25李林《880题》数一概率做题本_考研_数学_02.李林_25李林《880题》做题本（全）_数一

880 · 概率 · 目录 第十六章 随机事件及其概率 ....................................................... 2 基础题 ..................................................................... 2 综合题 ..................................................................... 9 拓展题 .................................................................... 12 第十七章 随机变量及其分布 ...................................................... 14 基础题 .................................................................... 14 综合题 .................................................................... 20 拓展题 .................................................................... 25 第十八章 多维随机变量及其分布 .................................................. 26 基础题 .................................................................... 26 综合题 .................................................................... 33 拓展题 .................................................................... 38 第十九章 随机变量的数字特征 .................................................... 40 基础题 .................................................................... 40 综合题 .................................................................... 47 拓展题 .................................................................... 55 第二十章 大数定律与中心极限定理 ................................................ 56 基础题 .................................................................... 56 第二十一章 数理统计的基本概念 .................................................. 60 基础题 .................................................................... 60 综合题 .................................................................... 63 第二十二章 参数估计 ............................................................ 67 基础题 .................................................................... 67 拓展题 .................................................................... 77 第二十三章 假设检验 ............................................................ 78 基础题 .................................................................... 78 第 1 页，共80页880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 第十六章 随机事件及其概率 基础题 一、选择题 (1) 设当事件 A 与 第 2 页，共80页 B 同时发生时,事件 C 必发生,则 ( ) . A. P(C)=P(AB) B. P ( C ) = P ( A  B ) C. P(C)P(A)+P(B)−1 D. P(C)P(A)+P(B)−1 (2) 对任意两个事件 A 和 B ,若 P(AB)=0 ,则 ( ) . A. P(A)P(B)=0 B. P ( A − B ) = P ( A ) C. AB=Ø D. A B = Ø (3) 设 P ( A )  0 , P ( B )  0 , P ( ∣A B ) = P ( A ) ,则下列选项不正确的是 ( ). A. A 与 B 互不相容 B. A 与 B 相容 C. P ( ∣B A ) = P ( B ) D. P ( ∣A B ) = P ( A )880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (4) 设 第 3 页，共80页 A , B , C 是三个相互独立的随机事件,且 0P(C)1 ,则下列四对事件中不相互独立 的是 ( ) . A. AB 与 C B. A C 与 C C. A − B 与 C D. A B 与 C (5) 设 0P(A)1,0P(B)1 且 P ( ∣A B ) + P ( ∣A B ) = 1 ,则 ( ) . A. A 与 B 互不相容 B. A 与 B 相互独立 C. A 与 B 对立 D. A 与 B 不相互独立 (6) 设 A , B 为任意两个事件,且 AB,P(B)0 ,则下列选项正确的是 ( ). A. P ( A )  P ( ∣A B ) B. P ( A )  P ( ∣A B ) C. P(A)P(A∣B) D. P(A)P(A∣B)880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (7) 设 第 4 页，共80页 A , B 是两个随机事件,且 0  P ( A )  1 , P ( B )  0 , P ( ∣B A ) = P ( ∣B A ) ,则下列选项正确 的是 ( ). A. P(A∣B)=P ( A∣B ) B. P(A∣B)P ( A∣B ) C. P(AB)=P(A)P(B) D. P(AB)P(A)P(B) 二、填空题 1 1 (1) 设 P(A∣B)=P(B∣A)= ,P(A)= ,则 2 3 P ( A  B ) = ________ . (2) 已知事件 A,B 相互独立且互不相容,则 min  P(A),P(B) =_________ .880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (3) 设事件 第 5 页，共80页 A , B , C 满足 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 4 , P ( A B ) = P ( B C ) = 0 , P ( A C ) = 1 8 ,则 A , B , C 三个事件中至少出现一个的概率为_______. (4) 设 P(A)=0.1,P(B∣A)=0.9,P ( B∣A ) =0.2 ,则 P ( ∣A B ) = _________ . (5) 设 A , B 为随机事件,且 P ( A ) = 0 .3 , P ( B ) = 0 .4 , P ( A − B ) = 0 .5 ,则 P ( ∣B A  B ) = _________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (6) 设在三次独立重复试验中,事件 第 6 页，共80页 A 发生的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率为 19 ,则 A 在一次试验中发生的概率p= _________ . 27 (7) 在区间 (0,1) 内任取两个数 x , y 2 ,则 xy 的概率为_________ . 