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专题 15 等比数列性质归类
目录
题型一：等比数列定义
题型二：等比数列通项公式
s
a
题型三：等比数列 n与 n的关系
题型四：构造等比数列求通项公式
题型五：等差等比“纠缠数列”
题型六：等比数列“指数型中点”特性
题型七：等比数列单调性
题型八：不定方程型计算
题型九：等比数列不等关系“平衡点”
题型十：前n项和的“等距”性
题型十一：等比数列最值型
题型十二：性质求范围型
题型十三：数列与导数
题型十四：等比数列综合
题型一：等比数列定义
1．（23-24高三上·山东·阶段练习）记非常数数列 的前n项和为 ，设甲： 是等比数列；乙：
（ ，1，且 ），则（ ）
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
2．（22-23高二下·辽宁鞍山·阶段练习）数列 的前n项和 ，则 （ ）
A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
3．（2023·河南郑州·二模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．54 B．93 C．153 D．162
5．（21-22高三下·北京·开学考试）若数列 满足 ，则“ ， ， ”是“ 为等
比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：等比数列通项公式
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列 满足 ，前n项和为 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·辽宁辽阳·模拟）若等比数列 满足 ，则其公比为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·全国·模拟）在公比q为整数的等比数列 中， 是数列 的前n项和．若
， ，则下列说法不正确的是（ ）A． B．数列 是等比数列
C． D．数列 是公差为2的等差数列
5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列 满足 ， ，数列 是公比为2
的等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
s
a
题型三：等比数列 n 与 n 的关系
1．（2024·全国·模拟预测）记 为数列 的前n项和，则“ 为等比数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（21-22高三重庆沙坪坝·模拟）设等比数列 的前 项和为 ， ，若不等式
对任意的 恒成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（22-23高三·浙江绍兴·模拟）已知等比数列 的前 项和为 ，则点列 在同一坐标平
面内不可能的是（ ）
A． B．C． D．
4．（21-22高三·黑龙江绥化·模拟）已知数列 的前n项和为 ，q为常数，则“数列 是等比数
列”为“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．（21-22高三河南·阶段练习）设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型四：构造等比数列求通项公式
1．（21-22高三·浙江台州·模拟）已知数列 满足： ， ， ，则下列说法正确的
是
（ ）
A． 一定为无穷数列 B． 不可能为常数列
C．若 ，则 可能小于1 D．若 ，则
2．（24-25高三全国·模拟）已知数列 满足递推公式 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三·云南大理·阶段练习）已知数列 满足： ，且 ，则下列
说法错误的是（ ）
A．存在 ，使得数列 为等差数列B．当 时，
C．当 时， D．当 时，数列 是等比数列
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，数列 的前 项和
为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（20-21高三·海南海口·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，当 时， ；对
任意的 ， 成立.若数列 满足 ，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：等差等比“纠缠数列”
1．（2023·四川南充·模拟预测）若 分别是 与 的等差中项和等比中项， 则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三·黑龙江齐齐哈尔·模拟） 是公比不为1的等比数列 的前n项和， 是 和 的等差中项， 是 和 的等比中项，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（14-15高三·广东东莞·模拟）已知 ， ， 是 、 的等差中项，正数 是 、
的等比中项，那么 、 、 、 的从小到大的顺序关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（10-11高三·福建三明·阶段练习） 中，角 成等差，边 成等比，则 一定是
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
△ △
5．（21-22高三宁夏银川·阶段练习）若四个正数 成等差数列， 是 和 的等差中项， 是 和
的等比中项，则 和 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型六：等比数列“指数型中点”特性
1．（23-24高三·北京·模拟）等比数列 的公比为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（22-23高三·江苏苏州·模拟）已知等差数列 公差 ，数列 为正项等比数列，已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（21-22高三·全国·模拟）已知等比数列 中，公比q＝2，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列 公差不为0，正项等比数列 ， ， ，则以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21高按·浙江·模拟）已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
题型七：等比数列单调性
1．（23-24高三山西晋城模拟）已知等比数列 满足 ，公比 ，且
， ，则当 最小时， （ ）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2023
2．（23-24高三·北京顺义模拟）数列 是等比数列，则对于“对于任意的 ， ”是“ 是
递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
3．（23-24高三湖北·开学考试）已知数列 是等比数列，则“存在正整数 ，对于 恒
成立”是：“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则“
”是“ 是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列 是无穷项等比数列，公比为 ，则“ ”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
题型八：不定方程型计算
1．（23-24高三·广东揭阳·阶段练习）已知数列 为等比数列， 为数列 的前n项和.若 成
