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专题 16 等差数列及其前 n 项和
【考纲要求】
1、理解等差数列的定义，会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
2、掌握等差中项的概念，深化认识并能运用，掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
3、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
4、熟练掌握等差数列的五个量a，d，n，a，S 的关系，能够由其中三个求另外两个．
1 n n
【思维导图】
一、等差数列的概念
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
等差数列{a
n
}的概念可用符号表示为a
n＋1
－a
n
＝d(n∈N*)．
[化解疑难]
1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；
②这两项必须相邻．
3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数
列.
2、等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.
[化解疑难]
1．A是a与b的等差中项，则A＝或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
3、等差数列的通项公式
已知等差数列{a}的首项为a，公差为d
n 1
递推公式 通项公式
a
n
－a
n－1
＝d(n≥2) a
n
＝a
1
＋(n－1)d(n∈N*)
[化解疑难]
由等差数列的通项公式a＝a＋(n－1)d可得a＝dn＋(a－d)，如果设p＝d，q＝a－d，那么a＝pn＋q，
n 1 n 1 1 n
其中p，q是常数．当p≠0时，a 是关于n的一次函数；当p＝0时，a＝q，等差数列为常数列．
n n二、等差数列的前n项和
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
把a＋a＋…＋a 叫数列{a}的前n项和，记做S．则 a＋a＋a＋…＋a ＝S (n≥2)．
1 2 n n n 1 2 3 n－1 n－1
思考 由S 与S 的表达式可以得出
n n－1
a＝
n
2、等差数列前n项和公式
1．公式1：若{a}是等差数列，则S 可以用首项a 和末项a 表示为S＝．
n n 1 n n
2．公式2：若首项为a，公差为d，则S 可以表示为S＝na＋n(n－1)d．
1 n n 1
3．推导方法：倒序相加法
过程：S＝a＋a＋…＋a，
n 1 2 n
S＝a＋a ＋…＋a，
n n n－1 1
∵a＋a＝a＋a ＝…＝a＋a，
1 n 2 n－1 n 1
∴2S＝n(a＋a)，
n 1 n
∴S＝.
n
4．从函数角度认识等差数列的前n项和公式
(1)公式的变形
S＝na＋＝n2＋(a－)n.
n 1 1
(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时，S 是项数n的二次函数，且不含常数项；
n
②当d＝0时，S＝na，不是项数n的二次函数．
n 1
3、等差数列前n项和的性质
1．若数列{a}是公差为d的等差数列，S 为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为.
n n
2．若S ，S ，S 分别为等差数列{a}的前m项，前2m项，前3m项的和，则S ，S －S ，S －S 也成
m 2m 3m n m 2m m 3m 2m
等差数列，公差为m2d．
3．设两个等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S，T，则＝.
n n n n
4．若等差数列的项数为2n，则S ＝n(a＋a )，
2n n n＋1
S －S ＝nd，＝.
偶 奇
5．若等差数列的项数为2n＋1，则S ＝(2n＋1)a ，
2n＋1 n＋1
S －S ＝－a ，＝.
偶 奇 n＋1
【题型汇编】
题型一：等差数列及其通项公式
题型二：等差数列的性质题型三：等差数列的前n项和
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
【题型讲解】
题型一：等差数列及其通项公式
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（文））等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 列出关于 的两个方程，解出 ， 代入 即可得到答案
【详解】
，解得
故选：B
2．（2022·四川成都·三模（文））在等差数列 中，已知 ， ，则数列 的公差为
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
设公差为 ，依题意根据等差数列的通项公式得到方程组，解得即可；
【详解】
解：设公差为 ，由 ， ，
所以 ，解得 ；故选：D
3．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列 的各项均为正数，其前n项和为 ，且满足 ，
，则 （ ）
A．28 B．30 C．32 D．35
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，通项公式及其前 项和公式求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以公差 ，
所以 ，
故选： .
4．（2022·陕西汉中·二模（理））已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则等差数列
的公差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据题意可得出关于 、 的方程组，即可解得 的值.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，由题意可得 ，解得 .
故选：D.5．（2022·广西柳州·三模（文））记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列通项和求和公式列出方程组分别求出公差和首项，代入计算即可.
