文档内容
专题23 圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点 任 铀上，过点 的且线交 于
两点，且 ，线段 的中点为 ，则直线 的斜率的取大值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·河南郑州·统考一模）过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于 、 两点，若
，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上一动点， 关于直
线 的对称点为M， 关于直线 的对称点为N，当 最大时，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西上饶·统考一模）双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，过 作垂直于x轴的直线交
双曲线于A，B两点，则 的内切圆半径等于（ ）
A． B． C． D．2
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C： 的离心率为 ， ， 分别是C的左、右焦点，
经过点 且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若 的面积为64，则C的实轴长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．166．（2023·陕西安康·统考二模）设抛物线C： 的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，
且 ，过弦AB的中点P作 的垂线，垂足为Q，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆 的左右焦点为 、 ，过 和点 的直线交椭圆于M、
N两点，若P（0，m）满足 ，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，且直
线 分别与抛物线 交于 和 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·安徽·统考一模）已知 为坐标原点，点 ，线段 的中点 在抛物线
上，连接 并延长，与 交于点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．点 为线段 的中点
C．直线 与 相切 D． 在点 处的切线与直线 平行
10．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ： ， ，点 为椭圆 外一点，过点 作椭圆 的两条
不同的切线 ， ，切点分别为 ， .已知当点 在圆 上运动时，恒有 .则（ ）A．
B．若矩形 的四条边均与椭圆 相切，则矩形 的面积的最小值为14
C．若点 的运动轨迹为 ，则原点 到直线 的距离恒为1
D．若直线 ， 的斜率存在且其斜率之积为 ，则点 在椭圆 上运动
11．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，椭圆上一点P与焦点 所
形成的三角形面积最大值为 ，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为
B．直线 与椭圆C无公共点
C．若A，B为椭圆C上的动点，且 ，过 作 ， 为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径
满足
D．若过点 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则
12．（2023·安徽淮北·统考一模）已知曲线 ，直线l过点 交 于A，B两点，下列命题正确的有
（ ）
A．若A点横坐标为8，则
B．若 ，则 的最小值为6
C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线 有且只有一个公共点
D．若 ，则以线段AB为直径的圆的面积是
三、填空题
13．（2023·福建福州·统考二模）已知椭圆C： ，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________．
14．（2023·贵州贵阳·统考一模）抛物线 ，圆 ，直线l过圆心M且与抛物线E
交于A，B与圆M交于C，D.若 ，则 ___________.
15．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线 的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足
为A，若直线 的斜率为 ，则 的面积为______．
16．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A，B是抛物线C： 上的两点，F是抛物线C的
焦点，若 ，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则 的最小值为________.
四、解答题
17．（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆 的离心率为 ，以C的短轴为直径的圆与直线
相切.
(1)求C的方程；
(2)直线 ： 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的
斜率为 （O为坐标原点）， APQ的面积为 . 的面积为 ，若 ，判断 是否为定值？
△
并说明理由.
18．（2023·山东泰安·统考一模）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 是椭圆 上不同的两点，且点 在 轴上方， ，直线 ， 交于点 .已知当
轴时， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：点 在以 ， 为焦点的定椭圆上.
【提能力】
一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率大于零的直线 与 相交于 ，
两点，若直线 与抛物线 相切，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
20．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C： ，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB
的斜率分别为 ， ，且 ，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，
N，则 PMN的面积的最小值为（ ）
△
A． B． C． D．
21．（2023·广西梧州·统考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线 右支
上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ， ．若圆 与双曲线 的渐近线相切，则下列结
论正确的有（ ）个．
① ；
② 为定值；
③双曲线 的离心率 ；④当点 异于顶点时，△ 的内切圆的圆心总在直线 上．
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的左、右顶点为P、Q，点D在双曲线上且位
于第一象限，若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C： 的离心率 满足
，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·广东广州·统考一模）双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双
曲线于 两点， 的内切圆圆心分别为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆 的左､右顶点分别为 ，点 在
上，且直线 斜率取值范围是 ，那么直线 斜率取值范围是（ ）
A． B．C． D．
26．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C
在第一、四象限分别交于点A，B，与圆 相切，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
27．（2023·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线
对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经过
上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（）
A．
B．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
C．
D．若 平分 ，则
28．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l
与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为 ．设直线l的倾斜
角为 ，当 时， ．则下列说法正确的是（ ）
A． 有可能为直角
B．C．Q为抛物线C上一个动点， 为定点， 的最小值为
D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在 ，使
29．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上第一象
限内任意一点， ， 表示直线 ， 的斜率，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P，使得 成立 B．存在点P，使得 成立
C．存在点P，使得 成立 D．存在点P，使得 成立
30．（2023·山东济宁·统考一模）已知 ， 是椭圆 ： ( )与双曲线 ： (
)的公共焦点， ， 分别是 与 的离心率，且 是 与 的一个公共点，满足 ，则
下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
三、填空题
31．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线 ，过焦点的直线 与抛物线 交
于 两点， 在抛物线 的准线上，且满足 ，则直线 的方程为___________.
32．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲
线 相交于 两点，点 ，以 为直径的圆与 相交于 两点，若 为线段 的中点，则__________.
33．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线 的右焦点，A，B分别为双曲线E的
左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有
B，P，Q三点共线，则 的最大值为____________.
34．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ，斜率为 的直线 分别交 轴负半轴、 轴负半轴于 、
两点，交 于 、 两点，点 在 轴上方，过点 作 轴的平行线交 于 、 两点，则 面积的最大值
为________．
四、解答题
35．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ， 过椭圆的
焦点且与长轴垂直的弦长为 1 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 两点， 交直线 于点 ，若 ， 求
证: 为定值.
36．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E： 与直线l： 相交
于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分
点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
37．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知 ，直线l： ，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设 ， ，证明 定值，并
求 的取值范围．
38．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 经过点 ，且椭圆的长轴长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴相交于点
，求 的面积 的取值范围．
