文档内容
专题24 高考排列组合的技巧
【练基础】
一、单选题
1．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代
表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节
目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先插入第一个节目，再插入第二个节目，再按照分步乘法计数原理分别计算插入的情况数量及这两个教
师节目恰好相邻的情况数量,再应用古典概率公式求概率即可.
【详解】由题意可知，先将第一个教师节目插入到原节目单中，有6种插入法，
再将第二个教师节目插入到这6个节目中，有7种插入法，
故将这两个教师节目插入到原节目单中，共有 （种）情况，
其中这两个教师节目恰好相邻的情况有 （种），所以所求概率为 .
故选:D.
2．（2023·辽宁沈阳·统考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之
一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】C
【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；
安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.
【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有 种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个
位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有 种方法；安排在甲有3
个位置的一侧有 种方法，最后安排其余3人有 种方法，综上，不同的排队方法有：
种.
故选：C.3．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家
赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若
有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求用5种颜色任意涂色的方法总数，再求恰好用完4种颜色涂色的方法总数，最后按照古典概型求概率
即可.
【详解】若按要求用5种颜色任意涂色：
先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择.
再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；
若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择.
则共有 种方法.
若恰只用其中4种颜色涂色：
先在5种颜色中任选4种颜色，有 种选择.
先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择.
再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择，
为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择；
若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择.
则共有 种方法，
故恰用4种颜色的概率是 .
故选：C.
4．（2023·四川·校联考模拟预测）某中学举行歌唱比赛，要求甲、乙、丙三位参赛选手从《难却》《兰亭序》
《许愿》等 首歌曲中任意选 首作为参赛歌曲，其中甲和乙都没有选《难却》，丙选了《兰亭序》，但他不会选
《许愿》，则甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有（ ）A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【分析】甲和乙都是从剩余5首歌曲中选两个，丙是从剩余4首歌曲中选1个，求组合数的乘积即可.
【详解】依题意可知，甲、乙需要从剩余5首歌曲中选两个，丙是从剩余4首歌曲中选1个，
甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有 种
故选：C.
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路
线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中 为节点，若研究发现本局游戏只能以
为起点 为终点或者以 为起点 为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【分析】采用分步乘法可计算得到以 为起点， 为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得结果.
【详解】以 为起点时，三条路线依次连接即可到达 点，共有 种选择；自 连接到 时，在 右侧可顺
时针连接或逆时针连接，共有 种选择，
以 为起点， 为终点时，共有 种方法；
同理可知：以 为起点， 为终点时，共有 种方法；
完成该图“一笔画”的方法数为 种.
故选：C.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从 这5种菜中任意选用2种，
则 菜有2人选用、 菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54 B．81 C．135 D．162
【答案】C
【分析】先选出选择 菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可.
【详解】 菜有2人选用有 种，比如甲、乙选用了 菜，
①甲、乙之中有1人选用了B菜，有 种，比如甲用了B菜，则乙从 中任意选用1种，有 种，丙从C，D，E中任意选用2种，有 种，故共有
②丙选用了B菜，丙再从 中任意选用1种，有 种，甲、乙再从 中各任
意选用1种，有 种，故共有
由①②可知所有情形是 .
故选：C
7．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）
A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．
【答案】C
【分析】根据两个计数原理和排列组合的知识，计算每个选项，可判断答案.
【详解】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有 种，故A正
确；
对于B：先排女生，将4名女生全排列，有 种方法，
再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有 种方法，
故共有 种方法，故B正确．
对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有 种情况，
再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有 种情况，
故共有 种方法，故C错误．
对于D：若甲站在排尾则有 种排法，若甲不站在排尾则有 种排法，
故有 种排法，故D正确；
故选：C.
8．（2023·湖南湘潭·统考二模）2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则
甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．36 D．48
【答案】C
【分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.
【详解】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有 种，
将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有 种，
则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为 ．
故选：C
9．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求
得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2
人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同
的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方
案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求
解.
10．（2022·广西·统考一模）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家
口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加
活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（
）
A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B
【分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.
【详解】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有 种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有 种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有 种，则共有 种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为 .
故选：B
【提能力】
一、单选题
11．（2022秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习）有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥
会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，
则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行
志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解
即可
【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有 种分法，
然后将3个项目全排列，共有 种排法，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为 种，
因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数 种，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为 ，
故选：D
12．（2023·全国·高三专题练习）为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点
医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的
安排方法共有（ ）
A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种
【答案】A
【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.
【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，
故不同的安排方法共有 种；
故选：A.
13．（2023·全国·高三专题练习）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈
骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一
个社区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．72 B．84 C．90 D．96
【答案】B
【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分
AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.
