小红薯：天王盖地虎，全上985 下一站上岸
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第 1 讲随机事件和概率
P5 例 1.3 长度为 1 的直杆被任意切割成两段，则较长一段不
小于较短一段 n 倍的概率为
P7例1.6长为 1的直杆任意截取一段，再将剩下的部分截为两段，则这三段直杆
能构成三角形的概率为 .
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例1.9设A,B,C两两独立,且ABC=∅ .
(1)若 取得最大值，求a的值；
(2)若 且 求b的值.
= = = , ∪ ∪
= = = ≤ , ∪ ∪ = ,
P10 例 1.11 实验室器皿中产生甲、乙两类细菌的机会相
等，且产生 k 个细菌的概率为 试
求： −
= ! , = , , ,⋯,
(1)产生了甲类细菌但没有产生乙类细菌的概率；
(2)在已经产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有 2 个乙类细
菌的概率.
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P11 例 1.12 连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.
已知当第 k 次试验成功时，第 k+1 次试验成功的概率为 当第 k
次试验失败时，第 l 次试验成功的概率为 如果第一次试验
,
成功和失败的概率均为 则第 n 次试验成功的概率为 .
+ ,
,
P12 例 1.15 设 X,Y 为随机变量,则( ).
+ ≥ ≤ ≥ + ≤
+ ≥ ≤ ≤ + ≥
| + | ≥ ≤ | | ≥ + | | ≥
| + | ≥ ≤ | | ≥ + | | ≤
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P13 例 1.17 设 ₁ ₂ ₃ 为随机事件，且满足. ₁
₂ ₃ ₁ ₂ ₃ 若 ₁ ₂
, , ∪
₃ 则 a 的取值范围为 .
∪ = , ∩ ∩ = , = =
= ,
P1 7 例 1. 1 9 设 A, B 为 随 机 事 件 ,
若
<
证明
< , < < . | >
| , | > | .
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第 2 讲一维随机变量及其分布
P 3 4 例 2 . 7 设 某 种 元 件 的 使 用 寿 命 T 的 分 布 函 数 为
=
其中θ，m 为参数且大于零.
− , ≥ ,
(1)求 P{T>t}与 其中
, ≥ ,
(2)当 时,求 E>T. + | > , > , > ;
=
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第 3 讲一维随机变量函数的分布
P42 例 3.3 设随机变量 X 服从参数为λ的指数分布，令
为不超过 X 的最大整数)，则
=
+ ( > | > =.
P43例3.4设随机变量X的分布函数. 是严格单调增加函数，其反函数.
存在， .证明：Y服 从 区间(0，1)上的均匀分布.
−
= .
P44例3.5设随机变量 X 的概率密度为 为X 的分布
其他
, < < ,
=
函数, EX 为X的数学期望，则.
, ,
> − =.
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第 4 讲多维随机变量及其分布
P54 例 4.3 设二维随机变量(X ，Y) 的概率密度为
∞ ∞ ∞ ∞求常数A及条件概率密度.
=
− + −
,− < <+ , − < <+
| | .
P54例4.4设 ₁ ₂ 独立同分布于N(0，1)，则
−
, + ≤ = ¯ .
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第 5 讲 多维随机变量函数的分布
P63例5.2设X,Y相互独立, 求 的概率密度
∼ , ∼ . = .
P64 例 5.3 设 记
其他
, < < < ,
∼ = = .
(1)求 Z 的概率密度 , .
(2)求
;
{ < | = }.
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第 6 讲数字特征
P84 例 6.7 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X 取
到 时，随机变量 Y 等可能地在(x，1)上取值，则
( < < )
| − | =.
P84 例 6.8 设 在 的条件下,Y 服从 N(x,1),则
∼ , =
= .
¯
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第 8 讲统计量及其分布
P101 例 8.2 设 ₁ ₂ 是来自总体 X 的简单随机样本，且 X 的分布函数为
, ∞ ∞则 服从( ).
∞
−| |
( A) F = (1 , − 2) , − (B) < F (2 < , + 1) , (C) F(2,2) (D) F
(0,2)
P103 例 8.3 设随机变量 X ~t(n),Y~F(1,n),给定
常数 c 满足 则
( < < . ),
(A)α (B)1-α (C)2α
> = , } = .
(D)1-2α
例 8 . 4 设 总 体 X 和 Y 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 正 态 分 布 .
和 分别是来自总体 X 和 Y 且容量都
为 n 的 , 两 个 , 简 ,⋯ 单 , 随 机样 本 , ， ,⋯ 样 , 本 均值、样本方差分别为 和
则( ). ,
, ,
− ∼ + ∼ −
−
∼ − ∼ − −
+
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第 9 讲参数估计与假设检验
P111 例 9.6 已知总体 X 的概率密度为 ∞ ∞
−| − |
是来自该总体的简单随机样本，试求θ的 最 大似=然 估计. ,− < <+ , ,⋯,
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P112例9.7设. ，为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，
为来 自 , 均 , 值 ⋯ 为 , 2 θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独
立 ， , 其 中 ,⋯ ( , 是未知参数，利用样本 ，求θ的最
大似然估计量 θ . 并 ) 求D(ê). , ,⋯, , , ,⋯, ,
P113 例 9.8 设 独立同分布，x₁ 可取且只可取 4个不同数值且相应的取
值 ， 其 概 率 分 别 ,⋯ 为 , ₁ ₂ ₃ ₄ 记
ᵢ 为从总体抽取 的 = n个 − 样 本 , 中出 = 现 4 − 个 不 ², 同 数 = 值的 ² 个 − 数 ³ . , = ³,
(1) (仅数学一)确定.a₁ ,a₂ ,a₃ ,a₄ ,使 为θ的无偏估计；
=
= ∑ =
(2)若 ᵢ ᵢ 求θ的最大似然估计值；
(3)若n=5,求 ₁ ₂ ₃ 的最大似然估计值.
= , = , , , .
= , = , =
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P117 例 9.14 设. 是来自总体 N(μ，4)的简单随机样
本，考虑假设检验问题：
, ,⋯,
₀ ₁ 表示标准正态分布函数.若该检验问
题的拒绝域为 其中 则 时，该
: ≤ , : > .
检验犯第二类错误的概率为( ).
= }, = ∑ = , = .
− − . − .
−
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