文档内容
＇
需耍分方、 右极限求极限的二．种 常见情况：
｀分段函数在分界点处的极限
产型极限（如 x x
@e lime-;, lim e , lim e- )
X-0 x-CX) X-CX)
一 1
型极限（如 -=-,
®arctanoo limarctan Jim arctanx)
x 0 X x_,OO
（二）极限性质
1、 局部有界性
定义若 。 存在，则 在点 。某去心邻域内有界
limf(x) f(x) x
x->x
2、 保号性
定义设 。 = A
Jimf(x)
X➔X
►
若A>O，则蛉＞0，当 。,8)时， > O;
xE U(x f(x)
►
如果当 。,8)时， 0，那么A?O
xE U(x f(x) �
【注】由保号性不难得到保序性： 设
limf(x)
= A,
lim
。
g(x)
= B，则
x_,xo x_,x
►
若A>B⇒:38> 0，当 。,8)时， >
xE U(x f(x) g(x),
►
若环＞0，当 。,8)时， 之 ）⇒A�B
XE �(x f(x) g(x
3、 函数值与极限值的关系
=A q =A+ ，其中 = 0
limf(x) f(x) a(x) lima(x)
（三）极限存在准则
1、 夹逼准则
若Yn � Xn � Zn，且 nli-mOO y11 = llli-mOO z11 = a ，则 lhl-mOOx 11 = a
、 单调有界准则
2
单调有界的数列必有极限［微信公众号： 考研斯基］
单调增、 有上界的数列必有极限；单调减、 有下界的数列必有极限
（四）无穷小
l、 无穷小的概念
定义若 = 0，称 为无穷小 。或 CX))
limf(x) f(x) (x ----t X x -
7、无穷小的比较：设
2 lima(x) = 0, lim�(x) = 0
高阶：若 lim 空� = 0，记为 a(x) = o（队x));
�(x)
同阶：若 气＝ C -=I= O;
lim
等价：若 lim 言＝ L记为 a(x) 平 (x);
无穷小的阶：若 C -=I= 0，称 是 的K阶无穷小，
lim�= a(x) �(x)
3、无穷小的性质
有限个无穷小的和仍为无穷小，
有限个无穷小的积仍为无穷小，
无穷小量与有界量的积仍为无穷小
（五）无穷大
1、无穷大的概念
定义若 Jimf(x) = oo，称 f(x) 为 x ➔ x 。时的无穷大，
x->xo
2、常用的 一些无穷大的比较
当X �+ 时， 饮＜＜炒 x 其中 1.
co In <0, � > 0,a >
当 时， a ll il，其中
n� co !n n<< n� << a << n! << n a>0, � > 0,a > 1
3、无穷大与无界变量的关系
数列 是无穷大： 当 时，恒有
{xn} VM> 0, 3N > 0, n>N lxn l> M.
数列｛汕｝是无界变量： ，使 ［微信公众号：考研斯拈］
VM> 0, 3N > 0 lxnl> M.
无穷大⇒无界变量
4、无穷大量与无穷小量的关系
在同一极限中如果
f(x)
是无穷大，则言是无穷小，反之，如果
f(x)
是无穷小，且
f(x)
工
0，则二－是无穷大
f(x)
8题型二求极限
1、 求极限的常用方法
力认 利川有押运符认则求极限
1:
若limf(x)=A,limg(x)=B那么：
lim[f(x)土g(x)]=limf(x)士lilng(x)=A土B
lim[f(x)· g(x)]=limf(x)· limg(x)=AB
• r f(x) 7 limf(x) A
lim[�] = = —(B -=I=- 0)
g(x) J limg(x) B
推论
若limf(x)=A-:f::-0则Iimf(x)g(x)=Al img(x)
（即：极限非零的因子极限可先求出来）
，
f(x)
若Jim—－存在，limg(x)=O⇒limf(x)=O;
g(x)
f(x)
若Jim—-＝A-:f::-0,limf(x)=O⇒limg(x)=O
g(x)
【例 l】(2022年1)设 x Ji -> m 1 坠 lnx � = 1，则（ ）
(A) f(l)=O (B)lil1).f(x) = 0 CC) f'(l)=l (D) liil)f'(x) = 1
x_,1 x_,1
一
【注】存在土不存在＝不存在 不存在士不存在＝不 定
【例 2 】已知数列 {an} 单调减，｛ b 社单调增，且 n li _ m ,OO ( a 11 -b11) = 0 ，则（ ）
(A) { a11}收敛，｛bn}不收敛
(B)｛bn}收敛，｛an}不收敛［微信公众号： 考研斯拈］
CC){a叶，｛b叶行I)收敛，但 n J - im OO a 11 -=t- n J - im OO b 11
一
CD) {a11},{b11}占1圳欠佥欠，但 n lim 03 a11 = n li - m CX) b 11
方法2: 利用坚本极限求极限
常用的基本极限
lim — smx = 1 lill}(l + x) ） � = e lim(1 +－ 1 ）x = e
x➔O x x-,o x_,OO X
ax—1
—
l
x
i
➔
m
O x
= Ina
n
li
->
m
co
霾 ＝1
n
Ji
---->
m
oo
霾 ＝l(a > 0)
( a
x
l.
1 f
mb a
m
n
x
x
n
I
1
1
＋
+
b
a I
I
1
n
1
1
x
X
,1
1 n
-
-
1
1
＋
＋
．
．
．
．
＋
＋
a
b
1
1
X
x
＋
＋
a
。
o
b
＿
＿
, |
Y |
1
,— 了 2
m
oJ
n ，
n
n
n
<
=
m
m
m
\
8
, >
10力认5:利川泰勒公式求极限
定理（泰勒公式） 设f(x)在x=x。处n阶可导，则
11
f(x) = f(x0) + f (x0)(x -x。)＋．．．十�(x-x矿＋o(x-x0)
。 = —f, (0) x 2 + fn) （0) n n
特别是当x 0时，f(x) = f(O) + f'(O)x +
2!