【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再
三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有 种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有 种分配方法，
再三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有 种选择，再将剩余3人分为两组，有 种分配
方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有 种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两
组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式
故选：B
14．（2022秋·江苏盐城·高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在
北京举行.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被
选中，则不同的选择方案共有（ ）.
A．72种 B．84种 C．96种 D．124种
【答案】C
【分析】先分有一名女生和没有女生两种情况选出自愿者，然后再排列.
【详解】第一步，选出的自愿者中没有女生共 种，只有一名女生共 种；
第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有 .
所以，不同的选择方案共有 种.
故选：C
15．（2022·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相
邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96 B．144 C．240 D．360
【答案】A
【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，最少需要3
种颜色，即 同色， 同色， 同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即
， ， 三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，染色方法可分两类，
第一类是仅用三种颜色染色，
即 同色， 同色， 同色，则从四种颜色中取三种颜色有 种取法，三种颜色染三个区域有 种
染法，共 种染法；
第二类是用四种颜色染色，即 ， ， 中有一组不同色，则有3种方案 不同色或 不同色或 不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有 种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有
种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为 种．
故选：A．
16．（2022·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
【答案】D
【分析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.
【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有 种分配方法，故该选项错误；
选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分
给甲乙丙三人，有 种分配方法，故该选项错误；
选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有 种方法，其余分给丙丁每人各1本，有 种方法，所以不同
的分配方法有 种，故该选项错误；
选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有 种方法，故该选项正
确.
故选：D.
二、多选题
17．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳市襄州区第一高级中学校考开学考试）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期
社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限
报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则
（ ）A．四名同学的报名情况共有 种
B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D．
【答案】ACD
【分析】根据分步乘法计数原理可求得四名同学的报名情况的种数，判断A;根据古典概型的概率公式可判断 ；
根据条件概率的概率公式，可判断D.
【详解】由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，
则共有 种，A正确；
“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，
故此时报名情况有 种，B错误；
“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，
报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，
故共有 种报名情况，
则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是 ，C正确；
事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，有 种报名方法，
则 ，
事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，
若 同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目，
则有 种报名方法，则 ，
故 ，D正确，
故选：18．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位
处出发到达 处和 处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是 ，也可以是 ，王经理
选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（ ）
A．31条 B．36条 C．210条 D．315条
【答案】CD
【分析】讨论长宽关系，利用分步乘法计数原理求解即可.
【详解】设小矩形的长为 ，宽为 ，则从 的最近路线为 ，从 的最近路线为 ，
若 ，则选择行走顺序为 ，先从 ，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有
种，从 ，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有 种，所以从 的不
同路线有 种；
若 ，则选择行走顺序为 ，先从 ，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有
种，从 ，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有 种，所以从 的不
同路线有 种.
综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.
故选：CD.
19．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ， 三家企业开展“新冠
肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共 种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
【答案】BCD
【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项
B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得 企业最多派
1名医生的所有不同分派方案数判断选项D
【详解】选项A：所有不同分派方案共 种.判断错误；选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共 （种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到 企业，
则 企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共 （种）.判断正确；
选项D：若 企业最多派1名医生，则 企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共 （种）.判断正确.
故选：BCD
20．（2022·全国·高三专题练习）感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根基层教育默默奉
献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有 位志愿者主动到 所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安
排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（ ）
A．不同的安排方法数为
B．若甲学校至少安排两人，则有 种安排方法
C．小晗被安排到甲学校的概率为
D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为
【答案】AC
【分析】利用分组分配原理可判断A选项；利用特殊元素优先考虑法可判断B选项；利用古典概型的概率公式可
判断C选项；利用条件概率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，将 位志愿者分成 组，每组至少一人，每组人数分别为 、 、 或 、 、 ，
再将这三组志愿者分配给 个地区，不同的安排方法种数为 种，A对；
对于B选项，若甲学校至少安排两人，则甲校安排 人或 人，
则不同的安排方法种数为 种，B错；
对于C选项，若小晗被安排到甲学校，则甲校可安排的人数为 或 或 ，
由古典概型的概率公式可知，小晗被安排到甲学校的概率为 ，C对；对于D选项，记事件 小晗被安排到甲校，事件 甲学校安排两人，
则 ， ，
由条件概率公式可得 ，D错.
故选：AC.
21．（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中， 、 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 、 、 、
是道路网中位于一条对角线上的 个交汇处.今在道路网 、 处的甲、乙两人分别要到 、 处，他们分别
随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 、 处为止.则下列说法正确的是（ ）
A．甲从 到达 处的方法有 种
B．甲从 必须经过 到达 处的方法有 种
C．甲、乙两人在 处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
【答案】BCD
【解析】利用组合计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理结合组合计数原理可判断B选项的正误；
计算出乙经过 处的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断C选项的正误；计算出甲、乙两人相遇的走法种
数，利用古典概型的概率公式可判断D选项的正误.
