文档内容
2025-2026学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|log
2
x⩽1}，B＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣3，2] B．（﹣3，1） C．（0，1） D．（1，2]
2．（5分）若等比数列{a }满足a ﹣a ＝1，a ﹣a ＝8，则a ＝（ ）
n 2 1 5 4 3
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．（5分）若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若复数z满足|z|＝|z﹣2|＝1，则z的虚部为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（5分）将一个表面积为S的铁球熔化后重新浇铸成两个小球（熔化的铁水无损耗，无残留），则这
两个小球的表面积之和可能是（ ）
A．0.95S B．S C．1.1S D．2S
6．（5分）已知随机变量X，Y满足X+Y＝1，若X～N（0，σ2），且P（|Y|＜1）＝0.2，则P（|Y﹣1|＜
2）＝（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
7．（5分）若函数f（x）＝（x+2）6﹣ax5﹣bx3﹣cx是偶函数，则b＝（ ）
A．0 B．20 C．120 D．160
8．（5分）设椭圆C：1（a＞b＞0）的中心为O，右顶点为A，若C上存在一点P满足PO⊥PA，则C的
离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知一组样本数据为80，81，83，85，86，89，则（ ）
A．若剔除80，则样本的极差变小
B．若剔除80，则样本的平均数变小
C．若剔除83，则样本的中位数变大
D．若剔除89，则样本的方差变小
（多选）10．（6分）如图，某石凳可以看作是正四棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，已知AB＝AD＝
第1页（共16页）2，AE＝3，BQ＝1，PG＝2，则（ ）
A．该几何体的体积为11
B．直线PQ与EH所成的角为45°
C．FH⊥PQ
D．点G到平面DPQ的距离是点B到平面DPQ的距离的2倍
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝sin3 x+cos3 x， ＞0，则（ ）
A． ω ω ω
B．x＝0为f（x）的极小值点
C．f（x）的值域为[﹣1，1]
D．若存在t R，使得{f（x）|t≤x≤t+1}＝{f（x）|x R}，则 的最小值为
三、填空题：本∈题共3小题，每小题5分，共15分。 ∈ ω
12．（5分）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝ ．
13．（5分）已知 （0，），sin（ ）＝sin2 ，则cos2 ＝ ．
14．（5分）已知数θ∈列{a n }满足：，则θ a 25 a 26 ＝θ θ ；记数列的前n项和为S n ，若S 25⩾m，则正整数
m的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）为调研某地民众对于“未来低空出行”的了解情况，用简单随机抽样的方法，从该地调查
了300位市民，统计得到如下列联表：
了解 不了解 合计
女 90 60 150
男 110 40 150
合计 200 100 300
（1）根据小概率值 ＝0.010的独立性检验，分析对“未来低空出行”了解情况是否与性别有关；
（2）在不了解“未来α低空出行”的100位市民中，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取5人，
再从这5人中随机选取3人去智能飞行器中心实地参观，设 X为女性市民的人数，求X的分布列与期
第2页（共16页）望．
附：，
0.050 0.010 0.001
xαa 3.841 6.635 10.828
16．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3ccosB＝3a﹣bsinC．
（1）求tanC；
