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专题 14 等差数列性质归类
目录
题型一：定义法判断等差数列
题型二：定义法求通项
题型三：等差中项
题型四：等差数列的“中点”性质
题型五：an与sn的关系‘
题型六：双等差数列sn比值型
题型七：等差数列型函数和
题型八：奇数项与偶数项和型
题型九：等差数列的函数性质：单调性
题型十：等差数列的函数性质：sn最值
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参
题型十三：等差数列的函数性质：范围型
题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型
题型十五：等差数列与三角函数
题型十六：等差数列思维第19题型综合
题型一：定义法判断等差数列
1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而
下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与
底面所成的锐二面角依次为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，过边 的中点 作 ，垂足为 ，则 就是漏壶的侧面与底面所成锐
二面角的一个平面角，记为 ，设漏壶上口宽为 ，下底宽为 ，高为 ，在 中，根据等差数列
即可求解.
【详解】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下
底宽和深度也依次递减1寸，
如图，在正四棱台 中， 为正方形 的中心， 是边 的中点，
连结 ，过边 的中点 作 ，垂足为 ，则 就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为 ，
设漏壶上口宽为 ，下底宽为 ，高为 ，
在 中， ， ，
因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等，
所以 为定值，
又因为三个漏壶的高 成等差数列，所以 .
故选： ．
【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基
础上考查等差数列的相关知识.
2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设 ，记
，令有穷数列 为 零点的个数 ，则有以下两个结
论：①存在 ，使得 为常数列；②存在 ，使得 为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】C
【分析】对于①，列举 验证，对于②，列举 验证.
【详解】当 时，
，此时 ，
，此时 ，
，此时 ，
故存在 ，使 为常数列；①正确；
设 ，则 有 个零点 ，
则 在 的每个区间内各至少一个零点，故 至少有 个零点，
因为是一个 次函数，故最多有 个零点，因此 有且仅有 个零点，
同理， 有且仅有 个零点， ， 有且仅有 个零点，
故 ，所以 是公差为 的等差数列，故②正确.
故选：C.
3．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都
有应用.斐波那契数列 满足 ， .给出下列四个结论：
① 存在 ，使得 ， ， 成等差数列；
② 存在 ，使得 ， ， 成等比数列；
③ 存在常数 ，使得对任意 ，都有 ， ， 成等差数列；
④ 存在正整数 ，且 ，使得 .
其中所有正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】由递推公式得 性质后判断，
【详解】对于①，由题意得 ，故 成等差数列，故①正确，
对于②，由递推公式可知 ， ， 中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误，
对于③， ，
故当 时，对任意 ， ， ， 成等差数列；故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为 ，
可得 ，故④正确，
故选：C
4．（21-22浙江金华·阶段练习）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量
.下列命题中正确的是
A．若任意n N* 总有cn bn成立，则数列{an}是等比数列
B．若任意n N* 总有cn bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若任意n ∈ N* 总有cn ⊥ bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若任意n ∈ N* 总有cn ∥ bn成立，则数列{an}是等差数列
【答案】D ∈ ⊥
【详解】分析：∈利用平面向∥量垂直或平行的判定条件得到数列的递推公式，再利用累乘法求出通项，进而
利用等差数列和等比数列的定义进行判定．
详解：若任意 总有 成立，
则 ，
即 ，
即
，
则 不是等比数列，也不是等差数列；
若任意 总有 成立，
则 ，
即 ，
即
，
即 是等差数列．故选D．
点睛：（1）熟记平面向量垂直和平行的判定条件：
已知 ，
则 ，
（2）已知数列 的递推公式 求通项时，往往采用累乘法；
已知数列 的递推公式 求通项时，往往采用累加法．
5．（浙江·高考真题）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且， .（ ）
若
A． 是等差数列 B． 是等差数列
C． 是等差数列 D． 是等差数列
【答案】A
【详解】 表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度的一半，
即 ，由题目中条件可知 的长度为定值，
那么我们需要知道 的关系式，
由于 和两个垂足构成了直角梯形，
那么 ，
其中 为两条线的夹角，即为定值，
那么 ，
，
作差后： ，都为定值，所以 为定值．故选A．
题型二：定义法求通项
1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求解判断 为等差数列，求出通项 ，得解.
【详解】由 ，
，
则 ，又 ，
，又 ，
所以数列 为等差数列，则 ，
.
故选：C.
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，得 ，再结合 ，可得 ，进而可得数列
是等差数列，即可求出 的通项，从而可求出数列 的通项，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
即 ，
所以数列 是等差数列，
又 ， ，所以 ，
所以数列 的公差为 ，首项为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：C.
3．（2024·山西·三模）已知数列 对任意 均有 .若 ，则
（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
【答案】C
【分析】根据等差数列可得 ，再利用累加法求 .
【详解】因为 ，可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
所以 ，
又因为 ，即 ，
可得 ，
累加可得 ，则 ，所以 .
