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专题14 数列的通项公式常考求法
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·四川成都·统考一模）已知数列 的前 项和为 ．若 ，则 （ ）
A．512 B．510 C．256 D．254
2．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ，设 ，数列
的前n项和为 ，则满足 的n的最小正整数解为（ ）
A．15 B．16 C．3 D．4
3．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了
如图所示的形状后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角躁）,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个
球,第三层有6个球,…,设第 层有 个球,从上往下 层球的总数为 ,则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南开封·统考一模）已知数列 的前 项和 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ， ，数列 的前
n项和为 ，则 （ ）
A．0 B．50 C．100 D．25256．（2023·四川内江·统考一模）已知数列 满足： ，点 在函数 的图象上，记
为 的前n项和，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{ }满足 ， ，则数
列{ }第2022项为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前n项和为 ， ，记
，若数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A． B． C．200 D．400
9．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022秋·山西·高三统考期中）已知数列 的通项公式为 ，则下列正确的是（ ）A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前 项之和，且满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C． 可能为等比数列 D． 的最小值为0，最大值为20
12．（2022秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示
的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，
第三层有6个球，…，设第n层有 个球，从上往下n层球的球的总数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．（2023·全国·校联考模拟预测）记函数 在 处的导数为 ，则
________．
14．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列 的前 项和为 ， ， ，若数列 满
足 ， ，则 _____________.15．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）数列 满足 ， ，则
__________
16．（2022·上海青浦·统考一模）已知数列 中， ，记 的前 项和为 ，且满足
．若对任意 ，都有 ，则首项 的取值范围是______．
三、填空题
17．（2023·云南红河·统考一模）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
四、解答题
18．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 前 项和 ．
【提能力】
一、单选题
19．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）A． B． C． D．
21．（2018·陕西安康·统考三模）已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B．2525 C． D．2526
22．（2022秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列 和 首项均为1，且 ， ，数列
的前n项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A．2019 B． C．4037 D．
23．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪
花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角
形 ，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪
花曲线 ；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线， ．
设雪花曲线 的边长为 ，边数为 ，周长为 ，面积为 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 均构成等比数列 D．
24．（2022·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作
《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801
年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问
题，现将 到 这 个数中，能被 除余 且被 除余 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则该数列共有（ ）
A． 项 B． 项 C． 项 D． 项
25．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过x的
最大整数（例如 ， ）.则 （ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
二、多选题
27．（2023·全国·高三专题练习）数列 首项 ，对一切正整数 ，都有 ，则（ ）
A．对一切正整数 都有 B．数列 单调递减
C．存在正整数 ，使得 D． 都是数列 的项
28．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）设首项为1的数列 的前 项和为 ，若 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列
B．数列 的通项公式为
C．数列 为等比数列
D．数列 的前n项和为29．（2021·全国·高三专题练习）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，
自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正
方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契
数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为 ， ， ，边长为斐波那契数
的正方形所对应扇形面积记为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，其前 项和为 ，则下列结论中
正确的有（ ）
A． 是递增数列 B． 是等比数列
C． D．
三、填空题
31．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则数列 的前100
项和 ______．
32．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知数列 满足 ，则数列 的前2022
项的和为___________.33．（2022春·河南郑州·高三校联考阶段练习）数列 满足 ( ，且 )， ，对于
任意 有 恒成立，则 的取值范围是___________.
34．（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，
设函数 ，则 ______．
四、解答题
35．（2023·四川内江·统考一模）数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，若 恒成立，求实数m的取值范围．
36．（2022春·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式.
(2)证明 .
37．（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设数列 的前n项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 的表达式．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， .(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的前n项和为 ；
(2)设 ，证明： .
