文档内容
2025-2026 学年河南省部分学校高三（上）第四次联考数学试卷（1 月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则
U
（A∪B）＝（ ）
A．{1，3，4} B．{1，2，3} C．{4} D．∁{2，4}
2．（5分）若复数 为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．3 =1+ B2．+ 5 C．﹣3 D．﹣5
3．（5分）函数f（x）＝2cosx的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）“sin ＝sin ”是“cos ＝cos ”的（ ）
A．充分不必α要条件β α β
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选
择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ）
A．120种 B．144种 C．240种 D．288种
第1页（共20页）6．（5分）已知直线l：x﹣y+m＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，与圆N：（x+1）2+（y﹣3）2＝4交
于C，D两点，且|AB|＝|CD|，则m＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（5分）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数
列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒
子最少是（ ）
A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克
8．（5分）已知直线a与平面 所成的角为 ，直线b与直线a垂直，则直线b与平面 所成角的取值范围
为（ ） α α
4
A． ， B． ， C． ， D． ，
[0 ] (0 ] (0 ] [0 ]
二、选择题：4 本题共3小题，每小4题6分，共18分．在每2 小题给出的选项中，2有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知数列{an}的前n项和 ，则（ ）
A．a1 ＝1 =1−2
B．a2 ＝﹣2
C．
−1
D．
数
列=−2
的前n项和
1 1
{ } =−2+ −1
（多选）10． （ 6分）某三角图标如图所2示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知
AB＝BF＝1，则（ ）
A．
→ → →
1 1
= +
2 4
B．
→ →
⋅ =8
C．设P为△ABC内一点（含边界）， 的最小值为6
→ →
⋅
第2页（共20页）D．设O为等腰梯形CDHI内一点（含边界），若 ，则 的取值范围为[1，2]
→ → →
（多选）11．（6分）已知函数f（x）是定义在（0，+ ∞ =）上 的 可−导 函数，λ下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则x＝1是f（x）的极值点
1
( )= ( )
B．若f（x）在（ 0，1）上单调递增，则函数 在（1，+∞）上单调递减
1
( )
C．若函数 在（0，1）上单调 递增，则g（x）在（1，+∞）上单调递减
1
( )= ( )+ ( )
D．若f（x）在（0，1）上单 调递增，在（1，+∞）上单调递减，则函数 在（0，1）上
1
单调递增，在（1，+∞）上单调递减 = ( )+ ( )
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）若函数（f x）＝tan（x﹣ ）（0≤ ＜ ）在 ， 上单调递增，则 ＝ ．
2
φ φ π (− ) φ
3 3
13．（5分）已知函数 ＞ 没有零点，则a＝ ．
( )= −1( 0)
14．（5分）已知双曲线 ： ＞，＞ 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，以F2 为焦点的抛物线
2 2
y2＝2px（p＞0）与双曲 线C
2在−第
