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专题21 计数原理
1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
2、【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行
培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
3、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配
方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
4、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A． B． C． D．
5、【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 个场馆，甲场馆安排 名，
乙场馆安排 名，丙场馆安排 名，则不同的安排方法共有 （ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
6、【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
7、【2020全国Ⅱ理】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少
安排1名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
8、【2020全国Ⅲ理14】 的展开式中常数项是 （用数字作答）．9、【2020浙江卷12】设 ，则 ；
．
10、【2020天津卷11】在 的展开式中， 的系数是_________．
11、（2020全国Ⅰ理8） 的展开式中 的系数为 （ ）
A． B． C． D．
12、【2020北京卷3】在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A． B． C． D．
11、（2019全国I理II理4）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
13、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
题组一、排列、组合问题
1-1、（2022·河北唐山·高三期末）六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名
志愿者，则安排方式共有（ ）
A．15种 B．90种 C．540种 D．720种
1-2、（2022·山东日照·高三期末）某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教 (每地1人)，其中
甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为（ ）
A．48 B．60 C．96 D．168
1-3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加
演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或
一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架
飞机的不同选法共有（ ）A．51种 B．168种 C．224种 D．336种
1-4、（2022·湖北·高三期末）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学
去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．14种 C．12种 D．10种
1-5、（2022·湖南郴州·高三期末）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务
小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小
组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
1-6、（2022·广东潮州·高三期末）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然
繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣
传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不
同的分配方法总数为（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．64种
题组二、二项式定理展开式项与系数的问题
2-1、（2022·广东东莞·高三期末） 的展开式中 项的系数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2-2、（2022·广东罗湖·高三期末） 的各项系数和为（ ）
A． B．27 C．16 D．
2-3、（2022·山东临沂·高三期末）若 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的
展开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
2-4、（2022·河北深州市中学高三期末） 展开式中 的系数为
A．1 B．-9 C．31 D．-19
2-5、（2022·山东省淄博实验中学高三期末） 的展开式中 的系数为 ，则该二项式展
开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．2-6、（2022·湖南娄底·高三期末）若 ，则 （ ）．
A．9 B． C．405 D．
题组三、二项式定理展开式的综合性问题
3-1、（2022·山东青岛·高三期末（多选题）） 的展开式中各项系数之和为2，则其中正
确的是（ ）
A．a=1
B．展开式中含 项的系数是
C．展开式中含 项
D．展开式中常数项为40
3-2、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的展开式中常数项是15 B． 的展开式中各项系数之和是0
C． 的展开式中的二项式系数最大值是15 D． 的展开式中不含 的项
3-3、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）已知二项式 的展开
式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中 的指数均为偶数
3-4、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知 ， ．记
．（1）求 的值；
（2）化简 的表达式，并证明：对任意 的， 都能被 整除．
1、（2022·山东青岛·高三期末） 的展开式中 的系数为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．
2、（2022·山东日照·高三期末）在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3、（2022·山东济南·高三期末） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
4、（2022·山东临沂·高三期末）为了支援山区教育，现在安排 名大学生到 个学校进行支教活动，每个
学校至少安排 人，其中甲校至少要安排 名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． B． C． D．
5、（2022·广东汕尾·高三期末）已知 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则
的展开式中的常数项为（ ）
A．-240 B．240 C．-60 D．60
6、（2022·广东佛山·高三期末） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．7、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）已知 的展开式中共有7项，则（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
8、（2022·江苏常州·高三期末）（多选题）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，
要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（ ）
A． B．
C． D．
9、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数
之和为N，若 ，则展开式中 的系数为_______．
