已知不等式 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数 ，g(x)= 对任意的 ，不等式 恒成立，则整数m的最小
值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
二、多选题10．已知函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，则实数a的取值可以是
（ ）
A． B． C． D．
11．设函数 ，若 恒成立，则实数 的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数 ， ，若 ，不等式 恒
成立，则正数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
13．已知 ，若不等式 在 上恒成立，则a的值可以为
（ ）
A． B． C．1 D．
三、填空题
14．已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是________．
15．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
16．已知函数 ， ，如果对任意的 ， ，都有 成立，则
实数a的取值范围是_________．
17．已知不等式 对一切正数x都成立.则实数m的取值范围是___________.
四、解答题
18．设 ，其中 ．
（1）若 有极值，求 的取值范围；（2）若当 ， 恒成立，求 的取值范围．
19．已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
20．已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 对一切 恒成立，求m的取值范围．
21．已知函数 .
(1)求 的图象在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
22．已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
23．已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，证明： 对 恒成立.
24．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在 处取得极值，对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
25．已知函数 ．
(1)当a＝1时，求曲线在点 处的切线方程；
(2)若 ，且 在 上恒成立，求a的取值范围．
26．已知函数 ．
(1)证明： ；(2)当 时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
27．已知函数 ．
(1)当 时，直线 与曲线 相切，求实数k的值；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
28．已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
29．设函数 .
(1) 时，求 在区间 上的最大值与最小值.
(2) 时， 有两个不同的极值点 ， ，且对不等式 恒成立，求实数 的取值范
围？30．已知函数 ， ， 为自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
31．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求实数a的取值范围.
32．已知函数 ．
(1)若 在 上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
33．已知函数 ，函数 ．
(1)求函数 的单调区间．(2) 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
34．已知函数 （其中 ，e为自然对数的底数）．
(1)当 时，讨论函数f（x）的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
35．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数m的取值范围．