等差数列，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·吉林松原·模拟）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比
为（ ）
A．1或 B．1或3 C． 或 D． 或3
3．（23-24高三·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （
）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等
差数列，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，且数列 是等
差数列，则 （ ）
A．1或 B．1或 C．2或 D． 或
题型九：等比数列不等关系“平衡点”1．（21-22高三·湖北·阶段练习）设等比数列{ }的公比为q，其前n项和为 ，前 n项积为 ，并满足
条件 ， ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列{ }中的最大值 D．数列{ }无最小值
2．（22-23高三·广东深圳·模拟）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项之积为 ，且满
足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．
3．（22-23高三·辽宁·模拟）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足条件
， ， ，则下列选项不正确的是（ ）
A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最大项 D．
4．（20-21高三河南郑州·模拟）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足
条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为
5．（2021高三·全国·专题练习）设等比数列 的公比为q，前n项和为 ，前n项积为 ，并满足条
件 ， ，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．D． 是数列 中的最大项
题型十：前 n 项和的“等距”性
1．（20-21高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
2．（21-22高三·河北唐山·模拟）设 是等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·河南·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．324 B．420 C．480 D．768
4．（21-22高三下·江西·开学考试）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值
为（ ）
A．8 B． C． D．10
题型十一：等比数列最值型1．（2023·江西赣州·一模）若等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
2．（21-22高三四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列 中，已知 ，其前 项积为
，且 ，则 取得最大值时， 的值是（ ）
A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10
3．（2023高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列 的公比为 ，前 项和为
，若 ，则（ ）
A．数列 无最大项 B．数列 有最小项为
C．数列 是递增数列， D．数列 最大值为
4．（23-24高三·福建漳州·模拟）已知正项等比数列 的前 项积为 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．（22-23高三江西萍乡·阶段练习）已知数列 为等比数列，函数
的导函数为 ， ，若 ， 的公比
，则当 的前 项乘积最小时， 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
题型十二：性质求范围型1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若
， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列 的前5项积为32， ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三·河南南阳·模拟）已知正项数列 是公比为 的等比数列，数列 的通项公式为
．若满足 的正整数n恰有3个，则 的取值范围为 ．
4．（2023上海嘉定·三模）已知 是递增的等比数列，且 ，那么首项 的取值范围是 .
5.（21-22·河南·模拟）已知 ， ， ， ， ， 成等差数列， ， ， ， 成等比数列，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型十三：数列与导数1．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当
时， .若存在等差数列 ， ， ， ，且 ，使得数列
为等比数列，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（20-21高三上·全国·阶段练习，多选）已知等比数列 首项 ，公比为q，前n项和为 ，前n
项积为 ，函数 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为单调递增的等差数列
B．
C． 为单调递增的等比数列
D．使得 成立的n的最大值为6
3．（23-24高三·四川成都模拟）牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数 的零点
时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列 的递推关系为： 是曲线 在点
处的切线在 轴上的截距，其中 .
（1）若 ，并取 ，则 的通项公式为 ；
（2）若取 ，且 为单调递减的等比数列，则 可能为 .
4．（2025·全国·模拟预测）若 ， 的解从小到大排成 ，那么若
．则 的整数部分是 ．
5．（24-25高三上·上海·开学考试）已知实数 成公比为 的等比数列，抛物线 上每一点到直线
的距离均大于 ，则 的取值范围是 ．
题型十四：等比数列综合1．（2024·河北·一模）已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且 ， ，
，则 ；若数列 和 的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列 ，数
列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为 ．
2．（23-24高三下·山东·开学考试）抛物线 与椭圆 有相同的焦点，
分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是 的内心， 交y轴于M，且 ，点
是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为 ，若 ，则
．
3．（20-21高三·上海宝山·模拟）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ， ，
，且 ，则 的最大值等于 .
4．（2024高三·全国·专题练习）欧拉函数 的函数值等于所有不超过 且与 互质的正整数的
个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如： ， ．记 ，数列
的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
