文档内容
2025-2026学年山东省青岛市城阳第一高级中学高三（上）月考数学试卷
（1月份）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）.
1．（5分）若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）设全集为R，集合A＝{x||x|≥1}，B＝{x|lgx≤0}，则（ A）∪B＝（ ）
R
A．（0，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，1） ∁ D．（﹣∞，1]
3．（5分）已知直线l：y＝kx﹣2，k R，圆C：x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0，则直线l和圆C的位置关系为（
） ∈
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
5．（5分）记S 为等比数列{a }的前n项和，若S +7S ＝8S ，则{a }的公比为（ ）
n n 9 6 3 n
A．2 B． C． D．﹣2
6．（5分）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地
面接触的面上的数字，得到样本空间为 ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为
奇数”，记事件B＝“得到的点数不大于Ω4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的
是（ ）
A．事件B与C互斥
B．
C．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
D．A，B，C两两相互独立
7．（5分）把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，
纵坐标不变，可以得到函数的图象，则y＝f（x）的图象与直线的交点个数为（ ）
第1页（共21页）A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）已知正实数a，b，c满足2a﹣a，3b﹣b，4c﹣c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）.
（多选）9．（6分）如图，六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的
是（ ）
A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF
（多选）10．（6分）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是
平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成
熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口 ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边
界）的动点，则（ ）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
（多选）11．（6分）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点
分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p＝1，则下列说法正确的是（
第2页（共21页））
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上两点间距离的最大值为
C．动直线x+y＝t（t R）被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
D．四叶图的面积大于∈ 4且小于8
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若a ，a 是方程x2﹣8x+5＝0的两根，则S ＝
n n 6 8 13
．
13．（5分）已知，则cos2 ＝ ．
14．（5分）设 为随机变量α，从棱长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时， ＝0；当两条
棱异面时，ξ ＝1；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离，则数学期ξ 望 E ＝
． ξ ξ ξ
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（13分）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，
150]，（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若
AQI＞100，称当天空气质量不达标．
（1）求a；
（2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；
（3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值 ＝0.1的
独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ α
月份 空气质量 合计
达标 不达标
4月
6月
合计
第3页（共21页）附：χ2，
0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
α
16．（15分）已知数列{a
n
}中，a
1
＝4，a
n
＝a
n﹣1
+2n﹣1+3（n≥2，n N*）．
（1）证明数列{a n ﹣2n}是等差数列，并求{a n }的通项公式； ∈
（2）设b ，求b 的前n项和S ．
n n n
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD的中点，BE⊥平面PAD，PA⊥AD，BE∥CD，PA＝
AE＝BE＝2，CD＝1．
（1）若平面PCD∩平面PBE＝l，求证：CD∥l；
（2）求平面CPB与平面PBE夹角的余弦值．
18．（17分）已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点P（x ，y ）为椭圆在第一象限内一点．
0 0
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为B，线段AP交y轴于点C，线段BP交x轴于点D，若△PAB的
面积是△PCD的6倍，求P点的坐标；
（3）点P关于原点的对称点为Q，点R（x ，0），点T为PR中点，QT的延长线交椭圆于点S，当
0
∠QPS最大时，求直线PQ方程．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）＝f（x﹣1）﹣m在定义域内有两个不同零点，求实数m的取值范围；
（3）若F（x）＝（x﹣1）ex﹣f（x）， x ，x （0，+∞）且x ≠x ，有恒成立，求实数a的取值范
1 2 1 2
∀ ∈
第4页（共21页）围．
第5页（共21页）2025-2026学年山东省青岛市城阳第一高级中学高三（上）月考数学试卷
（1月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A B D C C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）.