（2）若D在边AB上，且CD＝b，BD＝1，tan∠DCB，求b．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝3，AD＝4，，0
＜ ＜1．
（λ1）当 时，证明：BQ∥平面PCD；
（2）已知λ 平面PAD⊥平面ABCD，PA＝CD＝2，PD＝2，平面QAB与平面QBC夹角的余弦值为，求
△QBC的面积．
18．（17分）设函数f（x）＝xln（a﹣x），a＞0．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）存在唯一极大值点；
（3）记f（x）的极大值点为x ，若存在a，使得f（x ）≤a+b，求b的取值范围．
0 0
19．（17分）已知抛物线E：y2＝2x，D （1，0），k ＝1， 为常数， ＞1．按照如下方式依次构造点
1 1
D n （n＝2，3，…）：过D n﹣1 作斜率为k n﹣1 （k n﹣1 ＞0）的直λ 线交E于λA n﹣1 ，B n﹣1 两点，使得|D n﹣1 A n﹣
1 |＝ |D n﹣1 B n﹣1 |，令D n 为线段A n﹣1 B n﹣1 的垂直平分线与x轴的交点，记D n 的坐标为（x n ，0）．
（1）λ 求 ；
（2）证明λ ：x
n
1；
（3）设S 为△A B D 的面积，证明：（2n+1）．
n n n n+1
第3页（共16页）2025-2026学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B C B D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD BD ACD
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|log
2
x⩽1}，B＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣3，2] B．（﹣3，1） C．（0，1） D．（1，2]
【分析】先求出集合A，B中不等式的解集，然后根据并集的定义计算即可．
【解答】解：由对数不等式性质得集合A＝{x|log x≤1}＝{x|0＜x≤2}，
2
由一元二次不等式性质得集合B＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，
∴由并集定义得A∪B＝（﹣3，2]．
故选：A．
2．（5分）若等比数列{a }满足a ﹣a ＝1，a ﹣a ＝8，则a ＝（ ）
n 2 1 5 4 3
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】根据等比数列的通项公式计算即可．
【解答】解：因为a ﹣a ＝1，a ﹣a ＝8，
2 1 5 4
则，即q＝2，所以a ﹣a ＝2a ﹣a ＝a ＝1．
2 1 1 1 1
所以a ＝4．
3
故选：D．
3．（5分）若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及单位向量的定义，即可求解．
【解答】解：设向量的夹角为 ， [0， ]，
， θ θ∈ π
第4页（共16页）则，
∵均为单位向量，
∴1+2×1×1×cos ＝0，解得cos，解得．
故选：C． θ
4．（5分）若复数z满足|z|＝|z﹣2|＝1，则z的虚部为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】设z＝a+bi，（a、b R），然后根据已知条件和模的公式求出a，b，进而确定结果．
【解答】解：设z＝a+bi，（∈a、b R），则a2+b2＝1＝（a﹣2）2+b2＝1，
解得a＝1，b＝0，所以z＝1，虚部∈为0．
故选：B．
5．（5分）将一个表面积为S的铁球熔化后重新浇铸成两个小球（熔化的铁水无损耗，无残留），则这
两个小球的表面积之和可能是（ ）
A．0.95S B．S C．1.1S D．2S
【分析】设大球半径为R，两个小球半径分别为r ，r ，得到，再根据基本不等式可得，即r +r ＞R，
1 2 1 2
进而得到，所以，进而得到当r ＝r 时，1.1S，即可选出正确选项．
1 2
【解答】解：设大球半径为R，两个小球半径分别为r ，r ，
1 2
大球表面积为S＝4 R2，大球体积，
两个小球体积分别为π，，且V＝V
1
+V
2
，
化简可得，
对于和，有，
又因为R3+3r r （r +r ），且r r ＞0，
1 2 1 2 1 2