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，数列 中， ， ， 为数列 的前
项和， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据 ，令 ，根据等差数列的定义和通项公式可得 ，再由等差数列前
项和与通项关系即可得结论.
【详解】在 中，令 ，可得 ，所以 ，又 ，
所以数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，则 ，
所以 ，所以 ．
故选：C．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
（ ）
A．110 B．200 C．65 D．155
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可.
【详解】因为 ，
所以 是以 为公差的等差数列，
又 ，所以 ，
故 ，所以 ，
故选：B
题型三：等差中项
1．（19-20高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中） 是公比不为1的等比数列 的前n项和， 是 和 的
等差中项， 是 和 的等比中项，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 是 和 的等差中项，可得 ，又由 是 和 的等比中项，同时令
，得 ，由此即可得到本题答案.
【详解】设 的公比为 ，由于 ，所以 ， ， ，又 是 和 的等差中项，所以 ，即 ，
化简得 ，由于 ，所以 ， ，
所以 ， ，
因为 是 和 的等比中项，
所以 ，
即 ，所以 ，令 ，
则 ，
当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 .故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档
题.
2．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知 ，在这两个实数 之间插入三个实数，使这五个数构成
等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，用 表示这个等差数列后三项和为 ，进而设 ，利用三
角函数的性质能求最大值．
【详解】设中间三项为 ，则 ，所以 ， ，
所以后三项的和为 ，
又因为 ，所以可令 ，
所以
故选
【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质．
3．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列 的各项均为正数，且 成等差数列，则
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.
【详解】若等比数列 的各项均为正数，所以公比 ，
且 成等差数列，可得 ,
即得
可得 ，.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A． B．5 C．5或－5 D． 或
【答案】C
【分析】根据式子 的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性
质和等差中项公式不断简化式子即可得解.
【详解】由题 ，解
得 ，
故选：C.
5．（2022·全国·模拟预测）设 ， ，若 是 与 的等差中项，则 的最小值为
（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【分析】先由等差中项的概念得到 ，然后由基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为 是 与 的等差中项，
所以 ，即 ，
，又 ， ，
∴
，
∴
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故选：B.
题型四：等差数列的“中点”性质
1．（2024·新疆·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合等差数列的性质求解即可，或根据题意利用等差数列的通项公式化简，再化简
即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
另解：设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以 ，
因为 ，
，
，
，
所以
故选：A．
2．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列 满足 ，已知 ，则 的前19
项和 （ ）
A．0 B．8 C．10 D．19
【答案】A
【分析】由等差中项得到数列 为等差数列，再由等差数列的性质 得到 ，由等
差数列前 项和公式结合等差中项得到
【详解】因为 即 ，所以数列 为等差数列，
因为 且 ，所以 ，得 ，
所以 .
故选：A.
3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设 为等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．5 B．10 C． D．15
【答案】B
【分析】利用等差中项性质得 ，再利用等差数列的下标和性质求解即可.
【详解】若 ，由等差中项性质得 ，
故 ，即 ，易知 .
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知 为等差数列 的前n项和， ，则 （ ）
A．100 B．250 C．500 D．750
【答案】B
【分析】本题考查等差数列通项公式、求和公式，直接利用通项公式和求和公式计算即可；也可利用等差
数列的性质公式简化运算.
【详解】解法一：设等差数列 的公差为d，则 ，即 ，
所以 ，故 ，
故选：B.解法二：因为 ，所以 ，得 ，故 ，
故选：B.
5．（2021全国模拟）等差数列 的前 项和为 ，若 的值为常数，则下列各数中也是常数
的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，故 的值是常数，进而利用等差下标性质可知 代入前 项
的和的公式中求得 ，进而推断出 为常数，有此可判断A，同理可判断BCD.
【详解】设等差数列 的首项和公差分别为 ，
因为 ，
所以 的值是常数，
对于A， 也是常数，故A正确；
对于B， ，故 不为定值，故B
错误；
对于C， ，
故 不为定值，故C错误；
对于D， ，
故 不为定值，故D错误.故选：A.
题型五：an 与 sn 的关系‘
1．（2021·云南昆明·三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ，则
（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【答案】B
【分析】利用两式相减得 ，再利用两式相减可得 ，由此可得
，进一步可得答案.
【详解】由 ，两式相减得 ，即 .
再由 ，两式相减得 ，由 ，得 ，
故 为以14为首项，8为公差的等差数列，故 ，
故 .
故选：B【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列 的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是
解题的关键，属于较难题目.
2．（22-23高三上海金山·模拟）对于实数 ， 表示不超过 的最大整数. 已知正数数列 满足
， ，其中 为数列 的前 项和，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知数列递推式可得数列{Sn2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得 ．由此可求
【详解】由 ，令 得 ， ，得 ．
∵
当 时， 即 ．
因此，数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
，即 ．
∴
则
.
故选B.