2一=象1限( 交于0 点 P，0若) 6|PF2|＝5|F1F2|，则双曲线C的离心率e＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知椭圆 ： ＞＞ 的右焦点为F（1，0），离心率为 ．
2 2
1
（1）求C的方程；
2+
2 =1( 0)
2
（2）若直线x＝my+4与C交于A，B两点，与x轴交于点P，且B是AP的中点，求m的值．
16．（15分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AB＝AC，E是AD的中
点．
（1）证明：CE⊥BD．
（2）求二面角E﹣BC﹣D的正弦值．
17．（15分）如图，在边长为2的等边△ABC中，P为△ABC内一点，∠BPC＝120°．
（1）若PB＝1，求△BCP的面积；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA的值．
第3页（共20页）18．（17分）甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行
下一局对打．假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立．
（1）求前三局中甲恰好参与了两局的概率；
（2）求第n局有甲参与的概率；
（3）求第n局是甲、乙对打的概率．
19．（17分）（1）求函数y＝sinx（cosx﹣1）的单调递增区间；
（2）若存在 使得对任意 ，都有cos（ + ）（cos ﹣1）≤b，求b的最小值；
（3）已知 β ， α ，且 α +2 β≤ ，求β cos（ + ）（cos ﹣1）的最值．
0≤ ≤ 0≤ ≤ α β π α β β
2
第4页（共20页）2025-2026 学年河南省部分学校高三（上）第四次联考数学试卷（1 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A D C C C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD ACD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则
U
（A∪B）＝（ ）
A．{1，3，4} B．{1，2，3} C．{4} D．∁{2，4}
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，
∴A∪B＝{1，2，3}，
∵全集U＝{1，2，3，4}，
∴
U
（A∪B）＝{4}．
故选∁ ：C．
2．（5分）若复数 为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．3 =1+ B2．+ 5 C．﹣3 D．﹣5
【分析】由复数的除法可得 且为纯虚数，即可求解．
2
=1+ +
【解答】解：由复数 5 5 为纯虚数，
(2− ) 2
=1+ =1+ =1+ +
可得 ，即a＝﹣5．2+ 5 5 5
1+ =0
故选：D．5
3．（5分）函数f（x）＝2cosx的部分图象大致为（ ）
第5页（共20页）A．
B．
C．
D．
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝2cosx的定义域为R，且f（﹣x）＝2cos（﹣x）＝2cosx＝f（x），
可知函数f（x）为偶函数，故BC错误；
又cosx [﹣1，1]，则 ， ，故D错误．
1
故选：A ∈． ( )= 2 ∈[ 2 2]
4．（5分）“sin ＝sin ”是“cos ＝cos ”的（ ）
A．充分不必α要条件β α β
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据sin ＝sin ，可得 ， 的关系，根据cos ＝cos ，可得 ， 的关系，根据充分、必要条件
的定义，分析即可α得答案β ． α β α β α β
【解答】解：若sin ＝sin ，则 ＝ +2k 或 + ＝ +2k ，k Z，
若cos ＝cos ，则 α＝ +2βk 或 α+ ＝β2k π，kαZβ， π π ∈
即sinα＝sin β成立时α，βcos ＝π coαs β不一定π成立∈，反之也不成立，
所以“αsin ＝βsin ”是“coαs ＝coβs ”的既不充分也不必要条件．
α β α β