9 (8) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p ( 0  p  1 ) ,则此人第 6 次 射击恰好第 2 次命中目标的概率为_______.880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 三、解答题 (1) 设事件 第 7 页，共80页 A , B 相互独立, A , C 互不相容,且 P(A)=0.4, P ( ∣B C ) = 0 .2 P ( B ) = 0 .3 , P ( C ) = 0 .4 , , 求下列概率: (I) P ( A  B ) ; (II) P(C∣AB) ; (III) P ( A ∣B C ) . (2) 设 A 1 , A 2 , , A n 为 n 个相互独立的事件,且 P ( A k ) = p k ( k = 1 , 2 , , n ) ,求下列事件的概 率: (I) A={n 个事件全不发生 } ; (II) B={n 个事件不全发生 } ; (III) C = { n 个事件中至少有一个发生 } .880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (3) 对某一目标依次进行了三次独立的射击,设第一、第二、第三次射击命中的概率分别为 第 8 页，共80页 0 .4 , 0 .5 和 0.7 , 求: (I) 三次射击中恰好有一次命中的概率; (II) 三次射击中至少有一次命中的概率. (4) 设 A , B 是两个随机事件,证明: 1 − P ( A ) − P ( B )  P ( A B )  P ( A  B )  P ( A ) + P ( B ) .880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 综合题 一、选择题 (1) 设某人毫无准备地参加一项测验, 其中有 5 道是非题, 他随机地选择“是” 或“非”, 则该人至少答对 1 题的概率为 ( ). 1 A. B. 5 第 9 页，共80页 1 3 2 C. 5 3 2 D. 3 3 1 2 (2) 有一根长为 L 的木棒,将其任意折成三段,记事件 A = { 中间一段为三段中的最长者 } ,则 P ( A ) = ( ). 1 1 A. B. C. 2 3 1 4 D. 2 3 二、填空题 (1) 设甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 0.5 和 0.4 , 已知目标被命 中, 则它是乙射中的概率为_______.880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (2) 设 P(A)=0.5,P(B)=0.7 ,则 P(AB) 的最大值与最小值分别是______. (3) 设 第 10 页，共80页 A , B 是两个随机事件, 0  P ( B )  1 , A B = A B ,则 P ( ∣A B ) + P ( ∣A B ) = _________ . (4) 设进行一系列独立试验,每次试验成功的概率均为 p ,则在试验成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为_________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (5) 已知 10 部手机中有 7 个合格品和 3 个次品, 每次任取一个作测试, 测试后不放回, 直 到将 3 个次品 都找到为止, 则需要测试 7 次的概率为_______. (6) 在 n 重伯努利试验中,事件 第 11 页，共80页 A 发生的概率为 p ,则事件 A 发生奇数次的概率为 _________ . 三、解答题 (1) 设甲盒中有 4 个红球和 2 个白球, 乙盒中有 2 个红球和 4 个白球, 掷一枚均匀的硬币, 若正面出现, 则从甲盒中任取一球, 若反面出现, 则从乙盒中任取一球, 设每次取出的球观看 颜色后放回原盒中. (I) 若前两次都取得红球, 求第三次也取得红球的概率; (II) 若前两次都取得红球, 求红球都来自甲盒的概率.880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (2) 设一批产品中有 第 12 页，共80页 1 5 % 的次品,进行独立重复抽样检验,若抽取 20 个样品,则抽出的 20 个样品中, 可能性最大的次品数是多少? 并求其概率. 拓展题 解答题 (1) 有 3 个盒子, 第一个盒子中有 3 个黑球、 1 个白球, 第二个盒子中有 2 个白球, 第三 个盒子 中有 3 个黑球、 2 个白球. (I) 任取一个盒子, 再从该盒子中取出一个球, 求这个球是白球的概率; (II) 已知取出的是白球, 求此球属于第三个盒子的概率.880 · 概率 · 16.随机事件及其概率 (2) 从 1,2, ,n 这 第 13 页，共80页 n 个数中任意相继不放回地取出两个数,求取出的第二个数比第一个数 大的概率.880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 第十七章 随机变量及其分布 基础题 一、选择题 (1) 设随机变量 第 14 页，共80页 X 1 与 X 2 的分布函数分别为 F 1 ( x ) 与 F 2 ( x ) , F ( x ) = a F 1 ( x ) − b F 2 ( x ) 是 某一随机变量的分布函数, 则 ( ). A. a = 3 5 , b = − 2 5 B. a = 2 3 , b = 2 3 C. a = − 1 2 , b = 3 2 D. a = 1 2 , b = − 3 2 (2) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ,且 f (−x)= f (x),X 的分布函数为 F ( x ) ,则对 任意实数 k , 有 ( ) . A. F ( − k ) = 1 −  k 0 f ( x ) d x 1 k B. F(−k)= − f (x)dx 2 0 C. F(−k)=2F(k)−1 D. F ( − k ) = F ( k ) (3) 下列函数中, 可作为某一随机变量的分布函数的是 ( ). 1 A. F(x)= B. 1+x2 F ( x ) 1 a r c ta n x 1 2  = + C. F ( x ) =  1 20 ( , 1 − e − x ) , x x   0 0 , x D. F(x)= f (t)dt ,且 − f ( t ) d t 1    + − =880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (4) 设 X 是随机变量,对任意实数 x,PX =x=0 的充分必要条件是 ( ). A. X 的概率密度 f (x) 是连续函数 B. X 的分布函数 F(x) 是连续函数 C. 第 15 页，共80页 X 为离散型随机变量 D. X 是非离散型随机变量 (5) 设 X N ( , 4 2 ) , Y N ( , 5 2 )     ,记 p 1 P  X 4  , p 2 P  Y 5    =  − =  + ,则 ( ) . A. 对任意实数  ,有 p 1  p 2 B. 对任意实数 , p 1 p 2   C. 对任意实数  ,有 p 1 = p 2 D. 只对 0  = ,有 p 1 = p 2 (6) 设 X N ( ,2) ,则随着  的增大, P { x }   −  ( ) . A. 单调减少 B. 单调增加 C. 保持不变 D. 增减不确定880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (7) 设 f (x) 为随机变量 第 16 页，共80页 X 的概率密度,且 f ( 1 − x ) = f ( 1 + x ) ,  2 1 f ( x ) d x = 0 .4 , X 的分布函 数为 F ( x ) ,则 F ( 0 ) = ( ) . A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 二、填空题 (1) 设随机变量 X 服从参数为 ( 0 )   的指数分布,则 P{X 16∣X 8}=_________ . (2) 设 X N ( 2,2) 且 P { 0  X  2 } = 0 .3 ,则 P{X 0}= .880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (3) 设 第 17 页，共80页 X N ( , 2 ) , f ( x )   为 X 的概率密度,当 x = 1 时, f ( x ) 取得最大值 2 1 2 ,则  P { X  3 } = _________ .（用标准正态分布函数  ( x ) 表示). (4) 设自动机床在任何时长为 t 的时间间隔内发生故障的次数 X 服从参数为 t 的泊松分 布, Y 表示相 继两次故障之间的时间间隔,则当 t  0 时, P { Y  t} = _________ . (5) 设 X  N ( 0 ,1 ) ,则 Y = X 的概率密度 fY ( y ) = _________ .880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 三、解答题 (1) 设离散型随机变量 X 的分布律为 求: (I) 第 18 页，共80页 X 的分布函数; (II) P  X  1 2  ; (III) P−1 X 2 . (2) 设连续型随机变量 X 0, x−a,   x 的分布函数为F(x)=k +k arcsin , −axa,其中 a0 . 