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专题24 圆锥曲线与外心问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1． 中， 为 边上的高且 ，动点 满足 ，则点 的轨迹一定过
的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
2．已知椭圆 ： ，过其左焦点 作直线l交椭圆 于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.
若G点为 的外心，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上都不对
3．已知双曲线M： 的离心率为 ，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与
原点O重合）， 的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
4．在直角坐标系xOy中，F(-c，0)，F(c，0)分别是双曲线C： 的左、右焦点，位于
1 2
第一象限上的点P(x,y)是双曲线C上的一点，△PFF 的外心M的坐标为 ，△PFF 的面积为2
0 0 1 2 1 2
a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝± x
5．已知坐标平面 中，点 ， 分别为双曲线 （ ）的左、右焦点，点 在双曲线
的左支上， 与双曲线 的一条渐近线交于点 ，且 为 的中点，点 为 的外心，若 、、 三点共线，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．5
6．设 为双曲线 的右焦点，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线在第一象
限的交点为 ，线段 的中点为 ， 的外心为 ，且满足 ，则双曲线 的离心率
为（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知点 、 、 ，直线 上有两个动点 、 ，始终使 ，三角
形 的外心轨迹为曲线 ， 为曲线 在一象限内的动点，设 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点 恰为椭圆 的两个顶点，设椭圆E的上
焦点为P，过点 的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限， 的外心Q恰好落在y轴
上，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与抛物线C： 交于A，B两点，点
为线段AB的中点，且 ，则下列结论正确的为（ ）A．N为 的外心 B．M可以为C的焦点
C．l的斜率为 D． 可以小于2
10．已知 的三个顶点 均在抛物线 上，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线BC过点 ，则存在点A使 为直角三角形；
B．若直线BC过点 ，则存在 使抛物线 的焦点恰为 的重心；
C．存在 ，使抛物线 的焦点恰为 的外心；
D．若边AC的中线 轴， ，则 的面积为
11．设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上异于顶点的一点，且 在准线上的射影为 ，则下列结
论正确的有（ ）
A．点 的中点在 轴上
B． 的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上
C．当 的垂心在抛物线上时，
D．当 的垂心在抛物线上时， 为等边三角形
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重
心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线 与 轴及双曲线
的两条渐近线的三个不同交点构成集合 ，且 恰为某三角形的外心，重心，垂
心所成集合.若 的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 相交于 两点．设过点 作 轴的垂线交于另一点 ，若 是 的外心，则 的值为 ．
14．在直角坐标系xOy中直线 与抛物线C： 交于A，B两点．若D为直线 外一点，
且 的外心M在C上，则M的坐标为 ．
15．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 斜率为 的直线 与双曲线 的右支交于 两点，
点 ，若 的外心 的横坐标为0，则直线 的方程为 .
16．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点
恰好为 的外心，若 ，则C的离心率为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛
物线E： 的焦点为F，准线为l，过焦点 的直线交抛物线 于 ，
(1)若 垂直l于点 ，且 ，求AF的长
(2) 为坐标原点，求 的外心C的轨迹方程.
18．已知椭圆 的左右焦点分别是 ， 是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，
已知 的内切圆半径的最大值是 椭圆的离心率是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 作斜率不为0的直线 交椭圆于 两点，过 作垂直于 轴的直线交椭圆于另一点 ，连接 ，设 的外心为 ，求证： 为定值.
19．已知抛物线C： ，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线 过抛物
线C焦点F且垂直于x轴时， 面积为2．
（1）求抛物线C标准方程；
（2）若直线 为抛物线C的两条切线，设 的外心为M（点M不与焦点F重合），求
的所有可能取值．
20．已知从曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长为 、一条渐近线方程为
，过 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知 ，若 的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．
21．在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为 ， ，平面内两点G，M同时
满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；(2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求 的取值范围
22．已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点 的距离与它到直线 的距离之比为2.记M的
轨迹为曲线E.
(1)求E的方程；
(2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的
外心.