第6页（共20页）故选：D．
5．（5分）某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选
择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ）
A．120种 B．144种 C．240种 D．288种
【分析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，将这两天视
为一个整体，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，即可求解．
【解答】解：已知食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐
中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，
则小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，然后将4种不同的套餐安排在这
两天和另外3天中，
则不同的方案共有 种．
2 4
故选：C． 5 4 =240
6．（5分）已知直线l：x﹣y+m＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，与圆N：（x+1）2+（y﹣3）2＝4交
于C，D两点，且|AB|＝|CD|，则m＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用两点间距离公式求出|AB|，利用圆心到直线的距离和半径可以求出|CD|，由|AB|＝|CD|计算
即可．
【解答】解：由题意直线l：x﹣y+m＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，得A（﹣m，0），B（0，m），
∴ ，
2 2
圆|N 的|方=程(为−： （−x+01)）2++（(0y−﹣ 3）) 2=＝4，2| |
∴圆心N的坐标为（﹣1，3），半径为r＝2，
∴圆心N到直线l：x﹣y+m＝0的距离为：
，
|−1−3+ | |−4+ |
= =
由垂径定理2 可得： 2 ，
2
2 2 2 |−4+ | 2
又∵|AB|＝|CD|， | |=2 2 − =2 2 −( 2 ) =2 − 2 +4 −4
∴ ，
2
解得2：| m|＝=22．−
2
+4 −4
故选：C．
7．（5分）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数
第7页（共20页）列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒
子最少是（ ）
A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克
【分析】设等差数列及公差，根据题意及等差数列的性质建立不等式求得首项与公差的不等式，根据等
差数列前n项和公式求得首项与公差的等式，将等式代入不等式后解得首项的最小值，即可得出答案．
【解答】解：设该等差数列为{an}，公差为d，d＜0，
则a1+a2+a3 ≥2（a8+a9+a10 ），
由等差中项可知3a2 ≥2×3a9 ，
∴a1+d≥2（a1+8d），∴a1 ≤﹣15d，
又∵ ，
10(10−1)
10 =10 1+ =10 1+45 =35
即2a1+9d＝7，则 2 ，
7−2 1
=
∴ 9 ，
7−2 1
∴ 9a 1 1 ≤≤−﹣1 1 5 0 5+ = 3 − 0a 1 1 5，×∴﹣921a1 ≤﹣105，
∴ ，
105
∴ 质 1 量≥最2重1 的=盒5 子最少是5千克．
故选：C．
8．（5分）已知直线a与平面 所成的角为 ，直线b与直线a垂直，则直线b与平面 所成角的取值范围
为（ ） α α
4
A． ， B． ， C． ， D． ，
[0 ] (0 ] (0 ] [0 ]
【分析】根4 据直线与平面所成的4角是直线与平面内所有2直线所成角的最小角，2再根据直线与平面所成角
的范围即可判断．
【解答】解：如图：
第8页（共20页）由图AC⊥BC，AC＝BC，平面ABC⊥平面ABB1A1 ，
平面ABC∩平面ABB1A1 ＝AB，直线AC，BC在平面ABB1A1 内的投影是直线AB，
因此直线AC，BC与平面ABB1A1 所成的角都是 ，