1 2 a  1, xa,  求: (I) 常数 k ,k 的值; 1 2 (II) X 的概率密度; (III) P  X  a 2  .880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (3) 设随机变量 第 19 页，共80页 X 服从参数为  的指数分布,对 X 进行三次独立重复观察,至少有一次 观测值大于 3 的概率为 2 2 6 7 ,求  的值. 3x2, 0x1, (4) 设随机变量 X 的概率密度为 f (x)= 求 0, 其他, Y = 1 X 的分布函数和概率密度. (5) 设随机变量 X 在 (0,1) 内服从均匀分布,求 Y =−2lnX 的概率密度.880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (6) 设随机变量 第 20 页，共80页 X 的概率密度为 f ( x ) ( 1 1 x 2 ) , x    = + −   + ,求 Y = 1 − 3 X 的分布函 数和概率密度. 综合题 一、选择题 (1) 设 f (x)为随机变量 X 的概率密度,则下列选项可作为某一随机变量的概率密度的是( ). A. f ( 1 − x ) B. f  x 2  C. f ( x 2 ) D. f 2 ( x ) (2) 设 X ,X ,X 都服从正态分布,且X N(0,1), X N ( 0,22) , X N ( 5,32) , 1 2 3 1 2 3 p =P{−2 X 2(i=1,2,3) ,则( ) . i i A. p  p  p B. p  p  p C. p  p  p D. p  p  p 3 1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (3) 设随机变量 第 21 页，共80页 X 的概率密度为 f ( x ) ,若当 −x+ 时,恒有 0  f ( x )  1 ,则 X 可能服从 ( ). A. N (1 , 2 )  B. N ( ,1 )  C. N ( , 2 )  D. N ( 0 , 2 )  二、填空题 (1) 设随机变量 X N ( , 2 ) , 0 , ( x 0 , y 0 )     为其分布函数曲线 y = F ( x ) 的拐点,则 x 0 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ , y 0 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . (2) 设随机变量 X N ( ,2) ,其中 0,F(x) 为 X 的分布函数,则 F(−x)+F(+x)= _________ .880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (3) 设随机变量 第 22 页，共80页 X 服从泊松分布,且 P  X = 1  = P  X = 2  ,则 P { X  1 } = . (4) 在伯努利试验中,设事件发生的概率 p = 3 4 , X 表示首次发生所需试验次数, n 为正整数, 则 n 1 P  X 2 n    = = = _________ . a (5) 设离散型随机变量 X 的分布律为 PX =k= e−2,k=0,1,2, ,则常数 a= k! _________ .880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (6) 设 第 23 页，共80页 X N ( 0 , 2 ) , X   在区间 ( a , b ) 内取值的概率最大,其中 a0 ,则 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ .  = . (7) 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布, k 为大于零的常数,则 P { X  k + ∣1 X  k } = _________ . 三、解答题 (1) 设随机变量 X 服从 =2 的指数分布,求 Y =1−e−2X 的分布函数和概率密度.880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 (2) 设连续型随机变量 第 24 页，共80页 X 的概率密度为 f ( x ) ,求 Y = s in X 的分布函数和概率密度. (3) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) e 1 2 2 x , e 2 x 2 , x x 0 0 , ,  =  −   求 Y = X2 的分布函数和概率 密度 (可用 (x) 和 (x) 表示).880 · 概率 · 17.随机变量及其分布 拓展题 解答题 设随机变量 第 25 页，共80页 X 的概率密度为 f ( x ) =  1 0 − , x , − 其 1  他 x ,  1 , 求 Y = X2 +1 的分布函数与概率密度.880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 第十八章 多维随机变量及其分布 基础题 一、选择题 (1) 设二维随机变量 第 26 页，共80页 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) ,则 P  X  x 0 , Y  y 0  = ( ) . A. 1 F ( x 0 , y 0 ) F ( x 0 , ) F ( , y 0 )   + − + − + B. F ( x 0 , y 0 ) 1 F ( x 0 , ) F ( , y 0 )   − + + + + C. 1−F(x ,+)−F(+,y ) D. 0 0 1 − F ( x 0 , y 0 ) (2) 设两个相互独立的随机变量 X 与 Y 分别服从 N(0,1) 与 N ( 1 ,1 ) ,则 ( ) . A. P  X + Y  1  = 1 2 B. P  X + Y  0  = 1 2 C. P  X − Y  1  = 1 2 D. P  X − Y  0  = 1 2 二、填空题 (1) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为 且事件 X =0 与 X +Y =1 相互独立,则 a=_________,b=_________ . .880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (2) 设 X 与 Y 相互独立且均服从参数为  的指数分布,则 Z =minX,Y 的分布函数 F (z)= _________ . Z (3) 设随机变量 第 27 页，共80页 X , Y 均服从区间为  0 , 4  9 的均匀分布, PmaxX,Y3= ,则 16 P { m in  X , Y   3 } = _________ . (4) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 服从参数为 1  = 的指数分布, Y 服从参数为 0.6 的 0−1 分布, 则 PX +Y 1.6=_________ .880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 三、解答题 (1) 设二维随机变量 第 28 页，共80页 ( X , Y ) 的联合分布律为 (I) 求 P  m in  X , Y   0  ; (II) 问 X 与 Y 是否相互独立? 说明理由. (2) 设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  1 0 , , 0 其  他 x  . 1 , − x  y  x , 求: (I) 边缘概率密度 f (x), f (y) ; X Y (II) 条件概率密度 f ∣X Y ( ∣x y ) , f ∣Y X ( ∣y x ) ; (III) P  x  1∣2 Y  0  .880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (3) 设二维随机变量 第 29 页，共80页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  k 0 e , − (4 x + 3 y ) , x 其  他 0 , . y  0 , 求: (I) 常数 k 的值,并判别 X 与 Y 是否相互独立,说明理由; (II) Z =X +Y 的概率密度 f Z ( z ) . (4) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,其概率密度分别为 f X ( x ) 0 1 , e x1 , x x 0 0 , ,   fY ( y ) 0 2 , e 2 y , y y 0 0 , , =  −     =  −   其中 1 0 , 2 0     为常数. 