【详解】A选项，甲从 到达 处，需要走 步，其中有 步向上走， 步向右走，
则甲从 到达 处的方法有 种，A选项错误；
B选项，甲经过 到达 处，可分为两步：第一步，甲从 经过 需要走 步，其中 步向右走， 步向上走，方法数为 种；
第二步，甲从 到 需要走 步，其中 步向上走， 步向右走，方法数为 种.
甲经过 到达 的方法数为 种，B选项正确；
C选项，甲经过 的方法数为 种，乙经过 的方法数也为 种，
甲、乙两人在 处相遇的方法数为 ，
甲、乙两人在 处相遇的概率为 ，C选项正确；
D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在 、 、 、 处相遇，
若甲、乙两人在 处相遇，甲经过 处，则甲的前三步必须向上走，乙经过 处，则乙的前三步必须向左走，两
人在 处相遇的走法种数为 种；
若甲、乙两人在 处相遇，由C选项可知，走法种数为 种；
若甲、乙两人在 处相遇，甲到 处，前三步有 步向右走，后三步只有 步向右走，
乙到 处，前三步有 步向下走，后三步只有 步向下走，
所以，两人在 处相遇的走法种数为 种；
若甲、乙两人在 处相遇，甲经过 处，则甲的前三步必须向右走，乙经过 处，则乙的前三步必须向下走，两
人在 处相遇的走法种数为 种；
故甲、乙两人相遇的概率 ，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：本题考查格点问题，解决这类问题可利用如下结论求解：
在平面直角坐标系中，从 到 ，每次只能向右或向上走一步，一共要走 步，其中有 步向上走， 步向右走，走法种数为 （或 ）种.
22．（2023·全国·高三专题练习）信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个
右括号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左括号与右括号个数
相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右括号的个数．例如（）
（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括号序列．一个合法括
号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都是括号序列，则AB表示将B拼接在A
后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（ ）
A．如果A，B是合法括号序列，则 也是合法括号序列
B．如果 是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列
C．如果 是合法括号序列，则A也是合法括号序列
D．长度为8的合法括号序列共有14种
【答案】AD
【分析】根据合法括号序列的定义可判断A；举反例可说明B,C的正误；分类讨论，考虑在前面四个位置上左括
号的个数，算出符合条件的合法括号序列共有14种，判断D.
【详解】出题意知如果A，B是合法括号序列，则 也是合法括号序列,A正确;
对于B,AB为（（））（）为合法括号序列，但取A为（（，B为））（）显然都不是合法括号序列，故B错误；
对于C, 如果 是合法括号序列，比如（）（）为合法括号序列，
但A为）（，不是合法括号序列，故C错误；
对于D选项，由题意知第一个位置为左括号，最后一个位置为右括号，
分类考虑：（1）当前4个位置都为左括号时，则后4个位置都为右括号，故满足条件序列有1个；
（2）当前4个位置有3个左括号时，则第2，3，4个位置任取两个位置是左括号，第5，6，7个位置任取一个位
置是右括号，故满足条件序列共有 个；
（3）当前4个位置有2个左括号时，
则第2或第3个位置为左括号，第5个位置一定为左括号，第6，7个位置有一个为左括号，满足条件序列共有
个，综上，共有 个，D正确，
故选：AD．
23．（2022·全国·高三专题练习）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一
共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
A．若1班不再分配名额.则共有 种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有 种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
【答案】BD
【分析】对于AB，将20个名额分给n个班，且每个班至少有一个名额，相当于在20个物体的19个空中，选
个位置分隔，用插空法；对于CD，将问题转化为将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结
合挡板法求解即可得到.
【详解】解：对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有
种分配方法，故A错误；
对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有
种分配方法，故B正确；
对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，
再将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，
故有 种，故C错误，D正确.
故选：BD.
24．（2022·全国·高三专题练习）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去 地重点高中进行教学调研.现知
地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种
【答案】ABD
【分析】利用分步计数原理可判断A；利用部分平均分组可判断B、C；先利用部分平均分组以及排列可判断D.
【详解】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，
故不同的调研安排有 种，故A正确；对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，
再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，
分别有 ， 种分组方法，
则不同的调研安排有 种，故B正确，C错误；
对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，
且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有 种，
则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有 种，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
25．（2023·上海·统考模拟预测）有五只笔编号1-5，现将其放入编号1-5的笔筒中，且恰有两只笔没有放入与其
编号相同的笔筒中，这样的情况有__________种.
【答案】10
【分析】根据题意结合组合数分析运算.
【详解】若恰有两只笔没有放入与其编号相同的笔筒中，则有3只笔放入与其编号相同的笔筒中，另外两只笔没
有放入与其编号相同的笔筒中，
故有 种.
故答案为：10.