由CC1 ⊥平面ABC，AC 平面ABC，得AC⊥CC41 ，而CC1 ∩BC＝C，
CC1 ，BC 平面BB1C1C，⊂因此AC⊥平面BB1C1C，
不妨设直⊂线AC为直线a，平面ABB1A1 为平面 ，直线b在平面BB1C1C内，
此时满足直线a与平面 所成的角为 ，直线b与α 直线a垂直，
α
当b与BC平行或重合时，直线b与4平面 所成的角取得最大值为 ，
α
当b与CC1 平行或重合时，直线b与平面 所成的角取得最小值为 40，
所以直线b与平面 所成角的取值范围为 α， ．
α [0 ]
故选：A． 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知数列{an}的前n项和 ，则（ ）
A．a1 ＝1 =1−2
B．a2 ＝﹣2
C．
−1
D．
数
列=−2
的前n项和
1 1
{ } =−2+ −1
【分析】由 数列前n项和Sn 与数列2 an 的关系求得通项公式，即可判断ABC选项，从而得到数列
1
{ }
的通项公式，通过等比数列的前n项和求得Tn ．
第9页（共20页）【解答】解：由数列{an}的前n项和 ，
当n＝1时， ， 故 =A1错−误2；
1
由a2 ＝S2 ﹣S1 ＝1 =（ 1 1﹣=4）1−﹣2（1=﹣−21）＝﹣2，故B正确；
当n≥2时， ，
−1 −1
验证，当n＝ 1 时=， − −1 =1−2 −1+，2即有=−2 ，故C正确；
1−1 −1
由 ，可得
1 =−2 =−1= 1 =−2
，
1
1 1− −1 −2 1− −1×(1−(2) ) 1
=− 2 =−1−2 −2 −⋯−2 = 1 =−2+ −1
故 D 正确． 1−2 2
故选：BCD．
（多选）10．（6分）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知
AB＝BF＝1，则（ ）
A．
→ → →
1 1
= +
2 4
B．
→ →
⋅ =8
C．设P为△ABC内一点（含边界）， 的最小值为6
→ →
⋅
D．设O为等腰梯形CDHI内一点（含边界），若 ，则 的取值范围为[1，2]
→ → →
【分析】延长AC交EF于点M，则有FM＝2，M E ＝=1， 利 用−向 量的线λ性运算判断A；由平面数量积的
运算判断B；利用 在 上投影向量的最小模长，求 的最小值判断C；过点C作直线AF的平
→ → → →
行线，分别交GE， HE 于 点T，N，由向量的运算可知 点 O⋅ 在 线段CN上，可求 的取值范围判断D．
【解答】解：因为某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等λ边三角形拼成，AB＝
BF＝1，
所以逐一分析各个选项如下：
对A，延长AC交EF于点M，易知△AFM是等边三角形，有FM＝2，
四边形CDEM是平行四边形，ME＝1，
第10页（共20页），故A正确；
→ → → → → → →
2 1 1 1
对 B =， 由 + A可 知=，3△ GE + H3是 边=长2为 4 +的4等 边 三角形，
，故B错误．
→ → → → → → → → →
1 1 1 1 1 1 1
⋅ =( + )⋅ = ⋅ + ⋅ = ×4×4+ ×4×4× =10
对C， 在2 上的4投影向量的模2长的最小值4为 ， 2 4 ，故C正2确．
→ → → →
3 3
⋅ ≥ ×4=6
对D，因为O为等腰梯形CDHI内一点（含边界2），若 2 ，
→ → →
过点C作直线AF的平行线，分别交GE，HE于点T， N ．= −
因为 ，点O在线段CN上，
→ → → → →
当点 O 与=点 C 重−合 时=， ＝ 1+，
当点O与点N重合时，λ＝2，所以 的取值范围为[1，2]，故D正确．
故选：ACD． λ λ
（多选）11．（6分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则x＝1是f（x）的极值点
1
( )= ( )
B．若f（x）在（ 0，1）上单调递增，则函数 在（1，+∞）上单调递减
1
( )
C．若函数 在（0，1）上单调 递增，则g（x）在（1，+∞）上单调递减
1
( )= ( )+ ( )
D．若f（x）在（0，1）上单 调递增，在（1，+∞）上单调递减，则函数 在（0，1）上
1
单调递增，在（1，+∞）上单调递减 = ( )+ ( )