【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题．
3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列 的前 项和 （ 为常数，且
），则“ 是等差数列”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可．
【详解】若 是等差数列，设其公差为 ，则 ，
所以 ，
若 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，此时 也满足，
所以 ，于是有 是等差数列，
所以“ 是等差数列”是“ ”的充要条件．
故选：A
4．（2023高三·全国·专题练习）设 是数列 的前n项和，且 ，则下列选项错误的
是（ ）
A． B．
C．数列 为等差数列 D． －5050【答案】A
【分析】由 可得 － ＝－1，即数列 是以 ＝－1为首项，－1为公差的等差数列
可判断C，由 求出 可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D.
【详解】 是数列 的前n项和，且 ，
则 ， 整理得 － ＝－1（常数），
所以数列 是以 ＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；
所以 ，故 ．
所以当 时， － ， 不适合上式，
故 故B正确，A错误；
所以 ， 故D正确．
故选：A.
5．（22-23高三 重庆沙坪坝模拟）已知数列 的前 项和 ，设 为数列
的前 项和.若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 的关系求出数列 的通项公式，再根据裂项相消法求得 ，从而根据不等式恒成立
求实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，
当 时 满足上式，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，由 可得 ，
即 恒成立，因为对勾函数 在 单调递增，
所以当 时 有最小值为64，所以 ，故选:A.
题型六：双等差数列sn比值型1．（23-24高三·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且
，则 （ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
【答案】C
【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，
所以 .
故选：C
3．（23-24高三·江西抚州模拟）已知等差数列 与 的前 项和分别为 ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可.
【详解】因为等差数列 与 的前 项和分别为 ，且 ，
所以设 ，
所以
.
故选：D
3．（2022高三·全国·专题练习）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和， ，设点A
是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且 ，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 可知P，B，C三点共线，从而有 +λ=1，再由等差数列的性质可
求解.【详解】因为P，B，C三点共线，所以 +λ=1，所以 +λ=1，
，所以 +λ= +λ=1，λ= ，
故选:B.
4．（22-23高三·内蒙古包头·模拟）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 ＝ ，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的前 项和公式，反凑等差数列的前 项和公式，即可求得结果.
【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
故选： .
【点睛】本题考查等差数列的前 项和之比的问题，涉及等差数列的下标和性质，属基础题.
5．（22-23高按吉林长春·模拟）若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn ，且满足
，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：
考点：等差数列性质及求和公式
题型七：等差数列型函数和
1．（2022高三·全国·专题练习）已知数列 为等差数列，且 .设函数 ，记
，则数列 的前13项和为（ ）
A． B． C．7 D．13
【答案】D
【分析】化简函数的解析式，利用等差数列的性质结合三角函数即可求值.
【详解】因为 ，
因为数列 为等差数列，
所以 ，
所以 ，
所以，
同理因为 ，
所以 ，
又 ，
所以数列 的前13项和为13.
故选：D
2．（22-23高三黑龙江哈尔滨·模拟）已知等差数列 的公差为2020，若函数 ，且
，记 为 的前 项和，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得
由余弦和角与差角公式的应用，变形可得
，令 ，代入化简并构造函数
，求得 并判断符号，可证明
为单调递增函数，且可得 ，从而 ，进而由等差数列前n项和公式即可求解.
【详解】等差数列 的公差为2020，设
函数 ，且 ，
则 ，
即
对 ，由余弦的和角与差角公式化简可得
，记 ，将 化简可得
，
即
令 ，由 可得
，所以 在 上单
调递增，且 ，又由 可知 ，所以 ，即 ，
所以 ，故选：A.
【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合
应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题.
3．（20-21高三江苏泰州·模拟）已知等差数列 的前9项和18，函数 ，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】由等差数列性质求得 ，由函数的解析式计算得 ，然后对
配对计算．
【详解】 ， ， ， ，
，则 ，
所以
．
故选：C．
4．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知 是一个等差数列的前 项和，对于函数
，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意求出 ，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】 是一个等差数列的前 项和，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的前 项和为
，
则 .
故选：D
【点睛】本题考查了等差数列的前 和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.
5．（2022山东潍坊·模拟预测）已知等差数列 ，公差不为0，若函数 对任意自变量x都有
恒成立，函数 在 上单调，若 ，则 的前500项的和为
（ ）
A．1010 B．1000 C．2000 D．2020
【答案】B
【分析】由已知 得函数关于 对称，因为 ，则 ，再由等差数
列性质求得前500项的和.
【详解】 对任意自变量x都成立， 函数对称轴为
因为 ， ，
故选：B
【点睛】本题考查函数对称性及利用等差数列性质求和.属于基础题.
函数 对任意自变量x都有 ，则函数对称轴为 ，
为等差数列，若 ，则 ．题型八：奇数项与偶数项和型
1．（23-24高三·广东茂名·模拟）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 ，所有偶
数项的和为 ，则此数列的项数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质与其前 项和的性质求解即可.
【详解】设该等差数列中有 项，其中偶数项有 项，奇数项有 项，
设等差数列 的前 项和为 ，则 ，
为等差数列， ， ，解得 ，
， 此数列的项数是 项.
故选： .
2．（21-22高三·上海徐汇·模拟）设等差数列的项数 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前 项和公式解决即可.
