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专题14 双曲线中的向量问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．若斜率为 （ ）的直线 过双曲线 ： 的上焦点 ，与双曲线 的上支交于 ， 两点，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线 的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交
于点Q，直线 与C的一个交点为B，若 ，且 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知点P为双曲线C： （ ， ）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一
条渐近线l作垂线，垂足为A， 为双曲线C的左焦点，若 ，则渐近线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B
两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时， （ ）
A． B．9 C． D．
5．过双曲线 的右焦点 且斜率为 的直线分别交双曲线的渐近线于 ， 两点， 在第一象限， 在第二象限，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线 交双曲线的右支于 、
两点．点 满足 ，且 ，者 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的左､右焦点分别为 、 ，过 的左顶点 作一条与渐近线平行的
直线与 轴相交于点 ，点 为线段 上一个动点，当 分别取得最小值和最大值时，点 的
纵坐标分别记为 、 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 、右焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且
.过 作倾斜角为45°的直线交 于 ， 两点（点 在 轴的上方），且 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，且C的一条渐近线经过点
，直线 与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（ ）
A．C的离心率为2
B．若 ，则C的方程为C．若 ，则 （O为坐标原点）的面积为
D．若 ，则C的焦距为
10．已知双曲线 ， ，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则 的值可以是
（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的右顶点、右焦点分别为 、 ，过点 的直线 与 的一条渐
近线交于点 ，直线 与 的一个交点为 ， ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线 与 轴垂直 B． 的离心率为
C． 的渐近线方程为 D． （其中 为坐标原点）
12．已知双曲线 且 成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双
曲线C的右支相交于A，B两点， ，则直线l的斜率的可能取值为（ ）
A． B．－ C． D．－
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设双曲线C的左、右焦点分别为 ， ，且焦距为 ，P是C上一点，满足 ，
，则 的周长为 ．
14．已知 ，点P满足 ，动点M，N满足 ， ，则 的最小
值是 ．15．已知双曲线 的左右焦点分别为 ､ ，实轴长为1， 是双曲线右支上的一点，满
足 ， 是 轴上的一点，则 .
16．设双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 的直线 与双曲线的左､右两支分别交
于 两点，且 ，则双曲线 的离心率为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
18．已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为 ，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 ，且与轨迹 交于 、 两点．在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，
使 恒成立？如果存在，求出定点 ；如果不存在，请说明理由．
19．已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
20．已知双曲线 的虚轴长为 ，左焦点为F．
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当 时，求 的面
积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得 为定值，求出点
P的坐标及该定值．21．点 在以 、 为焦点的双曲线 上，已知 ， ， 为坐
标原点．
(1)求双曲线的离心率 ；
(2)过点 作直线分别与双曲线渐近线相交于 、 两点，且 ， ，求双曲线
的方程；
(3)若过点 （ 为非零常数）的直线 与（2）中双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点 、 ，
且 （ 为非零常数），问在 轴上是否存在定点 ，使 ？若存在，求出所有
这种定点 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知 分别为双曲线 左、右焦点， 在双曲线上，且 ．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为 （ 在 轴正半轴上），点 在双曲线上，且 ，
，试求直线 的方程．