1．（5分）若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用复数的乘方、除法化简复数z，结合共轭复数的定义写出，即可得答案．
【解答】解：由（2﹣i）z＝i4×505+2＝﹣1，
得，
则，即的虚部为．
故选：B．
2．（5分）设全集为R，集合A＝{x||x|≥1}，B＝{x|lgx≤0}，则（ A）∪B＝（ ）
R
A．（0，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，1） ∁ D．（﹣∞，1]
【分析】可求出集合A，B，然后进行补集和并集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣1或x≥1}，B＝{x|0＜x≤1}，
∴ A＝（﹣1，1），（ A）∪B＝（﹣1，1]．
R R
故∁选：B． ∁
3．（5分）已知直线l：y＝kx﹣2，k R，圆C：x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0，则直线l和圆C的位置关系为（
） ∈
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【分析】求得直线l的定点M（0，﹣2），求得圆C的圆心与半径，计算可得|CM|＜r，可得结论．
第6页（共21页）【解答】解：直线l：y＝kx﹣2，k R，可知直线l恒过定点M（0，﹣2），
圆C：x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的标准∈方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝3，可得圆心为C（1，﹣1），圆的半
径，
因为，所以点M在圆C内，
直线l和圆C相交．
故选：A．
4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
【解答】解：由0，得x或x，
由f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
得（﹣x+a）ln（x+a），
即（﹣x+a）ln（x+a），
即（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x+a），
则（x﹣a）ln（x+a），
∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，
得a＝0．
故选：B．
5．（5分）记S 为等比数列{a }的前n项和，若S +7S ＝8S ，则{a }的公比为（ ）
n n 9 6 3 n
A．2 B． C． D．﹣2
【分析】关于公比是否为1进行分类讨论，得到关于q的方程，可解出q．
【解答】解：若公比为1，则S +7S ＝51a ≠8S ＝24a ，故不符合题意，所以公比不为1，
9 6 1 3 1
设公比为q（q不为1），则，
整理得8﹣q9﹣7q6＝8﹣8q3，即q9+7q6﹣8q3＝0，解得q3＝﹣8或q3＝1（舍去），
故q＝﹣2．
故选：D．
6．（5分）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地
面接触的面上的数字，得到样本空间为 ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为
奇数”，记事件B＝“得到的点数不大于Ω4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的
是（ ）
第7页（共21页）A．事件B与C互斥
B．
C．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
D．A，B，C两两相互独立
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由古典概型公式分析B、C，由相互独立事件的定义分
析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，样本空间为 ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为奇
数”，记事件B＝“得到的点数不大于Ω4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，
则A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，3，4}，C＝{2，3，5，7}，
则P（A）＝P（B）＝P（C），
依次分析选项：
对于A，BC＝{2，3}，事件B、C可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，则P（A∪B），B错误；
对于C，ABC＝{3}，则P（ABC），故P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），C正确；
对于D，AC＝{3，5，7}，P（AC）P（A）P（C），事件A、C不相互独立，D错误．
故选：C．
7．（5分）把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，
纵坐标不变，可以得到函数的图象，则y＝f（x）的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换可得到函数y＝f（x）的解析式，作出函数y＝f（x）
以及的图象，数形结合，即可得答案．
【解答】解：由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到的图象，再将该图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
即f（x）＝﹣cos4x，
作出f（x）＝﹣cos4x以及的图象，如图，
第8页（共21页）由图象可知y＝f（x）的图象与直线的交点个数为3．
故选：C．
8．（5分）已知正实数a，b，c满足2a﹣a，3b﹣b，4c﹣c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【分析】由题意可知，函数y＝x与函数y＝2x﹣2的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为a，同理，函
数y＝x与函数y＝3x﹣3的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为b，函数y＝x与函数y＝4x﹣4的图象
在（0，+∞）上交点的横坐标为c，在同一个平面直角坐标系中画出4个函数的图象，数形结合求解
即可．
【解答】解：由2a﹣a得，22a﹣a，
∴，
∴函数y＝x与函数y＝2x﹣2的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为a，
同理，函数y＝x与函数y＝3x﹣3的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为b，
函数y＝x与函数y＝4x﹣4的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为c，
在同一个平面直角坐标系中画出函数函数y＝x，y＝2x﹣2，y＝3x﹣3，y＝4x﹣4的图象，如图所示：
第9页（共21页）由图可知，c＜b＜a．
故选：A．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）.
