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第一篇 热点、难点突破篇
专题15几何体与球切、接、截的问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考阶段练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三
角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于
2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A、
B、C、P满足PA＝BC＝5， ， ，则该足球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）《九章算术·商功》中描述很多特殊几何体，例如“斜解立方，得两
堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即如图，一个长方体 ，沿对角面 分开
（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），将其中一个堑堵 ，沿平面 分开（图2），得
到一个四棱锥 称为阳马（图3），和一个三棱锥 称为鳖臑（图4）. 若鳖臑的体积为4，
且 ，则阳马 的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
4.（2023·广西梧州·统考一模）在三棱锥 中，已知 平面 ， ， .
若三棱锥 的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
且 ， .又点 ， ， 都在球 的球面上，且点 到平面 的距离为 ，则球 的体积为
______.
6．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知某圆台的上、下底面面积分别为 和 ，高为2，上、
下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________．
7．（2022秋·湖南株洲·高三校联考阶段练习）在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是边长为 的正方形，
其顶点P到底面ABCD的距离为4．该四棱锥的外接球O的半径为7，若球心O在四棱锥P－ABCD内，则顶
点P的轨迹长度为_____________．
8.（2022·上海长宁·统考一模）已知 是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上
异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥 —ABC外接球体积的最小值为___________
9．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆台的内切球 与圆台侧面相切的切点
位于圆台高的 处，若圆台的上底面半径为 ，则球的体积为______.
10．（2022·浙江·模拟预测）棱长分别为 的长方体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
______，体积为______．
【冲刺提升】一、单选题
1．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图，已知三棱柱 的底面是等腰直角三角形，
底面ABC，AC＝BC＝2， ，点D在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面
积的范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）四棱锥 中，底面 是边长为 的
正方形，侧面 为正三角形，则其外接球体积最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）已知正四棱台上､下底面的面积分别为2和8，高为
，则下列结论正确的有（ ）
A．正四棱台外接球的表面积的最小值为
B．当 时，正四棱台外接球球心在正四棱台下底面下方
C．正四棱台外接球的半径随 的增大而增大D．当 时，正四棱台存在内切球
4．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即
截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为 的正四面体沿棱的三等分点作平行
于底面的截面，得到所有棱长均为 的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）
A．该截角四面体的内切球体积 B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球表面积为 D． 外接圆的面积为
5．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）在棱长为2的正方体 中，点 为线段 （包含端
点）上一动点，则下列选项正确的是（ ）．
A．三棱锥 的体积为定值
B．在 点运动过程中，存在某个位置使得 平面
C．截面三角形 面积的最大值为D．当三棱锥 为正三棱锥时，其内切球半径为
6．（2022秋·河北邢台·高三河北南宫中学校考阶段练习）如图，在菱形 中， 为
的中点，将 沿直线 翻折到 的位置，连接 和 为 的中点，在翻折过程中，
则下列结论中正确的是（ ）
A．面 面
B．线段 长度的取值范围为
C．直线 和 所成的角始终为
D．当三棱锥 的体积最大时，点 在三棱锥 外接球的外部
三、填空题
7．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知半径为 的球O的表面上有A，B，C，D四点，且满足
平面 ， ，则四面体 的体积最大值为_____________；若M为 的中
点，当D到平面 的距离最大时， 的面积为_____________．
8．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）在正四面体 中， 为 边的中点，过点 作该正四面体
外接球的截面，记最大的截面面积 ，最小的截面面积为 ，则 __________；若记该正四面体内切球和外
接球的体积分别为 和 ，则 __________．9．（2022·河南·统考一模）如图，在梯形ABCD中， ，将 沿
边AC翻折，使点D翻折到P点，且 ，则三棱锥 外接球的表面积是___________.
10．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称
之为鳖臑.如图，在鳖臑 中， 平面ABC.已知 ， ， ，请写出平面
的直角：_____________；若P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为____________.
11．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知空间四边形 的各边长及对角线 的
长度均为6，平面 平面 ，点M在 上，且 ，那么 外接球的半径为______；过
点M作四边形 外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.
四、解答题
12．（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）如图，长方体 中， 为棱
的中点.(1)求直线 被长方体 的外接球截得的线段长度；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