所以，即r +r ＞R，
1 2
那么，所以，
两个小球的表面积之和，
由，可得，
当r ＝r 时，，，
1 2
此时1.1S．
故选：C．
6．（5分）已知随机变量X，Y满足X+Y＝1，若X～N（0，σ2），且P（|Y|＜1）＝0.2，则P（|Y﹣1|＜
2）＝（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
第5页（共16页）【分析】转化为以X为变量，再根据正态分布的性质求解即可．
【解答】解：因为随机变量X，Y满足X+Y＝1，X～N（0，σ2），
故Y＝1﹣X，
可得P（|Y|＜1）＝P（0＜X＜2）＝0.2，则P（|Y﹣1|＜2）＝P（﹣2＜X＜2）＝2×P（0＜X＜2）＝
0.4．
故选：B．
7．（5分）若函数f（x）＝（x+2）6﹣ax5﹣bx3﹣cx是偶函数，则b＝（ ）
A．0 B．20 C．120 D．160
【分析】由偶函数的性质知，f（x）的解析式中x的奇数次幂的系数一定为0，再结合二项展开式的通
项公式求解即可．
【解答】解：若函数f（x）＝（x+2）6﹣ax5﹣bx3﹣cx是偶函数，则x的奇数次幂的系数一定为0，
其中（x+2）6中含x3的项为160x3，
所以函数f（x）的解析式中含x3的项的系数为160﹣b，
令160﹣b＝0，则b＝160．
故选：D．
8．（5分）设椭圆C：1（a＞b＞0）的中心为O，右顶点为A，若C上存在一点P满足PO⊥PA，则C的
离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设P（x，y）（0＜x＜a），由PO⊥PA，可得，得到x2+y2﹣ax＝0，再与椭圆方程联立得到
（c2x﹣ab2）（x﹣a）＝0，再由点P的位置求解．
【解答】解：设P（x，y）（0＜x＜a），又O（0，0），A（a，0），且PO⊥PA，
所以，即x2+y2﹣ax＝0，
与椭圆方程联立c2x2﹣a3x+a2b2＝0，
即（c2x﹣ab2）（x﹣a）＝0，解得x＝a或，
则，即b2＜c2，
即，则．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知一组样本数据为80，81，83，85，86，89，则（ ）
A．若剔除80，则样本的极差变小
第6页（共16页）B．若剔除80，则样本的平均数变小
C．若剔除83，则样本的中位数变大
D．若剔除89，则样本的方差变小
【分析】根据极差、平均数、中位数、方差的定义和公式计算即可．
【解答】解：样本数据为80，81，83，85，86，89，
原数据的极差为89﹣80＝9，删去80后的极差变为89﹣81＝8，所以A正确；
原数据的平均数为，删去80后平均数为，所以B错误；
原数据的中位数为84，删去83后中位数为85，所以C正确；
对于选项D：删去89后，均值变为，
方差为
；
而原数据的均值，方差为；
由于，所以方差变小，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（6分）如图，某石凳可以看作是正四棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，已知AB＝AD＝
2，AE＝3，BQ＝1，PG＝2，则（ ）
A．该几何体的体积为11
B．直线PQ与EH所成的角为45°
C．FH⊥PQ
D．点G到平面DPQ的距离是点B到平面DPQ的距离的2倍
【分析】对于A，根据三棱锥体积公式计算即可；
对于B，延长BQ，GP交于点C，根据角度和平行关系确定即可；
对于C，根据线面垂直进行判断；
对于D，由于，故B与C到平面DPQ的距离相等．
【解答】解：截取三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，A错误；
第7页（共16页）延长BQ，GP交于点C，由于EH∥BQ，CQ＝CP，所以∠BQP＝135°，
所以直线PQ与EH所成角为45°，B正确；
过P且垂直于FH的面为面AEGP，PQ 面AEGP，C错误；
，所以B与C到面DPQ的距离相等， ⊄
同理，G到面DPQ的距离是C到面DPQ的距离的2倍，D正确．
故选：BD．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝sin3 x+cos3 x， ＞0，则（ ）
A． ω ω ω
B．x＝0为f（x）的极小值点
C．f（x）的值域为[﹣1，1]
