[A4版]900题数二高数部分做题本_考研_数学_08.李艳芳_25李艳芳《900题》做题本_数二

900 · 目录 目录 第一章 函数、极限、连续 ......................................................... 2 A 类 ....................................................................... 2 B 类 ...................................................................... 23 C 类 ...................................................................... 41 第二章 一元函数微分学 .......................................................... 43 A 类 ...................................................................... 43 B 类 ...................................................................... 71 C 类 ...................................................................... 99 第三章 一元函数积分学 ......................................................... 103 A 类 ..................................................................... 103 B 类 ..................................................................... 133 C 类 ..................................................................... 166 第四章 多元函数微分学 ......................................................... 170 A 类 ..................................................................... 170 B 类 ..................................................................... 187 C 类 ..................................................................... 202 第五章 二重积分............................................................... 204 A 类 ..................................................................... 204 B 类 ..................................................................... 220 C 类 ..................................................................... 232 第六章 常微分方程 ............................................................. 235 A 类 ..................................................................... 235 B 类 ..................................................................... 250 C 类 ..................................................................... 265 第 1 页，共265页900 · 1. 函数、极限、连续 第一章 函数、极限、连续 A 类 一、选择题 1 在下列区间内,函数 第 2 页，共265页 f ( x ) = 3 x e( x x − − 1 1 ) 有界的是 ( ) (A)  0 , 1 2  . (B)  1 2 ,1  . (C) ( 1 , )  + . (D) 以上都不正确. 2 在下列区间内,函数 f ( x ) =  1 − ( x c o − s 4 2 ) ( 2 x ( − x 4 − ) 3  ) s 2 in ( x ( x − − 2 3 ) ) 有界的是 ( ) (A) ( 1 , 2 ) . (B) ( 2 , 3 ) . (C) ( 3 , 4 ) . (D) ( 4 , 5 ) .900 · 1. 函数、极限、连续 3 下列命题中,正确的是( ) (A) 若 第 3 页，共265页 f ( x ) 与 g ( x ) 都不是连续函数,则 f ( x ) + g ( x ) 也不是连续函数. (B) 若 f ( x ) 与 g ( x ) 都不是单调函数,则 f ( x ) + g ( x ) 也不是单调函数. (C) 若 f ( x ) 与 g ( x ) 都是无界函数,则 f ( x ) + g ( x ) 也是无界函数. (D) 若 f ( x ) 与 g ( x ) 都是奇函数,则 f ( x ) + g ( x ) 也是奇函数. 4 设  a n  , b n  均为正项数列,其中  a n  无界,  b n  有界,则下列数列中,一定有界的是( ) b   b  (A)  n . (B) n . (C) a 1+a b  n  n n  n a n b n  . (D)  a n b n − a n − 1 b n − 1  . 5 设数列  a n  满足 a n = n n , n = 1 , 2 , ,则下列命题中,正确的是( ) (A) 数列  a n  能取到最小值,但取不到最大值. (B) 数列  a n  能取到最大值,但取不到最小值. (C) 数列  a n  既能取到最大值,又能取到最小值. (D) 数列  a n  既不能取到最大值,又不能取到最小值.900 · 1. 函数、极限、连续 n  1 6 设 a = 1+sin ,n=1,2, ,则下列命题中,正确的是( ) n    n (A) 数列 第 4 页，共265页  a n  单调增加且收敛于 e . (B) 数列  a n  单调减少且收敛于 e . (C) 数列  a n  单调增加且收敛于 e sin 1 . (D) 数列  a n  单调减少且收敛于 e sin 1 . 7 设数列  x n  收敛,则( ) (A) 当 lim n ta n x n 0  → = 时, lim n x n 0  → = . (B) 当 lim n ( x 3n x n ) 0  → + = 时, lim n x n 0  → = . (C) 当 lim ( x2 +x3) =0 时, n n n→ lim n x n 0  → = . (D) 当 limx +ln(x +1)=0 时, limx =0 .  n n  n n→ n→ 8 设数列  a n  满足 lim n n ( a n 1 a n 1 ) 0  → + − − = ,则 ( ) (A) a  有界. (B) lima 存在. n n n→ (C)  a n  自某项起单调减少. (D)  a n  自某项起单调增加.900 · 1. 函数、极限、连续 9 设数列 第 5 页，共265页  a n  , b n  满足 lim n a n , lim n b n     → = → = ,则下列结论中,正确的是( ) (A) lim n e a n   → = . (B) lim n ( a n b n )   → + = . (C) lim n a b n n 1  → = . (D) lim n a n b n   → = . 10 已知 lim n a n a  → = ,则下列关于数列  a n  的说法中,正确的是( ) (A) 若 a  0 ,则当 n 充分大时, a n  0 . (B) 若 a  0 ,则  a n  中只存在有限个负项. (C) 若 a = 0 1 ,则当 n 充分大时, a − . n n (D) 若 a = 0 1 ,则当 n 充分大时, a  . n n 11 当 x→1 时,函数 e x x− 2 1 − 1 − ta n ( x x − − 1 1 ) 的极限 ( ) (A) 等于 -1. (B) 等于 1. (C) 为. (D) 不存在但不为.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 1. 函数、极限、连续 12 设 第 6 页，共265页 1 1 ta n x 1 s in x ,  = + − + 2 x 0 4 1 1 t 2 d t ,  =  − 3 x 0 2s in t 2 d t  =  . 当 x → 0 时,以上三个无 穷小量按照从低阶到高阶的排序是( ) (A) ,, . (B) ,, . (C) ,, . (D) ,, . 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1 2 13 设 1 x 0 2d u u a0 r c ta n td t ,  =   2 xd0 u u 0 2a r c ta n td t ,  =   3 xd0 u u a0 r c ta n t 2 d t  =   . 当 x → 0 时,以上 三个无穷小量按照从高阶到低阶的排序是( ) (A) 1 , 2 , 3   . (B) 1 , 3 , 2   . (C) 3 , 1 , 2   . (D) 3 , 2 , 1    . 14 设 1 x x , 2 3 x ta n ( x x ) , 3 1 c o s x .    = + = + = − 当 x→0+ 时,以上三个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是( ) (A) ,, . (B) ,, . (C) ,, . (D) ,, . 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1 2900 · 1. 函数、极限、连续 15 设 第 7 页，共265页 1 e x 2 x ta n ( x )  − = ,其中 ( x ) 2    ,则当 x → 0 时, ( x )  是( ) (A) 比 x 高阶的无穷小量. (B) 比 x 低阶的无穷小量. (C) 与 x 同阶但不等价的无穷小量. (D) 与 x 等价的无穷小量. 16 当 x → 0 时,若 1 ( x ) , 2 ( x ) , 1 ( x ) , 2 ( x )     都是非零无穷小量,且 1 ( x ) 2 ( x )    , 1 ( x ) 2 ( x )    ,则下列命题中,错误的是( ) (A) 若 1 ( x ) 1 ( x )    ,则 (x)−(x)=o ( (x)) . 2 2 2 (B) 若 (x)−(x)=o ( (x)) ,则  (x) (x) . 1 1 1 2 2 (C) 若 1 ( x ) 1 ( x )    ,则 1 ( x ) 1 ( x ) 2 ( x ) 2 ( x )     −  − . (D) 若 1 ( x ) o ( 1 ( x ) )   = ,则 1 ( x ) 1 ( x ) 2 ( x ) 2 ( x )     −  − . 17 当 x  → + 时,无穷大量 I 1 = x x x+1 , I 2 = x ( x + 1 x) , I 3 = ( x + 1 ) x x 按照从高阶到低阶的排序是( ) (A) I ,I ,I . (B) I ,I ,I . (C) I ,I ,I . (D) I ,I ,I . 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1900 · 1. 函数、极限、连续 18 已知 第 8 页，共265页 lim x → 0 ( 1 − a x ) 12 + ( x 1 2 − b x ) 14 − 2 = − 2 ,则 a + b = ( ) (A) 2 . (B) 4 . (C) 6 . (D) 8 . 19 若 lim n ( n a n b ) 1 n b 9 0 0  → + − = ,则 ( ) 899 1 899 1 (A) a=− ,b= . (B) a= ,b=− . 900 900 900 900 (C) a = 8 9 9 0 9 0 , b = 9 1 0 0 . (D) a = − 8 9 9 0 9 0 , b = − 9 1 0 0 . 20 函数 f ( x ) = x ( x x + 2 x 2 − ) 1 ln x 的可去间断点的个数为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .900 · 1. 函数、极限、连续 21 下列关于函数 第 9 页，共265页 f ( x ) = x x x x − ln x x 的说法中,正确的是 ( ) (A) f ( x ) 只有可去间断点. (B) f ( x ) 只有跳跃间断点. (C) f ( x ) 有可去间断点和无穷间断点,没有跳跃间断点. (D) f ( x ) 有可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点. 22 函数 f ( x ) = lim t→ 0  1 + s in x t  sint x 在 ( , )   − + 内( ) (A) 连续. (B) 有可去间断点. (C) 有跳跃间断点. (D) 有无穷间断点. 1 23 设函数 f (x)= ,则 ( ) (x−2)(x−3) e x−1 −1 (A) x = 1 , x = 2 , x = 3 都是 f ( x ) 的第一类间断点. (B) x = 1 , x = 2 , x = 3 都是 f (x) 的第二类间断点. (C) x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点, x=2,x=3 是 f ( x ) 的第二类间断点. (D) x=1 是 f (x) 的第二类间断点, x=2,x=3 是 f (x) 的第一类间断点.900 · 1. 函数、极限、连续 24 设函数 第 10 页，共265页 f ( x ) lim n ( e n 1 x x 1 3 ) e s n in x x  = → + + ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) f ( x ) 不存在间断点. (B) x = 0 是 f ( x ) 的可去间断点. (C) x = 0 是 f ( x ) 的跳跃间断点. (D) x = 0 是 f ( x ) 的无穷间断点. 25 函数 f ( x ) = ( x − ( x 1 4 ) s − in 1 x a r ) ( x c ta n − 2 ) x x 1 − 1 的跳跃间断点的个数是( ) (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 26 设函数 f ( x ) =  − 1 1 , , x x   0 0 , , g ( x ) =  2 x x + a 2 , 2 − x b 2 , , x − x  1   − 0 1 x . ,  0 , 若 f ( x ) + g ( x ) 在 R 上连续, 则( ) (A) a=1,b=1 . (B) a=1,b=2 . (C) a = − 1 , b = 1 . (D) a = − 1 , b = 2 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 1. 函数、极限、连续 27 若函数 第 11 页，共265页 f ( x ) =  a 0 e e , 1x 2x + − b e e − 1 − x 1 x , x x  = 0 0 , 在 R 上连续,则 ( ) (A) a = 0 , b = 0 . (B) a  0 , b = 0 . (C) a 可以取任意值, b = 0 . (D) a=0,b 可以取任意值. acosx, x0, 28 设函数 f (x)= x+1, x0, g ( x ) x x 2 b , 2 , x x 0 0 , .  =  + −   已知 b  0 ,若 f ( x ) 连续,且 f ( g(x)) 在 x = 0 处连续,则 a 2 + b 2 = ( ) (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 5 . 二、填空题 1−xcotx 29 lim = ________ . x→0sinxtanx900 · 1. 函数、极限、连续 第 12 页，共265页 3 0 lim x 3 3 x ln ( e x x 2 x 3 ) x  → + + + − = ________ . 31 lim x → 0 (  c x o s − x ln − ( 1 c + o s ta x n ) x s ) in (  ( e s x in − x 1 ) ) = ________ . x2sin 2  x2 +x+4  x 32 lim  =________ . x→x2 +2x+3900 · 1. 函数、极限、连续 33 第 13 页，共265页 lim x → 0 ( c o s x ) x − ln 1(1 + x ) = ________ . 34 设函数 f ( x ) =  xs0 in x e 2t d t ,则 lim x → 0 ( 2 − c o s x ) f 1( x ) = ________ . 35 lim x → 1 −  1 1 − x + 1 0 0 − 1 1 − x − 1 0 0  = ________ .900 · 1. 函数、极限、连续 36 第 14 页，共265页 lim x → 0  1 − c 1 o s 2 x − 2 ln ( 1 1 + x 2 )  = ________ . 37 lim x → 0 +  e 1 x − 1  1 ln x = ________ . 3 8 lim x 1 1 x x 3 e x 2 x 2  → +  +  − + = ________ .900 · 1. 函数、极限、连续 第 15 页，共265页 3 9 lim x s in ln (1 x ) s in ln x  → +  + −  = ________ . 40 已知当 x→1 时, x100 −1 是 xkx −1 的等价无穷小,则 k =________ . 41 已知当 x→0+ 时, ex +2cos x−3 是 1 − c o s a x 的等价无穷小,则 a2 =________ .900 · 1. 函数、极限、连续 42 当 第 16 页，共265页 x  → 时,   1 + e 1 x  x  x − e 与 x k 是同阶无穷小量,则 k = ________ . 43 已知函数 f ( x ) 连续,且 f ( 0 ) = 1 ,则 lim x → 0 ( 1 − 1 + c o x s 2 x  − f 1 () x f )  ( x ) = ________ . 44 已知 lim x → 0 ln  1 + x e ( f s in − 1 x 2 ) x  = 1 f (x) ,则 lim =________ . x→01−cosx900 · 1. 函数、极限、连续 45 已知 第 17 页，共265页 lim x 0 a  x  4 b a r c ta n 1 x 4 1 e e 1x 2x 1  →  + + + + − −  = ,其中  x  表示不超过 x 的最大整数,则 a b = ________ . 46 设 k 为整数,函数 f ( x ) = k + k 1 x + e kx 在 (−,+) 上连续,且 lim x f ( x )  → − 存在,则 k = ________ . 47 设函数 f ( x ) = x x − 1 ,当 x  1 时, f n ( x ) = f { f { { f { f ( x )} } } } ,即 n 个 f ( x ) 复合所得 函数, 则 lim x → 0 f 2 f n 2 + n 1( ( x x ) ) = ________ .900 · 1. 函数、极限、连续 第 18 页，共265页 4 8 lim n 1 2 ! 2 3 ! ( n n 1 ) ! 2 n n !  →  + + + +   = ________ . 4 9 lim n n c o s 0 1 2 c o s 1 2 2 c o s ( n 1 ) n 2  → + + + − = ________ .  1 3 2n−1  50 lim + + + =________ .   n→3n2 +2sin21+1 3n2 +2sin22+2 3n2 +2sin2n+n900 · 1. 函数、极限、连续 第 19 页，共265页 5 1 lim n 1 ! 2 ! n n ! n !  → + +  + = ________ . 三、解答题 52 设函数 f ( x ) 以 2 为周期. 记 a = f (n) . 若 lima 存在,证明: 数列 n n n→  a n  为常数 列. x−sinx 53 求极限 lim . x→0x−xtan2x−tanx900 · 1. 函数、极限、连续 54 求极限 第 20 页，共265页 lim x → 0 x s − in s x in ln (( x x e + − x 1 )) . 55 求极限 lim x → 0 1 − c o s x c o x s 2 2 x c o s 3 x . 56 已知函数 f ( x ) 具有一阶连续导数且 f ( 0 )  0 ,求极限 lim x → 0   x 0 2 f 1 ( t ) d t − x 2 f 1( x 2 )  .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 1. 函数、极限、连续 57 已知当 第 21 页，共265页 x → 0 时, a x 2 + b x 4 + c  x 0 s in t t 2 d t 与 x 6 是等价无穷小,求 a + b + c . 58 已知极限 lim x → 0 c o s ( a s in x x )4 − b c o s x 存在,求 a , b 的值并计算该极限. 59 已知当 x → 0 + 时, a r c s in x , ( x s in x ) 1   − 均为比 x 高阶的无穷小量,且函数 f ( x ) =  arcsinx  , x0,  1 x(x−sinx)  若  为整数,且  , x0. f ( x ) 连续,求  .900 · 1. 函数、极限、连续 60 设函数 第 22 页，共265页 f ( x ) 为 ( , )   − + 上连续的奇函数,且满足 f ( a − x ) = f ( a + x ) ,其中 a  0 . 证明: (I) f ( x ) 为周期函数; (II) f ( x ) 在 ( , )   − + 上有界. 61 设 ab0 ,证明方程 x = a s in x + b c o s x + a 2 + b 2 至少有一个正根,并且不超过 2 a 2 + b 2 . (I) 证明方程 e−ax +e−(n−1)x + +e−x =1(n2) 在区间 ( 0 ,1 ) 内有且仅有一个实根. (II) 记(I) 中的实根为 x n ,证明 limx 存在,并求此极限. n n→900 · 1. 函数、极限、连续 B 类 一、选择题 1 设 第 23 页，共265页 f ( x ) 为  0 ,   上的连续函数,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若 f ( a r c c o tx ) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( x ) 在  0 ,   上单调增加. (B) 若 f ( a r c c o tx ) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( x ) 在  0 ,   上单调减少. (C) 若 f ( x ) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( a r c c o tx ) 在  0 ,   上单调增加. (D) 若 f ( x ) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( a r c c o tx ) 在  0 ,   上单调减少. 2 已知数列  a n  和连续函数 f ( x ) . 若 b = f (a ) ,且 n n lim n b n 1  → = ,则下列条件中,可以推 出“数 列 a  收敛” 的条件个数是( ) n ① f (x) 是单调函数. ② f ( x ) 是偶函数. ③ f ( x ) 是有界函数. ④ f ( x ) 是周期函数. (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .900 · 1. 函数、极限、连续 3 函数 f (x)=x−x+ sinx,x(−,+) 是 ( ) (A) 周期函数. (B) 单调函数. (C) 奇函数. (D) 有界函数. 4 设函数 第 24 页，共265页 f ( x ) 满足 f ( x + 4 ) − f ( x ) = f ( 2 ) ,则下列结论中,正确的个数为( ) ① 若 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x ) 为周期函数. ② 若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x ) 为周期函数. ③ 若 f ( x ) 为周期为 4 的函数,则 f ( x ) 为奇函数. ④ 若 f ( x ) 为周期为 4 的函数,则 f ( x ) 为偶函数. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 5 下列数列中, 无界的是( ) (A) x 1 为任意实数, x n + 1 = 1 x + n x 2n . (B) x 1 为任意实数, x n + 1 = ( 3 x 2n − 2 x n + 1 ) e − 2 xn . (C) x 1 为任意大于 2 的实数, x n + 1 = 1 2 x n + 1 .(D) x 1 为任意正实数, x =x (x +1) . n+1 n n900 · 1. 函数、极限、连续 6 设函数 第 25 页，共265页 f ( x ) = ( x − x ) 1 + s 1 in x 1 + 1 x 2  1 ,则下列关于数列  f (n) ,f   (n=1,2,3, ) 的说法  n 中, 正确的是 ( ) (A)  f ( n ) ,  f  1 n   均有界. (B)  f ( n )  1 有界, f   无界.  n (C)  f ( n ) 无界,  f  1 n   有界. (D)  f ( n ) ,  f  1 n   均无界. 7 已知数列  x n  , y n  1 满足 x = y = ,x =1−cosx ,y = y2(n=1,2, ) ,则 当 1 1 n+1 n n+1 n 2 n  → 时,( ) (A) lim n x n y n y n 0  → − = . (B) lim n x n y n y n 1  → + = . (C) lim n x n x n y n 0  → − = . (D) lim n x n x n y n 1  → + = .900 · 1. 函数、极限、连续 8 已知数列 第 26 页，共265页  x n  ,其中 x n   −   + ,函数 f (x)=e−x ,则 ( ) (A) 当 lim n a r c ta n f ( x n )  → 存在时, lim n x n  → 存在. (B) 当 lim n f ( a r c ta n x n )  → 存在时, lim n x n  → 存在. (C) 当 lim n a r c ta n f ( x n )  → 存在时, lim n f ( x n )  → 存在,但 lim n x n  → 不一定存在. (D) 当 lim n f ( a r c ta n x n )  → 存在时, lim n a r c ta n x n  → 存在,但 lim n x n  → 不一定存在. 9 设数列 x  与 y  满足 n n lim n x n y n 1  → = ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) 若  x n  发散,则  y n  必收敛. (B) 若  x n  无界,则  y n  必有界. (C) 若  x n  有界,则  y n  必收敛. (D) 若  1 x n  为无穷小,则  y n  必为无穷小.900 · 1. 函数、极限、连续 10 已知数列 第 27 页，共265页  a n  , b n  ,满足 0  a n  b n  2 a n ,则下列命题中,正确的是( ) ① 若 lim n a n 0  → = ,则 lim n b n 0  → = . ② 若 lim n b n 0  → = ,则 lim n a n 0  → = . ③ 若 lim n a n  → 存在,则 lim n b n  → 存在. ④ 若 lim n ( a n b n )  → − 存在,则 lim n a n lim n b n   →  → . (A) ①②. (B) ②③. (C) ①②③. (D) ①③④. 11 已知 a n = s in n n ( n = 1 , 2 , ) ,则数列  a n  ( ) (A) 有最大值, 有最小值. (B) 有最大值, 没有最小值. (C) 没有最大值, 有最小值. (D) 没有最大值, 没有最小值. ln ( 1+3x2) +xf (x) 1 12 若 lim = ,则 x→0 x4 2 lim x → 0 3 x + x f 3 ( x ) = ( ) (A) 1 2 . (B) 1 . (C) 3 . (D) 5 .900 · 1. 函数、极限、连续 13 已知 第 28 页，共265页 a n = lim x → 1 ( 1 − x ) ( 1 − 2 x − n 1 ( ) x −  1  ) 1 − n n n x − ( n − 1 )  ,则 ( ) (A) lim n a n , lim n n a n   → → 均存在. (B) lim n a n  → 存在, lim n n a n  → 不存在. (C) lim n n a n , lim n n a n   → → 均存在. (D) lim n n a n  → 存在, lim n n a n  → 不存在. 14 已知函数: ① f ( x ) = 2 x ; ② f ( x ) = x 2 ; ③ f (x)= ∣x∣; ④ f ( x ) = a r c ta n x ,则满足对于 任意的首项 a 1 ,数列 a n = f ( a n − 1 ) ( n = 2 , 3 , ) 均收敛的函数个数为 ( ) (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 15 设函数 f ( x ) x 满足  f (t)dt+2f (x)+ f(x)=e−xsin2x ,且 0 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 ,则当 x→0 时,与 f ( x ) 为同阶但不等价的无穷小量为 ( ) (A) s in 2 x . (B) 1 − c o s 2 x . (C) ex2 −1 . (D) 1+x−1 .900 · 1. 