（多选）9．（6分）如图，六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的
是（ ）
A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF
【分析】A，B中，由正六边形的性质及线面垂直的判定定理，判断出 A，B的真假；C，D中，由线
面平行的判定定理，可判断出C，D的真假．
【解答】解：A中，六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，
若CF⊥平面PAD，由AD 平面PAD，则CF⊥AD，
可得四边形ACDF为正方形⊂，即AC＝CD＝BC＝AB，
则△ABC为等边三角形，则∠ABC＝60°，
这与∠ABC＝120°相矛盾，所以CF与平面PAD不垂直，故A不正确；
B中，因为PA⊥平面ABC，DF 平面ABC，则PA⊥DF，
且AF⊥DF，AF∩PA＝A，AF，⊂PA 平面PAF，
所以DF⊥平面PAF，故B正确； ⊂
C中，由正六边形的性质可知：CF∥AB，
且CF 平面PAB，AB 平面PAB，可得CF∥平面PAB，故C正确；
D中，⊄因为六棱锥P﹣⊂ABCDEF的底面是正六边形，则CD∥AF，
且CD 平面PAF，AF 平面PAF，可得CD∥平面PAF，故D正确．
故选：⊄BCD． ⊂
第10页（共21页）（多选）10．（6分）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是
平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成
熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口 ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边
界）的动点，则（ ）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据CE⊥EF结合投影向量
的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解．
【解答】解：已知正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，
对于选项A：因为，
故A正确；
对于选项C：由题意可知：CE⊥EF，
若P为EF的中点，
所以在上的投影向量为，
故C错误；
对于选项BD：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
第11页（共21页）可得，
所以，
故B错误；
设P（x，y），可知，
则，
可得，
则，
可知当，即点P与点D重合时，的最大值为，
故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（6分）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点
分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p＝1，则下列说法正确的是（
）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上两点间距离的最大值为
C．动直线x+y＝t（t R）被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
D．四叶图的面积大于∈ 4且小于8
【分析】对于A，由题意可得C：y2＝2x可求得逆时针旋转90°的抛物线方程判断A；
第12页（共21页）对于B，逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线为x2＝2y，y2＝﹣2x，x2＝﹣2y，根据对称性可
知，（2，2）到（﹣2，2）的距离即是最大，计算可判断B；
对于C，分别求出抛物线x2＝2y与抛物线y2＝2x斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断
C；
对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断．
【解答】解：由逆时针旋转90°所得的曲线为x2＝2y，A正确；
由题知，C：y2＝2x，
逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线为x2＝2y，y2＝﹣2x，x2＝﹣2y，
联立，解得或，
根据对称性可知，（2，2）到（﹣2，2）的距离即是最大，且为2，B错误；
如图，设直线x+y＝t与第一象限叶子分别交于M，N，
由，解得（舍去）或，
由，解得或（舍去），
即，﹣1），N（﹣1，1+t），
则弦长，
由图知，直线x+y＝t经过点A时t取最大值4，
经过点O时，t取最小值0，即在第一象限部分满足0＜t≤4，
不妨设，则2＜ ≤6，且，
代入得，|MN|| |μ|（）2|，
所以当 ＝4时μ，|MN|最大，且为，C正确．
μ
如图，
第13页（共21页）由图像可知，四叶图的面积小于由各曲线交点围成的正方形面积的一半，
即四叶图的面积小于，
根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值，
如图，
在抛物线，（x≥0）上取一点P，使过点P的切线与直线OA平行，
由y＝x＝1可得切点坐标为，因l ：x﹣y＝0，
OA
则点P到直线OA的距离为，
于是，由图知，半个花瓣的面积必大于，
故原图中的阴影部分面积必大于，