D．若存在t R，使得{f（x）|t≤x≤t+1}＝{f（x）|x R}，则 的最小值为
【分析】选项∈ A，对进行化简，即可判断；选项B，∈对函数求ω导，结合图形判断单调性，进而可得x＝
0是一个极大值点；选项C，结合图形求解函数的值域即可；选项D，原条件等价于在长度为1的区间
范围里，能使函数值取到值域里的每一个数，据此列出不等式求解即可．
【解答】解：选项A，，故选项A正确；
选项 B，f′（x）＝3sin2 xcos x• +3cos2 x（﹣sin x）• ＝3 sin xcos x（sin x﹣cos x）＝
3 sin xcos x•sin（ x），ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
所ω以fω（x）在ω区间（ω，）上的单调性如下：
f（x）在上单调递增，在上单调递减，
作出函数f（x）的大致图象如图所示，
第8页（共16页）由图可知，x＝0为f（x）的极大值点，故选项B错误；
选项C，因为，所以f（x）的最大值为1，
因为，所以f（x）的最小值为﹣1，故选项C正确；
选项D，{f（x）|t≤x≤t+1}＝{f（x）|x R}等价于在长度为1的区间范围里，能使函数值取到值域里的
每一个数， ∈
所以，即，
所以 的最小值为，故选项D正确．
故选：ωACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝ 1 ．
【分析】由双曲线的两条渐近线互相垂直，可知，即a2＝b2，即可得解．
【解答】解：由双曲线的两条渐近线互相垂直，
可知，得a2＝b2，
故有m＝2﹣m，解得m＝1．
故答案为：1．
13．（5分）已知 （0，），sin（ ）＝sin2 ，则cos2 ＝ ．
【分析】由已知θ结∈合和差角公式，θ二倍角公θ式进行化简θ，即可求解．
【解答】解：因为 （0，），sin（ ）＝sin2 ，
所以（sin ﹣cos ）θ＝∈2sin cos ， θ θ
令t＝sin θ﹣cos θ，则t2＝1θ﹣2sθin cos ，即2sin cos ＝1﹣t2，
所以，即θ0， θ θ θ θ θ
解得t或t，
当t时，2sin cos ＝1﹣t2＝﹣1＜0，舍去，
故t，2sin coθs ＝θ1﹣t2，
因为（cosθ+siθn ）2＝1+2sin cos ＝1，
则cos +sinθ ，θ θ θ
θ θ
第9页（共16页）则cos2 ＝cos2 ﹣sin2 ＝（cos +sin ）（cos ﹣sin ）（）．
故答案为θ ：．θ θ θ θ θ θ
14．（5分）已知数列{a
n
}满足：，则a
25
a
26
＝ 50 ；记数列的前n项和为S
n
，若S 25⩾m，则正整数m
的最大值为 6 ．
【分析】先确定{a a }是以a a ＝2为首项，2为公差的等差数列，进而可求得a a ＝50；先列出S
n+1 n 1 2 25 26 n
的表达式，进而可列出S 的表达式，根据放缩法证明S ＜7，从而求出结果．
25 25
【解答】解：已知数列{a }满足：，
n
则a n+1 a n ﹣a n a n﹣1 ＝2，经计算a 3 ＝2，
故a a ﹣a a ＝4﹣2＝2，递推关系对n＝1也成立，
2 3 1 2
即{a a }是以a a ＝2为首项，2为公差的等差数列，
n+1 n 1 2
根据等差数列的通项公式可得a a ＝2+（n﹣1）•2＝2n，
n+1 n
则有a a ＝50；
25 26
记数列的前n项和为S
n
，若S 25⩾m，
因为，
所以，
所以；
下证：S ＜7，
25
因为a a ＝2n，则有a a ＝2n+2，所以，
n+1 n n+2 n+1
当n＝2k时，，
则有，
因为（2k﹣1）（2k+1）＜（2k）2，
则，则有，
所以，
所以，
因为2k（2k+2）＜（2k+1）2，
则，则有，
所以，
所以，
综上，，所以，
所以，，
所以正整数m的最大值为6．
第10页（共16页）故答案为：50；6．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）为调研某地民众对于“未来低空出行”的了解情况，用简单随机抽样的方法，从该地调查
了300位市民，统计得到如下列联表：
了解 不了解 合计
女 90 60 150
男 110 40 150
合计 200 100 300
（1）根据小概率值 ＝0.010的独立性检验，分析对“未来低空出行”了解情况是否与性别有关；
