专题14空间几何体的结构、面积与体积（讲）原卷版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题14空间几何体的结构、面积与体积（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方 形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ） A．23 B．24 C．26 D．27 2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上， 则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A． B． C． D． 3.（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为AC的中点． (1)证明：平面 平面ACD； (2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积． 总结规律 预测考向（一）规律与预测 （1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度 中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. （2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用. （3）几何体的表面积与体积是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有 时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想． （4）以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断， 属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第（1）问，第 （2）问则考查几何体面积、体积的计算. （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 几何体的面积计算 【核心知识】 S 2rl 圆柱的侧面积 S 2r(rl) 圆柱的表面积 S rl 圆锥的侧面积 S r(rl) 圆锥的表面积 S (rr)l 圆台的侧面积 S (r2 r2 rlrl) 圆台的表面积 S 4R2 球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、 扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 【典例分析】 典例1.（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 典例2.（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知正四棱台 中， ，若该四 棱台的体积为 ，求这个四棱台的表面积为（ ） A．24 B．44 C． D． 典例3.（2021·全国·高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为________. 【规律方法】 1.几类空间几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和． (3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补． 2.计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决， 因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 考向二 几何体的体积计算 【核心知识】 V r2h 圆柱的体积 1 V  r2h 圆锥的体积 3 1 V  h(r2 r2 rr) 圆台的体积 3 4 V  R3 球体的体积 3 V a3 正方体的体积 V abc 正方体的体积 【典例分析】 典例4.（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积 为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时， 增加的水量约为（ ）（ ） A． B． C． D． 典例5.（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A． B． C． D． 典例6.（多选题）（2022秋·河北张家口·高三统考期末）正方体 的棱长为2, 分别为 , , 的中点,则（ ） A．直线 平面 B．直线 平面 C．三棱锥 的体积为 D．三棱锥 的外接球的表面积为 【总结提升】 求空间几何体体积的常用方法 （1）公式法:对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解. （2）割补法: 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体， 再利用公式求解. （3）等体积法:一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.当一个几何体的底面积和高较难求解时，我们 可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化法或等积变形法，它是通过选择合适的底面来求几何体体 积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. 考向三 多面体与球相关面积、体积计算【核心知识】 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则 ； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 . (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【典例分析】 典例7.（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 ，则三棱锥 的体积为（ ） A． B． C． D． 典例8.（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）如图，在梯形 中， ， ， ，将 ACD沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且 则三棱锥P—ABC外接球的表面积是 △ （ ） A． B． C． D． 典例9.（2023·全国·模拟预测）在四棱锥 中，ABCD是边长为2的正方形， ，平面 平面 ，则四棱锥 外接球的表面积为（ ） A．4π B．8π C． D． 【规律方法】 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多 面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题． 2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 3.几何体的外接球 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体 的顶点的距离等于球的半径. 4.几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用 多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 考向四 面积、体积计算的最值、范围问题 【核心知识】 图形中的最大（小）位置、基本不等式、函数单调性、导数． 【典例分析】 典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 典例11.（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可 围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 典例12.（2020·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积 为_________．考向五 根据几何体的面积、体积确定其它几何量 【核心知识】 几何体结构特征、面积公式、体积公式． 【典例分析】 典例13.（2020·全国·统考高考真题）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若 球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 典例14.（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两 点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知A，B，C是球O球面上的三个点， ， ，三棱锥 的体积为 ，则A，B两点测地线长为（ ） A．2 B．4 C． D． 典例15.（2022·四川达州·统考一模）把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整 数 为同余数，则称 为整同余数. 年 月 日， 年度国家科学奖励大会在人民大会堂隆重召开，中 国科学院研究员田刚以“同余数问题与 函数的算术”项目荣获 年度国家自然科学奖二等奖，在同余数 这个具有千年历史数学中最重要的古老问题上取得突破性进展.在 中， ， 绕 旋转一周， 所成几何体的侧面积和体积的数值之比为 ： ，若 的面积 为整同余数，则 的值可以为（ ） A． B． C． D． 考向六 面积、体积计算中的实践与数学文化问题 【核心知识】 数学文化问题是近年来高考命题的亮点，此类问题把数学史、数学美、数学语言、数学思维及数学方法结合起 来，可有效考查学生在新情境中对数学文化的鉴赏、对数学知识的理解、对数学方法的迁移，因此备受命题者 青睐.在我国浩瀚的传统文化中，有丰富的与几何体有关的数学文化背景知识，故也成为近年高考命题的热点. 【典例分析】 典例16.（2023·全国·模拟预测）何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中 的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm，上口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm．经测量知圆柱的高约为24cm，则估计该何尊可以装 酒（不计何尊的厚度， ， ）（ ） A． B． C． D． 典例17.（2022·湖南湘西·高三统考竞赛）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义， 鞠最早系外包皮革､内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴､蹋､踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5 月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表 面上有四个点 ，且球心 在 上， ，则该鞠 （球）的表面积为（ ） A． B． C． D． 典例18.（2022秋·广东东莞·高三统考期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角 垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球 都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为 ，记能将该三角垛完全放入的四面体 的体 积为 ，则 的最大值为___________．【规律方法】 对于数学文化、现实生活中所涉及的几何模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳， 利用立体几何的有关知识进行解答，最后对实际问题作出解释，必要时要进行检验. 考向7 几何体截面问题 【核心知识】 确定截面的主要依据有 (1)平面的四个公理及推论． (2)直线和平面平行的判定和性质． (3)两个平面平行的性质． (4)球的截面的性质． 【典例分析】 典例19. (2018·全国Ⅰ) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得 截面面积的最大值为（ ） 3√3 2√3 3√2 √3 A. B. C. D. 4 3 4 2 典例20.（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中学）四面体 的各个顶点都在球 的表面上， 两两垂直，且 是线段 上一点，且 ，过 作四面体 外接球 的截 面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ） A． B． C． D． 典例21.（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长都等于1的三棱锥 中， 是 上的一点，过 作平行于棱 和棱 的截面，分别交 ， ， 于 ， ， ． (1)证明截面 是矩形； (2) 在 的什么位置时，截面面积最大，说明理由． 【规律方法】 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决 截面问题的关键．