...+ �n' x + o(x )
几个常用的泰勒公式
►
n
$
=l+x+f+..．十：十o(x )
► —X 3 n—1 X 2n-1 2n
sinx = x- 3! +． ．． ＋ （－ 1) 2n—1) I +o (x )
(
► 2
— n L2nn
cosx = 1- 三
2!
＋...+ ＋ (（-l)
(
�2n)1 ++ oo((xx )
► —— X2 — 11—1— xIl 11
ln(l + x) = x 2 +．．．+ （ 1) n +o(x )
► (1 + x)a = 1 +ax+ �x 2 +…+a (G- 1 ) ！l\a- n + 1 ）炒＋ o(x 11 )
已＋1一五
2
【例】求极限h
x-,
m
Q (cosx-ex2" )sin奴
方法6:利用夹逼准则求极限
1 2 n
【例】求极限 ! l ; i :__: m �L [ I产＋1' ＋ n2 +2 ' ＋ ·．·．·． ' ＋ n红n］J .
力认7:利川定积分的定义求极限
—1 —1 —1
【例】求极限 n li ----> m oo [L n+l + n+2 +．．．+ n+n ]．
力认8:利川单调有界泭则求极限
1 1
—
【例】设X11 >> 0O,, xX n +l = �2 (xn + xn )，n = 1,2,． ．．，求极限杻匠
2、求极限常见的题型
(1)函数的极限
%,�,o OO ° °
7种不定式，即 切，CX)-CX)，1 ,CX) ,0 ［微信公众号：考研斯基］
0
重 J 点 :
0
- ， 18
U“
o
』
－ 型
极一＼
J
良
( 洛必达法叽_
a
i
气价无穷lJ
” E
lIJ
用方
y
、上了了
.
ei _ Yb泰勒公式 1＼飞换
' _
1c
\
12l
【例l】设a ll = :I」 2 .2 4 ..．．．竺 2� n I 求h n---- m ;OO a n·
【例2】求极限 n h _, m CX) 气 ll ／（n + l)(n + 2)... (n + n)
折- 1
【注】同样的方认可求得lim—1
＝ －．
n-CX) n
e
4)递推关系（难）
x = a,X n+l = f(xn)(n = 1,2,...)定义的数列［微信公众号：考研斯基］
1
常用的方法有两种：
方法l:先证{xn}收敛（单调有界准则），然后等式Xn+1=f(Xn)两哨取极限得A=f(A),
由此求得极限 A
肛
方忍2:先令 1四凹恩Xn= A，然后笘式Xn11=f(xn)取极限得A最后再证明
1
�Xn= A
：
单调性判定常用的三种方法：
『
0(
言言号
b : >1( <1)
设数列{xn}由x = a,X + = f(x ) (n = 1,2,...）所确定
C. 1 11 1 11
若f(x)单调增，则当x
1
三x
2
时，｛Xn}单调增；当X
1
之X
2
时，｛X n}单调减，若f(x)单调减，
则{xn}不单调
= =
【例l】设0 < X < 3,X +l �,(n 1,2,…），证明：数列{xn}极限存在
1 n
并求此极限
✓
【例2】设X 1 =./6, Xz =五言， ，X 11 = j6+ 6+ ＋高，求极限 n h - m OO x n
【例3】设X 1 > 0, Xn+l = 1 - e-x11,n=l,2,
(I)证明数列{xn}收敛，并求极限
n
h
-
m
OO
x
11
;
(II)求极限lim 趼坪＋1
n-,oo x11-Xn+l
= =
【例4】设X 1 2,X n +l 2＋ X 芞 n n=l,2, ），求极限l n i - m OO x 11 .
。
= = =
【例5】设f(x)可微，且O 4, b -=I= 0)求n,m,b
题型四无穷小量阶的比较
l、洛必达法则（求导定阶）
若x�o时，f(x)是无穷小晕，且f'(x)是x的k(k2:0)阶无穷小，则f(x)是k+l阶无穷小
冕［微信公众号： 考研斯峓］
2、等价无穷小代换
若x�o时，f(x)是无穷小量，且f(x)�Ax k (A-::f::-0,k>O)，则f(x)是x�o时的K阶无穷
小晕
3、 泰勒公式
。 。
f f 2 广
【例l】把X40可寸的 无穷小a = x cost 2 dt,B = � tan{tdt, y = fi sint3 dt
一
进行排序，使排在后面的是前 个的高阶无穷小，则正确的排列顺序是（
(A) a, �,y (B) a,y , � (C) �,a , y CD) �,y,a
【例2】当x�o时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）
x
(A) (2 + tanxY—2 (B) (cosx吓—1
。 ｀声
f 1-cosx f 1-
(C) extsint2 dt (D) ln(l +t 3 )dt
sin
x
【例3】当x�o时，f(x) =x-sinax与g(x) =x 2 ln(1-bx)是等价无穷小，则( )
1 1
(A) a=l,b=--; CB) a=l,b=-
6 6
1 1
CC) a=-1,b=--; CD) a=-1,b=-
6 6
4 2 3 3
【例 】设p(x) = a+b x+c x +d x 当x�o时，若p(x)-tanx是比x 高阶的无
穷小，则下列结论中错误的是（ ）
1
CA) a=O CB) b=l CC) c=O CD) d=-
6
17