令 Z =  1 0 , , X X   Y Y , , 求 Z 的分布律和分 布函数.880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (5) 设二维随机变量 第 30 页，共80页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) x 0 e , y , 0 x . y ,  =  − 其  他   + 求: (I) X 与 Y 的边缘概率密度,并判别 X 与 Y 是否相互独立; (II) ( X , Y ) 的分布函数 F(x,y) ; (III) Z = X + Y 的概率密度 f Z ( z ) . (6) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为 f ( x ) =  2 2 x 0 , , x 其  他 2 , , 求 Z = X Y 的分布函数和概率密度.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (7) 设随机变量 X 和 Y 相互独立, X 在区间 (0,1) 内服从均匀分布, Y 的概率密度为 第 31 页，共80页 fY ( y ) =  1 20 e , − y2 , y y   0 0 , . (I) 求 ( X , Y ) 的联合概率密度; (II) 设 X 和 Y 满足关于 k 的二次方程, k 2 + 2 X k + Y = 0 ,求 k 有实根的概率. (8) 设 X 与 Y 相互独立, X 1 服从参数为 的指数分布, Y 服从参数为 2 1 3 的指数分 布,求 Z = X + Y 的概率密度.880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (9) 设 第 32 页，共80页 ( X , Y ) 服从区域 G =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  1  上的均匀分布,求 Z = X Y 的分布函 数与概率密度. (10) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X N ( 0 , 2 ) , Y   服从  − a , a  ( a  0 ) 上的均匀分布, 求 Z =X +Y 的概率密度 (可用 (x) 表示).880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (11) 设随机变量 第 33 页，共80页 X 与 Y 相互独立, X 服从 p = 0 .6 的 0 − 1 分布, Y 的分布函数为 1−e−y, y0, F (y)= 记 Y 0, y0, Z = X − Y . 求:  1  (I) PZ − ∣X =0 ;  2  (II) Z 的分布函数. 综合题 一、选择题 (1) 设随机变量 X 与 Y 独立同分布,均服从 P  X = k  = p ( 1 − p ) k − 1 , k = 1 , 2 , , 0  p  1 , 则 P  X = Y  = ( ) p 1− p 2p p A. B. C. D. 1− p 2− p 1− p 2− p880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (2) 设二维随机变量 (X ,X ) 的概率密度为 f (x ,x ),Y =2X ,Y =3X ,则 (Y,Y ) 的概 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 率密度 f (y ,y )=( ) 2 1 2 A. 第 34 页，共80页 f1 ( 2 y 1 , 3 y 2 ) B. f1  1 2 y 1 , 1 3 y 2  1 C. f (2y ,3y ) D. 2 1 1 2 1 6 f1  1 2 y 1 , 1 3 y 2  (3) 设随机变量 X,Y 均服从 N ( 0 ,1 ) ,且 X 与 Y 相互独立,则 ( ) . A. P  X − Y  0  = 1 4 B. P  X + Y  0  = 1 4 1 C. PminX,Y0= D. 4 P  m a x  X , Y   0  = 1 4 (4) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X  N ( 0 ,1 ) .Y 的概率分布为 P  Y = 1  = 3 4 P  Y = 0  = 1 4 , ,记 Z =XY ,则对于 Z 的分布函数 F ( z ) 有 ( ) . A. lim z → 0 − F ( z ) = 3 8 , lim z → 0 + F ( z ) = 5 8 B. lim z → 0 − F ( z ) = lim z → 0 + F ( z ) = 1 2 1 3 C. lim F(z)= ,lim F(z)= D. z→0− 4 z→0+ 4 lim z → 0 − F ( z ) = 3 4 , lim z → 0 + F ( z ) = 5 8880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 二、填空题 (1) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 服从二项分布 第 35 页，共80页 B  4 , 1 2  , Y 服从 =1 的泊松分布, 则概率 P{1 m a x  X , Y   3 } = _________ . (2) 设随机变量 X 与 Y 均服从 N ( 0,2) ,且 P  X  1 , Y  − 1  = 1 4 ,则 P { X  1 , Y  − 1 } = _________ . 三、解答题 (1) 在区间  0 ,1  上随机地掷两点,求这两点间距离的概率密度.880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (2) 设二维随机变量 第 36 页，共80页 ( X , Y ) 在 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  1  上服从均匀分布,令 U =  0 1 , , X X   Y Y , , V =  0 1 , , X X   2 2 Y Y , , 求 ( U ,V ) 的联合分布律,并判别 U 与 V 是否相互独立. (3) 设随机变量 X 和 Y 都在  a , b  上服从均匀分布,且 X 与 Y 相互独立. 求: (I) Z 1 = m a x  X , Y  和 Z 2 = m in  X , Y  的概率密度; (II) (Z ,Z ) 的联合概率密度. 1 2880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (4) 设二维随机变量 第 37 页，共80页 ( X , Y ) 服从 D =  ( x , y )∣ y  0 , x 2 + y 2  1  上的均匀分布,令 U =  0 1 2 , , , X 0 Y    0 X X ,  , Y , V =  0 1 , , X X   3 3 Y Y , . 求: (I) (U,V) 的联合概率分布; (II) P  U V  0  . (5) 设 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  1 40 ( , 1 + x y ) , x 其  他 1 , . y  1 , (I) 求 X 和 Y 的边缘概率密度,并判别 X 与 Y 是否相互独立; (II) 记 Z 1 = X 2 , Z 2 = Y 2 ,求 Z 1 , Z 2 的分布函数及 ( Z 1 , Z 2 ) 的联合分布函数.880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (6) 设随机变量 第 38 页，共80页 X 的概率密度为 f ( x ) e x k e x ( x )   = + − −   + ,对 X 作两次独立观察,其 1, x 1, 观 测值分别记为 x 1 ,x 2 ,令 Y i = 0, x i i 1 (i=1,2) . 求: (I) k 的值及 P  X 1  0 , X 2  1  ; (II) ( Y 1 , Y 2 ) 的概率分布. 拓展题 解答题 (1) 设随机变量 X 1, 0x1, 与 Y 相互独立, X 的概率密度为 f (x)= Y 的分布函 X 0, 其他, 数为F (y) ,令 Y Z =  Y X , , X X   1 21 2 , , 求 Z 的分布函数 F Z ( z ) .880 · 概率 · 18.