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专题20 函数中的数列问题
一、单选题
1．已知一次函数 的图像经过点 和 ，令 ，记数列
的前项和为 ，当 时， 的值等于（ ）
A．24 B．25 C．23 D．26
2．已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为3，数列 的前n项和为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
3．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广
泛.其定义是：对于函数 ，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列，若函数
，且 ，则 的值是（ ）
A．8 B．2 C．-4 D．-6
4．已知函数 ，数列 满足 ， ， ，则
（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
5．已知函数 ，数列 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．设 是定义在 上的奇函数，且满足 ， ．数列 满足 ，，则 （ ）
A．0 B．－1 C．2 D．－2
7．已知数列 满足 ，且 ，数列 满足 ， ，则 的最小值为
（ ）．
A． B．5 C． D．
8．设曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 ，则数列 的前2023项的积为（
）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列有
关数列 的叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知公比为 的正项等比数列 ，其首项 ，前 项和为 ，前 项积为 ，且函数
在点 处切线斜率为1，则（ ）
A．数列 单调递增 B．数列 单调递减
C． 或5时， 取值最大 D．
11．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列有关数列的叙述不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．定义在 的函数 满足 ，且 ， 都有
，若方程 的解构成单调递增数列 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若数列 为等差数列，则公差为6
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题
13．设 且 ，已知数列 满足 ，且 是递增数列，则a的取值范围是
__________．
14．数列 中， ．定义：使数列 的前 项的积为整数的数 叫做期
盼数，则区间 内的所有期盼数的和等于______.
15．函数 （ ）的所有极值点从小到大排列成数列 ，设 是 的前n项和，给
出下列四个结论：
①数列 为等差数列；
② ；
③ 为函数 的极小值点；④ .
其中所有正确结论的序号是______．
16．若函数 使得数列 （ ， ）为严格递增数列，则称函数 为“数列 的
保增函数”．已知函数 为“数列 的保增函数”，则实数 的取值范围为__________．
四、解答题
17．令 ，对抛物线 ，持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点 处作抛物线的切线交x轴于
在点 处作抛物线的切线交x轴于
在点 处作抛物线的切线交x轴于
由此能得到一个数列 ，回答下列问题：
(1)求 的值
(2)设 ，求 的解析式．
18．已知函数 ，将满足 的所有正数 从小到大排成数列 证明：数列
为等比数列.
19．已知对于任意 函数 在点 处切线斜率为 ，正项等比数列 的公比，且 ，又 与 的等比中项为2．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
20．已知函数 的所有正的零点构成递增数列 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
21．已知数列 的前 项和为 ，对一切正整数 ，点 都在函数 的图像上，且过
点 的切线的斜率为 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．22．已知函数 ， ， ．令 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