【分析】由函数f（x）为常数函数即可判断A；先由函数单调性得到x （0，1）时f′（x）≥0，再分
∈
析x （1，+∞）时函数 的导数即可判断B；由题意得 以及x （0，1）时g′（x）≥0，
1 1
∈ ( ) ( )= ( ) ∈
进而得到x （1，+∞）时 ，进而 即可求解判断C；由题意得到x （0，1）
1 1
时f′（x）∈≥0，x （1，′ +∞(
）)时≥
f
0′（x）′ ≤(
0
，)=分[析 (导
函′)]数≤
y
0′并结合选项C即可求解判断D ∈．
∈
第11页（共20页）【解答】解：对于A，若f（x）为常数函数，则满足 ，但x＝1不是f（x）的极值点，故A
1
错误； ( )= ( )
对于B，若f（x）在（0，1）上单调递增，则当x （0，1）时，f′（x）≥0，
∈
又x （1，+∞）时， ， ，所以 ，所以 ，
1 1 1 1 1
∈ ∈ (0 1) ′ ( )≥ 0 [ ( ′)] =− 2′ ( )≤ 0
所以函数 在（1， +∞）上单调递减，故 B正确；
1
( )
对于C，由 g（x）＝f（x）+f（ ），可得 ，
1 1
( )= ( )
若g（x）在（0，1）上单调递增 ，则 ，
1 1 1
′ ( )=′ ( )+[ ( ′)] =′ ( )− 2′ ( )≥ 0
则当x （1，+∞）时， ， ， ，则 ，
1 1 1 1 1
所以g ∈（x）在（1，+∞） 上∈ 单(0调1递)减′ ，(故 ) C ≥正0确；′ ( )=[ ( ′)] =− 2′ ( )≤ 0
对于D，若f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则x （0，1）时f′（x）≥0，x （1，+∞）时f′（x）≤0， ，
1 1
∈ ∈ ′ =′ ( )− 2′ ( )
当x （0，1）时 ， ，则 ，则 ，
1 1 1 1
∈ ∈ (1 + ∞) ′ ( )≤0 ′ =′ ( )− 2′ ( )≥0
所以函数 在（0，1）上单 调递增，由选项C得函 数 在（1，+∞）上单
1 1
调递减，故 = D 正( 确)+． ( ) = ( )+ ( )
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）若函数f（x）＝tan（x﹣ ）（0≤ ＜ ）在 ， 上单调递增，则 ＝ ．
2
φ φ π (− ) φ
【分析】由题意得 ，结合 范围求解．3 3 6
− − =− + φ
3 2
【解答】解：因为T＝ ，f（x）在 ， 上单调递增， ，
2 2
π (− ) − ( − ) =
所以 ，k Z，解得 3 3 ，k Z， 3 3
− − =− + ∈ = − ∈
因为0≤3 ＜ ，所2以 ． 6
φ π =
故答案为： ． 6
13．（5分）已知6 函数 ＞ 没有零点，则a＝ 1 ．
【分析】把零点问 题( 转)化=成 方−程1的( 根的0)问题，再分类解方程可得答案．
第12页（共20页）【解答】解： （a＞0）没有零点，即 无解，
( )= −1 =1
整理得 ，取对数得 ，
1 1
= = ( ) =−
当a≠1时， lna≠0，根据 ，
=−
那么可得 ，方程有 解，不符合题意；
=−
当a＝1时，方程变为 ，所以 ，方程无解，因此函数没有零点．
1
1
综上，a＝1． =1
= 0
故答案为：1．
14．（5分）已知双曲线 ： ＞，＞ 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，以F2 为焦点的抛物线
2 2
y2＝2px（p＞0）与双曲 线 C 2−在 第2一=象1(限 交0于点 P 0，)若6|PF2|＝5|F1F2|，则双曲线C的离心率e＝ 3 ．
【分析】先求出抛物线方程为y2＝4cx，设点P的坐标为（m，n），n＞0，求出 ，及 ，
2 2 6
= =
在Rt△PHF2 中， ，即可求解． 3 3
2 6 2 5 2 5 2
【解答】解：如图(所示：) +( ) =( +2 )
3 3 3
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2 （c，0），准线方程为x＝﹣c，
则 ，得p＝2c，得抛物线方程为y2＝4cx，
设抛
2
= 物线 y2＝4cx与双曲线C在第一象限交于点P的坐标为（m，n），n＞0，
过点P作PH⊥准线，交准线于点H，则|PF2|＝m+c，