多维随机变量及其分布 (2) 设二维随机变量 第 39 页，共80页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) 0 2 , e x , 0 y x , ( 0 ) .    =  − 其  他   (I) 证明: Y 服从参数为  的指数分布; (II) 问 X 与 Y 是否相互独立? 并说明理由.880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 第十九章 随机变量的数字特征 基础题 一、选择题 (1) 设随机变量 第 40 页，共80页 X 服从参数为 2 的指数分布,则 Y = 2 X + e − 2 X 的期望 E Y = ( ) . 3 A. B. 2 2 3 C. 3 4 D. 4 3 (2) 设随机变量 X  B ( n , p ) ,且 E X = 2 .4 , D X = 1 .4 4 ,则 ( ) . A. n=8,p=0.6 B. n = 6 , p = 0 .4 C. n=4,p=0.5 D. n = 1 2 , p = 0 .1 (3) 设 E X 与 E ( X 2 ) 均存在,则 ( ) . A. E ( X2) (EX)2 B. E ( X2) (EX)2 C. E ( X 2 )  E X D. E ( X 2 )  E X公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (4) 设(X,Y)服从二维正态分布,则U = X +Y与V = X −Y 不相关的充分必要条件是 ( ) . A. 第 41 页，共80页 E X = E Y B. E ( X 2 ) = E ( Y 2 ) C. E ( X2) +(EY)2 =E ( Y2) +(EX)2 D. E ( X 2 ) + ( E X ) 2 = E ( Y 2 ) + ( E Y ) 2 (5) 设 X  N ( 0 ,1 ) , Y  N ( 1 , 4 ) ,且 X Y 1  = ,则 ( ) . A. PY =2X +1=1 B. P  Y = − 2 X + 1  = 1 C. P  Y = − 2 X − 1  = 1 D. P  Y = 2 X − 1  = 1 (6) 设随机变量 X 在  − 1 ,1  上服从均匀分布, Y 1 = a r c s in X , Y 2 = a r c c o s X ,则 Y Y1 2  = ( ) . 1 3 A. 1 B. -1 C. D. 2 4880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (7) 设袋中有 6 只红球,4 只白球,任意摸出一只球,记住颜色后放回袋中,共进行 4 次,设 X 表示摸到红球的次数,则 EX =( ) . 2 8 A. B. C. 5 5 第 42 页，共80页 1 2 5 D. 4 8 5 二、填空题 (1) 一袋中有 N 个球,其中白球数目 X 是一个随机变量,且 E X = n ,从袋中任取一球,则 取得的球是白球的概率为_______. (2) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 1 e x 2 2 x 1 ( x )    = − + − −   + ,则 E ( X2) = _________ .880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (3) 从 1,2,3,4,5 中任取一数 第 43 页，共80页 X ,再从 1, ,X 中任取一数 Y ,则 E Y = _ _ _ _ _ (4) 设随机变量 X 的分布函数 F ( x ) = 0 .3   x − 2 4  + 0 .7   x + 3 1  ,其中  ( x ) 为标准正态 分布的 分布函数,则 E X = _ _ _ _ . (5) 设 ( X , Y ) N ( 1 , 2 , 2 , 2 ; )       ,若 X + 2 Y 与 X − 3 2 Y 不相关,则相关系数  = _________ .880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (6) 设二维随机变量 第 44 页，共80页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  x 0 e , − x (1 + y ) , x 其  他 0 , , y  0 , 则 P { X  ∣2 X  E X } = _________ . 三、解答题 (1) 设 X 与 Y 的概率分布分别为 且 P  X2 =Y2 =1 . 求: (I) (X,Y) 的概率分布; (II) x y  .880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (2) 设随机变量 第 45 页，共80页 X , Y , Z ,满足 E X E Y 1 , E Z 1 .D X D Y D Z 1 , X Y 0 , X Z 1 2   = = = − = = = = = , Y Z 1 2  = − ,求 E ( X + Y − 2 Z ) , D ( X + Y + Z ) . (3) 设 X 与 Y 相互独立,且均服从 N  1 , 1 2  ,求 D ( X − Y ) . (4) 设 X 1 的概率密度为 f (x)= e−x,−x+ . 2 (I) 求 E X 和 D X ; (II) 求 C o v ( X , X ) ,并判别 X 与 X 是否不相关; (III) 问 X 与 X 是否相互独立?880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (5) 设随机变量 第 46 页，共80页 X 与 Y 相互独立, P  Y = − 1  = 1 4 , P  Y = 1  = 3 4 , X  N ( 0 ,1 ) .求: (I) Z =XY 的概率密度; (II) Cov(Z,X) . (6) 设 X N(1,1),Y N(−2,1) ,且 X 与 Y 相互独立. 求: (I) Z=2X +Y 的概率密度; (II) E ( 2 X + Y ) , D ( 2 X + Y ) .880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (7) 设二维随机变量 第 47 页，共80页 ( X , Y ) 服从区域 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  2  上的均匀分布. 求: (I) Z =X +Y 的概率密度; (II) E ( Z2) . 综合题 一、选择题 (1) 设对任意两个随机变量 X 与 Y ,有 E(XY)=EX EY ,则 ( ) . A. X 与 Y 相互独立 B. X 与 Y 不相互独立 C. D ( X + Y ) = D X + D Y D. D ( X Y ) = D X  D Y (2) 设 X N(0,1),Y =X2+X +1 ,则 X 与 Y( ) . A. 相关且相互不独立 B. 相关且相互独立 C. 不相关且相互独立 D. 不相关且相互不独立880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (3) 设随机变量 第 48 页，共80页 X 与 Y 相关,相关系数为 X Y , Z a X b ( a , b )  = + 为 常 数 ,则 Y Z X Y   = 的 充分必要条件为 ( ) . A. a0 B. a  0 C. a  0 D. a = 1 (4) 设随机变量 X 在 0 , 2    上服从均匀分布, U = s in X ,V = c o s X ,则 U 与 V 的相关 系数 U V  为 ( ) . A. U V 0  = B. U V 1  = C.0 1 D.−1 0 UV UV (5) 设随机变量 X 服从参数为 ( 0 )   的泊松分布, Y 服从参数为 1 的指数分布,则   =1 的充分必要条件是 ( ). XY A. c o v ( X + Y , X ) = 0 B. c o v ( X − Y , X ) = 0 C. cov(X +Y,Y)=0 D. cov(X −Y,X +Y)=0880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 二、填空题 C (1) 设随机变量 X 的概率分布为 PX =k= (k=0,1,2, ) ,则 E ( X2) =________ . k! (2) 设随机变量 第 49 页，共80页 X 在 ( 0 , a ) ( a  1 2 ) 内服从均匀分布,则 X 位于 E X 与 D X 之间的概 率为________ . (3) 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n 独立同分布,且有相同的概率密度,则概率 P  X n  m in  X 1 , X 2 , , X n − 1   = ________ .880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (4) 设随机变量 第 50 页，共80页 X 的概率密度为 f ( x ) ( 1 1 x 2 )  = + ,则 E ( m in  x ,1  ) = ________ . (5) 设 15000 件产品中有 1000 件次品,从中任取 150 件进行检测,则检测到次品数 X 的 期望 E X = ________ . (6) 设 ( X , Y )  N ( 1 ,1 , 2 , 2 ; 0 ) ,U = X + 2 Y ,V = X − 2 Y ,则 U V  = .