函数、极限、连续 16 设函数 第 29 页，共265页 f ( x ) 在 R 上处处有定义,且 f ( 0 ) = 0 ,则下列命题中,错误的是( ) (A) 当 x → 0 时,若 f ( x )  s in 2 x ,则 f  ( 0 ) 存在. (B) 若 0  f ( x )  s in 2 x 恒成立,则 f  ( 0 ) 存在. (C) 若在  0 , )  + 上 g ( x )  f ( x )  h ( x ) ,在 ( , 0 )  − 上 h ( x )  f ( x )  g ( x ) ,且当 x → 0 时,函数 g ( x ) 和 h ( x ) 都是 x 的同阶无穷小,则 f ( x ) 也是 x 的同阶无穷小. (D) 当 x → 0 时,若 f  ( 0 ) 存在且不为 0,则 f ( x ) 是 x 的同阶无穷小. 17 设函数 f ( x ) 连续, F ( x ) 为 f ( x ) 的原函数,则下列命题中,错误的是( ) (A) 当 x → 0 时,若 f ( x ) = o ( 1 ) ,则 F ( x ) = o ( x ) . (B) 当 x → 0 时,若 F ( x ) = o ( x ) ,则 f ( x ) = o ( 1 ) . (C) 当 x → 0 时,若 f ( x ) = o ( 1 ) ,则  x 0 f ( t ) d t = o ( x ) . (D) 当 x→0 时,若  x 0 f ( t ) d t = o ( x ) ,则 f (x)=o(1) .900 · 1. 函数、极限、连续 18 设函数 第 30 页，共265页 f ( x ) lim n a r c ta n 1 1 s in n x  = → + ,则下列关于 f ( x ) 的命题中,正确的是( ) ① f (x) 是周期为 2  的奇函数. ② f ( x ) 有无穷多个可去间断点. ③ f (x) 有无穷多个跳跃间断点. ④ f ( x ) 的最小值小于 6  . (A) ①②. (B) ③④. (C) ①④. (D) ②④. 19 函数 f ( x ) =  a − a r c x ta n 2 ( x 1 x −  b ( e ) x − b ) ( b  0 ) 的可去间断点的个数最多为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2 . (D) 3 . 二、填空题 ln ( cosx +arctan2n−1x ) 20 设函数 f (x)= lim ,记 n→ n f ( x ) 的自然定义域为 ( a , b  ,则 b − a = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 1. 函数、极限、连续 21 设函数 第 31 页，共265页 f ( x ) = 2 x 3 + x 2 + 1 , x  0 , x = f − 1 ( y ) 为 f ( x ) 的反函数,若正整数 k 满足 lim t f 1 k ( 2 t t )  → + − 存在且非零,则 k = ________ . 22 已知常数 a  0 , b  0 1 b ax +bx x 1+bx2ax a ,若 lim  = b,lim  = ,则 x→0 2bx  x→01−bx b a = ________ . 23 设 a 0 , lim x x a e 2 x e x x 2 a ln ( x x e x ln x ) e x   → + + − + 存在,则 a = ________ .900 · 1. 函数、极限、连续 24 设当 第 32 页，共265页 0  x  1 时,函数 f ( x ) = x sin x ,对于其他 x , f ( x ) = 2 f ( x + 1 ) − ln k .若 f ( x ) 在 x = 0 处连续,则 k = ________ . 25 设函数 f ( x ) = ln 1 1 − + x x ,若在 x = 0 的邻域内存在函数 ( x )   = ,使得 f ( x ) x 2 f ( )  =  ,则 lim x 0 2 x 1  → − = ________ . 26 设数列  a n  满足 a 1 = 1 , a 2 = 2 ,且 a n = 1 3 a n − 1 + 2 3 a n − 2 ( n = 3 , 4 , 5 , ) ,则 lim n a n  → = ________ .900 · 1. 函数、极限、连续 27 设 第 33 页，共265页 a n 1 x 3 ln n x d x ( n 0 ,1 , 2 , ) , b n ( 2 a n) n ! !  =  + − = = ,则b =________ . n 2 8 lim n a r c ta n 1 0 2 0 2 a r c ta n 1 2 2 1 2 a r c ta n 1 2 2 n n 2  →  + + + + + + + + +  = ________ . 29 设 a n =  2 n 2nn+ n+ 1 1 1 x + n − 1 n x d x ,则 lim n n a n  → = ________ .900 · 1. 函数、极限、连续 30 设区域 第 34 页，共265页 D ( x , y ) a r c s in y x 4 , 0 y 2 2  =       ,对正整数 n , f n ( x , y ) = n x y + n − e 1 x ,则 lim n D f n ( x , y ) d x d y  →   = ________ . 三、解答题 31 计算 lim x x s in x 2 x x x 1 2  → +  + − + −  .900 · 1. 函数、极限、连续 32 (I) 求 第 35 页，共265页 lim x a r c ta 2 n 2 x a r c a ta r c n ta x n x   → + − − ; (II) 若 lim x x 1 f ( x )  → +  −  arctan2x+b−1−bf (x)arctanx   不存在,而 I = lim 存在,试确定  x→+ −arctanx 2 b 的值,并求 I . 33 已知 a , b 为正整数,若极限 I 1 lim x x 2 a ( x b x 1 b ) a ( x 1 ) a  = → + − + − 和 I 2 = lim x → 0 + x 2 a − ( 1 + b x b x a ) ( 1 − x ) a + 1 等于同一个非零常数,求 a,b 的值.900 · 1. 函数、极限、连续 34 设函数 第 36 页，共265页 f ( x ) 满足 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 ,且 lim x → 0 a s in x − f ( 1x +) x b x 2 = 1 , lim x → 0 a x − f 1( s +x in b) x x 2 = 2 . 求 a , b 的值. 35 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上具有一阶连续导数, f ( 0 ) = 0 ,且 lim x f ( x ) f ( x ) a 0  → +  +   =  . (I) 记 g(x)=exf (x) ,求 g(x) ; (II) 证明: 存在 x 0  0 ,使得当 xx 时, 0 f ( x )  a 2 .900 · 1. 函数、极限、连续 36 设数列 第 37 页，共265页  x n  满足 x n 1 2 x n s in x n  + = ,且 0 x 1 2    . 求 lim n s e c x n 2 ta x n n x n   → − − . 37 计算 lim n n ln 3 ( ln n 2 ( n 2 ) 1 ) ln 3 n  →  + + −  . 38 已知 f ( x ) 为 ( 0 , )  + 上连续的有界函数,且满足 lim x → 0 + x f − ( x ta ) n x = 6 .证明:方程 = 0 f ( x ) + x 3 在 ( 0 , )  + 上必有一实根.900 · 1. 函数、极限、连续 39 设函数 第 38 页，共265页 f ( x ) 在区间  0 , 9 0 0  上连续,且 f ( 0 ) + 9 0 0 = f ( 9 0 0 ) ,证明: 存在 x 0   0 , 9 0 0  ,使得 f ( x 0 ) + 1 = f ( x 0 + 1 ) . 1 27 40 设 x = 2x +  ,其中 n+1 3  n x2   n  x 1  0 . 证明数列 x  收敛,并求 n lim n x n  → .900 · 1. 函数、极限、连续 41 设数列 第 39 页，共265页  x n  满足 0  x 1  1 , x n + 1 = ln ( 1 + x n ) ( n = 1 , 2 , ) . (I) 证明 lim n x n  → 存在,并求该极限; (II) 计算 lim n x nx n 1 1xn  →  +  . 42 已知数列  x n  满足 x n = ln ( 2 n − 1 ) ( n = 1 , 2 , ) ,前 n 项和为 X n , y n  满足 = 1 , 2 , ) y n = ln 2 n ( n ,前 n 项和为 Y n . 若 s n = X n − Y n ,证明: (I) 数列  e sn  收敛; (II) − 1 2 ln 4 n  s n  − 1 2 ln 2 n .900 · 1. 函数、极限、连续 43 设函数 第 40 页，共265页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内有定义,且在 x = 0 处连续. 对任意的 x ,均有 f ( 1 − c o s x ) f ( x ) = . (I) 设数列  x n  满足x =c 且 0 0 x n + 1 = 1 − c o s x n ( n = 0 ,1 , 2 , ) .证明: lim n x n  → 存在,并求 lim n x n  → . (II) 证明: f ( x ) 在 ( , )   − + 内恒为常数. 44 (I) 比较  1 0  s in x 2 x  n d x n 1 x 与  1− dx(n=1,2, ) 的大小,说明理由;   0 2 (II) 记 a n =  1 0  s in x 2 x  n d x ( n = 1 , 2 , ) ,求极限 lim n a n  → .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 1. 函数、极限、连续 45 (I) 证明: 当 第 41 页，共265页 x  0 时, 1 x + x  ln ( 1 + x )  x . (II) 设 x n =  1 + n 2 − n n 3 + 1   1 + n 2 − n n 3 + 3   1 + n 2 + n n 3 − 1  ,求 lim n x n  → . C 类 一、选择题 1 设 f ( x ) , g ( x ) 均为  0 , )  + 上的连续函数,若对任意正数 x ,有 f (2x)= f (x),g ( x2) = g ( x ) ,且 f ( 0 )  g ( 0 ) ,则 ( ) (A) 对任意 x  0 ,均有 f ( x )  g ( x ) . (B) 对任意 x  0 ,均有 f ( x ) = g ( x ) . (C) 对任意 x  0 ,均有 f ( x )  g ( x ) . (D) 存在 x 1  0 , x 2  0 ,使得 f ( x 1 )  g ( x 1 ) , f ( x 2 )  g ( x 2 ) . 2 设数列 x  和 y  满足 n n  x y 1 1 = = 1 1 , 和  x y n n + 1 + 1 = = y n x n2 , , 则下列说法中,错误的是( ) (A) lim n x n 0  → = . (B) lim y =0 . n n→ (C) lim(x +y )=0 . (D) 以上说法均不正确. n n n→900 · 1. 函数、极限、连续 二、解答题 1 n k+1− k2 +k 3 求极限 lim  . n→n k ( k+2− k+1 ) k=1 4 设周期函数 f (x)=(−1) x x−  x+ 1 ,其中    2 第 42 页，共265页  x  ,  x + 1 2  分别表示不超过 x , x + 1 2 的最大 整数,记 a n =  1 0 f ( n x x ) d x . 证明: (I) 数列 a  单调减少, 2n−1  a 2 n  单调增加; (II) lim n a n  → 存在.900 · 2. 一元函数微分学 第二章 一元函数微分学 A 类 一、选择题 1 设函数 第 43 页，共265页 f ( x ) 可导, y = f ( x ) c o s x 当自变量 x 在点 x = 0 处取得增量  x = 0 .2 时,相 应的 函数增量 y 的线性主部为 0.4,则 f(0)=( ) (A) 2. (B) 0.2 . (C) 1. (D) 0.1 .   1 x2  2+sin  , x0, 2 设函数 (x)=  x 且函数  0, x=0, f ( x ) 在 x = 0 处可导,则函数 f ( ( x ) )  在 x = 0 处 ( ) (A) 不连续. (B) 连续但不可导. (C) 可导且导数为 0 . (D) 可导且导数不为 0 .900 · 2. 一元函数微分学 3 设函数 第 44 页，共265页 f ( x ) =  a c a r , r c c ta ta n n x x x x + − + − 1 1 1 1 + + a b , , x x x  =  1 1 1 , , 可导,则 f  ( 1 ) = ( ) (A) − 1 2 . (B) 1 2 . (C) 1 . (D) 与 a , b 的值有关. 4 若函数 f ( x ) , g ( x ) 满足 f ( x ) = f ( − x ) , g ( x ) = − g ( − x ) ,在 ( 0 , )  + 内, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 , g  ( x )  0 , g  ( x )  0 ,则在 ( , 0 )  − 内恒成立的是 ( ) (A) f  ( x )  g  ( x ) . (B) f  ( x )  g  ( x ) . (C) f  ( x )  g  ( x ) . (D) f  ( x )  g  ( x ) . 5 设函数 f (x)=sinxlnxln2x lnnx ,其中 n 为正整数,则 f  ( 1 ) = ( ) (A) sin1ln2ln3 lnn . (B) ln 2 ln 3 ln n . (C) 1 . (D) 不存在.900 · 2. 一元函数微分学 6 设函数 第 45 页，共265页 f ( x ) = (1 − c o s x ) ( 2 − c o s x ) ...( n − c o s x ) ,则 f''(0)=( ) (A) ( n − 1 ) ! . (B) n ! . (C) ( n + 1 ) ! . (D) 0 . 7 若函数 f ( x ) lim t 2 e , s in tx ( x a 2 t r c ta n 2 t e t ) , x x 0 0 , ,   =  → −  + +   = 则下列说法中,正确的是( ) (A) f (x) 在 x=0 处的极限存在,但不连续. (B) f ( x ) 在 x = 0 处连续,但不可导. (C) f ( x ) 在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 ) = 0 . (D) f ( x ) 在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 )  0 .900 · 2. 一元函数微分学 8 设函数 第 46 页，共265页 f ( x ) = 2 x 3 − 1 5 x 2 + 4 x ,则下列说法中,正确的是( ) (A) f ( x ) 恰有一个单调增加区间,两个单调减少区间. (B) f ( x ) 恰有一个单调增加区间,三个单调减少区间. (C) f ( x ) 恰有一个单调减少区间,两个单调增加区间. (D) f ( x ) 恰有一个单调减少区间,三个单调增加区间. 9 设 f ( x ) 为 ( , )   − + 上的单调增加函数,则下列说法中,正确的是( ) (A)  f ( x )  2 单调增加. (B) −f (−x) 3 单调增加.   (C) 若 f (x) 可导,则对任意 x(−,+) ,都有 f  ( x )  0 . (D) 若 f ( x ) 可导,则 f ( x ) 存在反函数 x = f − 1 ( y ) ,且 f − 1 ( y ) 可导. 10 设函数 f ( x ) 0 a x , r c 3 ln ta n x , x 1 x 2 , x x x 0 0 0 , , ,  =  −  +  +  =  则 ( ) (A) f ( x ) 有两个极大值点,无极小值点. (B) f ( x ) 有一个极大值点,一个极小值点. (C) f (x) 有两个极大值点,一个极小值点. (D) f (x) 有一个极大值点,两个极小值点.900 · 2. 一元函数微分学 11 下列四个命题中,正确的是( ) (A) 设 第 47 页，共265页 x 0  ( a , b ) ,函数 f ( x ) 在 ( a , x 0 ) 内满足 f  ( x )  0 ,在 ( x 0 , b ) 内满足 f  ( x )  0 , 则 f (x) 在 x = x 0 处取得它在 ( a , b ) 上的最小值. (B) 设函数 f ( x ) 在 x = x 0 处取得极小值,则存在 0   ,使 f ( x ) 在 ( x 0 , x 0 )  − 内单调 减少,在 ( x 0 , x 0 )  + 内单调增加. (C) 设 f ( x ) 为区间 ( − a , a ) 上的偶函数,则 x = 0 为 f ( x ) 的一个极值点. (D) 设 f ( x ) 在区间 ( − a , a ) 内二阶可导且为奇函数,则 f  ( 0 ) = 0 . 12 设函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 内有定义, x 0  0 是函数 f ( x ) 的极小值点,则 ( ) (A) x 0 必是 f ( x ) 的驻点. (B) − x 0 必是 f ( − x ) 的极大值点. (C) −x 必是 0 − f ( − x ) 的极大值点. (D) −x 必是 0 − f ( x ) 的极大值点. 13 设函数 f ( x ) 在 x = a 的某个邻域内具有二阶导数,且 f  ( a )  0 ,且存在 0   ,使得当 x  f (t)− f (x) (a−,a+)时,lim 均存在,且当 t→a (t−x)2 x  a 时, lim t→ a f ( ) t − ( t − x f ) (2 x )  0 ,则( ) (A) x=a 是 f ( x ) 的极小值点. (B) x=a 是 f ( x ) 的极大值点. (C) x=a 不是 f (x) 的极值点. (D) 无法确定 x=a 是否为极值点.900 · 2. 一元函数微分学 14 已知函数 第 48 页，共265页 f ( x ) 在 x = 0 的某个邻域内连续,且 f ( 0 ) = 0 , lim x → 0 1 f − ( ) x 2 x e = 1 ,则 f ( x ) 在 x = 0 处 ( ) (A) 不可导. (B) 可导,且 f  ( 0 )  0 . (C) 取得极大值. (D) 取得极小值. 15 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在  0 ,1  上的最大值分别为 a , b ,则下列关于 f ( x ) g ( x ) 在  0 ,1  上的 最大值 c 的说法中,正确的是 ( ) (A) c  a b . (B) c  a b . (C) c = a b . (D) 以上都有可能. 16 已知函数 f (x) 在定义域内可导,它的图形如右图所示,则导函数 f(x) 的图形可能为 ( )900 · 2. 一元函数微分学 17 设函数 第 49 页，共265页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续,其导函数 f(x) 的图形如 右图所示, 则下列说法中, 正确的是( ) (A) 函数 f ( x ) 有 1 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 1 个拐点. (B) 函数 f ( x ) 有 2 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点. (C) 函数 f ( x ) 有 3 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点. (D) 函数 f ( x ) 有 3 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 1 个拐点. 18 设 f ( x ) 是 ( 0 , )  + 上单调增加的正值函数,且存在二阶导数,则对于满足 0  x 1  x 2 的 任意 x 1 , x 2 ,下列说法中,正确的是 ( ) (A) 若 f  ( x )  0 ,则 f ( x 1 ) f ( x 2 )  f  x 1 + 2 x 2  . (B) 若 f  ( x )  0 ,则 f ( x 1 x 2 )  f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) . (C) 若 f  ( x )  0 ,则 f ( x 1 ) f ( x 2 )  f  x 1 + 2 x 2  . f (x )+ f (x ) (D) 若 f(x)0 ,则 f ( xx )  1 2 . 1 2 2900 · 2. 一元函数微分学 19 曲线 第 50 页，共265页 y = ( x − 1 ) x 43 的拐点个数为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2 . (D) 3 . 20 下列曲线中有斜渐近线的是 ( ) (A) y = ln x + c o s 1 x . (B) y = x + c o s 1 x . (C) y = ln 1 x + c o s x . (D) y = 1 x + c o s x . 21 曲线 y = x e 1x 的渐近线的条数为( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 2. 一元函数微分学 22 曲线 第 51 页，共265页 y = 2 x 2 + 4 x + 1 的渐近线的条数为( ) (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4. 23 曲线 y = x ln x x − 1 + ln  x ( x − 1 )  的渐近线的条数为( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 . 24 设函数 y ( x ) = lim t→ 0  1 − ln ( 1 x − 2 t )  x sin t ,则下列关于曲线 y = y ( x ) 的渐近线的说法中,正确的 是( ) ① 该曲线无渐近线. ② 该曲线有铅直渐近线. ③ 该曲线有水平渐近线. ④ 该曲线有斜渐近线. (A) ②. (B) ③. (C)②③. (D) ②④.900 · 2. 一元函数微分学 25 设函数 第 52 页，共265页 f ( x ) = x 2 + x x + + b a , g ( x ) = x + x 2 + 4 ( 2 1 − b ) x + a ,则当 x  → + 时,下列关于曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的渐近线的结论中,正确的是( ) (A) 没有公共斜渐近线. (B) 是否具有公共斜渐近线与 a , b 的取值有关. (C) 有公共斜渐近线,且公共斜渐近线的方程与 a 的取值有关. (D) 有公共斜渐近线,且公共斜渐近线的方程与 b 的取值有关. 26 设函数 f ( x ) = ln 2 x , g ( x ) = 1 x , h ( x ) = c o t 2 x ,则当 x → 0 + 时,有( ) (A) g ( x )  h ( x )  f ( x ) . (B) h ( x )  g ( x )  f ( x ) . (C) f ( x )  g ( x )  h ( x ) . (D) g ( x )  f ( x )  h ( x ) .  1 x4sin , x0, 27 设函数 f (x)= x 则使得  0, x=0, f (n ) ( x ) 连续的最高阶数 n 为( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .900 · 2. 一元函数微分学 28 设函数 第 53 页，共265页 f ( x ) x 0 e , ln 12 x , 1 x , x x x 0 0 0 , , .  =  −  =  若 f  ( x ) 在 x = 0 处连续,则( ) (A) 0 1    . (B) 1   . (C) 0 2    . (D) 2   . 29 设函数 y = f ( x ) 由  x y = = t t t s , in t 2 确定,则( ) (A) f ( x ) 连续, f  ( 0 ) 不存在. (B) f  ( 0 ) 存在, f  ( x ) 在 x = 0 处不连续. (C) f(x) 连续, f(0) 不存在. (D) f(0) 存在, f(x) 在 x = 0 处不连续.  1 − e x, x0, 30 设函数 f (x)= 则 x=0 是  tanx, − x0,  2 f ( x ) 的( ) (A) 可导点, 极值点. (B) 不可导点, 极值点. (C) 可导点, 非极值点. (D) 不可导点, 非极值点.900 · 2. 一元函数微分学 31 设函数 第 54 页，共265页 f ( x ) = ( x − 1 ) ln x  ln  x + 1 2  ,则下列关于 f ( x ) 的说法中,正确的是( ) (A) x = 1 不是极值点,也不是驻点. (B) x = 1 是极值点,但不是驻点. (C) x = 1 2 既是极值点,又是驻点. (D) x = 1 2 是极值点,但不是驻点. 32 设函数 f ( x ) 二阶可导,满足 f(a)=0 且 lim x → a f x (  − x a ) = 1 ,则( ) (A) x = a 是 f ( x ) 的极小值点. (B) x = a 是 f (x) 的极大值点. (C) ( a,f (a)) 是曲线 y= f (x) 的拐点. (D) x=a 不是 f ( x ) 的极值点, ( a,f (a)) 也不是曲线 y = f ( x ) 的拐点. 33 设函数 f ( x ) f (x) 在 x=0 附近可导,且 lim 存在,则下列命题中,错误的是( ) x→0 x (A) f (0)=0 . (B) f  ( 0 ) 存在. (C) lim f(x)=0 . (D) 在 x→0 x = 0 附近,存在常数 C  0 ,使得 f (x) C x .900 · 2. 一元函数微分学 34 已知方程 第 55 页，共265页 x 4 − 2 x 2 − k = 0 有四个不同的实根,则 k 的取值范围是( ) (A) (−,0) . (B) (−1,0) . (C) (−1,1) . (D) (1,+) . 35 设对于任意 0 , 2      ,方程 x c o 2s k x c o s 2 ( x 0 )   = +  有两个不同的实根,则 k 的取值 范围是( ) (A) 0 , s in 2 )   . (B) ( 0 , s in 2 )  . (C) 0 , c o s 2 )   . (D) ( 0 , c o s 2 )  . 36 设函数 f ( x ) = c o t 2 x 2      在 x= 处的 3 次泰勒多项式为 a+b x− +c x− +     4  4  4 d x 4 3   −  ,则 a c + b d = ( ) (A) − 8 3 . (B) 8 3 16 16 . (C) − . (D) . 3 3900 · 2. 一元函数微分学 37 设函数 第 56 页，共265页 f ( x ) = 1 ta − n x 2 x 在 x = 0 处的 3 次泰勒多项式为 a x + b x 2 + c x 3 ,则( ) (A) a = 1 , b = 0 , c = − 2 3 . (B) a = 1 , b = 0 , c = 2 3 . (C) a = 1 , b = 0 , c = − 4 3 . (D) a = 1 , b = 0 , c = 4 3 . 38 设函数 f ( x ) 满足 f  ( x )  f ( x ) ,则 ( ) (A) ef (0) f (1)e2f (−1) . (B) e2f (−1) f (1)ef (0) . (C) e f ( 0 )  e 2 f ( − 1 )  f ( 1 ) . (D) e 2 f ( − 1 )  e f ( 0 )  f ( 1 ) . 二、填空题 39 设函数 y = f ( ta n x ) ( ta n x ) n ,其中 f (x) 可微, f ( 1 ) = f  ( 1 ) = 1 ,则 y 4     = ________ .900 · 2. 一元函数微分学 40 设正值函数 第 57 页，共265页 f ( x ) 可微, g ( x ) = a r c ta n ( 2 f ( x ) + 1 ) , f  ( 0 ) = 1 , g  ( 0 ) = 1 2 ,则 f (0) = ________ . 41 设函数 y = f ( ln 1 + x 2 ) ,其中 f ( x ) 可微, f  ( 1 ) = 1 , f  ( 1 ) = 0 ,则 y  ( e 2 − 1 ) = ________ . 42 设函数 f ( x ) ln x 3 , a r c s in x 2 3 6 , x x 1 1 , , y f ( f ( x ) )  =  −   = ,则 y  ( e ) = ________ .900 · 2. 一元函数微分学 43 设函数 第 58 页，共265页 y = y ( x ) 由方程 e x 2 + y 2 + s in ( x y ) = 0 确定,则 y  ( x ) = ________ . 44 设函数 y = y ( x ) 由方程 x + y − e x s in 3 y = 0 确定,则 y  ( 0 ) = ________ . 45 设函数 f ( x ) xln a ( 1 c s c 2 t ) d t 0 a 2  =  +     ,若 y = f ( x ) 的反函数 x = f − 1 ( y ) 在 y = 0处的导 数 d d x y y = 0 = 1 ln 5 ,则 a = ________ .900 · 2. 一元函数微分学 46 设函数 第 59 页，共265页 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = f f (( a s r c in s t in + 2 c t o ) s + t 1 − , 1 ) 确定,其中 f ( u ) 可微,且 f  ( 0 )  0,则 d d y x t= 0 = ________ . 47 设函数 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = 2 t e a r c t , ta n t 2 确定,则 d d 2 x y 2 t= 1 = ________ . ( ) 48 设函数 f (x)=ln 1+sin2x+sinx ,则 f (4 ) ( 0 ) = ________ .900 · 2. 一元函数微分学 49 第 60 页，共265页  4 x x + + 1 1  (5 ) = ________ . 50 设函数 f ( x ) = x 2 c o s 2 x ,则 f (10)(0)=________ . 