由6|PF2|＝5|F1F2|，得6（m+c）＝5×2c，得 ，
2
=
3
再由n2＝4cm及n＞0，解得 ，
2 6
=
由|PF1|﹣|PF2|＝2a，得 3 ，
2 5
| 1|= 2 +| 2|=2 + + =2 +
3 3
在Rt△PHF2 中， ，
2 6 2 5 2 5 2
整理得2c2﹣5ac﹣( 3a2 3 ＝0 )，+得( 23e2)﹣= 5e (﹣33＝+ 0 2， )
第13页（共20页）即（2e+1）（e﹣3）＝0，解得e＝3或e （舍）．
1
故答案为：3． =− 2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知椭圆 ： ＞＞ 的右焦点为F（1，0），离心率为 ．
2 2
1
（1）求C的方程；
2+
2 =1( 0)
2
（2）若直线x＝my+4与C交于A，B两点，与x轴交于点P，且B是AP的中点，求m的值．
【分析】（1）根据题意求得a，b，c，代入即可求解；
（2）设A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），直线与椭圆联立方程组可得 ， ，由
24 36
1+ 2 =− 2 1 2 = 2
B是AP的中点，得y1 ＝2y2 ，代入计算即可求解． 3 +4 3 +4
【解答】解：（1）由题意可得 ，
=1
1
=
2
解得a2＝4，b2＝3， 2 2 2
= +
因此C的方程为 ；
2 2
（2）设A（x1 ，y 41 ）+，B 3 （=x2 ，1 y2 ），
由 ，得（3m2+4）y2+24my+36＝0，
2 2
+ =1
4 3
Δ＝ （=2 4m ）+24﹣4×（3m2+4）×36＞0，解得m＞2或m＜﹣2，
则 ①， ②．
24 36
1+ 2 =− 2 1 2 = 2
因为B是AP的3 中点+4，因此y1 ＝2y32 ， +4
结合①解得 ， ，
8 16
代入②，且满 2 足=− m＞3 2 2或+4m＜ 1 ﹣= 2 −，3 2 +4
因此m的值为 ．
6 5
±
5
16．（15分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AB＝AC，E是AD的中
第14页（共20页）点．
（1）证明：CE⊥BD．
（2）求二面角E﹣BC﹣D的正弦值．
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得到线面垂直即可得到线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后由二面角的向量求法求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为AB⊥平面ACD，CE 平面ACD，所以AB⊥CE．
在等边△ACD中，E是AD的中点，所以CE⊥AD，⊂
因为AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABD，
所以CE⊥平面ABD， ⊂
因为BD 平面ABD，
所以CE⊥⊂BD；
（2）不妨设AB＝AC＝2，AB⊥平面ACD，AB 平面ABC，
则平面ACD⊥平面ABC，在等边△ACD中，作⊂DO⊥AC，则DO⊥平面ABC，
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（0，2，0）， ，， ， ， ， ，
1 3
(0 1 3) (0 )
所以 ，， ， ， ， ， 2 2，， ，
→ → →
1 3
=(−2 2 0) =(−2 ) =(−2 1 3)
设平面BCE的法向量为 ， ，2 ， 2
→
=( 1 1 1)
则 → → ，则 → → ，
⋅ =−2 1+2 1 =0
→ ⊥ → → →
1 3
⊥ ⋅ =−2 1+ 1+ 1 =0
取x1 ＝1，得 ，， ， 2 2
→
=(1 1 3)
第15页（共20页）设平面BCD的法向量为 ， ， ，
→
=( 2 2 2)
则 ，则 ，
→ → → →
→ ⊥ → → ⋅ → =−2 2+2 2 =0
⊥ ⋅ =−2 2+ 2+ 3 2 =0
取x2 ＝1，得 ，， ，
→
3
=(1 1 )
3
又 ＜ ，＞ ，
→ →
→ →
⋅ 1+1+1 3 105
= → → = 1=
35
| || | 1+1+3× 1+1+3
所以 ＜ ， ＞ ，所以二面角E﹣BC﹣D的正弦值为 ．
