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专题 20 坐标系与参数方程
1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为¿（t为参数），曲线
1
C 的参数方程为¿（s为参数）．
2
(1)写出C 的普通方程；
1
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
3
2cosθ−sinθ=0，求C 与C 交点的直角坐标，及C 与C 交点的直角坐标．
3 1 3 2
【答案】(1)y2=6x−2(y≥0)；
(1 ) ( 1 )
(2)C ,C 的交点坐标为 ,1 ，(1,2)，C ,C 的交点坐标为 − ,−1 ，(−1,−2)．
3 1 2 3 2 2
【解析】
【分析】
(1)消去t，即可得到C 的普通方程；
1
(2)将曲线C ,C 的方程化成普通方程，联立求解即解出．
2 3
(1)
2+t 2+ y2
因为x= ，y=√t，所以x= ，即C 的普通方程为y2=6x−2(y≥0)．
6 6 1
(2)
2+s
因为x=− ,y=−√s，所以6x=−2−y2，即C 的普通方程为y2=−6x−2(y≤0)，
6 2
由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 的普通方程为2x−y=0．
3
(1 )
联立¿，解得：¿或¿，即交点坐标为 ,1 ，(1,2)；
2
( 1 )
联立¿，解得：¿或¿，即交点坐标为 − ,−1 ，(−1,−2)．
2
2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为¿，（t为参数），以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
( π)
ρsin θ+ +m=0．
3(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)√3x+ y+2m=0
19 5
(2)− ≤m≤
12 2
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
(1)
( π) 1 √3
因为l：ρsin θ+ +m=0，所以 ρ⋅sinθ+ ρ⋅cosθ+m=0，
3 2 2
1 √3
又因为ρ⋅sinθ= y,ρ⋅cosθ=x，所以化简为 y+ x+m=0，
2 2
整理得l的直角坐标方程：√3x+ y+2m=0
(2)
联立l与C的方程，即将x=√3cos2t，y=2sint代入
√3x+ y+2m=0中，可得3cos2t+2sint+2m=0，
所以3(1−2sin2t)+2sint+2m=0，
化简为−6sin2t+2sint+3+2m=0，
要使l与C有公共点，则2m=6sin2t−2sint−3有解，
令sint=a，则a∈[−1,1]，令f(a)=6a2−2a−3，(−1≤a≤1)，
1
对称轴为a= ，开口向上，
6
所以f(a) =f(−1)=6+2−3=5，
max
1 1 2 19
f(a) =f( )= − −3=− ，
min 6 6 6 6
19
所以− ≤2m≤5
6
19 5
m的取值范围为− ≤m≤ .
12 23．【2021年甲卷文科】在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨
迹 的参数方程，并判断C与 是否有公共点．
【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （
为参数），C与 没有公共点.
【解析】
【分析】
（1）将曲线C的极坐标方程化为 ，将 代入可得；
（2）方法一：设 ，设 ，根据向量关系即可求得P的轨迹
的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】
（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）
[方法一]【最优解】
设 ，设，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
[方法二]：
设点 的直角坐标为 ， ， ，因为 ，
所以 ， ， ，
由 ，
即 ，
解得 ，
所以 ， ，代入 的方程得 ，
化简得点 的轨迹方程是 ，表示圆心为 ， ，半径为2的圆；
化为参数方程是 ， 为参数；计算 ，
所以圆 与圆 内含，没有公共点．
【整体点评】
本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，
方法一：利用参数方程的方法，设出 的参数坐标，再利用向量关系解出求解点 的参数
坐标，得到参数方程.
方法二：利用代数方法，设出点 的坐标，再利用向量关系将 的坐标用点 的坐标表示，
代入曲线C的直角坐标方程，得到点 的轨迹方程，最后化为参数方程.
4．【2021年乙卷文科】在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为1．
（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
求这两条切线的极坐标方程．
【答案】（1） ，（ 为参数）；
（2） 和 ．
【解析】
【分析】
（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】
（1）由题意， 的普通方程为 ，
所以 的参数方程为 ，（ 为参数）
（2）[方法一]：直角坐标系方法
①当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心到直线的距离为 ，故舍去．②当切线斜率存在时，设其方程为 ，即 ．
故 ，即 ，解得 ．
所以切线方程为 或 ．
两条切线的极坐标方程分别为 和 ．
即 和 ．
[方法二]【最优解】：定义求斜率法
如图所示，过点F作 的两条切线，切点分别为A，B．
在 中， ，又 轴，所以两条切线 的斜率分别
和 ．
故切线的方程为 ， ，这两条切线的极坐标方程为
和 ．即 和 ．
【整体点评】
（2）
方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，
方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标
方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.
5．【2020年新课标1卷理科】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；
（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加
消去参数 ，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联
立 方程，即可求解.
【详解】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的
关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
6．【2020年新课标2卷理科】已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （θ为
1 2 1参数），C ： （t为参数）.
2
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在
1 2
极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化
即可得到所求极坐标方程.