51 设函数 f ( x ) = e x c o s x + e − x s in x ,则 f (9 9 ) ( 0 ) = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 2. 一元函数微分学 52 曲线 第 61 页，共265页  x y = = 2 t 3 t , − 3 t 在 t = 3 对应点处的切线方程为________ . 53 曲线  x y = = e a − r 1 2t c c , o s t 在 t = 1 2 对应点处的法线方程为________ . 54 设曲线 L  t x=lntan +cost, 的参数方程为  2 其中  y=sint, 2 t     ,则曲线上一点 M 处的切 线 与 x 轴的交点 P 与点 M 之间的距离为________ .900 · 2. 一元函数微分学 55 设曲线 第 62 页，共265页 L 的极坐标方程是 r 2  = ,则 L 2  在点 (r,)= , 处的切线的直角坐标方程     是________ . 56 曲线 y=x2+2x−2(x0) 上曲率半径为 3 6 的点的纵坐标为________ . 57 曲线 y + x y − e x + e y = 0 在点 ( 0 , y ( 0 ) ) 处的曲率为________ .900 · 2. 一元函数微分学 58 曲线 第 63 页，共265页  x y = = t 1 − − s c in o t , s t 在 t 2  = 对应点处的曲率半径为________ . 59 已知动点 P ( x , y ) 在曲线 y = x 3 上运动,过点 P 作x轴的垂线,交x轴于点A,过点 P 作 y 轴的 垂线,交 y 轴于点 B .记矩形 O A P B 的面积为 S .若动点P的横坐标对时间的变化率为常数 v 0 ,则 当点 P 运动到点 (1 ,1 ) 时, S 对时间的变化率为________ . 60 如图所示,在距离海岸边点A 180m的点P处有一灯塔,灯塔上的探照灯光以每秒r弧度 (rad)的速率匀速转动,探照光线与 P A 的所成夹角为.若灯光经过岸边距离点 A 6 0 m 处的点 B 时,速率为30 m/s,则 r = ________ .900 · 2. 一元函数微分学 61 记函数 第 64 页，共265页 f n ( x ) = x n e − 3 x ( n  0 , x  0 ) 的极值为 a n ,则数列  a n  的最小值为________ . 62 当 x  e − 1 时,曲线 y = 2 x ln x − 5 x + 3 在 x = ________处取得最小曲率半径. 63 曲线 y = s in x e − x 在区间 (0,) 内的拐点坐标为________ .900 · 2. 一元函数微分学 64 曲线 第 65 页，共265页 y = 2 x 5 x + 4 x + 3 1 − 1 + e arctan x 2 的斜渐近线方程为________ . 三、解答题 65 设函数 y ( x ) = ( 1 + x ) x ( x  0 ) ,记 y = y ( x ) 的反函数为 x = x ( y ) ,求 d d x y y = 2 , d d 2 y x 2 y = 2 . 66 设函数 y = y ( x ) 由方程组 x y e y t 3 1 ta n 3 t 4 t 2 , 2 ( 2 t 2 )   = + − + − = − −   dy 确定,求 . dx x=0900 · 2. 一元函数微分学 67 设函数 第 66 页，共265页 f ( x ) 在 x = 0 处可导,在 x = 0 的某个邻域内满足等式 = 3 + 1 + ta n x − 2 x 1 + s in x , 2 f ( x ) + f ( − x ) 且 f ( x ) 是周期为 5 的周期函数,求 y = f ( x ) 在点 ( 5 , f ( 5 ) ) 处 的切线方程. 68 已知函数 f ( x ) x x ln ( s in ) x x , , 0 x x 0 , ,  =  − −    求 f  ( x ) ,并求 f ( x ) 的极值. 69 设函数 y ( x ) 由方程 27y3+2x3−3x2 −12x+20=0 所确定,求 y= y(x) 的极值点,并判 断它们是否为驻点.900 · 2. 一元函数微分学 70 设函数 f (x) 在 第 67 页，共265页 x 0 处连续且可导,在 x 0 的某个去心邻域 U ˆ(x ) 内二阶可导,且 0 f  ( x 0 ) = 0 , lim x → x0 f  ( x )  0 .证明: x = x 0 为 f ( x ) 的极小值点. 71 在底面半径为 1 ,高为 2 的圆锥体中挖去一个圆柱体,当被挖圆柱体的体积 V 最大时,圆 柱体的底面半径和高分别为多少, 并求出此最大体积. 72 在椭圆 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 ( a  0 , b  0 , a  b ) 位于第一象限的部分上求一点 P ,使得该点处的法 线与两坐标轴所围成的三角形面积最大900 · 2. 一元函数微分学 1 73 求函数 f (x)=xex 的单调区间与凹、凸区间. 74 设函数 第 68 页，共265页 f ( x ) 在  − 1 ,1  eax +ebx −2 上连续,且当x0时, f (x)= ,其中a,b为非零常数. cosx+cos2x−2 求 f ( 0 ) ,并讨论 f ( x ) 在 x = 0 处的可导性.900 · 2. 一元函数微分学 75 设函数 第 69 页，共265页 f ( x ) =  x b 1 ( a s in , − c o a ) − x 1 x s − , x 2 , x x x  =  0 0 0 , , . 有连续的导函数，求 a 的取值范围。 76 设当 x0 时,方程 k x 2 + 1 x = 1 有两个不同的解,求 k 的取值范围. xlnx, x0,  77 设函数 f (x)= 1 根据  x2ex, x0, k 的不同取值,讨论方程 f ( x ) = k 的实根情况.900 · 2. 一元函数微分学 78 讨论方程 第 70 页，共265页 e c o 2s x s in x = k 在开区间 0 , 2    内的根的个数,其中 k 为参数. 79 讨论方程  x − 4 3  e 62 x = k 的不同实根的个数,其中 k 为参数. 80 证明: 当 −1x1 时, e x 2 + ln  ( 1 − x 2 )  1 1 + − x x  x   1 + 2 x 2 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 2. 一元函数微分学 81 证明: 当 第 71 页，共265页 x  0 时, 1 3 x 3 + 1 2 x 2 − x + 1 6  x 2 ln x . B 类 一、选择题 1 设函数 f ( x ) 为 ( , )   − + 上的单调增加的正值函数,且 f  ( 0 ) 存在,则下列关于极限 1  f (x)x I = lim   和 1 x→0+ f (0)  I 2 = lim x → 0 +  1 x  f ( x )− f (0 ) 的结论中,正确的是( ) (A) I 1 与 I 2 是否存在均与 f (x) 的表达式有关. (B) I 1 与 I 2 均存在,且 I 1  I 2 . (C) I 1 与 I 2 均存在,且 I 1  I 2 . (D) 以上说法均不正确.900 · 2. 一元函数微分学 2 设函数 第 72 页，共265页 f ( x ) 满足 f ( 0 ) = 0 ,则 f ( x ) 在 x = 0 处可导的充分必要条件为( ) (A) lim h → 0 1 h 3 f ( ta n h − h ) 存在. (B) lim h → 0 1 h 2 f ( ln ( 1 + h ) − h ) 存在. (C) lim h → 0 1 h f ( a r c ta n h − h ) 存在. (D) lim h → 0 1 h  f ( h ) − f ( − h )  存在. 3 设函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续,则下列命题中,错误的是( ) (A) 若 lim x → 0 f ( x x ) = a ,则 f  ( 0 ) = a . (B) 若 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = a f (x) ,则 lim =a . x→0 x (C) 若 lim x → 0 f ( x x 2 ) = a 2 ,则 f  ( 0 ) = a . (D) 若 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = a ,则 lim x → 0 f ( x x 2 ) = a 2 .900 · 2. 一元函数微分学 4 设函数 第 73 页，共265页 f ( x ) 具有二阶导数,  x 为自变量 x 在 x 0 处的增量,  y 与 d y 分别为 f ( x ) 在 x 0 处对应 的增量与微分,则下列说法中,正确的是( ) (A) 若在 x 的某邻域内有 dyy ,则 0 f  ( x ) 在该邻域内恒大于 0 . (B) 若在 x 0 的某邻域内有 d y   y ,则 f  ( x ) 在该邻域内恒大于 0 . (C) 若 f  ( x ) 在 x 0 的某邻域内恒大于 0,则在该邻域内有 dyy . (D) 若 f  ( x ) 在 x 0 的某邻域内恒大于 0,则在该邻域内有 d y   y . 5 设函数 f ( x ) 具有二阶导数,  x 为自变量 x 在 x 0 处的增量,  y 与 d y 分别为 f ( x ) 在 x 0 处对应 的增量与微分,则 d y   y 是 f(x)在 x 0 的某邻域内大于0的( ) (A) 充分必要条件. (B) 充分不必要条件. (C) 必要不充分条件. (D) 既不充分也不必要条件. 6 设函数 f (x), f (x),g(x) 在 1 2 x = 0 的某邻域内均可导,其中 = e f1 ( x ) f2 ( x ) f1 ( x )  0 , f 2 ( x )  0 , g ( x ) .令 ( x ) f1 e ( x x g ) ( f x 2 )( x )  = ,若 ' f1 ( 0 ) = f '2 ( 0 ) = 0 ,则( ) (A) ( 0 ) 0   = . (B) 0(0)1 . (C) (0)1 . (D) (0)=1 .900 · 2. 一元函数微分学 7 设椭圆 第 74 页，共265页 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 2b 与抛物线y= (x−1)2相切于一点,记该切点的横坐标为x ,则( ) 0 a (A) x 0   0 , 1 3  . (B) x 0   1 3 , 2 3  . (C) x 0   2 3 ,1  . (D) 由已知条件不能确定 x 0 的范围. 8 设函数 f ( x ) 有二阶连续导数, x = 0 是 f ( x ) 的驻点,若在 x = 0 附近, f ( x ) 满足 s in x f  ( x ) +tanxf(x)=xcosx−1,则( ) (A) x = 0 是 f ( x ) 的极大值点. (B) x = 0 是 f ( x ) 的极小值点. (C) x=0 不是 f (x) 的极值点. (D) 不能确定 x=0 是否为 f (x) 的极值点. 9 已知函数 f ( x ) sinx−x+xf (x) 在x=0处存在二阶导数 f(0).若lim =0,则下列选项中,正确 x→0 x3 的是( ) (A) x=0 是 f (x) 的极小值点. (B) x=0 是 f (x) 的极大值点.900 · 2. 一元函数微分学 (C) 点 第 75 页，共265页 ( 0 , f ( 0 ) ) 是 y = f ( x ) 的拐点. (D) x = 0 不是 f ( x ) 的驻点. 10 设 k 为任意非零常数,函数 f ( x ) 在 a,b 上满足 f−kf− f =0,且 f ( a ) = f ( b ) = 0 ,则 下列说法中,正确的是( ) (A) f ( x ) 在  a , b  上先单调减少,再单调增加. (B) f ( x ) 在  a , b  上先单调增加,再单调减少. (C) f (x)在  a , b  上恒为零. (D) f (x)在(a,b)内恰有一个零点. 11 设函数 f ( x ) =  x 0 ( t 2 − 4 t + 3 ) e 2t d t , x   0 , 3  ,则下列说法中,正确的是( ) (A) f ( x ) 为单调函数. (B) 4 e − 9 为 f ( x ) 的一个上界. (C) f ( x ) 的最小值为 0 . (D) f ( x ) 不存在最大值. 12 若 f (x)为区间I 上的连续函数,且 f (x)的值域包含于I,x,x 为 I 中任意两个不同的点, 1 2 则下列命题中,正确的是( )900 · 2. 一元函数微分学 (A) 若在区间 I 上, 第 76 页，共265页 f ( x ) 0 , f  ( x ) 0 ,则 f 2  x 1 + 2 x 2   f 2 ( x 1 ) + 2 f 2 ( x 2 ) . (B) 若在区间 I 上, f  ( x ) 0 , f  ( x ) 0 ,则 f 2  x 1 + 2 x 2   f 2 ( x 1 ) + 2 f 2 ( x 2 ) . (C) 若在区间 I 上, f ( x )  0 , f  ( x )  0  x +x  f ( f (x )) + f ( f (x )) ,则 f  f  1 2  1 2 .   2  2 (D) 若在区间 I 上, f  ( x )  0 , f  ( x )  0  x +x  f ( f (x )) + f ( f (x )) ,则 f  f  1 2  1 2 .   2  2 13 设函数 f ( x ) 在  0 , 2  上二阶可导,且 f ( 0 ) + f ( 2 ) = 0 ,则( ) (A) 若 f  ( x )  0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (B) 若 f  ( x )  0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (C) 若 f  ( x )  0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (D) 若 f  ( x )  0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 .900 · 2. 一元函数微分学 14 设函数 第 77 页，共265页 f ( x ) 可导,且 f  ( x )  0 , g ( x ) =  x 0 f ( t ) d t .若 g ( 1 ) = 1 , g ( 3 ) = 7 ,则 g ( 2 ) 的值可能为( ) (A) 2. (B) 3 . (C) 4 . (D) 5 . 15 设函数 f ( x ) 在 (0,+) 上具有二阶导数, f  ( x )  0 ,记 u n = f ( n ) ,则数列  u n  发 散是 u u 的( ) 1 2 (A) 充分必要条件. (B) 充分不必要条件. (C) 必要不充分条件. (D) 既不充分也不必要条件. 16 设函数 f ( x ) 具有二阶导数, f ( 0 )  0 , f  ( 0 )  0 ,当 x  0 时, f  ( x )  0 ,则下列说法 中,正确的是( ) (A) f ( −f (0)f(0)) 0 . (B) f  − f f ( 0 (  0 ))   0 . (C) f (x) 在 0,+) 上只有一个零点. (D) f (x) 在 0,+) 上没有零点.900 · 2. 一元函数微分学 17 设函数 第 78 页，共265页 f ( x ) x 满足 f(x)+ln(x+1)f(x)+arctanxf (x)= f (t)dt ,则下列说法中,错误的 0 是( ) (A) 若 f  ( 0 )  0 ,则 x = 0 不是 f ( x ) 的极值点. (B) 若 f  ( 0 )  0 ,则点 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y= f (x) 的拐点. (C) 若 x = 0 是 f ( x ) 的极值点,则点 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (D) 若 x = 0 是 f ( x ) 的极值点,则当 x → 0 时, f  ( x ) 是 x2 的高阶无穷小. 18 设函数 f (x)在0,+)上二阶可导,且 f (0)=0.下列命题中,正确命题的个数为( ) ① 若在 ( 0 , )  + 上恒有 f  ( x )  0 f (x) ,则 在 x ( 0 , )  + 上单调减少. f (x) ② 若 在 x ( 0 ,1  上单调减少,则在 (0,1 上恒有 f  ( x )  0 . ③ 若 lim x f ( x x )  → + 存在,则 lim f(x) 存在. x→+ ④ 若在 ( 0 , )  + f (x) 上恒有 f(x)0 ,且 lim 存在,则 lim f(x) 存在. x→+ x x→+ (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .900 · 2. 一元函数微分学 19 设函数 第 79 页，共265页 f ( x ) =  s in x 1 , x , x x  = 0 0 , , 则下列区间中,是函数 g ( x ) x 0 f ( t ) d t 2 x  =  − 的单调增加区 间为( ) (A)  , 0   − . (B)  0 ,   . (C) 2 , 2    −  . (D)  ,   − . 20 设函数 f ( x ) 在 0 , 2    上可导,已知 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 ,且 f ( x ) 满足 f  ( x ) ta n x  f ( x ) ,则下 列关系式中,正确的是( ) (A) f 6 1 2      1  2    . (B) f    . (C) f   f   . (D) f   2f   . 4 2 4 2 2 2 6900 · 2. 一元函数微分学 二、填空题 21 设函数 第 80 页，共265页 f ( x ) = 1 1 + − x x 4 1 1 + − 2 2 x x ,则 f  ( 0 ) = ________ . 22 设 f ( x ) 为定义在 ( , 0 ) ( 0 , )   −  + 上的分段连续函数,且 lim x → 0 − f ( x ) = − 1 , lim x → 0 + f ( x ) = 1, 则 F ( x ) =  x 0 ( s in x − s in t ) f ( t ) d t 在 x=0 处可导的最高阶数为________ . 23 设函数 y = y ( x ) 由方程 s in x −  ln 1 ye − 2t d t = 0 确定,则 y  ( 0 ) = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 2. 一元函数微分学 24 设函数 第 81 页，共265页 y = y ( x ) 由方程 x + 1 =  y 1 + xs in 2 t 2 d t 确定,则 y  ( − 1 ) = ________ . 25 设函数 y= y(x) 由方程组  x  = 2 0 a r c y u e d ta u n + t ,  0 t 1 c o + s u 2 u d u = 0 确定,则 y  ( 0 ) = ________ . 26 已知函数 f ( x ) x 在 (−,+) 上连续,且 f (x)=x2 + (x−t)f (t)dt ,则对任意正整数 0 n, f (2n)(0)=________ .900 · 2. 一元函数微分学 27 设函数 第 82 页，共265页 f ( x ) = ( x 3 − 1 ) n s in x ,则对任意正整数 n , f (n ) ( 1 ) = ________ . 28 设函数 f ( x ) =  a x 2 + ( 1 − e x 2 − a 2 ) x − 2  n ( a  0 ) . 若 f (n ) ( 2 ) = 2 n n ! ,则 a=________ . 29 设函数 f ( x ) = x ln x + e 6 x 3 − e 2 x 2 +  e 2 − 1  x − e 6 , g ( x ) = x ( ln x − 1 ) + e x − e x . 若曲线 y= f (x) 与 y=g(x) 相切于一点,则它们的公共切线的方程为_____.900 · 2. 一元函数微分学 30 已知质点以恒定速率沿曲线运动时,向心加速度大小为 第 83 页，共265页 v 2 ,其中  v 为质点的运动速率,为 曲率半径.设单位质点以恒定的速率v 沿着一个形状满足 0 y = x 2 的光滑轨道移动,则其在点 ( 0 , 0 ) 处受到的向心力大小为________. 31 设 f (x)为可微函数,曲线y= f (x)与曲线 y = a r c ta n x 在点 1 , 4    处有公共切线,则 lim n n f n n 1 a r c ta n n n 1  →   +  − −  = ________ . 32 设函数 f (x) 具有二阶导数,且在点 (0,0) 处的曲率圆为 (x+1)2 +(y+2)2 =5 ,则 lim n n 2 f 1 n f 1 n  →    +  −   = ________ .900 · 2. 一元函数微分学 33 设函数 f (x) 具有二阶连续导数. 若曲线 第 84 页，共265页 y = f ( x ) 过点 (0,0) 且与曲线 y = ln x 在点 ( e ,1 ) 处相切,则  e 0 x f  ( x ) d x = ________ . 34 曲线 x 3 + y 3 = y 2 的斜渐近线方程为________ . 35 设函数y= f (x)在区间0,c)上具有一阶连续导数,其值域为1,+), f (0)=1,并且 y   y 2 恒 成立,则区间0,c)内包含的最大整数是________ .900 · 2. 一元函数微分学 36 设函数 第 85 页，共265页 f ( x ) 的定义域为  0 , c ) ,其中 c  1 ,值域为1,+), f (0)=1, f(x)= f ( x ) a ,则 a 的取值 范围是________.900 · 2. 一元函数微分学 三、解答题 37 设函数 第 86 页，共265页 f ( x ) 具有一阶连续导数,且 f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = a . (I) 求使得 1 + a 2 −  1 0 1 +  f  ( x )  2 d x 取得最大值的 f ( x ) 的表达式. (II) 将 1 + a 2 −  1 0 1 +  f  ( x )  2 d x 取得的最大值记为 g ( a ) ,当 a 为何值时, g ( a ) 取得 最大值? 请求出该最大值. 38 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上一阶可导,且当 x  0 时, f  ( x )  1 x , f ( 0 )  0 . 证明: f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内有且仅有一个零点.900 · 2. 一元函数微分学 39 设函数 第 87 页，共265页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上二阶可导, f  ( x )  0 , x = c 是 f ( x ) 的最小值点, f (c)0.证明: f ( x ) 在 ( , )   − + 上恰有两个零点. 40 设函数 f ( x ) 在  a , b  上连续, g(x) 在 a,b 上有连续导数,且 g  ( x )  0 . 若 b  f (x)dx= a 0 ,  b a f ( x ) g ( x ) d x = 0 ,证明: 至少存在两个不同的点 1 , 2 ( a , b )    ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 0   = = .900 · 2. 一元函数微分学 41 证明: 当 第 88 页，共265页 x  0 时, ( x − e 2 )  x ln x − x − 4 3 e x x + 1 3 e 2   0 . 42 证明:当 x  0 1 3 1 时, x2ln2x− x2lnx+xlnx− lnx0 ,并指明等号成立的条件. 2 4 4900 · 2. 一元函数微分学 43 证明: 对任意的 第 89 页，共265页 0  a  1 , 0  b  1 ,均有 e − (a + 8 b 2)  e − 2 a8 + e − 2 b8 − 1 . 44 设 f ( x ) 为 2 , 2    −  上的连续函数,满足 f (−x)= f (x),且当 x 0 , 2     时, s in( x x 1 − − x c c o o s s x x) f ( x ) = .证明: 1 2  f ( x )  2 3 .900 · 2. 一元函数微分学 45 已知函数 第 90 页，共265页 f ( x ) 在 0 , 2    上连续,在 0 , 2      内二阶可导.当x 0, 时,    2 f  ( x ) = x sinx + , sinx x 且 f ( 0 ) = 0 .证明:对任意 a 0 , 2 , a f a 2 a 0 f ( x ) d x a 2 f ( a )          . 22 + arctanx (+2) 46 证明:  dx . 8 0 x 1+x2 8公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 2. 一元函数微分学 47 设函数 第 91 页，共265页 f ( x ) 在  0 , 3  上连续,在 (0,3) 内可导,且 f (0)+2f (1)=2f (2)+ f (3)=1 . 证明: 存在 ( 0 , 3 )   ,使得 f ( ) 0   = . 48 设函数 f ( x ) 在 1,e2 上连续,在 ( 1,e2) 内具有二阶导数,且 f (1)=0, f (e)=1, f ( e2)   = 2 .证明: 存在 ( 1 , e 2 )   ,使得 f()2 =−1.900 · 2. 一元函数微分学 49 设函数 第 92 页，共265页 f ( x ) 在 0 , 2    上二阶可导,且 f ( 0 ) 0 , f 2 f ( 0 ) 1  =   =  = . 证明: 存在  0 , 2    ,使得 f ( ) s in    = − . 50 设  0 ,1  上的连续函数 f (x) 满足 lim x → 0 + f ( x x ) = lim x → 1 − f ( x ) x − − 1 1 = − 1 , f  1 2  = 1 4 . 证明: 存 在 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 2   = .900 · 2. 一元函数微分学 51 设函数 第 93 页，共265页 f ( x ) 在 x 0 的一个去心邻域 U ( x 0 ) 内二阶可导,证明: 对 U ˆ ( x 0 ) 内的任意一 点 x ,都存在一点 x  ,使得 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) f ( x ) ( x x ) ( x x 0 ) ,   − =  − +  − − 其中  介于 x 与 x 0 之间. 52 设函数 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导,且 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 1 . 证明: 对任意 x  ( 0 ,1 ) ,均存 在 x ( 0 ,1 )   ,使得 f ( x ) x 1 2 x 2 f ( x )  − − =  .900 · 2. 一元函数微分学 53 设 第 94 页，共265页 a  0 ,函数 f ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导. 证明: 若对任意 x  ( a , b ) , 都有 f  ( x )  0 ,则存在 1 , 2 ( a , b )    ,使得 f f (( 1 2 )) a 2 a a b b b 2 2 3 122       = + + +  . 54 设函数 f ( x ) 在  0 , e  上连续,在 (0,e) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 . 证明: 存在 , ( 0 , e )   ,使得f ()+ ( 2− ) f()= ( e2−e ) f().900 · 2. 一元函数微分学 55 证明:在区间 第 95 页，共265页 ( 0 , 2 ) 内存在三个不同的点 x 1 , x 2 , x 3 ,使得 1 − ( ln 1 + ( 1 x + 1 ) x 2 1 ) x 3 = 1 − ( ln 1 + ( 1 x + 2 ) x 2 2 ) ( 2 − x 3 ) . 56 设函数 f ( x ) 在 0,1 上二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,且 f  ( x )  0 . 证明: 存在唯一 的 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 1   = − ,且 1 2   .900 · 2. 一元函数微分学 57 设函数 第 96 页，共265页 f ( x ) 在  0 ,1  上三阶可导,且 f ( 1 ) = f  ( 1 ) = f  ( 1 ) = 2 f ( 0 ) . 证明: 存在 ( 0 ,1 )  ,使得 f ( ) 0   = . 58 设函数 f ( x ) 为  0 ,   上的连续正值函数, F ( x ) 为  0 ,   上的连续函数,且对 x ( 0 , )   , F ( x ) =  x 0 ( 1  − c o x 2 t0 s f t ( ) t f ) d ( t t ) d t .求 F ( x ) 在0,上的最大值.900 · 2. 一元函数微分学 59 设函数 第 97 页，共265页 f ( x ) 为 1 , )  + 上的正值函数,且 f ( x )  e x .证明:存在 ( 1 , )    + ,使得 f ( ) f ( ) .     60 设函数 f ( x ) 为  0 , )  + 上恒正且具有二阶连续导数的凹函数,且 f(1)0.证明:存在唯一的 x 0  ( 0 ,1 ) ,使得曲线 y = f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线在y轴上的截距等于  0 , x 0  上以 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积.900 · 2. 一元函数微分学 61 设函数 第 98 页，共265页 f ( x ) , g ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内具有二阶导数,且 g ( a ) ,  b a f ( x ) d x =  b a g ( x ) d x f ( a ) = g ( b ) , f ( b ) = .证明:存在 , ( a , b )   ,使得 f ( ) g ( )    =  . 1 62 设函数 f (x) 满足 f(x)= (xe) ,且 f (e)=0 ,证明: xln2x+ f2(x) (I) 当 x  e 时, f  ( x )  x 1 ln 2 x ; (II) lim x f ( x )  → + 存在,且其值严格小于 1 .900 · 2. 