（2）在不了解“未来α低空出行”的100位市民中，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取5人，
再从这5人中随机选取3人去智能飞行器中心实地参观，设 X为女性市民的人数，求X的分布列与期
望．
附：，
0.050 0.010 0.001
xαa 3.841 6.635 10.828
【分析】（1）先根据公式求出χ2值，然后根据独立性检验原理判断即可．
（2）先确定女性的人数X可能为1，2，3，以及对应的概率值，进而得到X的分布列和期望．
【解答】解：（1）根据题意，零假设为H ：对“未来低空出行”了解情况与性别无关联．
0
则，
根据小概率值 ＝0.010的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，即认为对“未来低空出行”了解
0
情况与性别无关α联．
（2）根据题意，不了解“未来低空出行”的100位市民中，男性市民有40人，女性市民有60人，
若从市民中抽取的5人，其中男性有52人，女性有53人，
现在从5人中随机抽取3人，则女性的人数X可能为1，2，3，
故，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
p
所以X的期望为．
16．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3ccosB＝3a﹣bsinC．
（1）求tanC；
（2）若D在边AB上，且CD＝b，BD＝1，tan∠DCB，求b．
第11页（共16页）【分析】（1）由正弦定理以及A＝ ﹣B﹣C得3sinCcosB＝3（sinBcosC+cosBsinC）﹣sinBsinC，整理
后即可求解； π
（2）设∠DCB＝ ，则，故，，结合正弦定理可得，再整理可得，设t＝tanB，可得，解得t2＝1，进
而求解即可． θ
【解答】解：（1）由正弦定理，3ccosB＝3a﹣bsinC可化简为3sinCcosB＝3sinA﹣sinBsinC，
由于A＝ ﹣B﹣C，故sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
代入上式π得：3sinCcosB＝3（sinBcosC+cosBsinC）﹣sinBsinC，
化简可得sinC＝3cosC，
故；
（2）设∠DCB＝ ，则，故，，
在△DCB中，由正θ弦定理得：，
已知BD＝1，CD＝b，∠CBD＝∠B，代入得：，即，
由于AC＝CD＝b，△ADC为等腰三角形，故∠ADC＝∠DAC＝ ，
则∠ACB＝∠C＝∠ACD+ ＝（180°﹣2 ）+ ， α
又A+B+C＝180°，故 ＝θ180°﹣B﹣C，α 代入θ 上式得： ＝180°﹣B﹣（180°﹣2 + ），化简得 ＝
∠B+ ， α α α θ α
因此，θ
设t＝tanB，则，
又tan（A+B）＝tan（180°﹣C）＝﹣tanC＝﹣3，，
代入得：，
整理可得，解得t2＝1，
因B为三角形内角，故t＝1，即tanB＝1，，
则，解得．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝3，AD＝4，，0
＜ ＜1．
（λ1）当 时，证明：BQ∥平面PCD；
（2）已知λ 平面PAD⊥平面ABCD，PA＝CD＝2，PD＝2，平面QAB与平面QBC夹角的余弦值为，求
△QBC的面积．
第12页（共16页）【分析】（1）过Q作QR∥AD交AD于R，连接CR，根据已知推出四边形BCRQ是平行四边形，可
得BQ∥CR，由线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面QAB与平面QBC的法向量，利用向量夹角的余弦公式可得
，从而可得，利用点到直线距离的向量公式可得点Q到BC的距离，再利用三角形面积公式求解即可．
λ【解答】解：（1）证明：过Q作QR∥AD交AD于R，连接CR．
当时，，所以，
因为，所以BC∥AD，从而，
故四边形BCRQ是平行四边形，BQ∥CR．
由于BQ 平面PCD，CR 平面PCD，
所以BQ⊄∥平面PCD． ⊂
（2）由已知得，
因为AP2+PD2＝AD2，所以PA⊥PD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，在平面PAD上过A作AD的垂线AH，则AH⊥平面ABCD，
以A为原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
