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专题17 参变分离法解决导数问题
1.分离变量法
在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转
化为 这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与
动直线 的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2.分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
一、单选题
1．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数 在 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 （ 为自然对数的底数），若 在 上恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的方程 在 内有解，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．若对任意正实数x，不等式 恒成立，则实数a的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数a的取值范围为：（ ）
A． B． C． D．
8．当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．对任意 ，不等式 恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．e
10．已知函数 ，若当 时， 有解，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知函数 有两个零点 ， ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． D．若 ，则
12．已知函数 在区间 上只有一个零点，则实数 可取的值有（ ）
A． B． C． D．13．设函数 (e为自然对数的底数).若存在 使 成立，则实数a的取值可
以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知定义在R上的奇函数 在 上单调递增，则“对于任意的 ，不等式
恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．若函数 是R上的减函数，则实数a的最小值为_______
16．已知函数 ，若对任意正数 ，当 时，都有 成立，
则实数m的取值范围是______．
17．已知函数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实
数 的取值范围为___________.
18．已知 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________．
四、解答题
19．已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值(参考数据： )；
（2）若不等式 有解，求实数a的取值范围.20．已知函数 ， .
（1）若 的图像在 处的切线经过点 ，求 的值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
21．已知函数 ，曲线 在点 处的切线 的斜率为4.
(1)求切线 的方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22．已知函数 ．
(1)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)若曲线 存在过点 的切线，求证： ．
23．已知函数
(1)当 时，求函数f（x）的单调区间；
(2)若函数 在 上有两个极值点，求实数 的取值范围.24．已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行（e是自然对数
的底数）.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数k的取值范围.
25．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
26．已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）若 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
（3）若函数 有一个零点，求 的取值范围.
27．已知函数 .
（I）求函数 的单调区间和极值；（II）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
28．已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围．
29．已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围.
30．已知函数 .(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设函数 ，若 在其定义域内恒成立，求实数 的最小值；
(3)若关于 的方程 恰有两个相异的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 .
