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微重点 7 平面向量的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量
积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关
系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合
也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．
考点一 求参数的最值(范围)
例1 (1)(2022·沈阳质检)在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若CG
＝λCB＋μCD(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，则
实数λ的取值范围为( )
A．[－1,3] B．[－1,5]
C．[－7,3] D．[5,7]
规律方法 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．
(2)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
跟踪演练1 (2022·滨州模拟)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一
点，若AN＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A. B.
C．[0,1] D．[1,2]
考点二 求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，2]，则cos∠BAD的取值范围是________．
易错提醒 找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]；
若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线，同理若向量a，b的夹角为钝角，包
括a·b<0和a，b不共线．
跟踪演练2 (2022·马鞍山模拟)已知向量a，b满足|a－3b|＝|a＋3b|，|a＋b|＝4，若向量c＝
λa＋μb(λ＋μ＝1，λ，μ∈R)，且a·c＝b·c，则|c|的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点三 求数量积的最值(范围)
例3 (1)(2022·福州质检)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a－b|＝1，则(a－b)·(b－
c)的最大值为( )
A. B. C．1 D.(2)(2022·广州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上(包括端点)，
则AD·AP的取值范围是________．
规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据
平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解
集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
跟踪演练3 已知AB是半圆O的直径，AB＝2，等腰△OCD的顶点C，D在半圆弧 上
运动，且∠COD＝120°，点P是半圆弧 上的动点，则PC·PD的取值范围为( )
A. B.
C. D.