→ → 2 70 2 70
17．（15 分 ） 如图 ，在=边长
35
为2的等边△ABC中，P为△ABC内一点
35
，∠BPC＝120°．
（1）若PB＝1，求△BCP的面积；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA的值．
【分析】（1）在△BCP中，由余弦定理求得PC，然后由三角形面积公式求得△BCP的面积；
（2）设∠PBA＝ ，通过三角形内角关系求得∠BCP，在△PBC中由正弦定理用 表示出边PB长，在
△APB中先求得∠αPAB，再由正弦定理建立方程，整理方程后求得tan ，即可求得α结果．
【解答】解：（1）在△BCP中，∠BPC＝120°，PB＝1， α
由余弦定理得 ，
2 2 2
+ −
∠ =
即 ，即PC2+P 2 C ﹣ ⋅ 3 ＝ 0，
2
1 1+ −4
− =
解得2 2 （负值已舍去），
13−1
=
可得 2 ；
1 1 13−1 3 39− 3
（2） 设 △ ∠ P=BA2 ＝ ，⋅ 在 正 三∠ 角 形 =中
2
∠×AB1C×＝602 °，×
2
=
8
可得∠PBC＝60°α﹣ ，
所以∠BCP＝180°﹣α∠BPC﹣∠PBC＝ ，
α
在△PBC中，BC＝2，由正弦定理 ，
=
∠ 第 16页 （ ∠共 20 页）可得PB sin
∠ 2 4 3
在△APB = 中， ∠∠ PA B ＝ = 180° 2 3 ﹣∠ = AP3B﹣∠ α PBA＝30°﹣ ，
α
由正弦定理 ，
=
∠ ∠
即 ，
4 3
2 3
1 =
(30°− )
2
所以 ，
3
(30°− )=
展开整理可得 3 ，即tan ．
1 5 3 3
= α=
即 2 ． 6 5
3
18．（ 1 7 分∠ ） 甲=、乙 5 、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行
下一局对打．假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立．
（1）求前三局中甲恰好参与了两局的概率；
（2）求第n局有甲参与的概率；
（3）求第n局是甲、乙对打的概率．
【分析】（1）分两种情况：甲第二局轮空和甲第三局轮空，分别求出对应的概率然后求和即可．
（2）记第n局有甲参与的概率为Pn ，则第n+1局有甲参与的概率为Pn+1 ，然后根据题意列出等式
+1−
，进而求出Pn 即可．
2 1 2
=− ( − )
3（3）记2 第n局3有丙参与的概率为Qn ，则第n+1局有丙参与的概率为Qn+1 ，然后列出等式
2
+1− =−
，进而求出Qn ，从而求出结果． 3
1 2
2【(解 答−】3解) ：（1）根据题意，设A＝“前三局中甲恰好参与了两局”，分两种情况讨论：
①甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为 ．
1
②甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为 2
1 1 1
× =
故P（A） ． 2 2 4
1 1 3
（2）根据=题意2 +，4记=第4n局有甲参与的概率为Pn ，则第n+1局有甲参与的概率为Pn+1
若第n局有甲参与，则第n+1局有甲参与的概率为 ；
1
若第n局没有甲参与，则第n+1局一定有甲参与，所2 以 ，
1
+1 = +(1− )
2
第17页（共20页）即 ，
2 1 2
+1− =− ( − )
因为P1 ＝3 1，所2以 3 ，故数列{Pn }是首项为 ，公比为 的等比数列，
2 1 2 1 1
1− = − −
故 3 ，3变形可得 3 3 ． 2
2 1 1 −1 1 1 −1 2
（ 3） −根3据=题3意×，(−第2n )局是甲、乙对打 ，=则3第× n (局−丙2 )轮空+，3
记第n局有丙参与的概率为Qn ，则第n+1局有丙参与的概率为Qn+1 ．
若第n局有丙参与，则第n+1局有丙参与的概率为 ；
1
若第n局没有丙参与，则第n+1局一定有丙参与，所2 以 ，
1
+1 = +(1− )
即 ． 2
2 1 2
+1− =− ( − )
因为Q1 ＝3 0，所2以 3 ，所以 ，即
2 2 2 2 1 −1 2 1 −1 2
1− =− − =− ×(− ) =− ×(− ) +
第n局是甲、乙对打的概3 率为3 3 3 2． 3 2 3