一元函数微分学 C 类 一、选择题 1 已知函数 第 99 页，共265页 f ( x ) =  s in ta n x x , , x x   Q ( −  1 ( − ) ,1 1 ,1 ) , , 其中 Q 为有理数,则( ) (A) f ( x ) 在 x = 0 处可导. (B) f ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导. (C) x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点. (D) x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点. 二、填空题 2 设函数 y = y ( x ) 由参数方程  x y = =   u e0 1 0 2t d u e t − , e t e 2t − td t 确定,若  1 2 0 e x 2 − 1 4 d x = a ,则 y '+ ( 0 ) = ________ .900 · 2. 一元函数微分学 三、解答题 3 设函数 第 100 页，共265页 f ( x ) 在  0 , 2  上具有三阶连续导数,且 f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 4 .证明:存在一个二次 多项式 P ( x ) = a x 2 + b x + c ,使得对任意 x   0 , 2  ,存在 x ( 0 , 2 )   ,满足 f ( x ) P ( x ) f ( 6 x ) x ( x 1 ) ( x 2 ) .  = +  − − 4 设函数 f ( x ) 二阶可导,且 f  ( 0 )  0 , a , b 为两个不相等的实数. 若存在函数 ( x )  ,使得 f ( a x ) f ( b x ) f ( ( x ) x ) ( a b ) x , ( x )   − =  − 介于 a , b 之间,求 lim x 0 ( x )  → .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 2. 一元函数微分学 5 设函数 第 101 页，共265页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上二阶可导,且 f ( x ) 0 , lim x f ( x ) A    → − = ,其中 A 为常数. 证明: lim x f ( x ) .   → + = − 6 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,在 ( 0 , )  + 上恒大于0,并且当 x  0 时, 3  x 0  f ( t )  2 d t  f ( x )  3  .证明: 当 x0 时, f ( x )  x .900 · 2. 一元函数微分学 7 设函数 第 102 页，共265页 f ( x ) 在 x = a 的某个邻域内具有三阶连续导数,且 f  ( a )  0 ,且存在 0   , f (t)− f (x) 使得 当 x(a−,a)(a,a+) 时, lim 0 . 证明: t→a (t−x)2 (I) 对任意 x ( a , a ) ( a , a )    −  + ,都有 f ( x )  f ( a ) . (II) 不存在数列  x n C B  ,使得 limx =a 且 f (x )= f (a) . n n n→ (III) x = a 是 f ( x ) 的极大值点.900 · 3. 一元函数积分学 第三章 一元函数积分学 A 类 一、选择题 1 设函数 第 103 页，共265页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续,则 d   f d ( ) 2 x d ( ) 2 x x  等于( ) (A) f ( x 2 ) . (B) f ( x ) . (C) f ( 2 x x 2 ) . (D) f ( 2 x x ) . 2 设函数 f ( x ) =  2 0 x , s in 1 x − c o s 1 x , x x  =  − 0 , 1 ,1  \  0  , g ( x ) =  e 0 − x , e , − x , 0 x −  = 1  x 0  , x 1  , 0 , 则下列说法中,正确 的是( ) (A) f ( x ) 与 g ( x ) 在  − 1 ,1  上均有第一类间断点. (B) f (x) 与 g(x) 在 −1,1 上均有第二类间断点. (C) f (x) 与 g(x) 在  − 1 ,1  上均存在原函数. (D) 定积分  1 − 1 f ( x ) d x 与  1 − g1 ( x ) d x 均存在.900 · 3. 一元函数积分学 3 设函数 第 104 页，共265页 f ( x ) 在区间  0 , a  ( a  0 ) 上连续,则  a 0 f ( x ) d x = ( ) (A) lim n a 2 n k n 1 f 2 k a 2 n a  →  =  −  . (B) lim n a n k n 1 f k a 2 n a  →  =  −  . (C) lim n a 4 n k n 1 f 4 k a 4 n a  →  =  −  . (D) lim n a n k n 1 f 4 k a 4 n 3 a  →  =  −  . 4 若函数 f ( x ) 的导函数是 s 1 in 2 x ,则下列函数中,可能是 f ( x ) 的原函数的个数为( ) ① 1 − ln s in x . ② x − ln s in x . ③ 1 + ln s in x . ④ − x + ln s in x . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 5 设函数 f (x)的导函数为 2 ( 1 − ( x 1 2 − + x x a r 3 ) 2 2 c s in x ) ,下列函数中,可能为 f (x)的原函数是( ) (A) x a r c s in x . (B) − x a r c s in x . (C) ( a r c s in x ) 2 . (D) − ( a r c s in x ) 2 .900 · 3. 一元函数积分学 6 若 第 105 页，共265页 a , b , c , d 为非零常数,则下列关于不定积分  a 3 x ( x + + b 1 x ) 2 ( + x 2 c x + + 1 ) d d x 的命题中,正确的是( ) (A) 若 a = c , b = d ,且 a  b ,则该不定积分的结果中既含反正切函数,又含对数函数. (B) 若 a = b , c = d ,且 a  c ,则该不定积分的结果中既含反正切函数,又含对数函数. (C) 若 a = c , b = d ,且 ab ,则该不定积分的结果中含有反正切函数,不含对数函数. (D) 若 a = b , c = d ,且 a  c ,则该不定积分的结果中含有反正切函数,不含对数函数. 7 如图所示,连续函数 y = f ( x ) 在区间  − 6 , − 4  , 4 , 6  上的图形分别是长轴为2,短轴为1的上、 下半椭圆周,在区间  − 4 , 0  , 0 , 4  上的图形分别是直径为4的下、上半圆周.设  x 0 f ( t ) d t F ( x ) = ,则下列结论中,正确的是( ) (A) F ( − 6 ) = − 9 8 F ( 4 ) . (B) F ( 6 ) = − 7 8 F ( 4 ) . (C) F ( − 6 ) = 7 8 F ( − 4 ) . (D) F ( 6 ) = 9 8 F ( − 4 ) .900 · 3. 一元函数积分学 8 设函数 第 106 页，共265页 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间  0 , 2  上均有连续导数,曲线段 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的图 2 形如图所示.记 I = f(x)+g(x)dx , 1   0 I 3 =  2 0  x g  ( x ) + f ( x )  d x I 2 =  2 0  x f  ( x ) + g ( x )  d x , ,则 ( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 3  I 1  I 2 . 9 设在区间  a , b  上,函数 f ( x ) 满足 f ( x )  0 , f  ( x )  0 , f  ( x )  0 . 令 = 1 2  f ( a ) + f ( b )  ( b − a ) , S 3 = f ( a ) ( b − a ) S 1 =  b a f ( x ) d x , S 2 ,则 ( ) (A) S 1  S 2  S 3 . (B) S 2  S 3  S 1 . (C) S 3  S 2  S 1 . (D) S 1  S 3  S 2 .900 · 3. 一元函数积分学 10 设 第 107 页，共265页 I 1 3 4 e co sx d x , I 2 3 4 e tan x d x , I 3 3 4 e co tx d x       =  =  =  ,则 ( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 3  I 2  I 1 . 11 设 I 1 =  1 − ln 1 2 2 + − x x d x , I 2 =  1 − 1 e x 1 + e − x d x , I 3 =  1 − 1 ( x x + 2 1 − ) 4 2 d x ,则 ( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 3  I 1  I 2 . (D) I 3  I 2  I 1 . 12 设 I 1 =  1 − e1 − x 2 a r c ta n x d x , I 2 =  1 − 1 ( a r c ta n x 2 + x e − x 2 ) d x , I 3 =  1 − x1 2 ( x a r c ta n x 2 − e − x 2 ) d x ,则 ( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 2  I 3  I 1 . (C) I 3  I 1  I 2 . (D) I 1  I 3  I 2 .900 · 3. 一元函数积分学 13 设 第 108 页，共265页 I 1 2 0 x s in 9 9 x d x , I 2 2 x s in 9 9 x d x , I 3 1 2 0 x s in 9 9 x d x     =  =  =  ,则 ( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 2  I 3  I 1 . 14 下列积分中,与积分 I =  1 0 1 2 x e − x d x 的值最接近的是 ( ) (A)  1 0 x e − x d x . (B)  1 0 x e − x d x . (C)  1 0 x 2 e − x d x . (D)  1 0 x 4 e − x d x . 15 若 ( s in x a 0 x b 0 x 2 ) 2 d x ma ,b inR  ( s in x a x b x 2 ) 2 d x       − − − =   − − − ,则 a x+b x2 =( ) 0 0 (A) 3 2 x 3 2 2 . (B) x2 . (C) x . (D) x2 .  2 3 3900 · 3. 一元函数积分学 16 设函数 第 109 页，共265页 F ( x ) 为连续函数 f ( x ) 在 0 , 2    上的一个原函数,且 F 4 1 , f ( x ) F ( x )    = − = − s in 2 x , 则 2 0 F ( x ) d x   = ( ) (A) 2 2 . (B) 1 . (C) 2 . (D) 2 . 17 设 f (x) 是偶函数,除 x=0 外处处连续, x=0 是其第一类间断点,则下列关于 F(x)=  x 0 f ( t ) d t 的说法中,正确的是( ) (A) F ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导. (B) F ( x ) 在 x = 0 处可导,且 F  ( 0 ) = f ( 0 ) . (C) F ( x ) 必为奇函数. (D) F ( x ) 必为偶函数. 18 设函数 f ( x ) 连续,则在下列变限积分定义的函数中,不能确定奇偶性的是( ) (A)  xtf 0 ( t 2 ) d t . (B)  xtf 0 2 ( t ) d t . (C)  xt0 2  f ( t ) − f ( − t )  d t . (D)  x t2f ( t2) − f ( −t2)dt .   0900 · 3. 一元函数积分学 19 设函数 第 110 页，共265页 F ( x ) =  x 0 ( x − 2 t ) f ( x − t ) d t ,其中 f ( x ) 为连续函数,则下列命题中,正确的是( ) ① 若 f ( x ) 为单调减少函数,则 F(x) 为单调减少函数. ② 若 f ( x ) 为单调减少函数,则 F(x) 为单调增加函数. ③ 若 f ( x ) 为奇函数,则 F ( x ) 为奇函数. ④ 若 f ( x ) 为奇函数,则 F ( x ) 为偶函数. (A) ①③. (B) ①④. (C)②③. (D) ②④. 20 已知函数 f ( x ) =  1 4 + x 2 x − 2 3 , , − 1 1   x x   3 1 , , 设 F ( x ) =  x 1 f ( t ) d t ( − 1  x  3 ) ,则 F ( x ) = ( )   2arctanx, −1x1, 2arctanx− , −1x1, (A)  (B)  2 2x2 −3x, 1x3.  2x2 −3x, 1x3. (C)  2 2 a x r c 2 ta − n 3 x x , + 1 , − 1 1   x x   3 1 . , (D) 2 2 a x r c 2 ta n 3 x x 2 1 , , 1 1 x x 3 1 . ,   − − + −    公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 3. 一元函数积分学 21 设函数 第 111 页，共265页 f ( x ) s 1 e , c x , 0 4 x x 4 2 , , F ( x ) x 0 f ( t ) d t    =      =  ,则( ) (A) x 4  = 是函数 F ( x ) 的跳跃间断点. (B) x 4  = 是函数 F ( x ) 的可去间断点. (C) F ( x ) 在 x 4  = 处连续但不可导. (D) F ( x ) 在 x 4  = 处可导. 22 下列反常积分中, 发散的是 ( ) (A)  1 − 1 s 1 i n x d x . (B)  1 − 1 1 1 − x 2 d x . (C) e x d x    + − − . (D) 2 x 1 ln 2 x d x   + . 23 下列反常积分中, 发散的是 ( ) (A) 0 x e x d x   + − . (B) 0 x 3 e x 2 d x   + − . (C) 0 a r 1 c ta n 2 x x d x   + + + 1 .(D) dx 0 ( 1+x2) arctanx900 · 3. 一元函数积分学 24 下列反常积分中, 发散的是 ( ) (A) 第 112 页，共265页  0 − 1 1 e − x e 2 x d x . (B)  1 0 1 e − x e 2 x d x . (C)  0 − 1 1 x 2 e 1 x d x . (D)  1 0 1 x 2 e 1 x d x . 25 设函数 f ( x ) ln ( 1 1 1 x x ( 1 x ) 2 2 x , ) , 0 1 2 x x 1 2 1 , .   =  − + + +     若积分  1 0 f ( x ) d x 收敛,则( ) (A) 2 0  −   . (B) 2 2  −   . (C) 0 2    . (D) −20 或 0 2    . 二、填空题 26  ( x 1 − 4 ) d x = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 ln ( 1−x2) 27  dx=________ . 2x2 1−x2 1+x 28  arcsinxdx=________ . 1−x 29 第 113 页，共265页  ( x s in x c o + s c o 2 x s x ) 2 d x = ________ . x 30  dx=________ . x2 +4x+7900 · 3. 一元函数积分学 31 设函数 第 114 页，共265页 f ( x ) 连续,若  xtf 0 ( t ) d t = ln (1 + x 4 ) ,则当 x  0 时,  f ( x ) d x = ________ . 32 1 1 ln 1 ta n 2 5 x ta n 5 x e x d x    −   + +  +  = ________ . 2 33  arcsin x−1 2x−x2dx=________ . 0900 · 3. 一元函数积分学 1 1+2x2 34  dx=________ . 0( 1+x2)3 35 第 115 页，共265页  1 33 a r c ta5 x n x d x = ________ . 36 设函数 f ( x ) 连续,且 f ( x ) c o s x 2 2 0 f ( t ) d t  = +  ,则 f ( x ) = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 37 已知函数 第 116 页，共265页 f ( x ) 具有二阶连续导数,且满足 f ( 1 ) = − 1 , f  ( 0 ) = 0 1 及  f (x)dx=1 ,则 0 2 0 c o s 3 x f ( s in x ) d x    = ________ . 38 lim n 1 n 2 a r c s in 1 n 2 a r c s in 2 n n a r c s in n n  →  + + +  = ________ . 1   2 2n 39 lim  1+cos + 1+cos + + 1+cos =________ .   n→2n  n n n 900 · 3. 一元函数积分学 2 2 2  1  2  n 40 limln2n1+  1+  1+  =________ . n→  n  n  n 41 第 117 页，共265页 lim n 1 2 n 3 n n  → + + + + = ________ . 42 函数 y = 1 x − 3 2 x 2 在区间  0 , 1 2  上的平均值为________ .900 · 3. 一元函数积分学 43 函数 第 118 页，共265页 y = s in ( ln x ) 在区间 1 , e 2    上的平均值为________ . 44 设连续函数 f ( x ) 满足 f ( x + 3 ) − f ( x ) = 3 x + 9 2 ,  3 0 f ( x ) d x = 3 ,则  4 1 f ( x ) d x = ________ . 45 设连续函数 f ( x ) 满足 f ( 2 x ) − f ( x ) = 2 x 2 ,  1 0 f ( x ) d x = 1 ,则  2 1 f ( x ) d x = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 1 46 lim arctann xdx=________ . n→ 0  1  n 1 3   1+ −1 dt     1  t    47 lim =________ . n→ 1+n 48 第 119 页，共265页 lim n 1 e0 x c o s n x d x  →  − = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 49 设函数 第 120 页，共265页 f ( x ) 连续,则 d d x  x 0 2tf ( x 4 − t 2 ) d t = ________ . +arctanx 50  dx=________ . 1 x2 51 0 e 2 x 1 d x   + − + = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 3. 一元函数积分学 52 第 121 页，共265页 4 2 x 2 1 1 1 x 1 5 d x   + − + = ________ . 53 设函数 f ( x ) =  2 x 1 − 4 x − , 1 2 x 2 + 2 , x x   0 0 , , 则 x f ( x ) d x    + − = ________ . 54 设曲线 y =  x − 2 1 2 1 1 − t d t 上相应于 − 1 2  x  1 2 的一段弧的长度 s = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 x=t2cost 55 设曲线 L 的参数方程为  ,(0t2) ,则该曲线的弧长 y=t2sint 第 122 页，共265页 s = ________ . 56 心形线 r=1−cos 的全长 ________ . s= 2 2 57 星形线 x3 +y3 =4 的全长 s = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 58 设曲线的极坐标方程为 第 123 页，共265页 e 2   = ,则该曲线上相应于  从 0 变到 的一段弧与极轴所  围成的图形的面积为________ . 59 圆 x 2 + y 2 = 4 与椭圆 2 x 2 + y 6 2 = 1 所围公共部分的面积为________ . y2 x2 60 设椭圆 x2 + =1 围成的平面区域为 D ,椭圆 +y2 =1 围成的平面区域为 D ,则 3 1 3 2 D 1  D 2 的面积为________ .900 · 3. 一元函数积分学 61 设点 第 124 页，共265页 B 为曲线 y = x + 1 与 y = a ( x + 1 ) ( a  0 ) 的不同于点 A ( − 1 , 0 ) 的交点. 由点 B 引垂线交 x 轴于点 C ,则曲边三角形 A B C 与三角形 A B C 的面积之比为________ . 62 抛物线 y = 2 x 4 与过点 ( 0 ,1 ) 的直线所围成的平面图形面积的最小值为________ . 63 由曲线 y c o s x 32 ( 0 x )  =   与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体 积为______900 · 3. 一元函数积分学 64 由曲线 第 125 页，共265页 y c o s x 2 x 2   =  −    与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体 的 体积与绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积之差为_____ 65 曲线 y = s in x 和 y 4 2 x 2  = 所围平面图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积为________ . 66 抛物线 c : x = 4 y a 2 ( a  0 ) a  1 与直线 l:y= x−  所围平面图形绕 2 a x 轴旋转一周所成 旋转体的体积为_____900 · 3. 一元函数积分学 67 单位圆盘 第 126 页，共265页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1  绕直线 y = − 2 旋转一周所成旋转体的体积为______ 68 已知曲线 y = x e x ,直线 x = a ( a  0 ) 与 x 轴所围平面图形的面积为 1,则由上述平面图 形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为________ . 69 设 y = f ( x ) 是定义在 0,+) 上的非负函数,且对于任意的 a0,x=0,x=a,y= f (x) 与 轴所围成的平面图形绕 x x 轴旋转一周与绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积相同,则 y = f ( x ) 与 y=x3 所围成的平面图形面积为______900 · 3. 一元函数积分学 70 设直线 第 127 页，共265页 y = a x ( 0  a  1 ) , x = 1 与曲线 y = x 2 所围成的平面图形记为 D 1 ,直线 y = a x ( 0  a  1 ) 与曲线 y = x 2 所围成的平面图形记为 D 2 ,记 D = D 1  D 2 ,则当平面图形 D 绕 轴旋转所得旋转体体积最小时a=________ . x 71 曲线 y = e x + 2 e − x 与直线 x = 0 , x = 1 及两坐标轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周所得 旋 转体的表面积为_____. 72 设区域 D 由曲线 y = a 2 − x 2 ( 0  x  a ) x=acos3t   与  ,0t  所围成,则 y=asin3t  2 D 绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积为______. x900 · 3. 一元函数积分学 73 设曲线方程为 第 128 页，共265页 y = x − 1 2 ,过原点作其切线,则此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的表面积为________ . 74 抛物线 c 1 : x = y 4 2 ,圆 c 2 : ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 与直线 l : x = 1 所围平面图形绕 x 轴旋转一 周所成旋转体的表面积为________ . 75 设质点以速度 t c o s t 2 m / s 沿某一方向做直线运动,则从时刻 t1 4 s  = 到时刻 t 2 2 s A  = 内质点所经过的路程为 ________ m .900 · 3. 一元函数积分学 76 设一物体按规律 x=ct2 在某介质中做直线运动,其中 第 129 页，共265页 t 为时间参数. 已知介质的阻力与 速度成正比,比例系数为 k ,则物体由 x = 0 到 x = a 这段时间内克服介质阻力所做的功力 ________ . 三、解答题 77 求  3 x + 5 1 − x 2 d x . dx 78 求  . ( x2 −3 ) x2 +1900 · 3. 一元函数积分学 79 求 第 130 页，共265页  e 32 x a r c c o s 1 − e x d x . 80 求  x 3 ln x ( 2 2 x + + 1 1 ) d x . 81 求  3 x 6 x + 4 2 − x 4 5 x − 2 1 6 d x . 82 求  a r c ta n 1 + x 4 x d x ( x  0 ) . 83 求  m a x  x 2 , x + 2  d x . 84 对 x 2 , 2     −  dx ,计算  ,其中 a,b 为不全为零的非负常数. atan2x+bsec2x公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 3. 一元函数积分学 85 求 第 131 页，共265页 1 0 0 e arcta n ( x 5 ) e arcta n (5 x ) x c o s x 2 d x      − − − +  . 86 求  0 3 x 4 a x r 2 c ta n + 1 x d x . 87 求 lim n k n 1 k n 2 a r c ta n k n  →  = . 88 设函数 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,且 f ( x ) 2 1 1 x 2 1 c o s 2 1 x 2 s in 2 x 1 0 f ( x ) d x .   = + − + + +  求 f (x) .900 · 3. 一元函数积分学 89 求 第 132 页，共265页  1 0 x 4 1 + − x x − 2 1 a r c c o s x d x .  x , −1x0,  2− 4+x 90 设函数 f (x)= ln ( 1+ex) 求函数  , 0x1,   ex F ( x ) =  x − 1 f ( t ) d t . 91 设非负函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 上可导,且 f  ( x )  0 .函数 F ( x ) =   0 x 0 , ( x 2 − t x 2 2 ) f ( t ) d t , x x  = 0 0 , . (I) 计算 F(x) ,并分析 F(x) 的连续性; (II) 判断曲线 y = F ( x ) 的凹凸性.900 · 3. 一元函数积分学 92 过点 第 133 页，共265页 (1 , 0 ) 作曲线 y=ex 的切线,该切线与曲线 y = e x 以及两坐标轴围成平面图形 D (I) 求 D 的面积 A ; (II) 求 D 绕直线 y=e2 旋转一周所得旋转体的体积. B 类 一、选择题 1 设函数 f ( x ) x tc 1 o s td t , x 2 , 2   =  −   −  ,则曲线 y = f ( x ) 与 x 轴所围图形的面积为( ) 1 (A) 2 xsinxdx . (B) 0 2  1 0 x 2 s in x d x . (C) 2  1 0 x c o s x d x 1 . (D) 2 x2cosxdx . 0900 · 3. 一元函数积分学 2 设 第 134 页，共265页 0 a 1 , I 1 2 0 s in a x s in x d x , I 2 2 0 s x in a x d x , I 3 2 0 a s 2 s in in x a x d x      =  =  =  ,则( ) (A) I 2  I 1  I 3 . (B) I 2  I 3  I 1 . (C) I 3  I 1  I 2 . (D) I 1  I 2  I 3 . 3 设 0 a 1 , I 1 4 0 s in a x s in x d x , I 2 4 0 ta n a x ta n x d x     =  =  ,则 ( ) (A) I 1 4 a I 2    . (B) I 2 4 a I 1    . (C) 4 a I 1 I 2    . (D) I 1 I 2 4 a    . 3 4 设 I =  e−x2 cosxdx,I = 2e−x2 cosxdx,I = 2 e−x2 cosxdx ,则( ) 1 2  3 0  2 (A) I 0,I 0,I 0 . (B) 1 2 3 I 1  0 , I 2  0 , I 3  0 . (C) I 0,I 0,I 0 . (D) I 0,I 0,I 0 . 1 2 3 1 2 3900 · 3. 一元函数积分学 5 设 第 135 页，共265页 I 1 2 0 c 1 o s x x d x , I 2 2 0 s 1 in x x d x , I 3 1 1 2 0 ( s in x c o s x ) d x           =  + =  + = −  + ,其中 0 1    ,则( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 3  I 2  I 1 . 