文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题23 概率、随机变量及其分布（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）若事件 与 相互独立，且 ，则
的值等于（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且 ，
， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏南通·统考一模）已知随机变量 服从正态分布 ，有下列四个命题：
甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）在如图所示的正方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部分（曲线
为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A．4772 B．6826 C．3413 D．9544
5．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、
乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车
是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先
后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件 ，则（ ）
A． B． 为互斥事件
C． D． 相互独立
7．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件 互斥， ，则
B．若事件 相互独立， ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题
8．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知随机变量 ，且 ，则
______.
9．（2023·全国·模拟预测）在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡
片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事件 表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X
表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正确的是______（填标号）.① ；②
；③ .四、解答题
10．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式､认知模式与思
维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考.某地对本地群众（中老年人与
年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：
年轻
中老年人 合计
人
经常电子阅读 50 35 85
经常纸质阅读 x y 115
合计 M N 200
设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为 ；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取的中
老年人数为 .已知 .
(1)求列联表中x，y，M，N的值，并判断是否有 的把握认为阅读习惯与年龄有关；
(2)从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出6人，再从抽出的6人中用简单随机抽样的方法抽取4人，若
其中经常电子阅读的人数为X，求 .
参考公式及参考数据：
，其中 .
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最
大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率
为p（ ），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最
大续航里程为X，且 ，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（ ）A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8
二、多选题
2．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知随机变量 服从正态分布 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D． 的方差为2
三、填空题
3．（2023秋·江苏·高三统考期末）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量 的取
值集合均为 ，则 的散度 .若 ， 的概率分布如下
表所示，其中 ，则 的取值范围是__________.
0 1
0 1
四、解答题
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生
产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、
丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
5．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、
出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销
得到了销量 （单位：百万盒）与单价 （单位：元/盒）的如下数据：6 6.2 6.4 6.6 6.8
50 45 45 40 35
(1)根据以上数据，求 关于 的经验回归方程；
(2)在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验
良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中
“体验非常好”的人数为随机变量 ，求 的分布列和均值
参考公式：回归方程 ，其中 ， .
参考数据： ， .
6．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰
子．规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束．
(1)记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；
(2)已知甲先掷，求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率．
7．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投
资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况
发生的概率分别为 和 ；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，
且这三种情况发生的概率分别为 ， ， ．
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问
大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据 ， ）
8．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从
本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的
人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
报名人员数 /千人 5 7
录用人才数 /千人
(1)求出y关于x的经验回归方程；
(2)假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴
（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；
（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为 ， ．若两人的生活津贴之和的均
值不超过3万元，求 的取值范围．
附：经验回归方程 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
9．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，
左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某
位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：
游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．
游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的
“右”字．
游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友
面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者
看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指
令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作
的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．
游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲
得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙
两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位
小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游
戏中的指令动作的概率为 ，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为 ”，一次游戏中甲小朋
友的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分， 表示“甲小朋友的当前累计得分为i
时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
（i）证明： 为等比数列；
（ii）根据 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为
0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
10．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语
文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩
数学成绩 合计
不优
优秀
秀
不优秀 80 40 120
优秀 40 40 80
合计 120 80 200
(1)依据 的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为 ，求 的分布列与期望.附：
参考公式： ，其中 .
12．（2023·全国·模拟预测） 年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮
点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率定位持球球员，以
此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片中随机抽取 个，将抽取到的传感
芯片的最高频率（单位： ）统计后，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求这批芯片的最高频率的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和方差 ；
(2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率 服从正态分布 ．用样本平均数 作
为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，试估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于
的概率；
(3)若传感芯片的最高频率大于 ，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内置 个传感
芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越
位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和
维护费用约为 万元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为 万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？
附： ， ， ．