【详解】
由题意得， ， ，
所以 ，解得 ，即 .
故选：D.
6．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当
取最小值时， 的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得等差数列 的通项公式，即可得到 取最小值时 的值.
【详解】
由 ，可得 ，
则等差数列 的通项公式为
则等差数列 中：
则等差数列 的前 项和 取最小值时， 的值为6故选：C
7．（2022·山西太原·一模（文））设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ， 求出公差 ，该根据等差数列前 项和公式求出 .
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故选：B.
8．（2022·四川雅安·二模）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 取最小值
时， 的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．20或21
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令 ，求出 的范
围，从而可得出答案.
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，则有 ，解得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
又 ，
所以当 或 时， 取最小值.
故选：D.
9．（2022·四川成都·二模（理））已知数列 的前 项和为 ．若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 可证得数列 为等差数列，利用等差数列求和公式可得结果.
【详解】
由 得： ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， .
故选：C.
10．（2022·江苏·金陵中学二模）设 是公差 的等差数列，如果 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得 ，即可得解.
【详解】
由已知可得
.
故选：D.
题型二：等差数列的性质
一、单选题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则
（ ）
A．-110 B．-115 C．110 D．115
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和等差数列的通项公式求出公差，结合等差数列前n项求和公式计算即可.
【详解】
由题意知， ，
得 ，解得 ，
所以 .
故选：B
2．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列性质若 ，则 ，可得 ．
【详解】
∵ ，则
∴
故选：B．
3．（2022·安徽淮南·二模（理））已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
依据等差数列的性质去求 的值
【详解】
等差数列 的前n项和为 ， ，
则 ， ， ， 构成首项为2，公差为2的等差数列
则 +( )+ ( )+ ( )=2+4+6+8=20
故选：D
4．（2022·安徽滁州·二模（文））已知 是公差不为零的等差数列，若
，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列的性质即可获解
【详解】
由等差数列的性质得，所以 ,即
故选:A
5．（2022·四川·成都七中二模（文））已知数列 满足 ， ，
，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断数列为等差数列，结合等差数列的性质可求结果.
【详解】
∵ ，∴ 是等差数列．
由等差数列的性质可得 ， ，
∴ ， ，∴ ．
故选：B．
6．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．2020 B．1021 C．1010 D．1002
【答案】C
【解析】
利用等差数列的性质以及等差数列的前 项和公式即可求解.
【详解】
由 ，则 ，
所以 .
故选：C【点睛】
本题考查了等差数列的性质、等差数列的前 项和公式，需熟记公式，属于基础题.
7．（2022·江西·二模（文））己知等差数列 的前n项和是 ，若公差 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和是 ,可得 ,根据等差数列的性质,可得
,由 单调递增,即可做出判断.
【详解】
由 ,故可知 或
,可知等差数列 单调递增.所以只能是 .故可知
故选:D
8．（2022·河南许昌·三模（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质求出 的值，再利用等差数列的求和公式可求得 的值.
【详解】
由等差数列的性质可得 ，则 ，
因此， .
故选：C.
9．（2022·山西太原·二模（理））等差数列 的前n项和为 ，若 则公差 （ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的前 项和公式和等差数列的概念可证数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，再根据
等差数列的性质，可知 ，由此即可求出结果.
【详解】
数列 为等差数，设其公差为 ，
则等差数列 的前 项和 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列；
所以 ，所以 .
故选：D.
10．（2022·安徽省含山中学三模（文））已知等差数列 的前n项和为 ．若 ，则
（ ）
A．60 B．50 C．30 D．20【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列求和公式及等差数列下标和的性质即可求得答案.
【详解】
.
故选：C．
二、多选题
1．（2022·重庆·二模）设等差数列 前 项和为 ，公差 ，若 ，则下列结论中正确的有
（ ）
A． B．当 时， 取得最小值
C． D．当 时， 的最小值为29
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，
由 .故A正确；
因为 ，故当 时， ， ，当 时， ，当 或 时， 取得最小值，
故B正确；
由于 ，故C正确；
因为 ， ，所以由 ，可得：
，因此n的最小值为 ，故D错误.故选：ABC
2．（2022·江苏南京·二模）已知 是等差数列 的前 项和，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 中的最大项为 B．数列 的公差
C． D．当且仅当 时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由 与 关系可推导得到 ， ， ；根据 知B正确；由 的正负可确定A错
误；根据等差数列性质和求和公式可得到 ， ，由此确定CD正确.