6 设二阶可导函数 f ( x ) 满足 f ( 0 ) = f ( 2 ) = 0 , f ( 1 ) = a  0 且 f  ( x )  0 ,则 ( ) (A)  2 0 f ( x ) d x  a . (B)  2 0 f ( x ) d x  a . (C)  1 0 f ( x ) d x   2 1 f ( x ) d x . (D)  1 0 f ( x ) d x   2 1 f ( x ) d x . 7 设 ( , )   − + 上的非负连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) f ( 1 − x ) = 1 1 x− ,则  1 2 dx= ( ) 01+ f (x) (A) 1 1 6 . (B) 1 8 1 1 . (C) . (D) . 4 2900 · 3. 一元函数积分学 8 设函数 第 136 页，共265页 f ( x ) 连续,满足  1 0 f ( x ) d x = 0 .若 1 e1−xf ( xe1−x) dx=1,则 0  1 0 x e 1 − x f ( x e 1 − x ) d x = ( ) (A) -1 . (B) 0 . (C) 1 . (D) e. 9 设函数 f ( x )  连续,且 2 f (xcosx)cosxdx=1 ,则  − 2 2 2 f ( x c o s x ) x s in x d x    − = ( ) (A) -1 . (B) 0 . (C) 1 . (D) .  10 若 s in , s in   分别为   s in x x 在 ( 0 ,1 ) 和 ( 0 , a ) ( 0  a  1 ) 上的平均值,其中 ( 0 ,1 )   , (0,a) ,则  与  的大小关系为( ) (A)    . (B)   = . (C)    . (D) 从已知条件无法确定.900 · 3. 一元函数积分学 11 若 第 137 页，共265页 e 2 1 , e 2 1     − − ex2 −1 分别为 在 x ( 0 ,1 ) 和(0,a)(0a1)上的平均值,其中 ( 0 ,1 ) , ( 0 , a )   , 则  与  的大小关系为( ) (A)    . (B)   = . (C)    . (D) 从已知条件无法确定. 12 设函数 F ( x ) 2 0 s in x s in t d t  =  − ,则 F ( x ) 在 0 , 2    上( ) (A) 单调增加. (B) 单调减少. (C) 有极小值点. (D) 有极大值点. 13 设函数 f ( x ) =  x 0 x 2 s in t t d t ,则下列命题中,正确的是( ) (A) f (x) 在 (0,) 内单调减少. (B) f (x) 是偶函数. (C) f  (1 ) = s in 1 . (D) f  ( 1 ) = 2 f ( 1 ) + s in 1 .900 · 3. 一元函数积分学 14 设 第 138 页，共265页 F ( x ) x x 2 f ( t ) d t  =  + ,其中 f ( x ) = s in 2 x a r c ta n ( s in 2 x ) c o s 2 x ,则 F(x)( ) (A) 为正数. (B) 为负数. (C) 恒为零. (D) 不是常数. 15 设定义在 ( , )   − + 上的连续函数 f (x) 的图形关于 x = 0 与 x = 1 均对称,则下列命题 中,正确命题为( ) ① 若  1 0 f ( x ) d x = 0 ,则  x 0 f ( t ) d t 为周期函数. ② 若  2 0 f ( x ) d x = 0 ,则  x 0 f ( t ) d t 为周期函数. x 2 ③  f (t)dt−x f (t)dt 为周期函数. ④ 0 0  x 0 f ( t ) d t − x 2  2 0 f ( t ) d t 为周期函数. (A)②③. (B) ②④. (C) ①②③. (D) ①②④.900 · 3. 一元函数积分学 16 记曲线 第 139 页，共265页 x y a a (( t 1 s c in o ) t , ) s t ( a 0 , 0 t 2 )   = = − −    与 x 轴所围区域为 D.D 绕 x 轴旋转一周所 得旋转体体积为 V 1 ,绕直线 y = 2 a 旋转一周所得旋转体体积为 V 2 ,则( ) (A) V 1  V 2 . (B) V 1 = V 2 . (C) V 1  V 2 . (D) V 1 ,V 2 的大小关系与 a 有关. 17 下列反常积分中, 发散的是 ( ) (A) 0 x 1 (1 x ) d x   + + . (B) 1 x 1 2 x 1 d x   + − . (C)  1 0 e 1 x − 1 d x . (D) 2 0 s in 1 x c o s x d x   . 18 设 a  b +e−ax −e−bx ,若  dx 收敛,则 a,b 的取值范围为( ) 0 x (A) a0,b0 . (B) a0,b0 . (C) a0,b0 . (D) a0,b0 .900 · 3. 一元函数积分学 19 若积分 第 140 页，共265页 2 ( c o s x ) 1 ( 1 c o s x ) d x      − + 收敛,则( ) (A) 1 , 1     . (B) 1 2 , 1 2     . 1 1 (C) 1, . (D)  ,1 . 2 2 20 考虑积分 0 ln x ( 1 p 1 x ) d x   + − + ,则该积分( ) (A) 当 p  1 时收敛. (B) 当 p  0 时收敛. (C) 不论 p 为何值均收敛. (D) 不论 p 为何值均发散. 1 21 若积分  xa lnx b dx 收敛,则( ) 0 (A) a−1,b−1 . (B) a−1,b−1 . (C) a−1,b−1 . (D) a  − 1 , b  − 1 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 3. 一元函数积分学 22 对于未知参数 第 141 页，共265页 a 和 b ,反常积分 1 a 2 e 2 2 a ( 1 2 x 2 e x x 2 ) a 1 2x a 2 x b x d x   +  − + + − + + − +  ( ) (A) 一定不收敛. (B) 一定收敛. (C) 若收敛, 则其值为 1 . (D) 若收敛, 则其值为 e. 二、填空题 23 设 f ( ln x ) = x 2 ln ( 1 + x ) ,则  f ( x ) d x = ________ . 24 设 f  x 1 − 1  = x ,且 f ( (x)) =x2 +x−1 ,则 ( x ) d x   = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 n 1 25 lim =________ . n→ n+k−sin2n k=1 n i n2 −i2 26 lim =________ . n→  1 3 i=1 n+   i 27 已知函数 第 142 页，共265页 f ( x ) = c o s x  xln 1 c o s t d t ,则  1 0 f ( x ) d x = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 28 已知函数 第 143 页，共265页 f ( x ) =  x 1 1 + s in t 2 d t ,则  1 0 f ( x ) d x = ________ . 29 已知 y  ( x ) = c o s (1 − x ) 2 ,且 y(0)=0 ,则  1 0 y ( x ) d x = ________ . 30 2 1 s in x x ln x x c o s x d x   +  = ________ .900 · 3. 一元函数积分学 31 设函数 第 144 页，共265页 y ( x ) 满足 xylnx+(1−x)y=lnlnx ,且  e e 2 y ( x ) d x = 0 ,则 2 y ( e 2 ) − y ( e ) = ________ . 32 设函数 f ( x ) 连续,且 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 ,则 lim x → 0   sin xt 0 x  f 0 2 ( f t ( t ) d ) t d  t 2 = ________ . 33 设函数 f ( x ) ln(1+x)  tf (t)dt 1 连续,且 f (0)=0, f(0)= ,则 lim 0 =________ . 2 x→0+  x  2  f (t)dt    0 900 · 3. 一元函数积分学 34 设函数 第 145 页，共265页 f ( x ) 可导,且 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 , F ( x ) =  xt0 2 n − 1 f ( n x 2 n − t 2 n ) d t ,则 lim x → 0 1 − F c ( o ) x n s x + 1 = ________ . 35 x lim x 1 x s in x 1 1 x tln 1 d t x t td t  → +   = ________ . 1 36 曲线 y= x 1−(xt)2 dt 的长度是________ . 0900 · 3. 一元函数积分学 37 记曲线y=arcsinx2(x0) 与直线 第 146 页，共265页 x = 1 以及 轴所围区域为 x D 1 ,与直线 y 2  = 以及 y 轴所围区 域为 D 2 .若 D 1 绕 轴旋转一周所得旋转体与 x D 2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积之和为 ,则 a D 2 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为____. 38 将质量为 m 的均匀细棒放置在 x 轴上,其左端点为 − a ,右端点为 a .设k为引力系数,则均匀 细棒对于y轴上点(0,−a)处的质量为 m 0 的质点的引力大小为________. 39 设有一底面半径为 r ,高为 h 的圆锥型容器,该容器将圆锥顶点朝下放置. 从装满水的容 器 中将水全部抽出需克服重力做功 W 1 ,从初始液面高度为 h 3 的容器中将水全部抽出需克服 W 重力做功W ,则 1 =________ . 2 W 2900 · 3. 一元函数积分学 三、解答题  x 40 求  dx . 0 2+sinx 41 (I) 求 第 147 页，共265页 lim n 1 n 2 ( 4 1 4 2 4 n ) 1 4 1 1 4 2 4 1 n  → + + +  + + +  ; (II) 求 lim n n 4 1 1 n 4 2 2 n 4 n n ( 4 1 4 2 4 n ) 1 4 1 4 1 2 4 1 n  →  + + + + + +  + + +  + + +  .900 · 3. 一元函数积分学 42 求 第 148 页，共265页 lim n n n 3 2 1 n 2 3 n 2 2 n n 3 n 2 n 4 n 2 1 1 2 4 n 2 1 2 2 4 n 2 1 n 2  →  + + + + +  +   − + − + + −  . 43 (I) 证明: 对 x  0 , x − 1 3 x 3  a r c ta n x  x . (II) 求 lim n k n 1 a r c ta n n 2 n k 2  →  = + .900 · 3. 一元函数积分学 44 求 第 149 页，共265页  1 0 1 + x x 2 f ( x ) d x ,其中 f ( x ) =  x 1 ( 1 + t a r c 3 ) 2 2 ta ln n t ( 1 + t 2 ) d t . 45 设函数 f ( x ) 连续,且 f ( 0 )  0 ,求 lim x → 0  x 0 ( s in x x 2  − s xtf 0 in ( t t 2 2 ) ) d f t ( t ) d t . 46 设函数 F ( x ) =  1 − 1 x − t e − 2t d t − 1 . 讨论 F ( x ) 在  − 1 ,1  上的零点个数.900 · 3. 一元函数积分学 47 设 第 150 页，共265页 f ( x ) 是区间  0 ,1  上的单调、可导函数,且满足  f 0 ( x ) f − 1 ( t ) d t =  x 0 e t td + t e − t , 其中 f − 1 是 f 的反函数,求 f (x) . 48 求函数 f ( x ) x x 2 s in t c o s t d t  =  + + 的最值. 49 如图所示,曲线 C 的方程为 y = f ( x ) ,点 ( 2 .5 , 2 ) 是它的一个拐点,直线 l1 与 l2 分别是曲线 C 在 点(1,2)与点 ( 2 .5 , 2 ) 处的切线,其交点为(1.5,0).设函数 f (x)具有三阶连续导数,求  2 1 .5 ( x 2 − x ) f  ( x ) d x .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 3. 一元函数积分学 50 设 第 151 页，共265页 ( x )   = 是抛物线 y = k x ( k  0 , x  0 ) 上任一点 M ( x , y ) ( x  1 ) 处的曲率半径, s = s ( x ) 是该抛物线上介于点 A ( 1 , k ) 与点 M 之间的弧长,求 3 d d 2 s 2 d d s 2    −   .(在直角坐 标系下曲率公式为 K =  1 + ( y y  ) 2  32 . 51 如图所示, C 1 和 C 2 分别是 y = 1 2 ( e x + e − x ) 和 y = e 2 x 的图形,过点 ( 0 ,1 ) 的曲线 C 3 是某单调增 加函数的图形.过 C 2 上任一点 M ( x , y ) 分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 lx 和 ly .记 C 1 , C 2 与 lx 所围图 形的面积为 S 1 ( x ) ; C 2 , C 3 与 ly 所围图形的面积为 S 2 ( y ) .如果总有 2 S 1 ( x ) = S 2 ( y ) ,求曲线 C 3 的 方程 x=(y).900 · 3. 一元函数积分学 52 设曲线 第 152 页，共265页 C 是以点 (1 , 0 ) 为圆心,1为半径的上半圆周.直线 y = a x ( a  0 ) , x = 2 与曲线 C 所围成的 平面图形记为 D 1 ,直线 y = a x ( a  0 ) 与曲线C所围成的平面图形记为 D 2 ,记 D = D 1  D 2 ,问: a 为何值时,区域 D 的面积取得最小值? 1 53 在第一象限内求曲线 y=2− x2 上的一点,使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围 2 成的图形面积最小, 并求此最小面积.900 · 3. 一元函数积分学 54 已知抛物线 第 153 页，共265页 l1 : y = ( x + 1 ) 2 和 l2 : y = a x 2 + b x 相切于唯一的公共点 P ,其中参数 b(−,0).记 抛物线 l2 与 轴所围图形的面积为 x A ,问: A 是否存在最值?若存在,求出该最值. 55 设 x O y 平面上有正方形 D= (x,y∣)0x1,0 y1  及直线 l : 2 x + y = t ( t  0 ) . 若 S(t) 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积,求  xS 0 ( t ) d t ( x  0 ) .900 · 3. 一元函数积分学 56 设函数 第 154 页，共265页 f ( x ) = 1 + x 2 x 2 , x   0 ,1  .定义函数列: , f n ( x ) = f ( f n − 1 ( x ) ) , f1 ( x ) = f ( x ) , f 2 ( x ) = f ( f1 ( x ) ) , .记 S n 是由曲线 y = f n ( x ) ,直线 x = 1 及 x 轴所围平面图形的 面积,求极限 lim n n S n  → . 57 设 n 为正整数,记 S n 为曲线 y=e−nxsinx(0xn) 与 x 轴所围图形的面积,求 S n ,并 求 lim n n 2 S n  → .900 · 3. 一元函数积分学 58 设函数 第 155 页，共265页 f ( x ) 在区间  a , b  上二阶可导,且在 ( a , b ) 内有 f  ( x )  0 .对任意 x   0 , b − 2 a  ,均有 f  a + 2 b + x  = f  a + 2 b − x  . (I)求 f   a + 2 b  ; (II)证明:在 ( a , b ) 内恰好存在两个点 1 , 2 ( 1 2 )      ,使曲线 y = f ( x ) 与直线 y f ( i ) ( i  = = 1,2) 所围平面图形面积S 是曲线 i y = f ( x ) 与两直线 y f ( 1 ) , x a  = = 所围平面图形面积S 的4倍. 0 59 设曲线方程为 x y (( t t )) t 1 s c in o t , s t , t ( 0 , 2 )   = = − −  . 分别以曲线上的点 A(a,c),B(b,d) 为切点作 斜率为 3 , − 3 的切线,求由曲线上的弧 A B ,直线 x=a,x=b 以及 x 轴所围区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.900 · 3. 一元函数积分学 60 设 第 156 页，共265页 D 是位于曲线 y a x 3 2 a x 2 2 a ( a 1 , 0 x )  =    + 下方、 x 轴上方的无界区域. (I) 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V ( a ) ; (II) 当 a 为何值时, V ( a ) 最小?并求此最小值. 61 设曲线 y = ( a − 1 ) x 2 ( a  1 , x  0 ) 与 y = 1 − a x 2 交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的 直 线与曲线 y = a x 2 围成一平面图形. 问 a 为何值时,该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋 转体体积最大? 最大体积是多少?900 · 3. 一元函数积分学 62 设区域 第 157 页，共265页 D 如图所示,由上半圆周 x2+y2 =1(y0) ,直线 y = a ( 0  a  1 ) , x = 1 , x = − 1 所 围成. 记区域 D 绕直线 y = a 旋转一周所得旋转体的体积为 V ( a ) . 求 V ( a ) 的最大值 与最小值. 63 设函数 f ( x ) 满足方程 e x f ( x ) 3 e x f ( x ) 2 c o s x , x ( , )     + − − =  − + . (I) 求 f ( x ) 在 ( 0 , 2 )  内的极值; (II) 求曲线 y = f ( x ) 在 0 , 2    的部分与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体 的体积.900 · 3. 一元函数积分学 64 一容器的内侧是由图中曲线绕 第 158 页，共265页 y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 4 2 7 x 2 + ( y − 1 ) 2 = 1 ( y  1 ) x2 y2 与 + =1(y1) 连接而成. 9 4 (I) 求容器的容积; (II) 如图所示,现容器中的液面位于 x 轴下方,若将容器中 的水从容器顶部全部抽出,顶部 出口在图中 ( 0 , 2 ) 处,至少需要 做多少功? (长度单位:m,重力加速度为gm/s2,水的密度为103kg/m3) 65 某建筑工地打地基时, 需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打, 都将克服土层对桩的阻力 而做功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为 k , k  0 ),汽 锤第一 次击打将桩打进地下 a m . 根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所做的功相等.问: (I) 汽锤第三次击打后, 可将桩打进地下多深? (II) 记击打 n 次后,桩被击打进土层的深度为 f ( n ) m ,求 lim ( n+1− n ) f (n) . n→ (注:m表示长度单位米.)900 · 3. 一元函数积分学 66 记 第 159 页，共265页 a n 2 4 c o t n x d x   =  . 证明 lim n a n  → 存在,并求此极限. 67 设函数 f ( x ) 在  − 1 ,1  上具有连续导数,且 m  f ( x )  M .证明: 1 2  1 − 1 f ( x ) ( 3 x 2 + 1 ) d x − 2 f ( x )  2 ( M − m ) .900 · 3. 一元函数积分学 68 设函数 第 160 页，共265页 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,且 f  ( x ) 连续, f (0)=0,2f (x)− f(x) 1.证明:对 x ( 0 , )   + ,有 f ( x )  1 2 ( e 2 x − 1 ) . 69 设函数 f ( x ) 在  0 ,1   1 1  上连续,在 0,  ,1 上可导,对任意      2 2  x   0 , 1 2    1 2 ,1  , f(x) 1,f (0)= f (1)=0 . 证明:  1 0 f ( x ) d x  1 4 .900 · 3. 一元函数积分学 70 设函数 第 161 页，共265页 f ( x ) ( x  x  ) s in x  = − ,其中  x  表示不超过 x 的最大整数,求 lim x x 0 f ( x t ) d t  → +  . 71 求 lim x x 0 a r c s in x ( s in t ) d t  → +  .900 · 3. 一元函数积分学 72 设定义在 第 162 页，共265页 ( , )   − + 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2 ) = 2 f ( x ) ,且当 x   − 1 ,1 ) 时, f ( x ) = − x ,求 lim x x 1 f 2 ( t x ) d t  → +  . 73 设函数 f ( x ) 1 3 x 1 在 (0,1 上连续,  f (x)dx 存在,且满足 f (x)= +sinx f (x)dx.若 0 xa + x 0  1 0 x − a 2 d x = 2 ,求  1 0 f ( x ) d x .900 · 3. 一元函数积分学 74 设函数 第 163 页，共265页 f ( x ) 在  0 , )  + f (x) 上连续,且 lim =1 . x→+ 2 ( ) 1−cos x2 +1−x    x (I) 证明 0 f ( x ) d x   + 收敛. (II) 若 f ( x ) a ( x ( x 2 2 ) 1 2 ) 2 e x s in x 0 f ( x ) d x  = + + + −  + ,求 a 与 f ( x ) . 75 设 I n 1 t t n 1 d t ( n 2 )  =  + −  . (I) 计算 I 2 ; (II) 求 lim n I nI n 1  → + .900 · 3. 一元函数积分学 76 设 第 164 页，共265页 a 0 , f ( a ) 0 ( a x 2 1 1 ) x 2 1 d x   =  + + + .判断 f  (1 ) 是否存在,若存在,试求其值. 77 已知函数 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 上有定义, f ( x )  0 ,且满足 f ( x ) lim t tta n x t g a a x a r c x t ta n t x g ( a x ) ,  = → +   − +  −  其中函数 g ( x ) 可导,且 a r c ta n 1 x 是 g ( x ) 的一个原 函数. (I) 求参数 a 的值; + (II) 计算  f (x)dx . 2 900 · 3. 一元函数积分学 78 (I) 证明: 对于任意实数 第 165 页，共265页 x 1 ,均有 e−x2  . 1+x2 (II) 证明: 0 e x 2 d x   + − 收敛,且对任意正整数 n ( n  2 ) ,均有 0 e x 2 d x 2 n (( 2 2 n n 3 2 )) !! !!    + −   − − 79 设函数 f ( x ) 在  0 , )  + + 上连续,且反常积分  f (x)dx 收敛. 证明: 0 (I) 反常积分 0 e x f ( x ) d x   + − 收敛; (II) 存在 ( 0 , )    + ,使得 0 f ( x ) d x 0 e x f ( x ) d x    =  + − .900 · 3. 一元函数积分学 80 已知函数 第 166 页，共265页 f ( x ) 在  0 , 3  上连续,在 ( 0 , 3 ) 内是函数 ln x − x 3 的一个原函数,且 f ( 0 ) = 0 . (I) 证明: f ( x ) 在  0 , 3 ) 上有定义, lim x 3 f ( x )  → − = − . (II) 证明: f (x) 在区间 (0,3) 内存在唯一零点. (III) 求  3 0 f ( x ) d x . C 类 一、选择题 x2  1 1 设 I = 1 e − 2dx,I = 2 ( 1−e−1) ,I =41−e − 2 ,则( ) 1 2 3   −1   (A) I 3  I 1  I 2 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 2  I 3  I 1 .900 · 3. 一元函数积分学 二、填空题 2 设 第 167 页，共265页  f n ( x ) 为一列连续函数,且 f n ( x )  e n x .对每个正整数 n ,令 F n ( x ) =  x 0 f n ( t ) d t , G n ( x ) 为 F n ( x ) 的反函数.定义正数数列 a n = G n  e − n 1  ,则 lim n a n  → = ________ . 三、解答题 3 求  c ( o s s in x x ( 1 + + c s o in 2 s 2 x x ) ) 2 d x . 4 求  x 1 2 + ( x 1 2 + ( 2 x 1 + − x x 2 ) e + x 1 ) d x .900 · 3. 一元函数积分学 5 设函数 第 168 页，共265页 g ( x ) 连续,满足对任意实数 x 1 , x 2 ,都有 g ( x 1 + x 2 ) = g ( x 1 ) g ( x 2 ) , g ( 1 ) = a , n 为 正 整数. 证明: x+n x (I)  g(t)dt=an g(t)dt ; n 0 (II) 若 a  1 ,则对任意 x ( 0 ,1 ) , lim n x x n g ( t ) ( t  t  ) d t   →  + − 都存在,其中  t  表示不超过 t 的最大整数. 6 设 f ( x ) 为  0 ,1  上单调减少的连续函数,且  1 0 f ( x ) d x = 1 . 记 x 为不超过 x 的最 大整数. (I) 设 k 为整数,求  k k − 1 ( x −  x  ) d x ; (II) 求 lim n 1 0 ( n x  n x  ) f ( x ) d x  →  − .900 · 3. 一元函数积分学 7 已知对于任意正整数 第 169 页，共265页 n ,积分  1 0 x a ln n x d x 都收敛. (I) 求 a 的范围; (II) 记 a n =  1 0 x a ln n x d x ,求 a n 的通项公式.900 · 4. 多元函数微分学 第四章 多元函数微分学 A 类 一、选择题 1 设二元函数 第 170 页，共265页 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处有定义,则下列说法中,正确的是( ) (A) 若 lim f (x,y ), lim f (x ,y) 均存在,则 0 0 x→x y→y 0 0 ( x ,y lim( )→ x0 ,y 0 ) f ( x , y ) 存在. (B) 若 lim f (x,y ), lim f (x ,y) 均存在,则 0 0 x→x y→y 0 0 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在. (C) 若 ( x ,y lim( )→ x0 ,y 0 ) f ( x , y ) 存在,则 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在. (D) 若 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在,则 lim x → x0 f ( x , y 0 ) , lim y → y 0 f ( x 0 , y ) 均存在.  y2 −xy  x2y  , x y,  , (x,y)(0,0), 2 设 f (x,y)= x− y f (x,y)=x4 + y2 则( ) 1 2   0, x= y,   0, (x,y)=(0,0), (A) f (x,y), f (x,y) 在点 (0,0) 处均连续. 1 2 (B) f (x,y), f (x,y) 在点 (0,0) 处均不连续. 1 2 (C) f (x,y) 在点 (0,0) 处连续, 1 f 2 ( x , y ) 在点 (0,0) 处不连续. (D) f (x,y) 在点 (0,0) 处不连续, f (x,y) 在点 (0,0) 处连续. 1 2900 · 4. 多元函数微分学 3 已知函数 第 171 页，共265页 f ( x , y ) = e sin x − c o s y ,则( ) (A)   f x (0 ,0 ) 不存在,   f y (0 ,0 ) 存在. (B)   f x (0 ,0 ) 存在,   f y (0 ,0 ) 不存在. (C)   f x (0 ,0 ) ,   f y (0 ,0 ) 均存在. (D)   f x (0 ,0 ) ,   f y (0 ,0 ) 均不存在. 4 设函数 f 2 ( x , y ) = f1  ( ( 0 x x , , 2 y + ) = y 2  ) 0 s x , in 2 + x y 2 2 1 + s in y 2 2 x , 1 + ( ( y x x 2 , y , y , ) )  = ( ( x , x , ( 0 ( 0 y y , 0 , 0 ) ) ) )  = , , ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则( ) (A) 在点 ( 0 , 0 ) 处, f1 ( x , y ) 和 f 2 ( x , y ) 的偏导数均存在. (B) 在点 (0,0) 处, f (x,y) 的偏导数不存在, f (x,y) 的偏导数存在. 1 2 (C) 在点 ( 0 , 0 ) 处, f (x,y) 的偏导数存在, 1 f 2 ( x , y ) 的偏导数不存在. (D) 在点 ( 0 , 0 ) 处, f1 ( x , y ) 和 f 2 ( x , y ) 的偏导数均不存在.900 · 4. 