综上四叶图的面积大于4且小于8，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若a ，a 是方程x2﹣8x+5＝0的两根，则S ＝ 5 2 ．
n n 6 8 13
【分析】根据韦达定理，结合等差数列的性质和前n项和公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，a +a ＝8，
6 8
由等差数列的性质可知，a +a ＝a +a ＝8，
1 13 6 8
第14页（共21页）所以．
故答案为：52．
13．（5分）已知，则cos2 ＝ ．
【分析】切化弦，然后整α理可得sin ，再利用倍角公式计算即可．
【解答】解：由tan ， α
得（7﹣sin ）sin ＝α6cos2 ＝6（1﹣sin2 ），
解得sin ＝α﹣2（α舍），或α， α
所以． α
故答案为：．
14．（5分）设 为随机变量，从棱长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时， ＝0；当两条
棱异面时， ＝ξ 1；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离，则数学期望E ＝ ．ξ
【分析】从ξ棱长为1的正方体的12条ξ棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相ξ交，则交点必为正方体
8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，
其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望E ．
【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体ξ8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有8对相交棱，
∴P（ ＝0），
若两条ξ棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，
∴P（ ），
P（ ＝ξ1）＝1﹣P（ ＝0）﹣P（ ），
∴随ξ机变量 的数学ξ期望E（ ）＝ξ 1．
故答案为：．ξ ξ
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（13分）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，
150]，（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若
AQI＞100，称当天空气质量不达标．
（1）求a；
（2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；
（3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值 ＝0.1的
独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ α
月份 空气质量 合计
第15页（共21页）达标 不达标
4月
6月
合计
附：χ2，
0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
α
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，即可求解；
（2）根据古典概型的概率公式，对立事件的概率计算公式，即可求解；
（3）先求出列联表，再计算卡方值进行判断，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得（a+0.006+0.01+a）×50＝1，解得a＝0.002；
（2）由频率分布直方图知：
4月份的空气质量达标的天数为：50×（0.002+0.006）×30＝12，
所以4月份的空气质量不达标的天数为：30﹣12＝18，
所以从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为1；
（3）列联表如下：
月份 空气质量
达标 不达标
4月 12 18
6月 8 22
合计 20 40
假设H ：空气质量是否达标与月份无关，
0
则χ21.2＜2.706，
所以根据小概率值 ＝0.1，没有充分理由推断H 不成立，
0
所以不能认为空气质α量是否达标与月份有关联．
16．（15分）已知数列{a
n
}中，a
1
＝4，a
n
＝a
n﹣1
+2n﹣1+3（n≥2，n N*）．
第16页（共21页） ∈（1）证明数列{a ﹣2n}是等差数列，并求{a }的通项公式；
n n
（2）设b ，求b 的前n项和S ．
n n n
【分析】（1）利用已知条件转化推出是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式．
（2）化简b ，然后利用错位相减法求和求解即可．
n
【解答】解：（1）证明：当n≥2时，，
∴，
又a ＝4，∴a ﹣2＝2，
1 1
故是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴，
∴．
（2），
∴，
令，①
则，②
①﹣②得：，
，
∴．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD的中点，BE⊥平面PAD，PA⊥AD，BE∥CD，PA＝
AE＝BE＝2，CD＝1．
（1）若平面PCD∩平面PBE＝l，求证：CD∥l；
（2）求平面CPB与平面PBE夹角的余弦值．
【分析】（1）根据BE∥CD由线面平行的判定定理得到线面平行，再根据线面平行的性质定理得到线
