专题16利用导数研究双变量问题（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年新高考导数专项重点难点突破（新高考专用）

专题16 利用导数研究双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
一、单选题
1．已知 若对于任意两个不等的正实数 、 ，都有 恒成立，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 且满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，且 有两个极值点 ，其中 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
4．设函数 ，函数 ，若对于 ， ，使 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知e为自然对数的底数，若对任意 ，总存在唯一的 ，使得 ，成立，则
实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．若函数 存在两个极值点 和 ，则 取值范围为（ ）
A．(-∞， ] B．(-∞， ) C．( ，+∞) D．[ ，+∞)
7．已知 ，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
8．已知在函数 ， ，若对 ， 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ， ，曲线 上总存在两点 ， ，
使曲线 在 两点处的切线互相平行，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，其中a≠b，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，若 有两个零点 ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
二、多选题
12．已知函数 和 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数 ， ，若对任意的 ，均存在 ，使得
，则a的取值可能是（ ）
A．0 B．2 C． D．1
14．已知函数 有两个极值点 ， ，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
15．已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数 有两个零点 ，则（ ）
A． 的取值范围为 B．
C． D．
三、填空题
17．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则 的最小值为
__________.18．已知 ， ，若对 ， ，使得 成立，则
a的取值范围是______．
19．若函数 存在两个极值点 和 ，则 取值范围为____.
20．已知函数 ， ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，则实数a的取值范围是_____．
四、解答题
21．已知函数 ．
(1)若 时， ，求a的取值范围；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ， ，证明： ．
22．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)任取两个正数 ，当 时，求证： .23．已知函数 （ ， ）.
(1)求函数 的极值；
(2)若函数 的最小值为0， ， （ ）为函数 的两个零点，证明： .
24．设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，
①求a的取值范围；
②证明： .
25．已知函数
(1)当 ，研究 的单调性；
(2)令 ，若存在 使得 ，求证 .26．已知 ， ，
(1)若 恒成立，求 的最大值
(2)若 ， 是 的两个零点，且 求证：
27．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 存在两个极值点 ，且 ，若 ，求证： .
28．设函数 ， .
（1）求导数 ，并证明 有两个不同的极值点 ､ ；
（2）若不等式 成立，求 的取值范围.29．已知函数 .
(1)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 ， 是 的两个极值点，且 ，证明： .
30．已知函数 （ 为常数）
(1)讨论 的单调性
(2)若函数 存在两个极值点 ，且 ，求 的范围.