多元函数微分学 5 设函数 第 172 页，共265页 f ( x , y ) 满足 ( x lim ) ,y (0 ,0 ) s in f ( ( x x , y ) y ) 1 , 0   →  +  =  且 f ( 0 , 0 ) = 0 ,则下列结论中, 错 误的是( ) (A) f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续. (B) f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值. (C) 若 1  = ,则 f'(0,0) 和 f'(0,0) 都不存在. x y (D) 若 1 ,则 f'(0,0) 和 x f 'y ( 0 , 0 ) 都存在且均不为 0 . 6 设函数 f ( x , y ) 可微,且对任意的 x , y f (x,y) f (x,y) 都有 0, 0 ,则使不等式 x y f ( x 1 , y 1 )  f ( x 2 , y 2 ) 成立的一个充分条件是( ) (A) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (B) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (C) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (D) x 1  x 2 , y 1  y 2 .900 · 4. 多元函数微分学 7 已知二元函数 第 173 页，共265页 f ( x , y ) 存在一阶偏导数. 对于任意 y ,若 x 1  x 2 ,则 f ( x 2 , y ) f ( x 1 , y )  ;对于任意 x ,若 y 1  y 2 ,则 f ( x , y 1 )  f ( x , y 2 ) .下列结论中,正确的是( ) f f f f (A)  . (B)  . x y x y (−1,1) (1,−1) (1,−1) (−1,1) (C)   f x (1 ,1 )    f y (− 1 ,− 1 ) . (D)   f x (− 1 ,− 1 )    f y (1 ,1 ) . 8 设函数 f ( u , v )  2y f f 满足 f  2x+ y,  =4x2 −y2 ,则 , 依次是( )  x  u u=1 v u=1 v=0 v=0 (A) 1 2 , 2 . (B) 2 , 1 2 . (C) − 1 2 , 2 . (D) 2 , − 1 2 . 9 若二元函数 f ( x , y ) 存在二阶连续偏导数,且满足 f ( x , y ) = − f ( y , x ) ,则下列结论中,错误 的是( ) (A) '' f1 1 ( x , y ) = f ''2 2 ( x , y ) . (B) f'' (x,y)=−f'' (y,x) . 11 22 (C) f'' (x,y)= f'' (x,y) . (D) f'' (x,y)=−f'' (y,x) . 12 21 12 21900 · 4. 多元函数微分学 10 设函数 第 174 页，共265页 u ( x , y ) = f ( x y ) +  x 0 + y f ( x + y − t ) d t , v ( x , y ) = y f ( x + y ) +  y y − x f ( x + t ) d t ,其中函数 f ( t ) 具有一阶导数,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) 若 x = y u u ,则 = . (B) 若 x y x = y ,则   u x =   v x . (C) 若 x  y ,则   u x    u y . (D) 若 x  y ,则   u x    v x . 11 若由方程 F ( x , y , z ) = 0 可确定有连续偏导数的三个函数 x = f ( y , z ) , y = g ( z , x ) , z = h ( x , y ) , 则下列结论中,正确的是( ) (A)   F x =   F y =   F z . (B)   z x =   x y =   y z . (C)   z x    x y    y z = 1 z x y . (D)   =−1 . x y z 12 已知二元函数 z = z ( x , y ) 由方程 f  y e z x , ln z  = 1 确定,其中 f 存在一阶偏导数,则下列 结论中, 正确的是 ( ) (A)   z x = x   z y . (B)   z x = y   z y . (C) x   z x =   z y . (D) y   z x =   z y .900 · 4. 多元函数微分学 13 设 第 175 页，共265页 z = z ( x , y ) 由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 2 z = 0 ( z  0 ) 确定,则当 x = 2 , y = 4 时, ( ) (A) z 'x = 1 . (B) z 'y = 2 . (C) z ''xx = − 2 . (D) z ''yy = 5 . 14 设有三元方程 x a r c ta n x ln ln x y z e sin z 4  + + = ,根据隐函数存在定理,存在点 ( 1 , e , 0 ) 的一个邻 域, 在此邻域内该方程 ( ) (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z ( x , y ) . (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x , z ) 和 z = z ( x , y ) . (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 z = z ( x , y ) . (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) . 15 设函数 f ( u , v ) 满足 f (x+ y,x−y)=sinxcosx+sinycosy ,则   f u (0 ,0 ) +   f v (0 ,0 ) = ( ) (A) 0 . (B) 1 2 . (C) 1 . (D) 2 .900 · 4. 多元函数微分学 16 已知函数 第 176 页，共265页 f ( u ) 可导,且 f ( 0 ) = 1  y . 二元函数 z(x,y)= f (xy)f 满足   x 2 x y e xy + yx x   z x + y   z y = ,则下列关于函数 f ( u ) 的说法中,正确的是( ) (A) f ( u ) 满足微分方程 f(u)+ f (u)=0 . (B) f ( u ) 满足微分方程 f  ( u ) + f ( u ) = 1 . (C) f ( u ) 满足微分方程 f  ( u ) − f ( u ) = 0 . (D) f ( u ) 满足微分方程 f  ( u ) − f ( u ) = 1 . 17 设函数 f ( x ) 具有二阶连续导数,且 f ( x )  0 , f  ( 0 ) = 0 ,则函数 z ( x , y ) = f ( x ) f ( y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (B) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (C) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (D) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 .900 · 4. 多元函数微分学 二、填空题 18 设函数 第 177 页，共265页 F ( x , y ) =  x 0 + y c 1 o + s t t d t ,则   2 x F 2 x = − 1 y = 1 = ________ . 19 已知函数 f ( u , v ) 可微,且 f ( 0 ,1 ) = 0 , ' f1 ( 0 ,1 ) = 1 , f '2 ( 0 ,1 ) = 2 .令 y ( x ) = f ( f ( x , e x ) , e x ) ,则 d d y x x = 0 = ________ . 20 设函数 f (x,y)可微,且 f ( 0 , 0 ) = 0 , ' f1 ( 0 , 0 ) = a , f '2 ( 0 , 0 ) = b .令 ( t ) f ( s in t  = , f ( ta n t ,1 − c o s t ) ) ,则 (0)=________ .900 · 4. 多元函数微分学 21 已知函数 第 178 页，共265页 f ( u , v ) 可微, z ( x , y ) = f ( x + y , y − x ) − f ( x y , 2 − x ) ,则   z x (2 ,2 ) −   z y (2 ,2 ) = ________ . 22 设函数 z = z ( x , y ) 由方程 ln ( z + 1 ) + e z = y c o s x + 2 x 确定,则   z x (0 ,1 ) = ________ . 23 设函数 f ( x , y , z ) = e z y z 2 ,若 z = z ( x , y ) 是由方程 x+ y+z+xyz=0 所确定的隐函数, 记 g(x,y)= f ( x,y,z(x,y)) ,则 g' (0,1)=________ . y900 · 4. 多元函数微分学 24 设函数 第 179 页，共265页 F ( u , v ) 具有一阶连续偏导数,满足 F '1 + 1 3 F '2  0 ,已知 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x y z , x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 所确定的隐函数,且 z ( 1 ,1 ) = 1 ,则 d ∣z (1 ,1 ) = ________ . 25 设函数 z ( u , v ) = u e v w 2 ,其中w=w(u,v)由方程 e uw + e vw = 4 所确定,则当 u = ln 2 , v = ln 2 时, d z = ________ . 26 已知函数 z = z ( x , y ) 由方程 e z + x z − y ln x = 1 所确定,则   x 2  z y (1 ,1 ) = ________ .900 · 4. 多元函数微分学 27 设函数 第 180 页，共265页 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,且 − d y ) , f ( 0 , 0 ) = 0 d  f ( x , y )  =  c o s ( x − y ) − s in ( x − y )  e y − x ( d x ,则 f ( x , y ) = ________ . 28 函数 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − x y 的极小值为________ . 29 函数 f ( x , y ) = x 4 + y 4 − ( x + y ) 2 的极小值为________ .900 · 4. 多元函数微分学 30 已知函数 第 181 页，共265页 f ( x , y ) = ( x − 1 0 ) ( 7 0 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1 5 ) ( 6 5 + 6 x − 7 y ) ,若点 ( x 0 , y 0 ) 是 f ( x , y ) 的极大值点,则x +y =________ . 0 0 31 圆 x2 + y2 =3 上到点 ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 0 ,1 ) 的距离的平方和最小的点为_____. 三、解答题 32 设函数 z = f ( x c o s y , y g ( x ) ) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数,且 f'' (1,0)=1,函数g(x)可 12 导,且在 x = 1 2z 处取得极值g(1)=2.求 . xy x=1 y=0900 · 4. 多元函数微分学 33 设函数 第 182 页，共265页 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, f ( 0 ,1 ) = 1 是 f ( u , v ) 的极值, z = f ( 2 x + y , f ( x , y ) ) .求   x 2  z y (0 ,1 ) . 34 设函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数,函数 g ( x , y ) = x 2 + y 2 − f ( x + y , x y ) .求   2 x g 2 − 2   2 g x  y +   2 y g 2 . 35 设函数 f (u,v)具有二阶连续偏导数, y = y ( x ) 由方程tany−y=x所确定,令 f ( x , x − y ) z ( x ) = ,计算 d d 2 x z 2 x 1 4  = − .900 · 4. 多元函数微分学 36 设函数 第 183 页，共265页 u ( x , y ) = f ( x , y , z ( x , y ) ) 有连续偏导数,且 z = z ( x , y ) 由方程 xsinx−ycosy= zarctan z 所确定,求 d u . 37 已知函数 u ( x , y ) 满足   2 x u 2 − 2   2 y u 2 + 3   u x − 4   u y = 0 ,求 a , b 的值,使得在变换 u ( x , y ) = v(x,y)eax+by 下,上述等式可化为不含 v(x,y) 的一阶偏导数的等式. 38 设函数 u = f ( x , y ) 2u 2u 2u 具有二阶连续偏导数,且满足等式 2 +3 + =0.确定a,b的 x2 xy y2 值,使等式在变换 x a y , b x 2 y ( a b 2 )   = + = +  2u 下简化为 =0. 900 · 4. 多元函数微分学 39 设函数 第 184 页，共265页 f ( u ) 具有二阶连续导数, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 ,而 z = f ( e − x s in y ) 满足方程   2 x z 2 +   2 y z 2 = e − 2 4 x z ,求 f ( u ) . 40 求函数 f (x,y)= ( 3x3−y ) ex−y 的极值. 41 设函数 f (x,y)=2x+5y−ax2−3ay2−bxy ,问: 当参数 a,b 满足什么条件时, f (x,y) 有唯一极小值?900 · 4. 多元函数微分学 42 求函数 第 185 页，共265页 f ( x , y ) = 3 x 2 + 3 y 2 − 7 x y 在约束条件 x2 +y2−xy=9 下的最大值和最小值. 43 求函数 f ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 在约束条件 z = x 2 + 2 y 2 和 x + y − z = − 3 下的最大值 和最小值. 44 求函数 f ( x , y ) = x 2 + 4 y 2 − 2 x 2 y 2 在区域 D= (x,y∣) x2 +2y2 4,x0  上的最大值 和 最小值.900 · 4. 多元函数微分学 45 求函数 第 186 页，共265页 f ( x , y ) = x y ( 4 − 3 x 2 + y ) 在闭区域 D 上的最大值和最小值,其中区域 D 是由曲 线 y=3x2(x0) ,直线 y = 3 及 y 轴所围成的闭区域. 46 设函数 z = z ( x , y ) 由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0 ( z  2 ) 确定,求函数 z = z ( x , y ) 在条件 2 x 2 + y 2 = 1 下的最大值和最小值.900 · 4. 多元函数微分学 B 类 一、选择题 1 已知函数 第 187 页，共265页 f ( x , y ) = g ( x 2 + y 2 ) 可微,其中 g ( t ) 为可导函数,则 g ( t ) 可能是以下四个函 数中的( ) (A) 2 t . (B) e t . (C) c o s t 2 . (D) s in t . cosxy, xy0,  2 设函数 f (x,y)=cosy, x=0, 则下列结论中,正确的是( )  cosx, y=0, (A) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续,且   2 x  f y 存在. (B) 函数 f ( x , y ) 2f 在点 (0,0) 处连续,但 不存在. xy (C) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续,但   2 x  f y 存在. (D) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续,且   2 x  f y 不存在.900 · 4. 多元函数微分学 3 设函数 第 188 页，共265页 f ( x , y ) =  0 , x x 2 2 y + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则下列命题中,正确的是( ) (A) f ''x y ( 0 , 0 ) 和 f ''yx ( 0 , 0 ) 均不存在. (B) f ''x y ( 0 , 0 ) 不存在,但 f ''yx ( 0 , 0 ) 存在. (C) f ''x y ( 0 , 0 ) 存在,但 f ''yx ( 0 , 0 ) 不存在. (D) f ''x y ( 0 , 0 ) 和 f ''yx ( 0 , 0 ) 均存在. 4 设函数 f ( x , y ) =  x 0 2 , x y + 3 y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处( ) (A) 不连续, 偏导数也不存在. (B) 偏导数存在, 但不连续. (C) 连续且偏导数存在, 但不可微. (D) 可微.900 · 4. 多元函数微分学 5 设函数 第 189 页，共265页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若极限 lim x → y → 0 0 ( f x ( x + , y ) y ) 2 存在,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微. (B) 若极限 lim x → y → 0 0 f x (4 x + , y y )4 存在,则 f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微. (C) 若 f (x,y) 在点 (0,0) 处可微,则极限 lim x → y → 0 0 ( f x ( x + , y ) y ) 2 存在. (D) 若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 lim x → y → 0 0 f x (4 x + , y y )4 存在. 6 设函数 g ( x , y ) =  0 1 , , x x y y =  0 0 , . 若函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) g ( x , y ) 在点 (0,0) 处可微,则 f ( x , y ) 可能为( ) (A) y + c o s x y . (B) y + s in x y . (C) s in y + x y . (D) x 2 + y 2 .900 · 4. 多元函数微分学 7 设函数 第 190 页，共265页 f ( x , y ) =  ( 0 x , y + a x + b y ) a r c ta n x 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则下列说法中,错误的是 ( ) (A) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的连续性与 a , b 的取值无关. (B) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的偏导数是否存在与 a,b 的取值无关. (C) 函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的可微性与 a , b 的取值有关. (D) 若函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的偏导数存在,则 f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微. 8 设函数 f ( x , y ) x y g ( x , y ) ( 0 )   = −  ,其中 g ( x , y ) 在原点的某邻域内连续,则下列命题 中, 错误的是 ( ) (A) f ( x , y ) 在原点处连续. (B) 若 1   ,则 f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 存在. (C) 若 1   ,则 f ( x , y ) 在原点处可微. (D) 若 g ( 0 , 0 )  0 ,则 f ( x , y ) 在原点处取得极小值.900 · 4. 多元函数微分学 9 设函数 第 191 页，共265页 z ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,则下列各项中的变换能将方程 2   2 x z 2 +   x 2  z y − 3   2 y z 2 = 0 化简为   u 2 z  v = 0 的是( ) (A)  u v = = x − + 2 3 y x , + y . (B)  u v = = x x − + 2 3 y . y , (C)  u v = = x 3 2 − x 2 3 + y y , . (D)  u v = = x − + 3 2 2 3 x y + , y . 10 已知函数 f ( u ) y  y z z xy+ 可导,二元函数 z(x,y)= f (xy)f   满足 x + y =2xye x ,则下 x x y 列 关于函数 f ( u ) 的说法中,正确的是( ) (A) 曲线 y = f ( u ) 是凸曲线. (B) 曲线 y = f ( u ) 是凹曲线. (C) 曲线 y = f ( u ) 存在拐点. (D) 曲线 y = f ( u ) 存在渐近线.900 · 4. 多元函数微分学 11 已知函数 第 192 页，共265页 f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,函数 g(x) 具有二阶导数且 g ( 0 ) = 0 . 对于函 数 z ( x , y ) = f ( g ( x ) , g ( y ) ) ,下列说法中,正确的是( ) (A) 若 x = 0 是 g ( x ) 的极值点且 ' f1 ( 0 , 0 ) = f '2 ( 0 , 0 ) = 0 ,则点 ( 0 , 0 ) 是 z ( x , y ) 的极值点. (B) 若点 ( 0 , 0 ) 是 z ( x , y ) 的极值点且 ' f1 ( 0 , 0 ) = f '2 ( 0 , 0 ) = 0 ,则 x = 0 是g(x)的极值点. (C) 若点 ( 0 , 0 ) 2 是 f (x,y)的极值点且 f'' (0,0) f'' (0,0)=f'' (0,0) 0,g(0)0,则点 11 22  12  ( 0 , 0 ) 是 z ( x , y ) 的极值点. (D) 若点 ( 0 , 0 ) 是 z ( x , y ) 2 的极值点且z'' (0,0)z'' (0,0)=z'' (0,0) 0,g(0)=0,则点 11 22  12  ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点. 12 设函数 f ( x , y ) 连续,且 ( x lim ) ,y → (0 ,0 ) x 4 + y f 3 ( x − , 2 y x )2 − y 2 = 1 ,则( ) (A) 点 ( 0 , 0 ) 不是 f ( x , y ) 的极值点. (B) 点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (C) 点 (0,0) 是 f ( x , y ) 的极小值点. (D) 不能确定点 (0,0) 是否为 f ( x , y ) 的极值点. 13. 设函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) f (x,y)−xy 1 处连续且 lim = ,则( ) (x,y)→(0,0) x2 + y2 2 (A) 点 (0,0) 是 f (x,y) 的极大值点. (B) 点 (0,0) 是 f ( x , y ) 的极小值点. (C) 点 (0,0) 不是 f (x,y) 的极值点. (D) 根据已知条件无法判断点 ( 0 , 0 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点.900 · 4. 多元函数微分学 14 设函数 第 193 页，共265页 f ( x , y ) 在点 (1 ,1 ) 处连续,且满足 ( x lim) ,y → (1 ,1 ) x 3 + y 3 − 9 2 ( x f 2 ( + x , y 2 y ) ) + 6 ( x + y ) − 5 = 1 , 则 ( ) (A) 点 (1 ,1 ) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (B) 点 (1,1) 是 f ( x , y ) 的极小值点. (C) 点 (1 ,1 ) 不是 f ( x , y ) 的极值点. (D) 无法确定点 (1 ,1 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点. 15 设函数 f ( x , y ) 连续, z ( x , y )  = 的全微分为dz= ( 2x−y2−2y ) dx+ ( −2xy−2x+y3+3y ) dy,且 ( 0 , 0 ) 0  = f (x,y) .若 lim =1,则( ) (x,y)→(0,0)(x,y) (A) 点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (B) 点 ( 0 , 0 ) 是 f (x,y) 的极小值点. (C) 点 ( 0 , 0 ) 不是 f ( x , y ) 的极值点. (D) 不能确定点 ( 0 , 0 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点.900 · 4. 多元函数微分学 16 某敞口长方体型鱼缸的底部由大理石制作, 侧面由玻璃制作. 已知大理石单位面积的成 本 为玻璃单位面积的成本的 6 倍. 若长方体的体积为定值 第 194 页，共265页 1 m 3 ,则( ) (A) 当鱼缸的底边长均为 3 1 3 m ,高为 3 23 m 时,鱼缸的耗材成本最低. (B) 当鱼缸的底边长均为 3 1 6 m ,高为 6 23 m 时,鱼缸的耗材成本最低. (C) 当鱼缸的底边长均为 3 1 3 m ,高为 3 23 m 时,鱼缸的耗材成本最高. 2 1 (D) 当鱼缸的底边长均为 3 m ,高为 63m 时,鱼缸的耗材成本最高. 6 17 已知函数 f ( x , y ) = x 2 + 2 k x y + y 2 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极值,则参数 k 的取值范围是( ) (A)  − 1 ,1  . (B)  − 1 , 0 )  ( 0 ,1  . (C) ( − 1 ,1 ) . (D) ( − 1 , 0 )  ( 0 ,1 ) .900 · 4. 多元函数微分学 18 设函数 第 195 页，共265页 u ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有二阶连续偏导数,且满足 2u 2u + =0,则( ) x2 y2 (A) 若   2 x u 2  0 ,则 u ( x , y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值在 D 的边界上取得. (B) 若   2 x u 2  0 ,则 u ( x , y ) 的最小值在 D 的内部取得,最大值在 D 的边界上取得. (C) 若 2  u  x  y  0 ,则 u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得. (D) 若 2  u  x  y  0 ,则 u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得. 二、填空题 19 设函数 f ( x , y ) =  x 0 2 y y e ytd t 2f ,则 =________ . yx (1,1)900 · 4. 多元函数微分学 20 设函数 第 196 页，共265页 f ( x , y ) 可微,满足 f x 2 f y 2 1 , z ( r , )      +     = 为 f (x,y) 在极坐标系下的表示, 则对单位圆周上的任一点 ( 1 , ) , z r 2 z 2       +     = ________ . 21 设可微函数 z = f ( x , y ) 在极坐标变换下满足   z r = r ,则 f 'x ( 1 , 0 ) + f 'y ( 0 ,1 ) = ________ . 22 设函数z(x,y) 满足   x 2 z  y = e x + 2 y ,且 z(x,0)=x,z(0,y)=2y ,则 z(x,y)=________ .900 · 4. 多元函数微分学 23 设连续函数 第 197 页，共265页 z = f ( x , y ) 满足 ( x lim ) ,y → (1 ,2 ) f ( x ( x , − y 1 ) ) + 2 x + − ( y 2 y − + 2 ) 3 2 = 0 ,则 d z (1,2 ) = ________ . 三、解答题 24 已知函数 f ( u ) 具有二阶导数,且 f  ( 1 ) = 1 ,函数 y = y ( x ) 由方程 ln y − x e y = 1 − c o s x 所确定. 设 z = f ( y − a r c ta n e x ) ,求 d d z x x = 0 , d d 2 x z 2 x = 0 .900 · 4. 多元函数微分学 25 设 第 198 页，共265页 z = z ( x , y ) 是由方程 2 x y z ( x 2 y 3 z )  − = + + 所确定的函数,其中 ( t )  具有二阶导 数,且 ( t ) 1 3    − . (I) 求 dz ; (II) 记 u ( x , y ) = x − 1 2 y  2   z x −   z y  ,求   u x −   u y . 26 设 f ( u )  u  1 2  为可微函数, z = x f  y x  z x−y z z+y 满足 + = ,且 x x y x f ( 1 ) = 0 . 求 f (u) 的表达式.900 · 4. 多元函数微分学 27 设有二阶连续偏导数的函数 第 199 页，共265页 u = u ( s , t ) 满足   2 s u 2 = −   2 t u 2 以及 u ( x , 2 x ) = x 2 , u '1 ( x , 2 x ) = 4 x . 求 u ''1 1 ( x , 2 x ) 和 u ''1 2 ( x , 2 x ) . 