26．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会
准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种
数为____．
【答案】60
【分析】运用分步乘法先安排2人去A场馆，再安排其余3人到剩余3个场馆即可得结果.
【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有 种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有 种结
果，所以不同的安排方法种数为 ．
故答案为：60.27．（2023·全国·高三专题练习）自然对数的底数 ，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和 一样是无
限不循环小数， 的近似值约为 .若用欧拉数的前6位数字 设置一个六位数的密码，则不同
的密码共有__________个.
【答案】180
【分析】利用排列的定义直接求解.
【详解】因为2出现2次，8出现2次，
所以不同的密码共有 个.
故答案为：180.
28．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）过氧化氢（ ）是一种重要的化学品，工业用途广泛，
通过催化 和 直接合成 目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，
已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由 ， 及 ， ， 五种原子中的几种构成的过氧化
氢分子，则分子种数最多为______________.
【答案】18
【分析】由分步乘法计数，再分类加法计数即可求.
【详解】过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子，共4个原子.
构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种，取法共有 （种）；
构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种，取法共有 （种）.
因此构成的过氧化氢分子的种数最多为3×6=18.
故答案为：18.
29．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）e作为数学常数，它的一个定义是 ，其数值约为：
2.7182818284…，梓轩在设置手机的数字密码时，打算将e的前5位数字：2，7，1，8，2进行某种排列得到密码，
如果要求两个2不相邻，那么梓轩可以设置的不同密码有______种（以数字作答）．
【答案】36
【分析】利用插空法，结合排列数与组合数，可得答案.【详解】第一步：对除2以外的3位数字进行全排列，有 种方法；
第二步：将两个2选两个空插进去 种方法，由分步计数原理可得共有 种不同的密码．
故答案为： .
30．（2023·新疆·统考一模）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”，“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能
量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点，冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，
顶部的如意造型象征吉祥幸福，小明在纪念品商店买了3个“冰墩墩”和2个“雪容融”，随机选了3个作为礼物
寄给他的好朋友小华，则小华收到的礼物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”的概率为__________.
【答案】 ##0.9
【分析】利用事件 ：小华收到的礼物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”的对立事件 ：小华收到的礼物中只有
“冰墩墩”的概率即可求解.
【详解】依题意，
设事件 ：小华收到的礼物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”，
事件 ：小华收到的礼物中只有“冰墩墩”，
则事件 与事件 互为对立事件，
则有 ， .
故答案为： .
31．（2023·全国·高三专题练习）某重点高中选派3名男教师和2名女教师去支教，将5人分配到3所学校每所学
校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为________种.
【答案】
【分析】根据每所学校的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】两名女教师分到同一所学校，
当学校的人数分组为 时，其中3人组中2位女教师1位男教师，则方法数有 种.
当学校的人数分组为 时，其中2位女教师、2位男教师各成一组，则方法数有 种.
所以共有 种
故答案为：
32．（2023·山西临汾·统考一模）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要
求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有________种不同的绿化方案（用数字作答）.【答案】180
【分析】利用分步乘法原理求解即可
【详解】如图：
B
A D
C
从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法，
B有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法；
由D区与B，C花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不同色，
则D有3种颜色花卉摆放方法.
故共有 种涂色方法.
故答案为：180
33．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰
放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排
队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．
【答案】8
【分析】根据相邻问题捆绑法，特殊位置（元素）法求解即可.
【详解】解：先将乙、丙班排序，并绑在一起，看成一个元素，有 种方案，
此时考虑将甲，丁及乙、丙的整体3个元素排序，
由于甲班不能排在最后，故将甲班选取1个位置安排，有 种方案，
最后，再将丁及乙、丙的整体安排在剩下的两个位置上，有 种方案，
所以，根据乘法原理，共有 种方案.
故答案为：
34．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）为维护国家海洋安全权益，我国海军的5艘战舰出海执行任务，
有2艘是驱逐舰，3艘是护卫舰，在一字形编队时，3艘护卫舰中恰有2艘相邻的概率是______.【答案】 ##
【分析】分别计算5艘战舰在一字形编队和2艘护卫舰相邻有多少种排法，再计算概率.
【详解】5艘战舰在一字形编队，共有 种编排方法，
其中2艘护卫舰相邻有 种编排方法，
所以3艘护卫舰中恰有2艘相邻的概率是 ，
故答案为：
35．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某
“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C
角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观
看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
【答案】348
【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.
【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角
色有 种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有 ，剩下的一个角
色从3名男生中选1人，则 种，所以共有 种，
第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角
色有 种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有 ，剩下
的一个角色从2名男生中选1人，则 种，所以共有 种，
第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1
名女生，选出1名女生先选角色有 ，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有
种，由分类计数原理可得：店主共有 种选择方式，
故答案为： .