【详解】由题知，奇数项有 项，偶数项有 项，
奇数项之和为 ，
偶数项之和为 ，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为 ，
故选：D
3．（22-23高三·四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和
30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．20
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出 ，从而求出数列的项数.
【详解】根据等差数列的性质得： ， ，
解得： ，故该数列的项数为 .故选：B
4．（2023·重庆·二模）已知等差数列 的前30项中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为 ，首项为 ，
则 ，所以 ，
因为 ，即 ，则 ，
等差数列的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列，等差数列 的前30项中奇数项有15项，所
以 ，得 ，
所以 .
故选：B
5．（23-24高三·江苏南京·模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 单调递增，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得 ，即数列 从第二项开始，各项均为正数，结合等差数
列的通项公式，列出不等式，即可求解．
【详解】解：由 为等差数列，且 ，所以 ，
因为数列 为递增数列，则 ，即 从第二项开始，各项均为正数，
又因为 恒成立，所以数列 为常数数列或递增数列，所以 ，
则有 ，解可得 ，
综上可得， ，所以实数 的取值范围为 ．
故选：D．
题型九：等差数列的函数性质：单调性
1．（23-24高三湖北·模拟）已知数列 的前 项和 （ 为常数），则“ 为递
增的等差数列”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等差数列前n项和公式函数性质、 与 的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即
可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由等差数列的前 项和 ，类比表达式 ，有 .
当 为递增等差数列时，有 ；
反之，当 时，例如 ，可得 ；
，则 ，
此时数列从第二项开始才为递增的等差数列；
所以“ 为递增的等差数列”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（23-24高三·江西·阶段练习）设 为等差数列 的前n项和，则对 ， ，是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 ，推得数列 为递增数列，进而得到 成立，得出充分性成立；反
之：由 ，得到数列 为递增数列，举例说明必要性不成立，即可求解.
【详解】若对 ，都有 ，可得 ，
因为 恒成立，所以 ，即数列 为递增数列，
，
所以 ，即 成立，所以充分性成立；
反之：若对 ，都有 ，即 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
即数列 为递增数列，
例如：数列 为递增数列，可得 ，
此时 不成立，即必要性不成立；
所以对 ， ，是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023·北京顺义·一模）已知 是无穷等差数列，其前项和为 ，则“ 为递增数列”是“存在
使得 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：因为 是无穷等差数列，若 为递增数列，
所以公差 ，
令 ，解得 ，
表示取整函数，
所以存在正整数 ，有 ，故充分；设数列 为5，3，1，-1，…，满足 ，但 ，
则数列 是递减数列，故不必要，
故选：A
4．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定
义判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
5．（20-21高三江苏无锡模拟）数列 是等差数列， ，数列 满足 ，
，设 为 的前 项和，则当 取得最大值时， 的值等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解析】由 ，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断 的正
负，再利用通项与前n项和关系求解.
【详解】设数列 的公差为d，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，故 中 最大 ，
故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于
中档题.
题型十：等差数列的函数性质：sn 最值
1．（22-23高三上·海南省直辖县级单位模拟）已知 是等差数列 前 项和， ， ，当
取得最小值时 （ ）．
A．2 B．14 C．7 D．6或7
【答案】D
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据题意解出首项与公差d可得数列通项公式，根据数列的单调性
可求出数列前7项小于等于0，可得当 取得最小值的n值.
【详解】设等差数列 的公差为 ， ， ，
， ，
∵
联立解得： ， ，
∴
，
令 ，解得 ．
∴
当 取得最小值时 或7．
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列通项及性质，根据数列的单调性求 最值问题，可以求出 时的n
值，或求解 进行分析，属于中等题.
2．（22-23高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设 为公差为 的无穷等差数列 的前 项和，则“
”是“数列 有最大项”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】化简得到 ，分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】 ，对应的二次函数为 .
故当 时，函数有最大值，数列 有最大项.
当数列 有最大项时，需满足 ，故是充要条件.
故选： .
【点睛】本题考查了等差数列前 项和，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
3．（21-22高三·上海浦东新·模拟）设 为等差数列 的前n项和，若已知 ，则下列叙
述中正确的个数有（ ）
① 是所有 中的最大值；② 是所有 中的最大值；③公差 一定小于0 ④ 一定小于
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质求解．
【详解】由 ， 可得 ，
，故③正确；②错误； 最大，故①正确；
，故④正确．
故选： ．
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，属于中档题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用．
4．（22-23高三湖北宜昌·阶段练习）已知数列 为等差数列，若 ，且它们的前n项和 有最
大值，则使得 的n的最大值为
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】A
【详解】由题意可得 ，又由 有最大值，可知等差数列{an}的 ，所以
，所以 ，即Sn＞0的n的最大值为19.选A.
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项
和，则（ ）.
A． 都小于0， 都大于0
B． 都小于0， 都大于0
C． 都小于0， 都大于0
D． 都小于0， 都大于0
【答案】B
【分析】利用等差数列前 项和的性质求解即可.