【详解】
， ， ， ，
，B正确；
当 时， ；当 时， ；
中的最大项为 ，A错误；
， ，C正确；
， ，D正确.
故选：BCD.
题型三：等差数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·一模）已知等差数列 的公差为2，且 ， ， 成等比数列，则 的前n项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出首项，根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】
设等差数列 公差d＝2，
由 ， ， 成等比数列得，a2 ＝a ⋅a ，即 ，解得a ＝0，∴ n×0＋
3 2 5 1
＝ .
故选：B.
2．（2022·河南·一模（文））已知数列 为等差数列，首项 ，公差 ，前n项和 ，则
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的前n项和公式，结合 ，求项数n.
【详解】
由题意及等差数列前n项和公式，知： ，
∴ .
故选：C.
3．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知数列 满足点 在直线 上，则数列 的前项和
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把点 带入直线方程，即得数列 的通项公式，再运用等差数列求和公式即可.
【详解】
因为 在直线 上，所以
即
故选：D.
4．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）设 为等差数列 的前 项和， ， ，则
A．-6 B．-4 C．-2 D．2
【答案】A
【解析】
【详解】
由已知得
解得 ．
故选A．
考点：等差数列的通项公式和前 项和公式．
5．（2022·江西师大附中三模（理））等差数列 的前 项和为 ，满足： ，则
（ ）
A．72 B．75 C．60 D．100【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，可得 ，再利用等差数列的求和公式可求出结果
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则由 ，得
，
化简得 ，
所以 ，
故选：B
6．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知在等差数列 中， ，则 （ ）
A．30 B．39 C．42 D．78
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件求得等差数列的首项和公差，即可求得答案.
【详解】
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，解得 ，
故 ，
故选：B
7．（2022·安徽合肥·二模（文））设等差数列 的前 项和为 ， ，则 的值为
（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式和等差数列的前 项和公式即可求得答案.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
由已知有 ，解得 ，
故选：C
8．（2022·重庆·二模）等差数列 的公差为2，前 项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前 项和公式和一元二次函数求其最值.
【详解】
设等差数列 的首项为 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
解得 ，
则
，
即 取最大值为9.
故选：C.
9．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则 的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的基本量，列出关于首项和公差的方程组，求解即可.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，由 可得： ，即 ；
由 可得： ，即 ；解得 .
故选：C.
10．（2022·浙江杭州·二模）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质以及通项公式计算即可.
【详解】
由等差中项的性质得 ， ，即 ，
，
故选：C.
二、多选题
1．（2022·河北沧州·二模）已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由条件可得当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，然后可逐一判断.
【详解】
因为 ，
所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
所以 ，选项 错误；又因为 ，所以 ，选项B正确；
故C正确
，选项D正确.
故选：BCD
2．（2022·广东惠州·二模）已知 为等差数列，其前 项和 ，若 ， ，则（ ）
A．公差 B．
C． D．当且仅当 时
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据题意，结合等差数列前 项和 的公式和性质，一一判断即可.
【详解】由 ，得 ，即 .
因 ，所以 ，且 ，故选项AB正确；
因 ，且 ，故 时， 最大，即 ，故选
项C正确；
由 ，得 ，即 ，故D错.
故选：ABC.
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
一、单选题
1．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当
取最小值时， 的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得等差数列 的通项公式，即可得到 取最小值时 的值.
【详解】
由 ，可得 ，
则等差数列 的通项公式为
则等差数列 中：
则等差数列 的前 项和 取最小值时， 的值为6
故选：C
2．（2022·四川雅安·二模）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 取最小值时， 的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．20或21
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令 ，求出 的范
围，从而可得出答案.
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
则有 ，解得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
又 ，
所以当 或 时， 取最小值.
故选：D.