2 1 −1 1
19．（17分）（1）求函数y＝sinx（1 c − os x﹣ = 1）3的×单(−调2递)增区+间3；
（2）若存在 使得对任意 ，都有cos（ + ）（cos ﹣1）≤b，求b的最小值；
（3）已知 β ， α ，且 α +2 β≤ ，求β cos（ + ）（cos ﹣1）的最值．
0≤ ≤ 0≤ ≤ α β π α β β
【分析】（1）直接求导得y′＝（22cosx+1）（cosx﹣1），再令其大于0，解出即可；
（2）分cos ﹣1＝0和cos ﹣1＜0讨论即可；
β β
（3）求导得f′（ ）＝sin（ + ）﹣sin（ +2 ），再分 和 ＜ 讨论即可．
【解答】解：（1）y β ′＝cosx（ α co β sx﹣1）﹣s α in2x β ＝2cos2x﹣ 2c ≤ os x﹣ ≤ 1＝ （ 0 2c ≤ os x+1）2（cosx﹣1）．
令y′＞0，得 ＜ ，解得 ， ， ．
1 2 4
− ∈ ( +2 +2 ) ∈
故y＝sinx（cosx﹣1）的2单调递增区间3为 3， ．
2 4
（2）cos（ + ） [﹣1，1]，若cos ﹣1＝( 30，+则2 c os（3+ +）2（ co ) s ( ﹣∈ 1 ）)＝0．
若cos ﹣1＜α0β，则∈cos（ + ）（cosβ﹣1） [cos ﹣1，α1﹣βcos ]，β
所以cβos（ + ）（cos ﹣1α）β的最大值β 的最小∈值为β0，即b的最β小值为0．
（3）令函数α β β ， ，
( )= ( + )( −1) 0≤ ≤ −
f′（ ）＝sin（ + ）﹣sin（ +2 ）． 2 2
β α β α β
①当 时， ，sin（ + ）≥sin（ +2 ），
≤ ≤ ≤ + ≤ +2 ≤ α β α β
2 2
第18页（共20页）所以f′（ ）≥0，f（ ）在 ， 上单调递增．
β β [0 − ]
2 2 ．
( ) = ( − )= ( + − )[ ( − )−1]=− ( −1)
2 2 2 2 2 2 2 2
因为 ， ，
2
≤ ≤ ≤ ≤ 1
所以4 2 2 2 2 ，
2 2 2−1
( ) =− ( −1)≤− ×( −1)=
当且仅当 ， 2 时，2等号成立．2 2 2
= =
f（ ）
min
＝f（20）＝0．4
β
②当 ＜ 时，令f′（ ）＝0，得 + + +2 ＝ 或 + ＝ +2 ，即 或 ＝0．
−2
当 ＝0 0时≤， f（2 ）＝0． β α β α β π α β α β = 3 β
β β
当 ＜ 时，0≤ + ≤ +2 ≤ ﹣（ + ）≤ ，
−2
所以0 si n（≤ +3）≤sin（ α +2 β），α f′β（π）≤0 α．β π
α β α β β
当 ＜ ＜ 时，若 ，
−2
− 0≤ + ≤
则 3 2 ＜2 ，所以2 sin（ + ）＞sin（ +2 ）．
≤ − ( + ) +2 ≤ α β α β
若2＜ ，则 ＜ ＜ ，
所以 2 si n（+ + ≤） ＞sin（ 2 + 2 +）， 所 以+ f′2 （≤） ＞0，
α β α β β
故当 ＜ 时，f（ ）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
−2 −2
0≤ β [0 ] [ − ]
， 2 3 3 2 2 ，
1
(0)=0 ( − )= ( + − )[ ( − )−1]=− ( −1)≤
当且仅当 2 2，即 时，2等号2成立，2此时2 ， 2 2 4
1
= = =
故 2．2 3 3
1
( ) =
4
−2 −2 −2 + 2 +2
( ) = ( )= ( + )( −1)= [ ( − )−1]=−
3 3 ． 3 3 3
+ 2 +2 3 +
( +1)=−2
因为 3 ＜ ，3所以 ＜ ，3 ＜ ，
+ + 1
0≤ ≤ 0 ≤
2 3 3， 2 3 2
3 + 1
( ) =−2 ≥−
当且仅当 ＝0时，等3 号成立4，此时 ，
α =
3
第19页（共20页）因为 ＜ ，＞ ，所以cos（ + ）（cos ﹣1）的最大值为 ，最小值为 ．
2−1 1 1 1 1
0 − α β β −
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/60:17:23；用户：量神大数学；邮箱：18600601432；学号：50925141 2 4 4 4 4
第20页（共20页）