【详解】等差数列 中， ，故 ，
且 ，故 ，
所以 ,
,
结合 ，可知，
都小于0， 都大于0.
故选：B
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型1．（23-24高三·陕西·阶段练习）设等差数列 的前n项和为 ，且 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据已知条件特征，构造函数 ，由函数的奇偶性和单调性性质可确定 ，
的关系，再结合等差数列前n项和公式及其性质求解即可.
【详解】构造函数 ， ，
则 ，
所以 是奇函数，又 与 是增函数，
所以 是 上的增函数，
又 ，
，
所以 即 ，且 即 ，
又 是等差数列 的前n项和，
所以 .
故选：C.
2．（23-24高三浙江金华模拟）已知公差为 的等差数列 ， 为其前 项和，若
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】构造函数 ，借助导数与奇偶性的定义可得函数 在定义域内单调递增且为奇
函数，又由 可得 ，从而得到 ，再
借助 ，从而得到 ，即可得解.
【详解】令 ，则 ，故 在定义域内单调递增，又 ，故 为奇函数，
由 ，可得 ，
故有 ， ，又 在定义域内单调递增且为奇函数，
故有 ，即 ，即 ，
故 ，
又 ，即 ，
故 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数 ，由函数的单调性与奇偶性结合所给数列的
性质得到 以及 ，从而得解.
3．（2022浙江杭州·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，并满足：对任意 ，都有
，则下列命题不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，对 分 、 、 三种情况讨论，在 时验证即可；
在 时，取 ，可设 ，根据 恒成立求得实数 的取值范围，逐一验证
各选项即可；同理可判断出 时各选项的正误.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 .
①当 时，则 ， ，则 对任意的 恒成立，
A、B、C、D四个选项都成立；
②当 时，不妨取 ，记 ，则 ，
由 可得 ，即 ，
则 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 .
，
则 ，
解关于 的不等式 ，
可得 或 ，
所以 或 .
由于数列 单调递减，该数列没有最小项；
由双勾函数的单调性可知，函数 在区间 上单调递增，所以，数列 单调递减，该数列的最大项为 ，
.
对于A选项， ， ，
则 ，
，
，
则 ，
所以， ，A选项成立；
对于B选项， ，
则 ，
，
，
则 ，
所以， ，B选项成立；
当 时， ；
当 时， .
满足 ， .
对于C选项， ， ，
，
，
当 时， ，
所以，C选项不一定成立；
对于D选项， ，
，
所以， ，
D选项成立；
③当 时，由②同理可知，C选项不一定成立.
故选：C.
【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前 项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难
题.
4．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数，都有 则 的值为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前n项和公式计算推理得解.
【详解】依题意， ，则 ，
又 ，则 ， ，
等差数列 的公差 ，因此数列 单调递减，
，且 ，
即任意正整数 ， 恒成立，
所以对任意正整数 ，都有 成立的 .
故选：C
5．（22-23高三·广东广州·模拟）已知数列 满足 ，记数列 的前 项
和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用退一作差法求得 ，求得 的表达式，结合二次函数的性质求得 的取值范围.
【详解】由 ，
当 时， ，
当 时，由 得 ，
两式相减并化简得 ，
也符合上式，所以 ，
令 ，
为常数，
所以数列 是等差数列，首项 ，所以 ，
对称轴为 ，由于 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 .故选：A
【点睛】与前 项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和
类似.求解等差数列前 项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解.
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参
1．（21-22高三 ·福建南平·模拟）已知等差数列 满足 ， ，
，若对任意正整数 ，恒有 ，则正整数 的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．7
【答案】A
【分析】利用等差性质研究数列项的变化，从而可得结果.【详解】由等差数列 满足 ， ，
可知 ，即 ，且 ， ，公差 ，
∴
又 ，
当 时， 最大，
正整数 的值是 .
∴
故选：A
∴
2．（23-24高三 ·云南昆明·模拟）等差数列 的前n项和为 ，已知 ，
若存在正整数k，使得对任意 ，都有 恒成立，则k的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【分析】利用等差数列定义结合题意可得等差数列通项公式，再利用等差数列前n项和的性质结合等差数
列通项公式计算即可得解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
即有 ，则 ，
即 ，
令 ，解得 ，故当 时， ，
即 恒成立，故k的值为20.
故选：B.
3．（22-23高三·广西河池·模拟）已知数列 满足 ，数列 的前
项和为 ，若 的最大值仅为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列递推式求出 的表达式，设 ，可求得其表达式，根据 的最大值仅
为 ，可判断数列单调性，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意 ，
令 ，
即数列 是等差数列，前 项和最大值仅为 ，则 ，
解得 ，
故选：C．
4．（2021高三·江苏·专题练习）对于数列 ，定义 为数列 的“诚信”值，已
知某数列 的“诚信”值 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，可得 ，利用递推关系可得 ，利
用等差数列的求和公式可得数列 的前 项和为 根据 对任意的 恒成立，对 分类
讨论利用数列的单调性即可得出．
【详解】解：由 ， ，
当 时， ，
时，由 得 ，
， ，
满足 ，故对任意的 ， .