3．（2022·重庆·二模）等差数列 的公差为2，前 项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前 项和公式和一元二次函数求其最值.
【详解】
设等差数列 的首项为 ，因为 ，且 ，
所以 ，
解得 ，
则
，
即 取最大值为9.
故选：C.
4．（2022·河南许昌·三模（文））已知 是等差数列 的前n项和，若对任意的 ，均有 ．
成立，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由 成立，得到 ，公差 ，分 和 ， ，两种情况讨论，求得 的范围，即
可求解.
【详解】
由题意，等差数列 ，对任意的 ，均有 成立，
即 是等差数列 的前n项和中的最小值，必有 ，公差 ，
当 ，此时 ， 、 是等差数列 的前n项和中的最小值，此时 ，即 ，则 .
当 ， ，此时 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ， ，即 ，
则 ，则有 ， ， ， ，
，
综合可得 ，所以 的最小值为 .
故选：D .
5．（2022·北京·潞河中学三模）已知 是等差数列， 是其前 项和.则“ ”是“对于任意
且 ， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意 且 ， ”与“ ”推出关系，进而
确定它们的关系.
【详解】
由等差数列前n项和公式知： ，
∴要使对于任意 且 ， ，则 ，即 是递增等差数列，∴“对于任意 且 ， ”必有“ ”，
而 ，可得 ，但不能保证“对于任意 且 ， ”成立，
∴“ ”是“对于任意 且 ， ”的必要而不充分条件.
故选：B.
6．（2022·上海·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A． 为递增数列
B．当且仅当 时， 有最大值
C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知求出首项和公差即可依次判断.
【详解】
由 ，知 ，即 ，
设等差数列 的首项 ，公差 ， ，解得 ，
对于A，由 ，知 为递减数列，故 错误；
对于B，由 ，知当 或 时， 有最大值，故B错误；
对于C，由等差数列求和公式知 ，即 ，解得 ，即 ，故C正确；
对于D，由等差数列求通项公式知 ，解得 ，故D错误；
故选：C.
7．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数 ，对任意实数m，n都有 ，
已知 ，则 的最大值等于（ ）
A．133 B．135 C．136 D．138
【答案】C
【解析】
【分析】
由递推关系可得{f (n)}是以31为首项，以 为公差的等差数列，利用等差数列的求和公式以及二次函数
的性质即可求解所求式子的最大值.
【详解】
因为对任意实数m，n都有 ，
所以 ，
所以 ，
故{f (n)}是以31为首项，以 为公差的等差数列，
所以 ，
对称轴为 ，
因为 ,
所以 时， 取得最大值为136.
故选：C
【点睛】
关键点点点睛：由对任意实数m，n都有 ，当 时推出 ，
得到{f (n)}是等差数列是解题的关键，属于中档题.8．（2022·河南·三模（理））在等差数列 中， ，且它的前 项和 有最小值，则当 时，
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析出等差数列 的公差大于零，由 分析出 ， ，可得出 ， ，进而可
得出结果.
【详解】
设等差数列 的公差为 ， ，所以， ，可得 ，
由于等差数列的前 项和 有最小值，且 ，则 ，即 ，
所以， ，
若 ，则 ，这与 矛盾，所以， ， ，
则 ， ，
因此，当 时， 的最大值为 .
故选：C.
【点睛】
方法点睛：对于等差数列前 项和的最值，可以利用如下方法求解：
（1）将 表示为有关 的二次函数，结合二次函数图象的开口方向与对称轴来处理；
（2）从项的角度出发：①若 有最大值，只需将数列 中所有的非负项全部相加；
②若 有最小值，只需将数列 中所有的非正项全部相加.
二、多选题
1．（2022·福建漳州·三模）已知数列{ }的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）．A． 是递增数列 B． 是递减数列
C． D．数列 的最大项为 和
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据 ，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.
【详解】
解：因为 ，所以数列 的最大项为 和 ，故D正确；
当 时， ，
当 时，由 ，得 ，
两式相减得： ，
又 ，适合上式，
所以 ，故C正确；
因为 ，所以 是递减数列，故A错误，B正确；
故选：BCD
