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专题12 空间几何体的折叠与多面体的问题
1、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
[ 81] [27 81] [27 64]
A． 18, B． , C． , D．[18,27]
4 4 4 4 3
2、（2019•新课标Ⅲ，理16文16）学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型，如图，该模型为长
方体 ，挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中心， ， ， ，
，分别为所在棱的中点， ， ， 打印所用原料密度为 ，不考虑打
印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ．
3、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
4、（2020江苏9）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 ，高为 ，内孔半径为 ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ．
5、【2021年新高考1卷】（多选题）在正三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
6、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD–ABC D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为
1 1 1 1
球心， 为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
7、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长
方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是
由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半
正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有
________个面，其棱长为_________．题组一 空间几何体的折叠问题
1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）如图，一张长､宽分别为 的矩形纸， ， 分别是
其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得 四点重合为一点 ，从而得到一个多面体，则（
）
A．在该多面体中，
B．该多面体是三棱锥
C．在该多面体中，平面 平面
D．该多面体的体积为
1-2、（2022·江苏扬州·高三期末）（多选题）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，
且满足 ，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（ ）
A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BM
B．若 ，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若 且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61π
D．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为
ABCD AB3
1-3、（2021·江苏苏州市·高三期末）（多选题）已知四边形 是等腰梯形（如图1）， ，DC 1 BAD45 DE AB ADE DE AE EB AC
， ， ．将 沿 折起，使得 （如图2），连结 ，
AB M AB
，设 是 的中点.下列结论中正确的是（ ）
6
A．BC AD B．点 E 到平面AMC 的距离为 3
EM// ACD ABCE 5
C． 平面 D．四面体 的外接球表面积为
题组二 几何体的多边形问题
2-1、（2020·山东·模拟预测）足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比
欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名
数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形
的面，若正六边形的边长为 ，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据
C
2-2、（2021·全国高三专题练习（文））碳70 70 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳
原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个
面，则其六元环的个数为（ ）．A．12 B．25 C．30 D．36
2-3、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正
方体棱长为2，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题组三 几何体的综合性问题
3-1、（2022·江苏常州·高三期末）（多选题）已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 上
的定点，且 ．点 是棱 上的动点，则（ ）A．当 时， 是直角三角形
B．四棱锥 的体积最小值为
C．存在点 ，使得直线 平面
D．任意点 ，都有直线 平面
3-2、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）如图所示，已知正方体 的棱长为 分
别是 的中点， 是线段 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 截正方体所得的截面可以是四边形､五边形或六边形
B．当点 与 两点不重合时，平面 截正方体所得的截面是五边形
C． 是锐角三角形
D． 面积的最大值是
3-3、（2022·广东罗湖·高三期末）在 中， ，且 ， ，若将 沿AC边上的中
线BD折起，使得平面 平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确
的为（ ）
A． B．四面体ABCD的体积为
C．存在点E使得 的面积为 D．四面体ABCD的外接球表面积为1、（2022·河北保定·高三期末）（多选题）如图， 为正方体中所在棱的中点，过 两点作正方体
的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2、（2021·辽宁高三模拟）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，其中“扭棱
十二面体”就是一种“阿基米德多面体”.它是由 个正三角形和 个正五边形组成的，若多面体的顶点
数、棱数和面数满足：顶点数 棱数 面数 ，则“扭棱十二面体”的顶点数为（ ）
A． B． C． D．
3、（2022·江苏如东·高三期末）已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为2，AC ⊥平面α，当平面α过点B 时，
1 1 1 1 1 1
平面α截此正方体所得截面多边形的面积为_________；当平面α过线段BC中点时，平面α截此正方体所
得截面多边形的周长为_________.
4、（2022·广东·铁一中学高三期末）（多选题）如图，在直三棱柱 中， ， ，
，点 ， 分别是线段 ， 上的动点(不含端点)，且 ，则下列说法正确的是（
）A． 平面
B．四面体 的体积是定值
C．异面直线 与 所成角的正切值为
D．二面角 的余弦值为
5、（2022·湖南常德·高三期末）（多选题）已知正方体 的棱长为2，P，Q分别为棱 ，
的中点，M为线段BD上的动点，则（ ）
A．
B．
C．三棱锥 的体积为定值D．M为BD的中点时，则二面角 的平面角为60°
6、（2022·湖北武昌·高三期末）（多选题）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形
AEFD是边长为 的菱形，B，C分别为AE，FD的中点， ，则在该四面体中（ ）
A．
B．BE与平面DCE所成角的余弦值为
C．四面体ABCD的内切球半径为
D．四面体ABCD的外接球表面积为
7、（2022·湖南郴州·高三期末）（多选题）如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个
动点，则（ ）
A．当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
B．当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是C．当直线 与平面 所成的角为45°时，点 的轨迹长度为
D．若 是 的中点，当 在底面 上运动，且满足 平面 时， 长度的最小值是
8、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）在棱长为 正方体 中，点 是线段 上的动
点，则下列判断正确的是（ ）
A．无论点 在线段 的什么位置，三棱锥 的体积为定值
B．无论点 在线段 的什么位置，都有
C．当 时， 与 异面
D．若直线 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为