数列 的前 项和为
，
对任意的 恒成立， ，
化为 ，
时， ， ，
时恒成立，
时， ， ，
综上可得：实数 的取值范围为 ．
故选：C．
5．（23-24高三·河北唐山·阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，对任意 ，均有 成
立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由等差数列前n项和的函数性质得 ，再由等差数列通项公式得 ，即可
求范围.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 ，又任意 均有 成立，
所以 ，由 ，而 ，则 .
故选：A
题型十三：等差数列的函数性质：范围型
1．（22-23高三·浙江·模拟）等差数列 的公差不为0，其前n和 满足 ，则 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意得出 是 的最大值，从而有 ，且 ， ，由此得出 的范围，
推导出结论．
【详解】等差数列 的公差 不为0，其前n和 满足 ，因此 是 的最大值，显然
，
从而 ，即 ， ， ，
．
故选：C．
2．（21-22高三·北京西城·开学考试）已知等差数列 ， 是数列 的前 项和，对任意的 ，
均有 成立，则 的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据题意，由 恒成立可得 是等差数列 的前 项和中的最大值，结合等差数列前 项
和的性质，分3种情况讨论，综合求出 的取值范围，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，等差数列 ，对任意的 ，均有 成立，即 是等差数列 的前 项和
中的最大值，必有 ，公差 ，
分3种情况讨论：
① ，此时 ， 、 是等差数列 的前 项和中的最大值，
此时 ，则有 ，
则 ，
② ，此时 ， 、 是等差数列 的前 项和中的最大值，
此时 ，则有 ，
，
③ ， ， 是等差数列 的前 项和中的最大值，
此时 ， ，则 ，变形可得： ，
，而 ，则有 ，
综合可得： .故选：A．
3．（21-22高二上·浙江·期末）已知等差数列 的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若 ，
则公差 d 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】该等差数列有最大值 ，可分析得 ，据此可求解.
【详解】 ，故 ，故有
故d 的取值范围为 .
故选：A
4．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知数列 满足 ，且前 项和为 ，若
， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用递推关系可得 ，即数列 是等差数列，结合条件得 ，再
利用等差数列求和公式即得.
【详解】 ，
当 时， ，
∵
又 ①， ②，
由①－②，得 ，即 ，
∴
数列 是等差数列.
由 ，设 为公差，则
∴
，解得 ，则 .
故选：A.
5．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知数列 是公差不为0的无穷等差数列， 是其前 项和，若
存在最大值，则（ ）
A．在 中最大的数是
B．在 中最大的数是
C．在 中最大的数是
D．在 中最大的数是
【答案】A
【分析】
根据题意，由条件可得 ，由 是以 为首项， 为公差的等差数列，即可判断AB，由 可
得在 中最大的数是不确定的，即可判断CD.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，由 存在最大值可知， ，
因为 ，则 ，所以数列 是以 为首项， 为
公差的等差数列，且 ，则 是递减数列，所以在 中最大的数是 ，故A正
确，B错误；
在 中最大的数是不确定的，比如 ，由 ，可得 ，所以 ，
即 为最大值，故CD错误；故选：A
题型十四：等差数列的函数性质：sn 与 n 比值型
1．（23-24高三 四川眉山·开学考试）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若
，则 （ ）
A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024
【答案】C
【分析】设 公差为 ，可得出 也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从
而得出答案.
【详解】由 是等差数列，设公差为 ，则
所以 ， （常数），则 也为等差数列.
由 ，则数列 的公差为1.所以
所以 ，所以
故选：C
2．（22-23高三·全国·开学考试）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．18 B．36 C．40 D．42
【答案】B
【分析】确定 为等差数列，得到 ，代入数据计算得到答案.
【详解】 ，故 为等差数列，
故 ，故 ，解得 .
故选：B
3．（21-22高三·安徽蚌埠·模拟）已知数列 是等差数列，其前n项和为 ，则下列说法错误的是
（ ）
A．数列 一定是等比数列 B．数列 一定是等差数列
C．数列 一定是等差数列 D．数列 可能是常数数列
【答案】B
【分析】可根据已知条件，设出公差为 ，选项A，可借助等比数列的定义使用数列 是等差数列，来
进行判定；选项B，数列 ，可以取 ，即可判断；选项C，可设 ，表示出 再进
行判断；选项D，可采用换元，令 ，求得 的关系即可判断.
【详解】数列 是等差数列，设公差为 ，
选项A，数列 是等差数列，那么 为常数，
又 ，则数列 一定是等比数列，所以选项A正确；
选项B，当 时，数列 不存在，故该选项错误；
选项C，数列 是等差数列，可设 （A、B为常数），
此时， ，则 为常数，
故数列 一定是等差数列，所以该选项正确；
选项D， ，则 ，
当 时， ，此时数列 可能是常数数列，
故该选项正确.
