文档内容
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答
一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设xÎR，则不等式 x-3 <1的解集为_______.
3+2i
2．设z = ，其中i为虚数单位，则z的虚部等于______________________.
i
3．已知平行直线l :2x+ y-1=0,l :2x+ y+1=0，则l与l 的距离是_______________.
1 2 1 2 [来
4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组
数据的中位数是_________（米）.
5．若函数 f(x)=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=______.
6．已知点(3,9)在函数 f(x)=1+ax的图像上，则 f(x)的反函数f -1(x)= ________.
ìx³0,
ï
7．若x,y满足íy³0, 则x-2y的最大值为_______.
ï
y³ x+1,
î
8．方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2p]上的解为___________.
[来
n
2
9．在3 x - 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______
x
___.
10．已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.
11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种
第1页 | 共6页水果相同的概率为______.
[
uuur uur
12．如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线y= 1- x2 上一个动点，则OP×BA的取值
范围是 .
ìïï ax+ y= 1
13．设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组í ，无解，则a+ b的取值范围是 .
ï ïî x+ by= 1
14．无穷数列{a }由k个不同的数组成，S 为{a }的前n项和.若对任意nÎ N*，S Î {2，3}，
n n n n
则k的最大值为 .
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．设aÎR，则“a 1”是“a2 1”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16．如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E、F分别为BC、BB 的中点，则下列直线中与直
1 1 1 1 1
线EF相交的是（ ）.
(A)直线AA (B)直线A B
1 1 1
(C)直线A D (D)直线B C
1 1 1 1
π
17．设aÎ R，bÎ [0,2π].若对任意实数x都有sin(3x- )=sin(ax+ b)，则满足条件的有序
3
实数对(a,b)的对数为（ ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
18．设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数．对于命题：①若 f(x)+g(x)、
第2页 | 共6页f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则 f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若
f(x)+g(x)、 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T 为周期的函数，则 f(x)、g(x)、
h(x) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
(A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题
(C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题
三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.
5p
将边长为1的正方形AA O O（及其内部）绕OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为 ，
1 1 1
6
p
AB 长为 ，其中B 与C在平面AA O O的同侧.
1 1 3 1 1 1
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O B 与OC所成的角的大小.
1 1
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.
有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.
于是，菜地分为两个区域S 和S ，其中S 中的蔬菜运到河边较近，S 中的蔬菜运到F 点
1 2 1 2
较近，而菜地内S 和S 的分界线C上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角
1 2
坐标系，其中原点O为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.
第3页 | 共6页（1）求菜地内的分界线C的方程；
8
（2）菜农从蔬菜运量估计出S 面积是S 面积的两倍，由此得到S 面积的“经验值”为 .设
1 2 1 3
M 是C上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边
形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 面积的“经验值”.
1
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
y2
双曲线x2 - =1(b0)的左、右焦点分别为F 、F ，直线l过F 且与双曲线交于A、B
b2 1 2 2
两点.
p
（1）若l的倾斜角为 ，△FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
2 1
（2）设b= 3，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分6分.
对于无穷数列{a }与{b }，记A={x|x=a ，nÎN*}，B={x|x=b ，nÎN*}，若
n n n n
同时满足条件：①{a
n
}，{b
n
}均单调递增；②A
I
B=Æ且A
U
B=N*，则称{a
n
}与{b }是无穷互补数列.
n
（1）若a =2n-1，b =4n-2，判断{a }与{b }是否为无穷互补数列，并说明理
n n n n
由；
（2）若a =2n且{a }与{b }是无穷互补数列，求数列{b }的前16项的和；
n n n n
（3）若{a }与{b }是无穷互补数列，{a }为等差数列且a =36，求{a }与{b }的
n n n 16 n n
通项公式.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分8分.
1
已知aÎR，函数 f(x)=log ( +a).
2 x
（1）当a=1时，解不等式 f(x)>1；
（2）若关于x的方程 f(x)+log (x2)=0的解集中恰有一个元素，求a的值；
2
第4页 | 共6页1
（3）设a>0，若对任意tÎ[ ,1]，函数 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的
2
差不超过1，求a的取值范围.
第5页 | 共6页第6页 | 共6页