线平行；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面CPB与平面PBE的法向量，进而求得夹角的余弦值即可．
【解答】解：（1）证明：BE∥CD，且CD 面PBE，BE 面PBE，故CD∥面PBE，
又因为CD 面PCD，面PCD∩面PBE＝l，⊄故可以证得C⊂D∥l；
（2）取PD⊂的中点F，连接FE，易知PA∥FE，
第17页（共21页）又因为PA⊥AD，故FE⊥AD，
建立空间直角坐标系，如图所示：
C（1，2，0），P（0，﹣2，2），B（2，0，0），E（0，0，0），
，
设平面CPB的法向量为，
则，，
令b＝1，则，
同理可得平面PBE的法向量为，
所以，
即平面CPB与平面PBE夹角的余弦值为．
18．（17分）已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点P（x ，y ）为椭圆在第一象限内一点．
0 0
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为B，线段AP交y轴于点C，线段BP交x轴于点D，若△PAB的
面积是△PCD的6倍，求P点的坐标；
（3）点P关于原点的对称点为Q，点R（x ，0），点T为PR中点，QT的延长线交椭圆于点S，当
0
∠QPS最大时，求直线PQ方程．
【分析】（1）根据题意列出方程组求出a，b得解；
（2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于P点的坐标的方程，求解即可；
（3）利用直线PS，QS斜率之积为常数，转化为PS，PQ斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及
基本不等式求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆的短轴长为2，且过点，
所以，所以a＝2，
因此椭圆方程为：．
（2）如图，
第18页（共21页）设P（x ，y ），那么，
0 0
对，令，
，
因此根据相似三角形性质可得：，
因此，
又由于，因此，y ＞0，
0
解得或，因此对应的x 分别为或，
0
因此或．
（3）设S（m，n），
那么，
那么．
又由于，
因此，那么，
设，直线PQ倾斜角为 ，直线PS倾斜角为 ，
因此∠QPS＝ ﹣ ， β α
那么， α β
由于，因此，此时，
因此QP：．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）＝f（x﹣1）﹣m在定义域内有两个不同零点，求实数m的取值范围；
（3）若F（x）＝（x﹣1）ex﹣f（x）， x ，x （0，+∞）且x ≠x ，有恒成立，求实数a的取值范
1 2 1 2
围． ∀ ∈
【分析】（1）结合导函数求解切线方程即可．
（2）根据函数g（x）＝f（x﹣1）﹣m＝（x﹣1）ln（x﹣1）﹣m（x＞1）有两个不同零点，那么即为
方程（x﹣1）ln（x﹣1）＝m（x＞1）有两个不同的实数解，通过构造函数求解即可．
（3）设x ＞x ＞0，通过构造函数结合x的取值不同分类讨论求解即可．
1 2
第19页（共21页）【解答】解：（1）f（x）＝xlnx（x＞0），
则f′（x）＝lnx+1，
∵切点（1，f（1））即（1.0）．
∴切线的斜率k＝f′（1）＝1，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣y﹣1＝0．
（2）由函数g（x）＝f（x﹣1）﹣m＝（x﹣1）ln（x﹣1）﹣m（x＞1）有两个不同零点，
则方程（x﹣1）ln（x﹣1）＝m（x＞1）有两个不同的实数解，
即函数G（x）＝（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞1）与y＝m有两个不同的交点，
G′（x）＝ln（x﹣1）+1，
令G′（x）＝ln（x﹣1）+1＝0，得，
当时，G′（x）＞0，所以函数G（x）在上单调递增，
当时，G′（x）＜0，所以函数G（x）在上单调递减，
，又因为x→1时G（x）→0，x→+∞时G（x）→+∞，
故如图使得函数G（x）＝（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞1）与y＝m有两个不同的交点，
∴，故实数m的取值范围是．
（3）不妨设x ＞x ＞0，
1 2
则不等式可化为，
∴，设，
由已知可得在（0，+∞）上单调递增，
∴F′（x）﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴xex﹣lnx﹣1﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴在（0，+∞）上恒成立，
设，则，
设 （x）＝x2ex+lnx，则，
∴函φ数 （x）＝x2ex+lnx在（0，+∞）上单调递增，
又 （1φ）＝e＞0，，
φ
第20页（共21页）∴存在，满足 （x ）＝0，
0
即，所以， φ
设 （x）＝xex（x＞0），则 '（x）＝xex+ex＞0，
∴μ（x）＝xex在（0，+∞）上μ 单调递增，又∴，
．μ
∴当x＞x 时， （x）＞0，h′（x）＞0，函数在（x ，+∞）上单调递增，
0 0
当0＜x＜x
0
时，φ （x）＜0，h′（x）＜0，函数在（0，x
0
）上单调递减，
∴，又与， φ
∴，
∴a≤1，所以实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
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