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (7) 设二维随机变量 (X,Y)N(1,1;2,4;0) ,则 D(XY)=________ . 三、解答题 (1) 在区间 (0,1) 内随机取 第 51 页，共80页 n 个数 X 1 , X 2 , , X n . (I) 求最大数与最小数之间距离 d 的数学期望; (II) 若用 Y 表示 n 个数中大于 2 3 的个数,求 E Y 和 D Y .880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (2) 设 第 52 页，共80页 X 1 , X 2 , , X n ( n  2 ) 为独立同分布的随机变量,且均服从 N ( 0 ,1 ) , Y i = X i − X ( i = 1 , 2 , , n ) 1 n ,其中X = X .求: n i i=1 (I) D Y i ( i = 1 , 2 , n ) ; (II)  . YY 1n (3) 设随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A 1 , A 2 , A 3 ,且三种结果发生的概率均为 1 3 ,将试验 E 独立重复做 2 次, X 表示 2 次试验中结果 A 1 发生的次数, Y 表示 2 次试验中结果 A 2 发生的次数. 求: (I) (X,Y) 的联合分布律; (II) x y  .880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (4) 设随机变量 第 53 页，共80页 X 1 , X 2 , X 3 相互独立,且均服从参数为  的指数分布,记 T = m a x  Y , X 3  Y = m in  X 1 , X 2  , . 求: (I) Y 的概率密度 fY ( y ) ; (II) 期望 E T . (5) 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立同分布,其相同的概率密度为 f ( x ) 2 0 e , 2 ( x ) , x x , ( ) ,     =  − −   为 常 数 求 Z = m1  in i n  X i 的数学期望.880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 (6) 设 第 54 页，共80页 X 1 与 X 2 相互独立, X i  B ( i , p ) ( i = 1 , 2 , 0  p  1 ) . 令 Y 1 =  0 1 , , X X 1 1 + + X X 2 2 =  1 1 , , 0, X −X =2, Y = 2 1 2 1, X 2 −X 1 2. (I) 求 Cov(Y,Y ) ; 1 2 (II) 确定 p 的值,使 Cov(Y,Y ) 取值最小. 1 2 (7) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 P  X = 0  = P  X = 1  = 1 2 , Y 在  0 ,1  上服从均匀分布. 求: (I) Z =X +Y 的分布函数与概率密度; (II) 相关系数 x z  .880 · 概率 · 19.随机变量的数字特征 拓展题 解答题 (1) 设随机变量 第 55 页，共80页 X 1 与 X 2 相互独立,且 X 1  B ( 1 , p ) , X 2  B ( 2 , p ) ,其中 0  p  1 ,令 Y 1 = 2 X 1 + X 2 , Y 2 = X 1 − X 2 . (I) 求相关系数 Y Y1 2  ; (II) 问 Y 1 与 Y 2 是否相互独立? 并说明理由. (2) 设 X 是连续型随机变量,且 P  X  a  = P { X  b } = 1 4 ,令 X 2 =  − 1 1 , , X X   b b , . X 1 =  − 1 1 , , X X   a a , , 求: (I) ( X 1 , X 2 ) 的联合分布及边缘分布; (II) Cov(X ,X ),D(X −X ) . 1 2 1 2880 · 概率 · 20.大数定律与中心极限定理 第二十章 大数定律与中心极限定理 基础题 一、选择题 (1) 设 X ,X , ,X 是总体 1 2 n 第 56 页，共80页 X 的简单随机样本,且 E ( Xk) =a ,k=1,2,3,4 ,根据中心极限 k 定理,当 n 充分大时, Y n = 1 n n i= 1 X 2i 近似服从 ( ). A. N  a 2 , a 4 − n a 22  B. N ( a 2 , a 4 − a 22 )  a −a2 C. Na , 4 2  D.  1 n    N ( a 2 , a 22 ) (2) 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立,记 Y n = X 1 + X 2 + X n ,根据列维一林德伯格中心 极限定 理, Y n 近似服从正态分布 ( n 充分大),则只要 X 1 , X 2 , , X n ( ) . A. 服从同一离散型分布 B. 服从同一连续型分布 C. 服从同一指数分布 D. 具有相同的期望与方差880 · 概率 · 20.大数定律与中心极限定理 (3) 设 X ,X , ,X 是独立同分布的随机变量序列,且 E ( X2) + ,则对任意  有 ( ). 1 2 n i A. 第 57 页，共80页 lim n P 1 n n i 1 X 2i 0   →   =   = B. lim n P 1 n n i 1 X 2i E ( X 2i ) 0   →   = −   = C. limP    1  n X2 −E ( X2)    =1 D. n→  n i=1 i i  lim n P 1 n n i 1 X 2i 0   →   =   = 二、填空题 (1) 设随机变量 X i 服从二项分布 B ( i , 0 .2 ) , i = 1 , 2 , ,1 0 ,且 X 1 , X 2 , , X 1 0 相互独立,则根  10  据切比雪夫不等式,有 P6X 16__________ . i  i=1  (2) 设 X 与 Y 满足: E X 2 , E Y 2 , D X 1 , D Y 4 , X Y 1 2  = − = = = = − ,则根据切比雪夫不等式,   有 P X +Y 6 _________ .880 · 概率 · 20.大数定律与中心极限定理 (3) 设 第 58 页，共80页 X 在区间  − 1 , b  上服从均匀分布,由切比雪夫不等式有 P { X 1 } 2 3  −   ,则 b=________ ,=_________ . (4) 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立,且均服从 B  1 , 1 2  . 若存在常数 k ,使得 lim n P k n i 1 ( X 2 i n X 2 i 1 ) x ( x ) ,  →   = − −   =  其中  ( x ) 为 N ( 0 ,1 ) 的分布函数,则 k =________. . 三、解答题 (1) 设一条生产线的合格率为 0.8 ,要使一批产品的合格率在 7 6 % 与 8 4 % 之间的概率不 小于 90% ,问 这批产品至少要生产多少件?880 · 概率 · 20.大数定律与中心极限定理 (2) 设随机变量 第 59 页，共80页 X 的概率密度为 f ( x ) =  x 0 n e n , − ! x , x 其  他 0 , ( n 为 正 整 数 ) , 利用切比雪夫不等式证 明: P { 0  X  2 ( n + 1 )}  n n + 1 . (3) 设随机变量序列 X 1 , X 2 , , X n 独立, X i 的分布律为 其中 i=1,2, ,n ,利用大数定律证明: lim n P 1 n n i 1 X i 0   →   =   = .880 · 概率 · 21.数理统计的基本概念 第二十一章 数理统计的基本概念 基础题 一、选择题 (1) 设 第 60 页，共80页 ( X 1 , X 2 , X 3 ) 为总体 X N ( 0 , 2 )   的简单随机样本,则统计量 U = X 1 2 − X X 3 2 服从的 分布为 ( ) . A. t(1) B. t ( 2 ) C. F ( 1 ,1 ) D. F ( 2 ,1 ) (2) 设随机变量 X , Y 均服从 N(0,1) ,则 ( ) . A. X +Y 服从正态分布 B. X2 +Y2 服从 2 分布 X2 C. 