故选：B.
4．（17-18高三·甘肃张掖·模拟）在各项均为正数的等比数列 中，公比 ，若
， ，数列 的前n项和为Sn，则 取最大值时，n的值为
（ ）
A．8 B．8或9 C．9 D．17【答案】B
【分析】结合已知条件求得 ，由此求得 ，进而求得 ，由 求得正确答案.
【详解】依题意 ，
所以
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
由 ，
所以 取最大值时，n的值为 或 .
故选：B
5．（15-16高三·辽宁大连·模拟）设等差数列 满足: ,
公差
, 若当且仅当 时， 的前 项和 取得最大值,则首项 的取值范围
是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：将 化简可得
， 其对称轴方程为： ，有题
意可知当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，
∴
，解得
考点：数列的应用
∴ 题型十五：等差数列与三角函数
1．（2023·江西南昌·模拟）设等差数列 满足： ，公差
．若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析： 原式
, , ,则 ,由,对称轴方程为 由题意当且仅当
时, 数列 的前 项和 取得最大值, ,解得： , 首项 的取值
范围是 .故选B.
考点：1、同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数；2、差数列的性质及前 项和的最值.
【方法点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数以及等差数列的性质及前
项和的最值，属于难题.求等差数列前 项和的最大值值的方法通常有两种：①将前前 项和表示成关于
的二次函数， ，当 时有最大值（若 不是整数， 等于离它较近的一个或
两个整数时 最大）；②可根据 且 确定 最大时的 值.本题根据方法①确定 的取值范
围的.
2．（2022广东深圳·模拟）已知等差数列 满足： ，
，公差 ，则数列 的前 项和 的
最大值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，解得 ，则
，
又 ， ，故 ， ，
又公差 ，由 ，得 ，故 或 最大，最大值为
，故选C．
3．（2020·浙江宁波·一模）设等差数列 满足： ，公差
，若当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三角恒等变换公式和等差数列的性质，将已知等式化为 ，根据 ，可
得 ，根据 ， ，可得 ，根据余弦函数的单调性可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 为等差数列，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，
因为当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，即 ，
因为 在 上是增函数，所以 ，故选：A.
【点睛】本题考查了三角恒等变换公式，考查了等差数列的性质，考查了等差数列前 项和的最值，考查
了余弦函数的单调性的应用，属于中档题.
4．（2023高三·江苏·专题练习）已知数列 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项
的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ．
【答案】－4
【分析】根据等差数列前 项和的性质求解即可.
【详解】设等差数列 的项数为2m，
末项与首项的差为－28， ，①
，
∵ ∴
，②
∵
由①②得 ，
∴
故答案为： .
5．（21-22高三·四川南充·模拟）等差数列 满足：
， ,且公差 ，若当且仅当 时，数列 前 项和取得最大值，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式化简等式的左边，再利用等差中项进行化简，再利
用数列通项的符号变化确定答案.
【详解】由 ，
得 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，因为 ，
所以 ，则 ，即 ，
又 ，得 ；若当且仅当 时，数列 前 项和取得最大值，
则 ，解得 .
题型十六：等差数列思维第 19 题型综合
1．（24-25高三上·河北·开学考试）定义二元数 ，将所有的二元数按照从
小到大排列后构成数列 .
(1)求 ；(2)对于给定的 ，是否存在 ，使得 ， 成等差数
列？若存在求出 满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若 ，求 .
【答案】(1) ， ， ，
(2)存在，
(3) ，
【分析】（1）根据 的条件，以及所求 的各项，分别 取值，即可逐一求解；
（2）由等差中项公式得到等式 ，然后分 、 和 三类讨论，然后得出
时，满足题意，从而得解；
（3）利用已知条件得到等式 由（2）相同的方法，得出 ，从而得到
，结合 ，得出 ，由二次数定义知 ，从而得到
.
【详解】（1）令 ，得
令 ，得 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
令 ，得 .
（2）若 成等差数列，
则 ，即 .
当 时，①式两边同时除以 得： ，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；
当 时，①式两边同时除以 得： ，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；
当 时， 成立.
所以 .
（3） ，
，即
当 时，②式两边同时除以 得： ，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；
当 时，②式两边同时除以 得： ，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；
当 时， ，即 ，
，
，
当且仅当 即 时取等号，
又因为 ，
.
【点睛】关键点点睛：第（2）小问关键点是利用等差中项得出一个等式关系，然后根据二次数的定义分
三类讨论，再证明等式关系时，两边同时除以 与 ，结合左右两边数的奇偶性，得出 的结论，从
而得解；第（3）小问的关键是，借助了第（2）小问的方法，得出 ，从而得到 ，借助
，及指数函数的单调性，得出 的值，最后利用二次数的定义得
，即可求解 .