28 求函数 f ( x , y ) =  x + 1 2 y 2   x − 1 3 y 3  的极值. 29 已知函数 z = z ( x , y ) 由方程 ( x 2 + y 2 ) z + e z − 1 + 2 ( x + y ) + 1 = 0 确定,求 z = z ( x , y ) 的 极值.900 · 4. 多元函数微分学 30 已知函数 第 200 页，共265页 f ( x , y ) 满足 f 'x ( x , y ) = 2 x + y + 1 , f 'y ( x , y ) = x + 2 y + 3 , f ( 0 , 0 ) = 1 . 求 f ( x , y ) 以及 f ( x , y ) 的极值点,并判定极值点类型. 31 已知函数 f ( x , y ) 满足 f'' (x,y)=2x ( 1−x2) e−x2 ,f'(x,0)=0,f (0,y)= y2 ,求 xy x 2 f ( x , y ) 的极值. 32 设函数 f ( x , y , z ) = 1 3 x 3 + y 2 − 2 ln z ,求该函数在条件 x2 +2y2 +z2 =3 下的最小值.900 · 4. 多元函数微分学 33 某行星上的磁场强度为 第 201 页，共265页 M ( x , y , z ) = 6 x − y 2 + x z + 5 0 ,行星表面的点 ( x , y , z ) 满足方程 x 2 + y 2 + z 2 = 2 0 . 科学家欲在该行星表面磁场强度最小处架设一台天文望远镜进行探测,求 该望远 镜的选址坐标 ( x 0 , y 0 , z 0 ) . 34 某几何体由底面圆相同的半球体、圆柱体与圆锥体拼接在一起构成.若该几何体的表面积为 定值 ( 2 5 )  + ,则球半径 r ,圆柱体高 H ,圆锥体高 h(r,H,h均大于0) 分别为何值时， 几何体的体积最大?并求此最大体积.900 · 4. 多元函数微分学 35 设函数 第 202 页，共265页 z = f ( x , y ) 满足   z x = 2 3 ,   z y = − 2 k 3  1 y 3 ( k  0 ) ,且 f ( 0 , k ) = 1 3 k . (I) 求 f ( x , y ) ; (II) 设数列 x  满足 n x n + 1 = f ( x n , x n ) ( n = 0 ,1 , 2 , ) . 证明: 对任意 x 0  0 ,数列 x  n 均收敛,并求 limx . n n→ C 类 一、填空题 1 设函数 f ( x , y ) 满足 ( x lim ) ,y → (0 ,0 ) f ( x , y ) + 2 ( x x 2 + + 1 y 2 )2 ( x − y ) = 1 ,则 df (x,y) =________ . (0,0)900 · 4. 多元函数微分学 二、解答题 2 设 第 203 页，共265页 f ( x , y ) 为定义在全平面上的正值可微函数,满足 f ( 0 , 0 ) = 1 ,   f y = e y 1 + e − y . 若对任意 x ,都有 lim t→ 0  f ( f x ( + x , t , 0 ) 0 )  1t = e x 2 x − − 2 1 x + 4 ,求 f ( x , y ) . 3 设函数 f ( u , v ) 有一阶连续偏导数, f (x,1−x)=1,f'(x,1−x)=x . 1 (I) 设 z ( t ) = f ( c o s t , s in t ) ,计算 z  ( 0 ) . (II) 证明: f ( u , v ) 在单位圆周 u 2 + v 2 = 1 上至少存在两个不同的点满足方程 v   f u = u   f v .900 · 5. 二重积分 第五章 二重积分 A 类 一、选择题 1 设 第 204 页，共265页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  a 2  , f ( x , y ) =  s in 1 , ( x 2 x 2 + + y y 2 2 ) e x 2 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则 lim a → 0 1 a 2   D f ( x , y ) d x d y = ( ) 1 (A) 不一定存在. (B) 1 . (C)  . (D) .    2 设 D = (x,y) x2 +y2 1 , 1 D 2 =  ( x , y ) x 2 + y 2  4  ,   D = (x,y) 4x2 +y2 4 , 3 D 4 =  ( x , y )∣ x 2 + 4 y 2  4   y2  .令I = 1−x2 − dxdy ,则 i D i 4  i m1 a x ,2 ,3  ,4 I i = ( ) (A) I . (B) 1 I 2 . (C) I . (D) 3 I 4 .900 · 5. 二重积分 3 设平面区域 第 205 页，共265页 D ( x , y ) x y 4  =  + ∣   . 记 I 1 =   D x 2 + y 2 d x d y , I 2 =   D ( x 2 + y 2 − s in x 2 + y 2 ) d x d y , I 3 =   D ( ta n x 2 + y 2 − x 2 + y 2 )d x d y ,则( ) (A) I 3  I 2  I 1 . (B) I 2  I 1  I 3 . (C) I 1  I 3  I 2 . (D) I 2  I 3  I 1 . 4 设平面区域 D =  ( x , y ) x 23 + y 23  1 , x  0 , y  0  .记 I 2 =   ( e x 2 + y 2 − 1 ) d x d y , I 3 =   D ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 d x d y I 1 =   D 3 x − y d x d y , ,则( ) (A) I 2  I 1  I 3 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 1  I 2  I 3 . (D) I 3  I 2  I 1 . 5 设 D 是 x O y 平面上以 ( 1 ,1 ) , ( − 1 ,1 ) 和 ( − 1 , − 1 ) 为顶点的三角形区域, D 1 是 D 在第一象限的部分, 则 ( xy+ xarctany ) dxdy=( ) D (A) 2   D 1 x a r c ta n y d x d y . (B) 2 xydxdy . D 1 (C) 4   D 1 ( x y + x a r c ta n y ) d x d y . (D) 0 .900 · 5. 二重积分 6 设区域 第 206 页，共265页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , x  0 , y  0  , f ( x ) 为 D 上的正值连续函数,则   D f f ( ) x ( ) x + + 2 f f ( ) y ( ) y d x d y = ( ) (A) 2  . (B)  . (C) 3 2  . (D) 2  . 7 设区域 D= (x,y∣) x2 +y2 1  ,函数 f ( x , y ) 在 D 上连续, D 是 1 D 在第一象限的 部分, 则下列说法中, 错误的是( ) (A) 若 f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) ,则   D f ( x , y ) d x d y = 0 . (B) 若 f ( − x , y ) = f ( x , − y ) = − f ( x , y ) ,则   D f ( x , y ) d x d y = 0 . (C) 若 f (−x,−y)= f (x,y) ,则   D f ( x , y ) d x d y = 4   D 1 f ( x , y ) d x d y . (D) 若 f ( − x , y ) = f ( x , − y ) = f ( x , y ) ,则   D f ( x , y ) d x d y = 4   D 1 f ( x , y ) d x d y .900 · 5. 二重积分 8 设函数 第 207 页，共265页 f ( x , y ) 连续,则  3d 1 y  3 y2 f ( x , y ) d x +  5d3 x  6 1 − x f ( x , y ) d y = (A)  3d 1 y  5 y2 f ( x , y ) d x . (B)  3d 1 y  6 − y2 y f ( x , y ) d x . (C)  5 12 d x  6 1 − x f ( x , y ) d y . (D)  5 12 d x  2 1 x f ( x , y ) d y . 9 设函数 f ( x , y ) 连续,则二次积分 3 2 d x co 0 sx f ( x , y ) d y     = ( ) (A) 0 d1 y 2 arcco sy f ( x , y ) d x    −  − . (B) 0 d1 y 2 arcco sy f ( x , y ) d x   −  −  − . (C) 0 d1 y 2 arcco sy f ( x , y ) d x    −  + 0 2+arccosy . (D) − dy f (x,y)dx . −1 900 · 5. 二重积分 10 设函数 第 208 页，共265页 f ( t ) 连续,则二次积分 2 0 d 4 2 sin sin f ( r 2 ) d r       = ( ) (A)  1 d0 x  2 2 + 4 − x 2 f ( x 2 + y 2 ) d y +  2d 1 x  2 2 + − 4 4 − − x x 2 2 f ( x 2 + y 2 ) d x . (B)  2d0 y  4 2 y y − − y y 2 2 f ( x 2 + y 2 ) d x +  4d2 y  0 4 y − y 2 f ( x 2 + y 2 ) d x . (C)  1 d0 x  2 2 + 4 − x 2 f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d y +  2d 1 x  2 2 + − 4 4 − − x x 2 2 f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d x . (D)  2d0 y  4 2 y y − − y y 2 2 f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d x +  4d2 y  0 4 y − y 2 f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d x . 11 设函数 f (x,y) 连续,曲线 C : y 2 = x 在点 (1,1) 处的切线为 l1 ,在点 ( 1 , − 1 ) 处的切线 为 l .记曲线 C 与 2 l1 , l2 所围成的平面区域为 D ,则   D f ( x , y ) d x d y = ( ) (A)  1 − d1 x  12 − ( ) x + 1 1 ( x + 1 2 ) f ( x , y ) d y . (B)  1 − d1 y  y 2 2 y − 1 f ( x , y ) d x . 1 1 0 (x+1) 1 (x+1) (C)  dx2 f (x,y)dy+2 dx2 f (x,y)dy . 1 −1 − (x+1) 0 x 2 1 y2 0 y2 (D)  dy f (x,y)dx+ dy f (x,y)dx . 0 2y−1 −1 −2y−1900 · 5. 二重积分 12 设 第 209 页，共265页 f ( x , y ) 连续,则  12 0 d y  0 − 2 y − y 2 f ( x , y ) d x +  1 12 d y  0 − 1 − y 2 f ( x , y ) d x = ( ) (A)  0 32 d x  1 1 − − 2 x 1 − x 2 f ( x , y ) d y . (B)  0 32 d x  1 − 1 − 1 − 2 x x 2 f ( x , y ) d y . (C) 56 2 d 1 0 f ( r c o s , r s in ) r d r 56 d 2 0 sin f ( r c o s , r s in ) r d r              +   .   1 2sin (D) 6d f (rcos,rsin)rdr+2d f (rcos,rsin)rdr .  0 0 0 6 13 设 f ( x ) 连续, F ( t ) =  td1 y  t y f ( x ) d x ,则 F  ( a ) = ( ) (A) a f ( a ) . (B) ( a − 1 ) f ( a ) . (C) − f ( a ) . (D) 0 .900 · 5. 二重积分 二、填空题 14 设 第 210 页，共265页 a  0 , f ( x ) = g ( x ) =  1 a 0 , , 0 其  他 x  , a , 而 D 表示全平面,则I = f (x)g(y−x)dxdy D = ________ .  x 15 2 dx sinxcosx 1−sin2x+sin2ydy=________ .   − − 2 2 1 1 16  4 dx3xexy2 dy+ 8 dx3xexy2 dy=________ . 1 1 1 4 x 2900 · 5. 二重积分 1 x 17  dx sin(1−y)sin(x−y)dy=________ . 0 0 18  1 dy arccosy ( 2sin2x+cos2x ) dx=________ . 0 −arccosy 1−y 19  0 dy 2 e (2x−1)2 dx=________ . −1 1 第 211 页，共265页900 · 5. 二重积分 20  1 dx 0 cos(1−y)2 dy=________ . 0 x 21 设函数 第 212 页，共265页 f ( u ) 连续, f ( 0 ) = 1 , D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  t , F ( t ) =   0  , D ( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 )d x d y , t t   0 0 , , 则 F ''+ ( 0 ) = ________ . 22 设有两个沙堆. 沙堆 A 的外形为底面半径 2,高 h 的圆锥. 沙堆 B 的外形为钟形,如 x2 +y2 果以其 底面中心为原点建立坐标系,那么其侧面为函数 f (x,y)=2− 的图形位于 2 x O y 面上方的部分. 已知两个沙堆的体积相等,则 h = ________ .900 · 5. 二重积分 三、解答题 23 求极限 第 213 页，共265页 lim x → 0  0 x   u 0 s 2ln in x ( 1 ( e + c x o − s t 1 ) ) d t  d u . 24 设区域 D 如图所示,其边界分别为 x=−1,y=1,y= −1+ 1−x2 在第三象限的部分以及 y = 1 − 1 − x 2 在第一象限的部分. f ( x ) 是定义在  − a , a  ( a  1 ) 上的连续函数,求   D y  ( x + 1 ) f ( x ) + ( x − 1 ) f ( − x )  d x d y .900 · 5. 二重积分 25 设区域 第 214 页，共265页 D 由曲线 y = 2 1 − x 2 与直线 y = 2 x 及 y 轴围成.计算二重积分   D x 1 − x 2 d x d y . 26 计算二重积分   D ( x 2 + 2 x y + 3 y )d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , y  3 x 2  .900 · 5. 二重积分 27 设 第 215 页，共265页 D 是由直线 y = 1 , y = 1 2 x , y = − 1 2 x 围成的有界区域,计算二重积分   D x 2 − x 3 2 x + y 4 − y 4 2 y 2 d x d y . 28 设平面区域 D 由直线y=x,y=−x,y=1与 y = 2 1+xy 围成.计算二重积分I = dxdy. Dx2 + y2900 · 5. 二重积分 29 设平面区域 D= (x,y∣)1x2+y2 4,x0,y0  . 计算二重积分 第 216 页，共265页   D x ln ( x x 2 + + y y 2 ) d x d y . 30 设区域 D 由曲线 ( x 2 + y 2 ) 3 2 = x 2 − y 2 ( 0  y  x ) ,直线 y=x 及 x=1 所围成,计算二 重积分 I = ( x4 −y4) dxdy . D900 · 5. 二重积分 31 计算 第 217 页，共265页   D m in  x 2 y ,1  d x d y ,其中 D= (x,y∣)0x4,0 y4  . 32 设区域 D 由圆 x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 9 3 以及直线 y= x,y= 3x 围成, 3  x 2 + y 2  表 示不超过 x 2 + y 2 的最大整数,计算二重积分   D y x  x 2 + y 2  d x d y .900 · 5. 二重积分 33 设区域 第 218 页，共265页 D  ( x , y ) x 0 , y 0 , x y 2   = ∣   +  ,计算二重积分 I =   D s in ( x + y ) d x d y . 34 设区域 D  ( x , y ) 0 x , 0 y    = ∣     ,计算二重积分 I = ∬ D c o s ( x − y ) d x d y .900 · 5. 二重积分 35 设函数 第 219 页，共265页 f ( x ) 在区间  0 ,1  上连续,且  1 0 f ( x ) d x = 1 2 ,  1 0 x f ( x ) d x = 1 3 .求  1 d0 x  1 x  f ( x ) + 1  f ( y ) d y . 36 设曲线 L 的方程为 y = 1 2 x 2 − ln x ( 1  x  e 2 ) , D 是由曲线 L ,直线 x = 1 , x = e 2 及 x 轴 所围平面图形,求 D 的形心的横坐标.900 · 5. 二重积分 B 类 一、选择题 1 设 第 220 页，共265页 D 1 ( x , y ) 0 y x 2 ,  =      D 2 ( x , y ) 0 x y 2 ,  =      D 3 ( x , y ) 2 x y    =     .记 I 1 =   D 1 e x 2 c o s y d x d y , I 2 =   D 2 e x 2 c o s y d x d y , I 3 = −   D 3 e x 2 c o s y d x d y ,则( ) (A) I 3  I 1  I 2 . (B) I 3  I 2  I 1 . (C) I 1  I 3  I 2 . (D) I 2  I 1  I 3 . 2 设函数 f ( x , y ) 连续, a  0 a a2−x2 ,则  2 dx f (x,y)dy=( ) a − x 2 (A) 2  0 a 2 d x  x a 2 − x 2 f ( x , y ) d y . (B)  − 0 a 2 d x  − a x 2 − x 2 f ( x , y ) d y +  0 a 2 d x  x a 2 − x 2 f ( x , y ) d y . a y a a2−y2 (C) 2 2dy f (x,y)dx+2 dy f (x,y)dx . a 0 0 0 2 (D)  0 a 2 d y  y − y f ( x , y ) d x +  a a 2 d y  − a 2 a − 2 y − 2 y 2 f ( x , y ) d x .900 · 5. 二重积分 3 设函数 第 221 页，共265页 f ( x , y ) 连续,且为关于 x 的偶函数,区域 D 1 由曲线 y= x2,x2+(y−1)2 =1 以 4 及直线 y = 1 围成,则   D f ( x , y ) d x d y = ( ) (A)  1 d0 y  − − 2 1 y ( − y − 1 2) f ( x , y ) d x +  1 d0 y  2 1 y ( − y − 1 2) f ( x , y ) d x . (B) 2   1 d0 x  1 + 1 x 4 1 2 − x 2 f ( x , y ) d y +  2d 1 x  1 14 x 2 f ( x , y ) d y  .   1  arctan2 4tansec (C) 2 d f (rcos,rsin)rdr+4 dsin f (rcos,rsin)rdr .  0 2sin arctan2 2sin    (D) 2 arctan 0 12 d 4 2 tan sin sec f ( r c o s , r s in ) r d r 4 arctan 12 d 1 sin 2 sin f ( r c o s , r s in ) r d r                +    . 4 设 D 是由曲线x2 + y2 =1(y0),x2 + y2 =4(x0,y0),y=0(1x2),x2 +(y−1)2 =1 (x0)所围成的平面区域,函数 f ( x , y ) 在区域 D 上连续,则  f (x,y)dxdy=( ) D (A) 5 6 0 d 2 1 f ( r c o s , r s in ) r d r       . (B) 5 6 0 d 2 1 sin f ( r c o s , r s in ) r d r        . (C) 2r 1 d r arcsin 0 r 2 f ( r c o s , r s in ) d      . (D) 2r 1 d r 0 arcsin r 2 f ( r c o s , r s in ) d       − .900 · 5. 二重积分 5 设函数 第 222 页，共265页 f ( t ) 在 ( , )   − + 上二阶可导,且满足 f ( 0 ) = 0 , f  ( t )  0 .记 D 为单位圆盘 x 2 + y 2  1 , 则 I =   D f ( x + y ) d x d y 不可能等于( ) (A) -1 . (B) 0 . (C) 1 . (D) 2 . 6 设一元函数 f 连续. 若 F ( u , v ) =   D uv f ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) d x d y ,其中区域 D u v 为图中阴影部分, F 则 =( ) u (A) v u f ( u ) . (B) v 2 u f ( u ) . (C) v u f ( u ) . (D) v 2 u f ( u ) . t2 −x2 −y2 7 设函数 f (t)= dxdy(t0) ,其中 D t2 +x2 + y2 D 是由曲线 x 2 + y 2 = t 2 , x 轴及 y 轴 所围成的位于第一象限的区域, 则下列说法中正确的是( ) (A) t =1 是函数 f (t) 的极值点. (B) 函数 f (t) 是单调函数. (C) 曲线 y= f (t) 是凸曲线. (D) 曲线 y= f (t) 有渐近线.900 · 5. 二重积分 二、填空题 8 第 223 页，共265页 lim n n i 1 n j 1 2 n 2 1 n i n j  →  =  = + + = ________ . 9 lim n 1 n 2 n i 1 2 j n 1 e m ax 2 i j , n n  →  =  =   = ________ . 10  3 2 0 d y  1 − y 3 y 2 ( x + x y 2 3 ) + − y 2 x 3 d x +  0 − 3 2 d y  − 1 − y y 3 2 ( x + x y 2 3 ) + − y 2 x 3 d x = ________ .900 · 5. 二重积分 11 设函数 第 224 页，共265页 f ( x , y ) 连续,区域 D 是由曲线 ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 x y 在第一象限所围成的部分,则   D f ( x , y ) d x d y 在极坐标系下先  ,后 r 的二次积分为________ . 12 设区域 D  ( x , y ) 0 x , 0 y    = ∣     ,则   D s in ( m a x  x 2 , y 2  ) d x d y = ________ . 13 设区域 D t =  ( x , y )∣ x 23 + y 23  t 2  ,则 lim t→ 0 +   D t ( c o s x + 6 t s in y )d x d y = ________ .900 · 5. 二重积分 14 设函数 第 225 页，共265页 f ( x , y ) = e x + y ,点 ( a , b ) 为圆周 x 2 + y 2 = 1 上的动点, D 为中心在原点的正方形.若要 使积分 I ( a , b ) =   D f ( a + x , b + y )d x d y 最大,则 ( a , b ) 应取________ . 三、解答题 15 已知平面区域 D =  ( x , y ) 3 3 ∣y  x , ( x 2 + y 2 ) 3  x 4  , 计算二重积分   D x x 2 + + y y 2 d x d y .900 · 5. 二重积分 16 设平面有界区域 第 226 页，共265页 D 位于第四象限,由曲线 4x2 +y2 +2xy=1,4x2 +y2 +2xy=4 与直线 y = − x , y = 0 围成,计算   D 4 x 2 + 1 y 2 + 2 x y d x d y . 17 设曲线 y = 2 x − x 2 与坐标轴围成的区域为 D 1 , x = 2 y − y 2 与坐标轴围成的区域为 D 2 , D = D 1  D 2 1, x0,  ,记函数sgn(x)=0, x=0, 计算  −1, x0. I =   D  ( x 2 − y 2 ) s g n ( y − x ) + ( x 2 + y 2 )  ( s e c 2 x − ta n 2 y )d x d y .900 · 5. 二重积分 18 设直线 第 227 页，共265页 x + y 2 = 1 与坐标轴围成的区域为 D 1 , x 2 + y = 1 与坐标轴围成的区域为 D 2 , D = D 1  D 2 . 计算 I =   D e − 1 2 x − y + 3 2 ( x + y 2) ( s e c 2 x − ta n 2 y ) d x d y . 19 计算二重积分 I D 1 r 2 c r o 3 s s 2 in 2 4 r 2 s in 2 d r d     =   + − ,其中 D ( r , ) s e c r 2 s e c , 0 a r c ta n 1 2 .     =  ∣     900 · 5. 二重积分 20 设区域 第 228 页，共265页 D ( r , ) 0 r s e c , 0 4      =  ∣      ,计算 I D r 2 c o s c o s 2 r s in 4 d r d .     =     +   21 计算   D ( x − y ) a r c ta n y x d x d y ,其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 ,直线 y = x 以 及 x 轴所围成的在第一象限内的闭区域.900 · 5. 二重积分 22 设二元函数 第 229 页，共265页 f ( x , y ) =  3 2 x y , x x 2 + + y y 2 , x 1 +  y x  + 1 y ,  2 , 计算二重积分   D f ( x , y )d x d y ,其中 D 是由直线 x+ y=2 以及坐标轴围成的平面区域. 23 设区域 D =  ( x , y )∣ − 1  x  1 , 0  y  1  ,  x 2 − y  表示不超过 x 2 − y 的最大整数,计算 I =   D ( 1 −  x 2 − y  ) x 2 − y d x d y .900 · 5. 二重积分 24 设函数 第 230 页，共265页 f ( x ) 连续,平面区域 D =  ( x , y ) x + ∣y  a  ( a  0 ) . (I) 证明:   D f ( x + y )d x d y = a  a − a f ( t ) d t . (II) 若 a  = ,计算 I =   D c o s 2 A ( x + y )d x d y ,其中 A 2 x 2 y  =  +  表示不超过 2 x 2 y  + 的最 大整数. 25 设平面区域 D 由曲线 x y t 1 s c in o t , s t ( 0 t 2 )   = = − −   与x轴围成,计算二重积分 x(y+1)dxdy. D900 · 5. 二重积分 26 设区域D= (x,y∣) x2+y2 2y,y1  .连续函数 第 231 页，共265页 f ( x , y ) 满足 f ( x , y ) = x x 2 + + y y 2 + x   D f ( x , y )d x d y . 求函数 f ( x , y ) 的表达式. 27 设平面区域 D= (x,y∣)3x2+y2 8  . x2 (I) 计算 I = dxdy . D 1+x2 + y2 (II) 证明: 存在 ( , ) D   16 ,使得 2 = 2 +2 +1 . 15900 · 5. 二重积分  2 2 2   28 设D= (x,y∣) x3 + y3 a3 (a0).二元函数   第 232 页，共265页 f ( x , y ) 在D上连续,且当 ( x , y )  ( 0 , 0 ) 时, f ( x , y ) = e − x 2 + y 2 − 1 − x 2 ln + ( 1 y − 2 x 2 + y 2 ) .求 lim a → 0 +   D f ( x a , 2 y ) d x d y . C 类 一、选择题 1记 I 1 lim n 1 n 2 n i 1 n j i 1 s in i n s in j n ,  = →  =  − =  −  I 2 lim n 1 n 2 i 1 n n j i 1 s in i n s in j n ,  I 3 lim n 1 n 2 i 1 n j 1 n i s in i n s in j n , = − → −= −  + =  +   = → −= − −= − −  +  I 4 lim n 1 n 2 n i 1 j 1 i n s in i n s in j n ,  = →  = −= −  −  则 I 1 , I 2 , I 3 , I 4 中,( ) (A) I 最小, 1 I 2 最大. (B) I 最小, 1 I 4 最大. (C) I 3 最小, I 最大. (D) 2 I 3 最小, I 最大. 4900 · 5. 二重积分 2 设点 第 233 页，共265页 O , A , B 的坐标分别为 ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 ,1 ) ,点 C 为区域 D = { ( x , y )∣ 0  x  1 , y  0 } 内 一点,则下列区域中,四边形 AOBC 的形心不可能在其中出现的是( )  1   1  (A)  (x,y) 0x ,0 y1 . (B)  (x,y) 0x ,1 y2 .  3   3  (C)  ( x , y ) 1 3  x  2 3 , 0  y  1  . (D)  ( x , y ) 2 3  x  1 , 0  y  1  二、解答题 3 设函数 f ( x ) 二阶可导,且 f (0)= f(0)=0, f(0)=2.