服从 Y2 F 分布 D. X 2 与 Y 2 均服从 2  分布 (3) 设总体 X N ( , 2 ) , ( X 1 , X 2 , , X 1 6 )   为总体 X 1 16 的简单随机样本, X = X ,且 16 i i=1 P∣{ X − ∣k}=P{X −4} ,则 k = ( ) . A. 4 B. 4  C. 16 D. 1 6 公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 21.数理统计的基本概念 (4) 设 (X ,X , ,X ) 是来自总体 X N(0,1) 的简单随机样本,则统计量 1 2 10 第 61 页，共80页 T = 1 4  4 i= 1 X i  2 + 1 6  1 0 i= 5 X i  2 服从的分布为 ( ) . A. N(0,2) B. 2 ( 1 0 )  C. 2 ( 2 )  D. N ( 0 ,1 0 ) 二、填空题 (1) 从总体 X  N ( 3 .4 , 6 2 ) 中抽取样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) , X = 1 n n i= 1 X i ,若 X 位于(1.4,5.4)内 的概率不小于 0.95,则样本容量 n 至少应取______(已知  ( 1 .9 6 ) = 0 .9 7 5 ) (2) 设总体 N ( , 4 2 )  的简单随机样本为 (X ,X , ,X ) ,样本方差为 1 2 10 S 2 ,已知 P { S 2  a } = 0 .1 ,则 a  _ _ _ _ _ _ _ . (已知 20 ,1 ( 9 ) 1 4 .6 8 4  = ,上侧分位数)880 · 概率 · 21.数理统计的基本概念 (3) 设随机变量 第 62 页，共80页 X  F ( n , n ) ,且 P { X  a } = 0 .0 5 ,则 P  X  1 a  = ________ . (4) 设 X  t ( n ) , Y  F ( 1 , n ) ,给定 ( 0 0 .5 )     ,常数 k 满足 P{X k}= ,则 P  Y  k 2  = ________ . 三、解答题 (1) 设 ( X 1 , X 2 , , X 9 ) 为总体 X N ( 0,22) 的简单随机样本,若 a , b , c 使 X =a(X +X )2 +b(X + 1 2 3 X 4 + X 5 ) 2 + c ( X 6 + X 7 + X 8 + X 9 ) 2 服从 2  分布,求 a,b,c 的值 及 2 分布的自由度.880 · 概率 · 21.数理统计的基本概念 (2) 设总体 X N ( 0,2) ,(X ,X , ,X ) 为 1 2 10 第 63 页，共80页 X 的简单随机样本,求下列统计量的分布. (I) T 1 = 7 3  ( X X + 1 24 + X 2 + + X X ) 321 0 2 ; (II) T 2 = 7 3  X X 1 + 24 + X 2 + + X X 3 21 0 ; (III) T 3 = 7 3  X X 21 24 + + X 22 + + X X 2321 0 . 综合题 一、选择题 (1) 设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为总体 X N ( 0,2) 的简单随机样本, S2 = n ( X −X )2 ,X = 1  n X , 则下列选项服从 1 i n i i=1 i=1 t ( n − 1 ) 分布的统计量为 ( ) . nX n−1X n(n−1)X A. B. C. D. n−1S nS S 1 1 1 n ( n X − 1 ) S 1880 · 概率 · 21.数理统计的基本概念 (2) 设 第 64 页，共80页 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为总体 X 的简单随机样本, X = 1 n n i= 1 X i ,则 E ( X 2 ) 的矩估计量为( ) . A. X 2 + 1  n ( X −X )2 B. n i i=1 X 2 + n 1 − 1 n i= 1 ( X i − X ) 2 C. n 1 − 1 n i= 1 ( X i − X ) 2 D. 1 n n i= 1 ( X i − X ) 2 (3) 设总体X 与总体Y相互独立,且都服从 N ( , 2 ) , X  与 Y 分别为来自总体 X , Y 的样本均值, 样本容量均为 n ,则当 n 固定时, P { X Y }  −  的值随着的增大( ). A. 单调增加 B. 单调减少 C. 保持不变 D. 增减性不确定 二、填空题 (1) 设 (X,Y)N ( ,;2,2;0 ) ,X ,X , ,X (n 1) 和 Y,Y , ,Y (n 1) 分别为来自 1 2 1 2 n 1 1 2 n 2 1 2 总体 X 与 Y 的简单随机样本, X 与 Y 分别为其样本的值, T = n 1 + 1 n 2 − 2  n1 i= 1 ( X i − X ) 2 + n 2 j= 1 ( Y j − Y ) 2  ,则方差 D ( T ) = __________ .880 · 概率 · 21.数理统计的基本概念 (2) 设 X ,X , ,X 为来自总体 N(0,1) 的简单随机样本, X 为样本均值, S2 为样本方 1 2 n 差, T2 = 第 65 页，共80页 n ( X − S ) 2 ,则 E ( T 2 ) = _ _ _ _ _ . 三、解答题 (1) 设总体 X  N ( 0 ,1 ) , ( X 1 , X 2 , , X 2 n ) 为 X 的简单随机样本,求下列统计量的分布. (I) T 1 = 1 2 2 n i= 1 X 2i + n i= 1 X 2 i− 1 X 2 i ; (II) T 2 = 2 n − 2 n i= 2 1 X X 2i 1 ; (III) T 3 = ( 2 n ) − 3 2 n  3 i= 4 3 i= 1 2 X i X 2i .880 · 概率 · 21.数理统计的基本概念 (2) 设随机变量 第 66 页，共80页 X 1 , X 2 , X 3 相互独立且均服从 N ( 0,2) ,证明: T = 2 3 X 1 + X 2 X − 2 + X 3 X 3 服从 t(1)分布. (3) 设 ( X 1 , X 2 , , X n , X n + 1 ) 为总体 X N ( , 2 )   1 n 的简单随机样本,记 X = X ,S2 = n i i=1 ( )2 1  n ( X −X )2 ,Y = n  ( X −X )2 ,T = k X n+1 −X . n−1 i (n+1)2 n+1 S2 i=1 (I) 求 E Y 和 D Y ; (II) 若 T 服从 F 分布,求 k 的值.880 · 概率 · 22.参数估计 第二十二章 参数估计 基础题 解答题 (1) 设总体 第 67 页，共80页 X 的概率分布为 已知容量为 3 的样本值为 x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 1 ,求  的矩估计值和最大似然估计值. (2) 设总体 X 的概率密度为 f ( x ; ) 0 , x ln , x x 0 0 , ( 0 1 ) , ( X 1 , X 2 , , X n )     =  −     为总体 X 的简单随机样本,求  的矩估计量.880 · 概率 · 22.参数估计 (3) 设总体 X 的概率密度为 第 68 页，共80页 f ( x ; ) 0 , x 1 , 0 x , 1 ,    =   − 其  他  其中 0   为未知参数, ( x 1 , x 2 , , x n 为 X 的简单随机样本值. 求: (I)  的矩估计值; (II)  的最大似然估计值. (4) 设 X ,X , ,X 是来自总体 1 2 n X 的简单随机样本, X 的概率密度为 f ( x ) 1 2 e x , x , 0 .     = − −   +  求参数  的矩估计量 ˆ  及 E ( ˆ 2 )  .880 · 概率 · 22.参数估计 1  , 0x, (5) 设总体 X 的概率密度为 f (x;)= 其中 0 为未知参数,  0, 其他, 第 69 页，共80页 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为 X 的简单随机样本. 求: (I)  的最大似然估计量 ˆ  ; (II) E ˆ  和 D ˆ  . (6) 某射手进行独立重复射击,每次击中目标的概率为 p  0 ,设他在第 X 次射击时首次击 中目标,以 X 为总体, (X ,X , ,X ) 为 X 的简单随机样本. 求: 1 2 n (I) X 的概率分布; (II) 参数 p 的矩估计量和最大似然估计量.880 · 概率 · 22.