【详解】
(1)[方法一]：消元法
由 得 的普通方程为 ．
由参数方程可得 ，
两式相乘得普通方程为 ．
[方法二]【最优解】：代入消元法
由 得 的普通方程为 ，
由参数方程可得 ，
代入 中并化简得普通方程为 ．
(2)[方法一]：几何意义+极坐标
将 代入 中解得 ，故P点的直角坐标为 ．
设P点的极坐标为 ，由 得 ， ， ．
故所求圆的直径为 ，
所求圆的极坐标方程为 ，即 ．
[方法二]：
由 得 所以P点的直角坐标为 ．
因为 ．
设圆C的极坐标方程为 ，所以 ，
从而 ，解得 ．
故所求圆的极坐标方程为 ．
[方法三]：利用几何意义
由 得 所以P点的直角坐标为 ，
化为极坐标为 ，其中 ．
如图，设所求圆与极轴交于E点，则 ，
所以 ，所以所求圆的极坐标方程为 ．[方法四]【最优解】：
由题意设所求圆的圆心直角坐标为 ，则圆的极坐标方程为 ．
联立 得 解得 ．
设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为 ，O为坐标原点．
又因为点 都在所求圆上且 为圆的直径，
所以 ，解得 ．
所以所求圆的极坐标方程为 ．
[方法五]利用几何意义求圆心
由题意设所求圆的圆心直角坐标为 ，
则圆的极坐标方程为 ．
联立 得 ，
即P点的直角坐标为 ．
所以弦 的中垂线所在的直线方程为 ，
将圆心坐标代入得 ，解得 ．
所以所求圆的极坐标方程为 ．
【整体点评】(1)[方法一]利用乘积消元充分利用了所给式子的特征，体现了解题的灵活性，并不是所有
的问题都可以这样解决；
[方法二]代入消元是最常规的消元方法之一，消元的过程充分体现了参数方程与普通方程
之间的联系.
(2)[方法一]利用几何意义加极坐标求解极坐标方程是充分利用几何思想的提现，能提现思
维的 ；
[方法二]首先确定交点坐标，然后抓住问题的本质，求得 的值即可确定极坐标方程；
[方法三]首先求得交点坐标，然后充分利用几何性质求得圆的直径即可确定极坐标方程；
[方法四]直径所对的圆周角为 是圆最重要的性质之一，将其与平面向量垂直的充分必要
条件想联系进行解题时一种常见的方法；
[方法五]圆心和半径是刻画圆的最根本数据，利用几何性质求得圆心的坐标即可确定圆的
方程.
7．【2020年新课标3卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t
为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求| |：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由参数方程得出 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 的值；
（2）由 的坐标得出直线 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】
（1）令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .；
（2）由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为 .
【点睛】
本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.
8．【2019年新课标1卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程
为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【答案】（1） ； ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得
的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所
求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】
（1）由 得： ，又整理可得 的直角坐标方程为：
又 ，
的直角坐标方程为：
（2）设 上点的坐标为：
则 上的点到直线 的距离
当 时， 取最小值
则
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最
值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函
数的最值求解问题.
9．【2019年新课标2卷理科】在极坐标系中，O为极点，点 在曲线
上，直线l过点 且与 垂直，垂足为P.
（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1） ，l的极坐标方程为 ；（2）
【解析】
【分析】（1）先由题意，将 代入 即可求出 ；根据题意求出直线 的直角坐标方程，
再化为极坐标方程即可；
（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值
范围.
【详解】
（1）因为点 在曲线 上，
所以 ；
即 ，所以 ，
因为直线l过点 且与 垂直，
所以直线 的直角坐标方程为 ，即 ；
因此，其极坐标方程为 ，即l的极坐标方程为 ；
（2）设 ，则 ， ，
由题意， ，所以 ，故 ，整理得 ，
因为P在线段OM上，M在C上运动，所以 ，
所以，P点轨迹的极坐标方程为 ，即 .
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
10．【2019年新课标3卷理科】如图，在极坐标系 中， ， ， ，
，弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，
曲线 是弧 ，曲线 是弧 .（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；
（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 上，且 ，求 的极坐标.
【答案】(1) , , ,
(2) , , , .
【解析】
【分析】
(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中 的取值范围.
(2)根据条件 逐个方程代入求解，最后解出 点的极坐标.
【详解】
(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
, .
(2)解方程 得 ，此时P的极坐标为
解方程 得 或 ，此时P的极坐标为 或
解方程 得 ，此时P的极坐标为
故P的极坐标为 , , , .
【点睛】
此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.11．【2018年新课标1卷理科】在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标
原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求 的直角坐标方程；
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【详解】
分析：(1)就根据 ， 以及 ，将方程 中的相
关的量代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式，可以断定曲线 是圆心为 ，半径为 的圆， 是过点
且关于 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，
结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.
详解：（1）由 ， 得 的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆．
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左
边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或
．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与
有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或
．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为 ．
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程
向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明
确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为
直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.
12．【2018年新课标2卷理科】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （
为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
【答案】（1） ，当 时， 的直角坐标方程为 ，当时， 的直角坐标方程为 ；（2）
【解析】
【分析】
分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法
将直线 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与 两种情况.(2)将
直线 参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据参数几何意义得 之间关系，求
得 ，即得 的斜率．
【详解】
详解：（1）曲线 的直角坐标方程为 ．
当 时， 的直角坐标方程为 ，
当 时， 的直角坐标方程为 ．
（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程
．①
因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则
．
又由①得 ，故 ，于是直线 的斜率 ．
13．【2018年新课标3卷理科】在平面直角坐标系 中， 的参数方程为
（ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点．
（1）求 的取值范围；
（2）求 中点 的轨迹的参数方程．
【答案】（1）（2） 为参数，
【解析】
【详解】
分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离 可得．
（2）联立方程，由根与系数的关系求解
详解：（1） 的直角坐标方程为 ．
当 时， 与 交于两点．
当 时，记 ，则 的方程为 ． 与 交于两点当且仅当
，解得 或 ，即 或 ．
综上， 的取值范围是 ．
（2） 的参数方程为 为参数， ．
设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，且 ， 满足
．
于是 ， ．又点 的坐标 满足
所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ．
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．
