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专题 13 数列（解答题）
2S
1．【2022年全国甲卷】记S 为数列{a }的前n项和．已知 n+n=2a +1．
n n n n
(1)证明：{a }是等差数列；
n
(2)若a ,a ,a 成等比数列，求S 的最小值．
4 7 9 n
{S } 1
2．【2022年新高考1卷】记S 为数列{a }的前n项和，已知a =1, n 是公差为 的等差
n n 1 a 3
n
数列．
(1)求{a }的通项公式；
n
1 1 1
(2)证明：
+ +⋯+ <2．
a a a
1 2 n
3．【2022年新高考2卷】已知{a }为等差数列，{b }是公比为2的等比数列，且
n n
a −b =a −b =b −a ．
2 2 3 3 4 4
(1)证明：a =b ；
1 1
(2)求集合{k|b =a +a ,1≤m≤500}中元素个数．
k m 1
4．【2021年甲卷文科】记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是
等差数列，证明： 是等差数列.
5．【2021年甲卷理科】已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
6．【2021年乙卷文科】设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ，
， 成等差数列．（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
7．【2021年乙卷理科】记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
8．【2021年新高考1卷】已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
9．【2021年新高考2卷】记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若
．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
10．【2020年新课标1卷理科】设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
11．【2020年新课标3卷理科】设数列{an}满足a=3， ．
1（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
12．【2020年新课标3卷文科】设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log an}的前n项和．若 ，求m．
3
13．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
14．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
15．【2019年新课标1卷文科】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S=－a．
9 5
（1）若a=4，求{an}的通项公式；
3
（2）若a>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
1
16．【2019年新课标2卷理科】已知数列{an}和{bn}满足a=1，b=0，
1 1
， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
17．【2019年新课标2卷文科】已知 是各项均为正数的等比数列， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和.18．【2018年新课标1卷文科】已知数列 满足 ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式．
19．【2018年新课标2卷理科】记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
20．【2018年新课标3卷理科】等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