参数估计 (7) 设 第 70 页，共80页 ( X 1 , X 2 , , X 1 0 ) 为总体 X N ( 0 , 2 )   的简单随机样本, 0   为未知参数. (I) 求 2  的最大似然估计量   ; 6 10 (II) 若记 U =X ,V =X ,利用最大似然估计量 i i i=1 i=5 ˆ 2  ,求相关系数 U V  . (8) 设总体 X 的概率密度为 f ( x ) 0 1 2 , x e (ln x 2 2) , x x 0 0 , ( X 1 , X 2 , , X n )   =  −   为总体 X 的简 单随机样本. (I) 求  的最大似然估计量 ˆ  ; (II) 记 Y = ln X ,求 Y 的分布函数和 E   .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 22.参数估计 (9) 设 X ,X , ,X 为来自总体 X 的简单随机样本, EX =,DX =2 ,若 1 2 n 第 71 页，共80页 ˆ k n i 1 1 ( X i 1 X i ) 2  =  − = + − 为 2 的无偏估计量,求 k 的值. (10) 设总体 X 的概率密度为 f ( x ; ) 3 0 2 x 3 , , 0 x , , 0     =  其  他   为未知参数, ( X 1 , X 2 , , X n ) 1 n 为 X 的简单随机样本, X = X ,Y =maxX ,X , ,X  ,证明: n i n 1 2 n i=1 3 n 3 + n 1 Y n 4 与 X 都是  的无偏估计量: 3880 · 概率 · 22.参数估计 (11) 设总体 第 72 页，共80页 X  B ( 1 , p ) ,参数 p   1 4 , 3 4  ,样本容量为 1,求 p 的最大似然估计值.  1 1 (12) 设总体 X 在 − ,+ 上服从均匀分布,为未知参数,(X ,X , ,X )为总体X   2 2   1 2 n 的样本,求  的矩估计量 ˆ1  和最大似然估计量 ˆ2  . (13) 设总体 X 服从参数为  的泊松分布, ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体 X 的样本, X 是样本均 值,S2是样本方差. (I) 对任意实数 C ,证明: 统计量 T = C X + ( 1 − C ) S 2 是参数  的无偏估计; (II) 求概率 PX 1 的最大似然估计量.880 · 概率 · 22.参数估计 (14) 设总体 X U(0,)(0),(X ,X , ,X ) 为 X 的简单随机样本, 1 2 n 第 73 页，共80页 X (n ) = m a x  X 1 , X 2 , , X n  . (I) 证明: ˆ1 2 X , ˆ2 n n 1 X n   = = + 是  的无偏估计; (II) 当 n  2 时, ˆ1  和 ˆ2  哪一个有效? (15) 设总体 X N ( , 2 ) , , 2    为未知参数, ( X 1 , X 2 , , X n ) 为总体 X 的简单随机样本 值,求 , 2  的最大似然估计量.880 · 概率 · 22.参数估计 (16) 设随机变量 第 74 页，共80页 X 的概率密度为 f ( x ) 1 2 e x , x ,    = − − −   + 为未知参数,由样本值: 1028, 9 6 8 ,1 0 0 7 ,求  的矩估计值和最大似然估计值. (17) 设总体 X 的概率密度为 f ( x ; 1 , 2 ) 1 2 e x 2 1 , 1 x , 2 0 ,         = − −    +  (X ,X , ,X )为 1 2 n X 的简单随机样本. (I) 当 1  已知时,求 2  的矩估计量和最大似然估计量; (II) 求 1 , 2  的矩估计量和最大似然估计量.880 · 概率 · 22.参数估计 (18) 设 第 75 页，共80页 T 是连续型随机变量, P  T a  , P { T b }    =  = ,其中 0 , 1 2 , a b      . 令 X =  − 1 1 , , T T   a a , , Y =  − 1 1 , , T T   b b , . (I) 求 ( X , Y ) 的概率分布及 Z = X + Y 的概率分布; (II) 若  为未知参数,利用总体 Z 的样本值 − 2 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2 ,求  的矩估计值与最大似然 估计值. (19) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) 2 1 2 e x 2 2 y2 2 , ( x , y ) R 2 , 0 .    = − +   记 Z = X 2 + Y 2 . (I) 求 Z 的概率密度 f Z ( z ) ; (II) 若 Z 1 , Z 2 , , Z n 为来自总体 Z 的简单随机样本,求 2  的最大似然估计量 ˆ 2  ,并证 明 ˆ2 是 2  的无偏估计量.880 · 概率 · 22.参数估计 (20) 设随机变量 第 76 页，共80页 X 与 Y 相互独立, Y 的分布律为 P  Y = − 1  = P  Y = 1  = 1 2 , X 的概率密 度 f (x) 满足 f ( x ) x 2 f ( x ) 0 ( 0 )    + =  ,记 Z = X Y . (I) 求 Z 的分布函数与概率密度; (II) 设 Z 1 , Z 2 , , Z n 为总体 Z 的简单随机样本,求 2  的最大似然估计量. (21) 设 0.50,1.25,0.80,2.00 为来自总体 X 的简单随机样本值, Y = ln X 服从正态分布 N(,1) ,已 知 (1.96)=0.975 . 求: (I) EX ; (II)  的置信度为 0.95 的置信区间; (III) E X 的置信度为 0.95 的置信区间.880 · 概率 · 22.参数估计 拓展题 解答题 (1) 设相互独立的随机变量 第 77 页，共80页 X 1 , X 2 , , X n 均服从N ( ,2), Y i X i ( i 1 , 2 , , n ) , Y 1 n n i 1 Y .i  = − = =  = (I) 求 Y 的概率密度; 1 (II) 利用一阶矩求  的矩估计量; (III) 求 E Y 和 D Y . (2) 设总体 X 的概率密度为 f ( x ; ) 2 0 e , 2 ( x ) , x x , ,     =  − −   其中 ( 0 )   为未知参数, ( X 1 , X 2 , , X n ) 为来自总体 X 的简单随机样本. (I) 求  的矩估计量 ˆ1  与最大似然估计量 ˆ2  ; (II) 问 ˆ1  和 ˆ2  是否为  的无偏估计量? (III) 将 ˆ1 , ˆ2  修正为  ˆ , ˆ ,使 3 4 ˆ3 , ˆ4   为  的无偏估计,并比较 ˆ3 , ˆ4   的有效性.880 · 概率 · 23.假设检验 第二十三章 假设检验 基础题 一、选择题 (1) 在假设检验中,检验水平  的意义是 ( ). A. 原假设 第 78 页，共80页 H 0 成立,经检验 H 0 被拒绝的概率 B. 原假设 H 0 成立,经检验 H 0 不能被拒绝的概率 C. 原假设 H 0 不成立,经检验 H 0 被拒绝的概率 D. 原假设 H 0 不成立,经检验 H 0 不能被拒绝的概率 (2) 设 X ,X , ,X 为来自总体 1 2 n X N ( ,1 )   的简单随机样本,X 为样本均值,对于假设检 验 H 0 : 0   =  1.96 ,若取拒绝域R =X  + ,(x)为 a 0  n  N ( 0 ,1 ) 的分布函数,则该检验犯第一 类错误的概率为 ( ) . A. 1−(0.04) B. 1−(0.05) C. 1−(1.96) D. 1−(1)880 · 概率 · 23.假设检验 二、填空题 设总体 X N ( ,2) ,(X ,X , ,X ) 为 1 2 n 第 79 页，共80页 X 的简单随机样本,其中 , 2  未知, X = 1  n X , Q2 = n ( X −X )2 ,则假设 n i i i=1 i=1 H 0 : 0  = 的 t 检验统计量 T = ________ . 三、解答题 (1) 设在一批圆木中随机抽取 100 根,测其小头直径,得到样本均值为x=11.2cm,已知标准差  = 2 .6 c m ,问在显著性检验水平 0 .0 5  = 下,该批圆木小头平均直径能否认为是在 1 2 c m 以上? (已知(1.645)=0.95)880 · 概率 · 23.假设检验 (2) 设某生产线生产袋装产品,正常情况下每袋 第 80 页，共80页 1 k g ,标准差不超过 1 5 g ,且每袋重量服从正态分 布.现检查机器生产情况,从中任取10袋,测得其均值为x=998g,样本均方差为 S = 3 0 ,在显著 性水平 = 0.05下,问机器生产是否正常?(已知 20 .0 5 ( 9 ) 1 6 .9 1 9  = )公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取