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余弦定理
尊敬的评委老师好，今天我试讲的题目是《余弦定理》，下面开始我的试讲。
上课，同学们好，请坐！
复习导入
同学们，在上节课的学习中，我们学习了正弦定理，并且学会了运用正弦定来解三角形，请
同学们回忆一下正弦定理的具体内容是什么呢？
好，课代表同学，在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦比相等。即
a b C
sinA sinB sinC
很好，请坐！ 看来同学们对上节课的内容掌握的都非常扎实。
下面请同学们看大屏幕，三角形ABC中，已知两边a，b和角C，求边c的长。我们能否运
用正弦定理来解决这个问题呢？很好，有同学说了，没有边和其对角是已知的，因此无法直
接应用正弦定理，看来我们必须寻求其他途径来解决这个问题了。这节课，我们就一起来学
习余弦定理。
新授
接下来，请同学们利用五分钟的时间，开启四人小组讨论模式，运用学过的知识方法，来解
决这个问题，并探索新的规律。
好，时间到，刚才老师在巡视的过程中，看到同学们采用不同的方法来解决上述问题，我们
请同学来分享一下解题思路和探索结果。
好，一组组长，我们先把一组的解题过程投影在大屏幕上，请一组组长来给我们讲解一下具
体的解题过程。因为涉及边长的问题，采用了向量的数量积来解决问题。设向量CB为a,向
量CA为b，向量AB为c，那么c=a-b，b=a-c，a=b-c，根据向量的数量积，c2=cc=（a-b）（a-b）
最终得出c2=a2+b2-2abcosC，同理计算得出 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2abcosB.
好，非常好，一组组长请回。我们看到一组的解题思路简单明了，运用了向量运算，让我们
体会到向量计算的无穷威力。
哪位同学愿意分享不同的解题思路?好，三组组长，我们再把三组同学的解题过程投影在大
屏幕上，请三组组长给我们讲解具体的解题思路。因为角c不等于90度，所以，借助辅助
线构造出直角三角形，运用勾股定理，计算得出了与一组相同的三个公式。
非常好，三组组长请回，我们看到三组利用了勾股定理，计算的非常严谨。大家采用不同的
方法证明出了黑板上的三个公式，我们观察三个式子
a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2abcosB.c2=a2+b2-2abcosC，
可以得出，三角形任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的
积的2倍。我们称这个定理为余弦定理。很显然，余弦定理描述了任意一个三角形中的三边
长与三个内角余弦之间的关系，如果我们已知了一个三角形中的两边及其夹角就可以求得第
三边。接下来老师要把这三个式子变形，请大家看黑板
通过第一个公式我们可以得到：CosA=
2 2 2
b +c −a
2bc
通过第二个公式我们可以得到：cosB= 同理cosc=
2 2 2 2 2 2
a +c −b a +b −c
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有了这三个式子。当我们已知三角形的三边长，是不是就可以很轻松的求得三角形的三个内
角呀。
接下来请同学们看下大屏幕，在三角形ABC中，已知a=5，b=4，角C=120度，请同学们运
用我们刚才所学的知识，求边长c。好，我看到同学们都已经计算完成了，大家的计算结果
都是多少啊？根号下61，很好，大家计算的都非常准确。
复习巩固
为了巩固我们本节课的知识，请同学们计算大屏幕上练习2，三角形ABC中,已知a=3，b=2，
c= ，求此三角形各角的大小及其面积。我们请一位同学来黑板进行板演，其余同学自行
计算。
19
好，我看到同学们都已经完成计算，我们一起来看下这位同学的计算过程。他先运用余弦定
1
理计算得出cosC的值等于- ，从而得出角c等于120度。接着应用正弦定理，计算
2
asinc
sinA= =0.5960，得出角A=36.6度或143.4度，很显然，143.4度不符合题意，舍掉。
c
从而计算出角B的度数为23.4度。通过辅助线创建直角三角形，求得高AD等于1.73，最终
计算出三角形ABC的面积为2.6.。大家说她计算的对不对啊?好，完全正确，这位同学解题
思路严谨，过程完整，结果准确，值得大家去学习！
课堂小结
好，同学们，这节课的主要内容就是这些，大家学习讨论的都非常认真，我们一起来总结一
下本节课有哪些收获？好，课代表同学，掌握了余弦定理的内容及其变形公式，同时掌握了
余弦定理的推导过程。很好，请坐！还有吗?来，这位同学，哦，可以运用正弦定理余弦定
理结合，来求解三角形，已知三角形三边或两边及其夹角时用余弦定理。己知两边及其中一
边得对角或两角及一边时用正弦定理。非常好！大家总结的很全面也很准确。
课后作业
好了，同学们，课堂接近尾声，我们不但要在课上好好学习学习，还要在课下及时复习，课
下请同学们完成两个作业，第一，请思考用坐标法来证明余弦定理，并思考有没有其他证明
方法。第二，完成课本练习A，学有余力的同学完成练习B
好，下课！同学们再见！
我的试讲结束，感谢各位老师的耐心聆听！