2．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列 ，对于任意的 ，都有 ，则称
数列 为“凹数列”．
(1)判断数列 是否为“凹数列”，请说明理由；(2)已知等差数列 ，首项为4，公差为 ，且 为“凹数列”，求 的取值范围；
(3)证明：数列 为“凹数列”的充要条件是“对于任意的 ，当 时，有
”．
【答案】(1)数列 是“凹数列”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算出 ，故满足“凹数列”的定义；
（2）利用等差数列通项公式得到 ，由题意得 对任意 恒成
立，化简得到 ，得到答案；
（3）先证明出必要性，放缩得到 ，故 ，再证明充分性，取
，则有 ，即 ，所以 为“凹数列”.
【详解】（1）因为 ，则 ，
又 ，故 ，即 ，数列 是“凹数列”．
（2）因为等差数列 的公差为 ，
所以 ，
因为数列 是凹数列，
所以 对任意 恒成立，
即
所以 ，即 ，
因为 ，
解得 ．
所以 的取值范围为 ．
（3）先证明必要性：
因为 为“凹数列”所以对任意的 ，都有 ，即 ，
所以对任意的 ，当 时，有
，
所以 ，
又 ，
所以 ．必要性成立，
再证明充分性：
对于任意的 ，当 时，有 ，取 ，则有 ，
即 ，所以 为“凹数列”.
【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见
的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列
与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
3．（24-25高三 ·广东·阶段练习）已知数列 的前三项均为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的各项均为正整数，且 ．
（ⅰ）若 ， ，证明： 为等差数列；
（ⅱ）若 ， 为递增等差数列，求 的最小值．
【答案】(1) ， .
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8095
【分析】（1）由已知递推关系多求几项探索数列项的规律，归纳通项，再加以证明即可；
（2）（ⅰ）由关系式 得 ，由数列 各项为正整数递增，可得 ，进而
，再由 ，可得 ，由此 故等差得证；
（ⅱ）由 ， 为递增等差数列，通过 通项公式分析出 ，可得 从第2项起
后面各项构成等差数列，再由公差范围，确定数列 使 取最小， 并求出取最小值时的 即
可.
【详解】（1）由 ， ,
可得 ，解得 ，
同理依次可得 ， ， ， ， ， ， ，
归纳可得数列 的通项公式为 ， .
下面证明该通项公式满足题意.
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
综上可知，对任意正整数 ， 都成立，满足题意.
故满足题意的数列 的通项公式为 ， .
（2）（ⅰ）由（1）可知， ，由 ， 可得
， ，
由数列 的各项均为正整数，且 ，可知 ，则 ， ， ，
由 ， ，任意 ， ，满足 ，
都有 ；
故 ，由 ，可得 为等差数列；
（ⅱ）若 ， 则 ，
且数列 的各项均为正整数，且 ，即数列 递增.
所以当 时， ，又 为递增等差数列，则 ，
由 可知，
则任意 ， ，即 ，使 ，
并且 ，可得 ，即 .
当 时， ，
因为 为递增等差数列，所以数列 为递增等差数列，且公差相等.
由 ，则 ，则数列 的公差 ，
即递增等差数列数列 的公差 ，
故 .
当且仅当 ， 时， 取到最小值 .
此时 ， ，
当 时， 也满足 ， 是等差数列，满足题意.
故 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题目属数列综合题型，解决关键有以下几点：一是数列 通项的规律探索，如
第（1）问中由 四项型的递推数列关系求通项，知三求一，依次多求解几项，观察规
律从而归纳出通项公式再加以证明；二是正整数数列的子数列问题，要注意正整数数列任意两项之差都为
整数的特性.
4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）若有穷数列 满足： 且 ，则称其为“ 阶
数列”.
(1)若“6阶 数列”为等比数列，写出该数列的各项；
(2)若某“ 阶 数列”为等差数列，求该数列的通项 （ ，用 表示）；
(3)记“ 阶 数列” 的前 项和为 ，若存在 ，使 ，试问：数
列 能否为“ 阶 数列”？若能，求出所有这样的数列 ；若不能，请说明理由.
【答案】(1) 或
(2)答案见解析
(3)不是，理由见解析
【分析】（1）根“ 阶 数列”的定义求解即可；
（2）结合“ 阶 数列”的定义，首先得 ，然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨
论即可求解；（3）记 中非负项和为 ，负项和为 ，则 ，进一步 ，
结合前面的结论以及“ 阶 数列”的定义得出矛盾即可求解.
【详解】（1）设 成公比为 的等比数列，显然 ，
则有 ，得 ，解得 ，
由 ，
得 ，解得 ，
所以数列 或 为所求；
（2）设等差数列 的公差为 ，
，
，即 ，
当 时，矛盾，
当 时， ，
，即 ，由 得 ，
即 ，
，
当 时，同理可得 ，即 ，
由 得 ，即 ，
，
综上所述，当 时， ，
当 时， ；
（3）记 中非负项和为A，负项和为 ，则 ，
得 ，即 ，
若存在 ，使 ，可知：
，且 ，
时， 时，
，
又 与 不能同时成立，
数列 不为“ 阶 数列”.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到 ， ， ， ， ， ， ， ，且
，由此即可顺利得解.