对每个正数 r ,令平面区域 D r =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  r 2  ,并选取一点 ( , ) D r   使得 D r f ( x 2 y 2 )d x d y r 2 f ( 2 2 )      + = + . 求 lim r 0 2 r 2 2   → + + .900 · 5. 二重积分 4 设平面区域 D= (x,y∣)0x2,0 y2  . (I) 求二重积分 第 234 页，共265页   D x 2 + y 2 − 1 d x d y . (II) 设 f ( x , y ) 在区域 D 上连续,且 D f ( x , y ) d x d y 4 ,    = −   D f ( x , y ) ( x 2 + y 2 )d x d y = 2 0 3  f (x,y)( x2 +y2) dxdy= 20 . 证明: 存在点 (,)D ,使得 D 3 f ( , ) 1   . 5 设二元函数 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,且满足 f ( 0 , 0 ) = 0 , ' f1 ( 0 , 0 ) = k  0 以及对于任 意 x ,都有 f '2 ( x , y )  0 . (I) 设 n  1 ,证明: 当 x0 时,对所有的 0 x n    f (x,) ,都有 lim 存在,并计算该极 x→0+ x 限. (II) 若当 x → 0 + 时,  x 0 nd u  u x 1n f ( t , u ) d t 与 1 − c o s x 2 是等价无穷小,求 n , k .900 · 6. 常微分方程 第六章 常微分方程 A 类 一、选择题 1 若 第 235 页，共265页 y 1 = ( x − 1 ) 2 , y 2 = ( x + 1 ) 2 是微分方程 y  + p ( x ) y = q ( x ) 的两个解,则 p ( x ) + q ( x ) = ( ) (A) x 2 − x 1 . (B) x 2 − x 2 . (C) 1 − x x 2 . (D) 2 − x x 2 . 2 设 y = e 2 x + ( x + 1 ) e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y  + a y  + b y = c e x 的一个特解,则( ) (A) a = 3 , b = 2 , c = 1 . (B) a = 3 , b = − 2 , c = 1 . (C) a = − 3 , b = 2 , c = − 1 . (D) a = − 3 , b = 2 , c = 1 . 3 设 y 1 , y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+ p(x)y=q(x) 的两个特解,若常数 ,  使 3 y 1  y 2  + 是该方程的解, y 1 2 y 2   − 是该方程对应的齐次方程的解,则( ) 1 2 2 1 (A) = ,= . (B) =− ,= . 5 5 5 5 1 2 2 1 (C) = ,= . (D) = ,= . 7 7 7 7900 · 6. 常微分方程 4 设 第 236 页，共265页 C 为任意常数,则以 x = y 2 ( C − 2 ln y ) 为通解的一阶微分方程为( ) (A) y  = x − y y 2 . (B) y  = 2 x y − y 2 . (C) y  = x − y 2 y 2 . (D) y  = 2 ( x y − y 2 ) . 5 下列各项中,是常系数齐次线性微分方程 y (4 ) − 1 6 y = 0 的解的为( ) (A) ( e x e 2 x ) 2 s in 2 x 4  + − +  +  . (B) ( e x e 2 x ) 2 s in 2 x 4  − − +  −  . (C) ( e x + e 2 − x ) 2 + 2 c o s 2 x . (D) ( e x − e 2 − x ) 2 + 2 s in 2 x . 6 设 y 1 ( x ) 和 y 2 ( x ) 是微分方程 y  − y  + y = 0 的两个特解,则该方程的通解能表示成 C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) ( C 1 , C 2 是任意常数) 的充分条件为( ) (A) y (x)y' (x)−y'(x)y (x)0 . (B) y (x)y' (x)−y'(x)y (x)=0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 (C) y 1 ( x ) y '2 ( x ) + y '1 ( x ) y 2 ( x )  0 . (D) y 1 ( x ) y '2 ( x ) + y '1 ( x ) y 2 ( x ) = 0 .900 · 6. 常微分方程 7 设三个不同函数 第 237 页，共265页 y 1 , y 2 , y 3 均为非齐次线性微分方程 y  + p 1 ( x ) y  + p 2 ( x ) y = q ( x ) 的特解, 其中 p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , q ( x ) 均为已知函数且 y y 1 1 − − y y 2 3 不为常数, C 1 , C 2 为任意常数,则下列函 数中,可作 为该非齐次方程的通解的个数为( ) ① (C +C )y −C y −C y . ② 1 2 1 1 2 2 3 ( 1 + C 1 + C 2 ) y 1 − C 1 y 2 − C 2 y 3 . ③ ( C 1 + C 2 ) y 1 − ( C 1 − 1 ) y 2 − C 2 y 3 . ④ C 1 y 1 + C 2 y 2 + ( 1 − C 1 − C 2 ) y 3 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3. (D) 4 . 8 微分方程 y 2 y x e x ( 0 )     − = +  的特解形式为( ) (A) Aex +Bx . (B) Ax2ex +Bx . (C) A e x B x C  + + . (D) A x e x B x C  + + . 9 微分方程 y  + 4 y = x 2 − 2 x − s in 2 x 的特解形式为( ) (A) ax2 +bx+c+Acos2x+Bsin2x . (B) x ( a x 2 + b x + c ) + A c o s 2 x + B s in 2 x . (C) a x 2 + b x + c + x ( A c o s 2 x + B s in 2 x ) . (D) x ( a x 2 + b x + c + A c o s 2 x + B s in 2 x ) .900 · 6. 常微分方程 10 设定义在区间 第 238 页，共265页 ( , 2 )  − 上的连续函数 y ( x ) 单调增加且 y  ( x )  0 , y ( 1 ) = 2 .过曲线 y = y ( x ) 上 任一点 P 作切线l与x轴交于点 A ,过点 P 作x轴的垂线与x轴交于点 B .若三角形 P A B 的面积 为1,则曲线 y = y ( x ) 的渐近线条数为( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 . 二、填空题 11 微分方程 y  = ( 1 − 1 x ) s in y 的通解为________ . 12 微分方程 y d x + ( 1 6 − x 2 ) d y = 0 满足条件 y(0)=1 的特解为 y = ________ .900 · 6. 常微分方程 13 微分方程 第 239 页，共265页 x y  + 2 y ( ln x − ln y ) = 0 满足条件 y ( 1 ) = 1 的特解为 y = ________ . 14 微分方程 ( x 2 + y 2 − y ) d x + x d y = 0 ( x  0 ) 满足条件 y ( 1 ) = 0 的特解为 y = ________ . 15 过点 2 3 , 3 3    且满足关系式 y a r c s in x + 1 y − x 2 = 2 的曲线方程为________ .900 · 6. 常微分方程 16 微分方程 第 240 页，共265页 y  + 2 x y  = x ( x  0 ) 的通解为 y = ________ . 17 设 y= y(x) 为微分方程 y  + y = 0 的解,当 x→0 时, y(x)x ,则 y(x)= ________ . 18 微分方程 y  − 4 y  = c o s 4 x 满足 y ( 0 ) = y  ( 0 ) = 0 的特解为 y = .900 · 6. 常微分方程 19 3 阶常系数线性齐次微分方程 第 241 页，共265页 y ''' + y  + y  + y = 0 的通解为 y = . 20 以 y = x + e 2 x 和 y = x 为特解的一阶非齐次线性微分方程为______. 21 以 1 4 x e 2 x , 1 4 ( x + 1 ) e 2 x 和 1 4 ( x + e − 4 x ) e 2 x 为三个不同解的二阶常系数非齐次线性微分方程 为 ________ . ( y 系  数 取 为 1 )900 · 6. 常微分方程 22 若微分方程 第 242 页，共265页 y  + p ( x ) y  = q ( x ) 有一特解 x 3 ,其对应齐次方程有一特解 x − 3 ,则此非齐 次方 程的通解为 y = ________ . 23 若微分方程 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ) 有三个解 y 1 = x , y 2 = e x , y 3 = e − x ,则该方程满足 y ( 0 ) = y  ( 0 ) = 3 的特解为 y = ________ . 24 已知二阶线性微分方程 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = 0 的通解为 y = C 1 x + C 2 e x ,则该微分方程 为________ .900 · 6. 常微分方程 25 已知 第 243 页，共265页 s in x , x e x 是某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解,则该方程的通解为 y = ________ . 26 设 (0,+) 上的连续函数 f (x) 满足 x f ( x ) = 1 +  xt0 3 f ( t ) d t ,则 f ( x ) = ________ . 27 设曲线 y = f ( x ) 过点  1 , 1 5 e 2  ,且在点 (x,y) 处的切线在 y 轴上的截距为 y + 3 x y − x e 2 x , 则 f ( x ) = ________ .900 · 6. 常微分方程 28 设函数 第 244 页，共265页 f ( x ) x 连续,且满足 f (x)= (x−t)f (t)dt+2x+6 ,则 0 f ( x ) = ________ . 29 若函数 f ( x ) 满足方程 f  ( x ) − f  ( x ) − 2 f ( x ) = 0 及 f  ( x ) − 2 f ( x ) = 2 e 2 x ,则 f ( x ) = ________ . 30 设函数 y = y ( x ) 是微分方程 y  − 4 y  + 3 y = 0 的解,且 y(x) 在 x = 0 处取得极值 4,则 y ( x ) = ________ .900 · 6. 常微分方程 31 设 第 245 页，共265页 y = y ( x ) 满足 y+3y+2y=0 ,且 y ( 0 ) = 1 , y  ( 0 ) = 1 ,则 0 y ( x ) d x   + = ________ . 三、解答题 32 求微分方程 y  + 2 y  + y = e a x 的通解,其中 a 为实数. 33 设函数 y ( x ) 是微分方程 y  + y = 2 x e − x 满足条件 y ( 0 ) = 1 的特解. (I) 求 y(x) ; (II) 求曲线 y = y ( x ) 的凹、凸区间及拐点.900 · 6. 常微分方程 34 设函数 第 246 页，共265页 f ( x ) 连续,且满足  x2 f ( x2 −t ) dt= x2 ( x2 −t ) f (t)dt+x4 ,求 0 0 f ( x ) . 35 设函数 F(x)= f (x)g(x) ,其中 f ( x ) , g ( x ) 在 ( , )   − + 内满足以下条件: f  ( x ) = 4 g ( x ) , g  ( x ) = f ( x ) 且? f ( 0 ) = 0 , f ( x ) + 2 g ( x ) = e 2 x . (I) 求 F ( x ) 所满足的一阶微分方程; (II) 求 F ( x ) 的表达式.900 · 6. 常微分方程 36 设函数 第 247 页，共265页 y = f ( x ) 由参数方程 x y ( t ( 1 ) t ) 2 , ( t 1 )   = = +  − 所确定,其中 ( t )  具有二阶导数, 且 ( 1 ) 0 , ( 1 ) 4   =  = ,已知 d d 2 x y 2 = t 1 + 1 ,求函数 ( t )  . 37 设二阶常系数线性微分方程 y+ py+qy=ex 的一个特解为 y = e 2 x + e x ,试确定 p,q , 并 求该方程的通解.900 · 6. 常微分方程 38 设非负函数 第 248 页，共265页 y ( x ) 在 ( 0 , )  + 内可导且单调减少. 记曲线 y = y ( x ) 上任意一点 P 处的 切 线与 x 轴, y 轴的交点分别为 P,P . 若 PP =2 PP ,且曲线上横坐标为 1 的点处 x y x y 的切线斜率 为 -1 , 求: (I) 曲线 y= y(x) 的方程; (II) 曲线 y = y ( x ) 在点 ( 2,y(2)) 处的曲率半径. 39 设点 P(x,y) 为连接点 ( 0 , 0 ) 和点 ( 1 , 2 ) 的光滑凸曲线段 y = y ( x ) 上任意一点,该曲线 段 与线段 O P 所围成区域的面积为 x 3 ,求该曲线方程.900 · 6. 常微分方程 40 设曲线 第 249 页，共265页 y = f ( x ) ,其中 f ( x ) 是可导函数,且 f ( x )  0 .记曲线 y = f ( x ) 与直线 y = 0 , x = 1及 x = t ( t  1 ) 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积为 V 1 ,绕 y 轴旋转一周所得的立体 体积为 V 2 .已知是 V 1 + V 2 是该曲边梯形面积值 S 的 3 t  倍,求该曲线的方程. 41 设长度为 1 的非均匀细直杆一端放在原点,另一端放在 x=1 处,其密度函数 ( t )  满足 ( 0 ) 0 , ( 1 ) 1   =  = ,且 3 ( t ) t ( t ) 0 .    +  = 求: (I) ( t )  的表达式; (II) 此细直杆的质心.900 · 6. 常微分方程 42 一单位质点从原点 第 250 页，共265页 O 出发,以初速度 1 2 k m / h 开始运动. 在运动过程中,该质点受到一 个方向与初速度方向一致,大小等于其与原点距离 2 倍的力的作用, 又受到大小等于该质点运 动速度的阻力的作用. 问: 经过 1 小时后, 该质点与原点的距离为多少? B 类 一、选择题 1 设函数 f ( x ) 为 y  + y = q ( x ) 在 ( , )   − + 上的解,其中 q ( x ) =  0 x , , x x   0 0 , . 又 lim x → 0 − f ( x ) = 0 ,则( ) (A) f ( x ) 不唯一. (B) 当 x → 0 + 时, f ( x ) 与 x 2 为同阶无穷小量. (C) f ( x ) 不存在. (D) 当 x  0 时, f ( x ) 不一定是 0 .900 · 6. 常微分方程 2 设 第 251 页，共265页 A , B , C 为常数,则微分方程 y  + 2 y  + 5 y = e − x c o s 2 x 有特解形如 ( ) (A) e − x ( A c o s x + B s in x ) . (B) e − x ( A x c o s x + B x s in x ) . (C) e − x ( A + B x c o s 2 x + C x s in 2 x ) . (D) e − x ( A x + B c o s 2 x + C s in 2 x ) . 3 设 A , B , C 为常数,则微分方程 y  + y  − 2 y = e x s in 2 x 有特解形如( ) (A) e x ( A + B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (B) e x ( A − B x c o s 2 x − C x s in 2 x ) . (C) e x ( A x + B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (D) e x ( A x − B x c o s 2 x − C x s in 2 x ) . 4 已知 e x 2x+1 x+1 是方程 y− y+ y=0 的解. 若非零函数 u(x) 是该方程的一个解,则 x x 下列说法中,正确的是( ) (A) x 2 u ( x ) 一定是该方程的解. (B) x 2 u ( x ) 一定不是该方程的解. (C) e x u ( x ) 一定是该方程的解. (D) e x u ( x ) 一定不是该方程的解.900 · 6. 常微分方程 5 设可导函数 第 252 页，共265页 f ( x ) 在  0 ,1  上是方程 y  − y  = 0 的解,并且在 ( , 0   − 上满足 f ( x ) = g ( x ) .若 f ( 1 )  1 ,则 g ( x ) 可能为( ) (A) x . (B) x2 . (C) x3 . (D) x4 . 6 下列四种情形中,可使得微分方程 y  + a y  + b y = 0 的所有解在 ( , )   − + 上都有界的个数 为( ) ① a=0,b0 . ② a = 0 , b  0 . ③ a  0 , b = 0 . ④ a  0 , b = 0 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 7 设 a  2 ,函数 f ( x ) 满足 f  ( x ) + a f  ( x ) + f ( x ) = 0 , f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 1 ,则下列结论中, 正确的个数是( ) ① 若 a  0 ,则 0 f ( x ) d x   + − 必收敛. ② 若 a  0 ,则 0 f ( x ) d x   + 必收敛. ③ 若 a  0 + ,则  f (−x)dx 必收敛. ④ 若 0 a  0 + ,则  f (x)dx 必收敛. 0 (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .900 · 6. 常微分方程 8 设定义在 第 253 页，共265页  0 , )  + e−x 上的二阶可导函数 f (x) 满足 f(x)+ f(x)= ,则下列结论中, 1+x2 错误的是( ) (A) f  ( x ) 有界. (B) f ( x ) 有界. (C) lim x f ( x )  → +  一定存在. (D) lim x f ( x )  → + 不一定存在. 9 设定义在  0 , )  + 上的二阶可导函数 f (x) 满足 f  ( x ) + f  ( x ) = e − x s in 3 x ,则下列结论中, 错误的是( ) (A) f ( x ) 有界. (B) lim x f ( x )  → + 存在. (C) 若 f(0)=0 ,则 f (x) 是单调函数. (D) f (x) 是周期函数. 二、填空题 10 已知二阶常系数齐次线性微分方程 y  − 3 y  + 2 y = 0 的解都是三阶常系数齐次线性微分 方 程 y  − 2 a y  + ( a 2 + 2 ) y  − 2 a y = 0 的解,则 a=________.900 · 6. 常微分方程 11 设函数 第 254 页，共265页 f ( x ) , f  ( x ) 和 x e x 都是某二阶常系数线性微分方程的特解,若此方程对应的齐次 方程的特征方程有二重根,则此方程为________ .(请写成 y  的系数为 1 的形式) 12 若 x s in x , e 2 x 均为某常系数齐次线性微分方程的解,则满足该要求的最低阶微分方程为 ________ . 13 设定义在  − 1 ,1  上的函数 f ( x ) c o 8 s , x ( ) x c o s 2 x 2 , x x 0 0 ,  =  − + −  = 连续,其中 ( x )  满足微分 方程 y−4y=0 ,则 ( x )  = ________ .900 · 6. 常微分方程 14 已知函数 第 255 页，共265页 f ( x ) 为三次多项式,且 f ( x ) = 0 与 y  − ( k + 2 ) y  + ( 2 k + 1 ) y  − k y = 0 ( k  1 ) 的特征方程同根,且根的重数相同. 若 lim x → k f x ( − ) x k = 1 ,且 f ( 2 ) = − 1 4 ,则 k = ________ . 15 若函数 f ( x ) 满足 f  ( x ) + a f  ( x ) + b f ( x ) = 0 ( a , b  0 ) , f (1 ) = 1 , f  (1 ) = − 1 ,则 0 f ( 1 2 x ) d x   − − = ________ . 三、解答题 16 用变量代换 x s in t 2 t 2   =  −    化简微分方程 ( 1 − x 2 ) y  − x y  − 4 y = 0 ,并求其满足 y x = 0 = 1 , y  x = 0 = 6 的特解.900 · 6. 常微分方程 17 已知 第 256 页，共265页 y 1 ( x ) = e x , y 2 ( x ) = u ( x ) e x 是二阶微分方程 ( x − 1 ) y  − ( x + 1 ) y  + 2 y = 0 的两个解. 若 u(−1)=2e,u(0)=1 ,求 u ( x ) ,并写出该微分方程的通解. 18 设函数 f ( u ) 在 ( 0 , )  + 内具有二阶连续导数.二元函数 F ( x , y ) = x 2 f  y x  + f ( x y ) ,且 满足   2 x F 2 − y x 2 2   2 y F 2 = 2 y x ln y x . 若 f ( 1 ) = 1 ,求 f ( u ) 的表达式.900 · 6. 常微分方程 19 设 第 257 页，共265页 f ( x ) 是定义在 ( 0 , )  + 上的具有二阶连续导数的函数,满足 f ( 1 ) = f  ( 1 ) = 1 . 记 u ( ) = f 3 x2 + y2 ,当 3 x 2 + y 2  0 时,   2 x u 2 +   2 y u 2 = 0 . (I) 记 p = f  ( x ) ,求 f  ( x ) 满足的微分方程; (II) 求 f ( x ) 的表达式. 20 设函数 z(u,v) 有二阶连续偏导数, z ( 0 , v ) = v 2 , z ( u , u ) = 2 u 2 ,当 u = x 2 , v = x + y 时,有 2z 2z 2z −2 + =0 ,求 z(u,v) 的表达式. x2 xy y2900 · 6. 常微分方程 21 设函数 第 258 页，共265页 f ( t ) 在 1 2 ,   +  上连续, D(t)= (x,y∣)1x2 +y2 4t2 ,且满足方程 f ( t ) e 4 2t D ( )t f 1 2 x 2 y 2 d x d y .  = +    +  求 f ( t ) . 22 已知函数 f (x) 满足 f  ( x ) =  x 0 f ( t ) d t ,且 f ( 0 ) = 2 . (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求由曲线 y f ( x ) s in x 0 x 2  =      ,直线 x= 与 2 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋 转一周所成旋转体的体积.900 · 6. 常微分方程 23 设函数 第 259 页，共265页 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 上可导, f (1)=0 ,且满足 x ( x + 1 ) f  ( x ) − ( x + 1 ) f ( x ) +  x 1 f ( t ) d t = x − 1 . 求  2 1 f ( x ) d x − 3 f ( 2 ) + lim x → 1  x 1 s in ( tf t −( − 1 1) x ) 2 d t . 24 设当 x  0 时,连续函数 y = y ( x ) x y(x) 满足 y+ y=asinx ,且 lim =1 ,求 x x→0 x2 y ( x ) .900 · 6. 常微分方程 25 已知微分方程 第 260 页，共265页 y ( x ) y f ( x ) e x 0 ( )t d t    − =  ,其中 ( x ) , f ( x )  均为 R 上的连续函数,且 ( x )  以  为周期. (I) 求方程的通解. (II) 若 f ( x ) = e co 2s x − k ,且 0 ( x ) d x 0    = ,求 k 满足什么条件时,方程有周期为的解. (III) 若 k 0  满足第 (II) 问所求条件,证明: 存在 0 ,使得 k =ecos2 . 2 0 26 设函数 y ( x ) ( x  0 ) 二阶可导,且 y  ( x )  0 , y ( 0 ) = 1 .过曲线 y = y ( x ) 上任意一点P(x,y)作该 曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ,区间  0 , x  上以 y = y ( x ) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ,并设 2 S 1 − 3 S 2 恒为3,求此曲线y= y(x)的方程.900 · 6. 常微分方程 27 设凹曲线 第 261 页，共265页 y = y ( x ) 在点 ( 3 , 2 ) 处的切线倾角为 4  ,且其上任一点处的曲率 K 2 y 2 1 c o s  = ( c o s 0 )   ,其中  为该曲线上相应点处的切线倾角. 求该曲线方程. 28 设 y = y ( x ) ( x  0 ) 为 x O y 平面上过点 ( 1 , 0 ) 的一条单调增加的曲线,其上任意一点 P ( x , y ) 处的切线与 y 轴正方向的夹角 0 2        等于原点与 P 的连线 O P 与该切 线的夹角. (I) 求曲线 y = y ( x ) 的方程; (II) 若某种镜面的表面为由曲线 y = y ( x ) ( 0  x  3 ) 绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面,求该 镜面的表面积.900 · 6. 常微分方程 29某汽车生产厂家测试一种新型刹车元件. 现有一质量为 第 262 页，共265页 1 5 0 0 k g 的汽车,开始刹车时的初 始速度为 7 0 k m / h . 经测试,开始刹车后,汽车所受的总阻力与汽车的速度成正比 (比例系数 为 k = 3 .5  1 0 6 ).问从刹车点算起,汽车滑行的最长距离是多少? (注: k g 表示千克, k m / h 表示千米 / 小时.) 30 有一平底容器,其内侧壁是由曲线 x=(y) ( y 0 , ( y )    0 ) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲 面(如图),容器的底面圆的半径为 1 m . 根据设计要求,当以 2m3/min 的速率向容器内注入 液体时,液体的面 积将以 m 2 / m in  的速率均匀扩大 (假设注人液体前,容器内无液体). (I) 根据 t 时刻液面的面积,写出 t 与 ( y )  之间的关系式; (II) 求曲线 x ( y )  = 的方程. (注: m 表示长度单位米, m in 表示时间单位分)900 · 6. 常微分方程 31 设函数 第 263 页，共265页 f ( x ) 二阶可导,满足 f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) ,   2 f ( x ) 3 f ( x ) 5 f ( x ) + − =  +  −   + = − . 若 f ( 0 ) = 1 ,求 f ( x ) . 32 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) 2 f ( x ) , F ( x )   = − − 是 e 2 x f ( x ) 2 f ( x )  −  − +  的一个原函 数, 且 f ( 0 ) = F ( 0 ) = 1 . (I) 求 f ( x ) ; (II) 求 F ( x ) .900 · 6. 常微分方程 33 若 第 264 页，共265页 u 1 ( x ) c o s x + u 2 ( x ) s in x 为二阶常系数非齐次线性微分方程 y  + y = g ( x ) ( g ( x )  0 ) 的 一个解,且满足 u '1 ( x ) c o s x + u '2 ( x ) s in x = 0 ,  u '1 ( x )  2 +  u '2 ( x )  2 = 1 . (I) 若 u 1 ( 0 ) = 1 , u 2 ( 0 ) = 0 ,求 u 1 ( x ) , u 2 ( x ) ; (II) 若该方程的另一特解 y ( x ) 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 1 ,求 y ( x ) . 34 设函数 a r c ta n x 是二阶常系数线性微分方程 y  + c y = g ( x ) 的一个特解. 若存在一个不同 于 a r c ta n x 的有界奇函数 f ( x ) ,它也是该方程的一个解,求常数 c 的取值范围.900 · 6. 常微分方程 C 类 一、选择题 2sinx+cosx sinx+2cosx 1 设 y (x)= ,y (x)= 是微分方程 1 2 x x 第 265 页，共265页 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = 0 的两个 解, 则 ( ) (A) p ( x ) = 2 x , q ( x ) = 1 . (B) p ( x ) = 1 , q ( x ) = 2 x . (C) p ( x ) = 1 x , q ( x ) = 2 . (D) p ( x ) = 2 , q ( x ) = 1 x . 二、解答题 2 已知函数 y ( x ) ( x  0 , y ( x )  0 ) 满足微分方程 y x  ln y + x y y  + 1  = e − x ,且 y ( 1 ) = e − 1 , 求 y ( x ) 的表达式.900 · 6. 常微分方程 3 考虑二阶微分方程 第 266 页，共265页 s in d d 2 y 2 c o s d d y n ( n 1 ) y s in 0      + + + = . (I) 令 x c o s  = ,将上述方程转化为关于 y , d d y x 以及 d d 2 x y 2 的二阶微分方程; (II) 设 u n ( x ) = ( x 2 − 1 ) n ,其 n 阶导数记为 p n ( x ) ,证明 p n ( x ) 为第(I) 问中所得方程的 一个特解.