则，，D（0，4，0），，．
设平面QAB的法向量为（x ，y ，z ），
1 1 1
第13页（共16页）由，得，令，得，
设平面QBC的法向量为，
由，得，令z ＝1，得（ ，0，1），
2
则||， λ
解得（舍去），，
因此，，
所以点Q到BC的距离，
所以△QBC的面积为．
18．（17分）设函数f（x）＝xln（a﹣x），a＞0．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）存在唯一极大值点；
（3）记f（x）的极大值点为x ，若存在a，使得f（x ）≤a+b，求b的取值范围．
0 0
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；
（2）利用导数与单调性和极值的关系即可证明；
（3）由题可得，令h（t）＝tln2t﹣tlnt﹣t，然后利用导数求出h（t）的最小值即可得解．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝xln（2﹣x），
则，
所以f（1）＝0，f'（1）＝﹣1，
故所求切线方程为y＝﹣x+1；
（2）证明：由题可知，f（x）的定义域为（﹣∞，a），
则，
设，
则，
所以g（x）在（﹣∞，a）上单调递减，
又，，
所以存在唯一的使得f'（x ）＝0，
0
当x （﹣∞，x ）时，f′（x）＞0，当x （x ，a）时，f'（x）＜0，
0 0
所以∈f（x）在（﹣∞，x
0
）单调递增，在（∈x
0
，a）单调递减，
所以f（x）存在唯一的极大值点；
（3）由（2）可得f（x） ＝f（x ）＝x ln（a﹣x ），
max 0 0 0
且，
令a﹣x ＝t＞0，则，即a＝tlnt+t，
0
第14页（共16页）所以，
令h（t）＝tln2t﹣tlnt﹣t，
依题意，存在a，使得f（x ）﹣a≤b，即h（t） ≤b，
0 min
则h'（t）＝ln2t+lnt﹣2＝（lnt﹣1）（lnt+2），
令h'（t）＞0，解得0＜t＜e﹣2或t＞e，
令h'（t）＜0，解得e﹣2＜t＜e，
所以h（t）在（0，e﹣2），（e，+∞）上单调递增，在（e﹣2，e）上单调递减，
当t （0，e﹣2）时，
，又∈h（e）＝﹣e，
则h（t） ＝h（e）＝﹣e，此时a＝2e，x ＝e，
min 0
所以b的取值范围是[﹣e，+∞）．
19．（17分）已知抛物线E：y2＝2x，D （1，0），k ＝1， 为常数， ＞1．按照如下方式依次构造点
1 1
D n （n＝2，3，…）：过D n﹣1 作斜率为k n﹣1 （k n﹣1 ＞0）的直λ 线交E于λA n﹣1 ，B n﹣1 两点，使得|D n﹣1 A n﹣
1 |＝ |D n﹣1 B n﹣1 |，令D n 为线段A n﹣1 B n﹣1 的垂直平分线与x轴的交点，记D n 的坐标为（x n ，0）．
（1）λ 求 ；
（2）证明λ ：x
n
1；
（3）设S 为△A B D 的面积，证明：（2n+1）．
n n n n+1
【分析】（1）通过联立直线与抛物线方程求出交点纵坐标，再根据线段长度比的定义直接计算出比例
的值；
λ（2）设出直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到根的关系，结合已知比例条件推导出为定值；
（3）先求出中点坐标与垂直平分线方程，得到数列{x }的递推关系并解出通项，再计算面积比并通过
n
放缩法证明不等式．
【解答】解：（1）设A （a ，c ），B （b ，d ），易知直线A B 的方程为x＝y+1，
1 1 1 1 1 1 1 1
联立可得y2﹣2y﹣2＝0，解得，，
所以；
（2）证明：设直线A B 的方程为，A （a ，c ），B （b ，d ），
n n n n n n n n
联立可得，
由韦达定理可得，，c d ＝﹣2x ，
n n n
由，
因为，
所以，化简得，
第15页（共16页）所以 n N*，为定值1；
（3）∀证∈明：设A
n
B
n
的中点为M
n
，则，由（2）可知，，则，
所以A B 的垂直平分线方程为，
n n
所以D （2x +1，0），即x ＝2x +1，
n+1 n n+1 n
所以x +1＝2（x +1），即{x +1}是以x +1＝2为首项，公比为2的等比数列，解得，
n+1 n n 1
因为，
则，
所以，
因为，
因为，
所以．
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