专题3-2解三角形最值范围与图形归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_二轮复习

专题 3-2 解三角形最值、范围与图形归类 目录 讲高考................................................................................................................................................................................1 题型全归纳.......................................................................................................................................................................4 【题型一】最值与范围1：角与对边.....................................................................................................................4 【题型二】最值与范围2：角与邻边.....................................................................................................................6 【题型三】范围与最值3：有角无边型.................................................................................................................9 【题型四】最值与范围4：边非对称型..............................................................................................................11 【题型五】最值：均值型.........................................................................................................................................12 【题型七】图形1：内切圆与外接圆...................................................................................................................13 【题型八】图形2：“补角”三角形...................................................................................................................17 【题型九】图形3：四边形与多边形...................................................................................................................19 【题型十】三大线1：角平分线应用...................................................................................................................22 【题型十一】三大线2：中线应用.......................................................................................................................23 【题型十一】三大线3：高的应用.......................................................................................................................25 【题型十一】证明题..................................................................................................................................................27 专题训练.........................................................................................................................................................................28 讲高考 1．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以 a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ． (1)求 的面积； (2)若 ，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定 理及平方关系求得 ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得 ，即可求解. 【详解】（1）由题意得 ，则 ， 即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ， 则 ， ，则 ； （2）由正弦定理得： ，则 ，则 ， . 2．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)证明： ； (2)若 ，求 的周长． 【答案】(1)见解析(2)14 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即 可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解. 【详解】（1）证明：因为 ， 所以 ， 所以 ，即 ，所以 ； （2）解：因为 ，由（1）得 ，由余弦定理可得 ， 则 ，所以 ，故 ， 所以 ，所以 的周长为 . 3．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．(1)若 ，求B；(2)求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) ． 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合 ，即可求出； （2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化 成 ，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）因为 ，即 ，而 ，所以 ； （2）由（1）知， ，所以 ， 而 ，所以 ，即有 ，所以所以 ． 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ． 4．（2021·全国·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .． （1）若 ，求 的面积； （2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明 理由． 【答案】（1） ；（2）存在，且 . 【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可 求得结果； （2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值. 【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ， ，所以， 为锐角，则 ， 因此， ； （2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角， 由余弦定理可得 ， 解得 ，则 ， 由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 . 5．（2021·北京·统考高考真题）在 中， ， ． （1）求 ； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一 确定，求 边上中线的长． 条件①： ； 条件②： 的周长为 ； 条件③： 的面积为 ； 【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1） ，则由正弦定理可得 ， ， ， ， ， ，解得 ；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ， 与 矛盾，故这样的 不存在；若选择②：由（1）可得 ， 设 的外接圆半径为 ，则由正弦定理可得 ， ， 则周长 ，解得 ，则 ， 由余弦定理可得 边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得 ，即 ， 则 ，解得 ， 则由余弦定理可得 边上的中线的长度为： . 题型全归纳 【题型一】最值与范围1：角与对边 【讲题型】 例题1.已知 的内角 所对的边分别为 （1）求 ； （2）已知 ，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 (1)由正弦定理可得 ，然后由余弦定理可得答案. (2)由余弦定理可得 ，由均值不等式结合三角形中两边之和大于第三边可得 答案. 解（1）由 可得 即 ，则 ， 所以 （2） ， 即 ，所以 ，当且仅当 时，等号 成立，所以 所以三角形周长的取值范围是例题2.在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 . （1）求角A的值； （2）若 ，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求 ，结合 的范围可求 的值. （2）由正弦定理可求 ，设周长为 ，利用三角函数恒等变换 的应用化简得 ，可求范围 ，利用正弦函数的性质可 求取值范围. 【详解】（1） ， 由余弦定理可得： ， 由正弦定理可得： ，整理可得： ， ， ， 可得： ， ， （2） ， ， ， ， ， 设周长为y，则 ， ， ， ， ， . 周长的取值范围是 . 【讲技巧】 ．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 的齐次式或关于角的 正弦 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问 题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论． 【练题型】 1.在锐角三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 . （1）求 的大小； （2）若 ，求 的周长 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） .【分析】 （1）因为求角A，对 ， 用两角和的正弦公式或倍角公式变形，所得结果继续 用辅助角公式变形，即可求出 的大小； （2）利用正弦定理，将周长转为为关于B的函数，然后根据B的范围求周长 的取值范围． 【详解】 （1）∵ ，∴ ①，∵ ， ∴ ②， 又 ③， ④， 将①②③④代入已知，得 ， 得 ，即 ，又 ，∴ ，即 . （2）由正弦定理得， ∵ ，∴ ，∴ ， 的周长 的取值范围 . 2.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且 （1）求角A； （2）若 ，求bc的取值范围． 【答案】（1） ;(2) . 【详解】 试题分析：（Ⅰ）由题根据余弦定理化简所给条件可得 ，所以 ，根据角的范围可得角A；（Ⅱ）由题根据所给条件可得 ，根据正 弦定理可得 ，所以 ，然 后根据 可得bc的范围． 试题解析：（1）由题意 且 4分 （2） 又 8分 12分 【题型二】最值与范围2：角与邻边 【讲题型】例题1..已知 为锐角三角形，角 所对边分别为 ， 满足： . （1）求角 的取值范围； （2）当角 取最大值时，若 ，求 的周长的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）利用正弦定理角化边可配凑得到 的取值范围，根据 为锐角三角形可求得 的取值范围； （2）利用正弦定理和三角形内角和性质可将所求周长表示为 ，根据 为锐角三角形可求得 的范围，令 ，利用导数可求得单调性，从而 确定 的范围，代入即可得到所求周长的取值范围. 【详解】 （1）由正弦定理可得： ，即 ， ，又 ， 的取值范围为 ； （2）由（1）知： ；由正弦定理 得： ， ， ， 周长 ， ， 为锐角三角形， ，即 ，解得： ， 令 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递减， ， ， 即 周长的取值范围为 . 【讲技巧】 三角形中最值范围问题的解题思路： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。 涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范 围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量 把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大 【练题型】 1.．在△ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ． （1）求角B； （2）若△ 为锐角三角形，且 ，求△ 面积的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】 （1）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合 ， ，可求 ，进而可求 的值． （2）由题设及正弦定理，可求 ，结合 ，可求 ，可求范 围 ，进而根据三角形的面积公式即可求解 面积的取值范围． 【详解】（1）由题设及正弦定理得 因为 ，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． 因为 ，故 ，由 ． （2）由题设及（1）知 的面积 ．由正弦定理得 ． 由于 为锐角三角形，故 ， ，由（1）知 ，所以 ， 故 ，所以 ，从而 ． 因此， 面积的取值范围是 ． 2.在 中，设 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 . （1）求 ； （2）若 ，且 为锐角三角形，求 的面积 的取值范围.【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）用正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角A； （2）由正弦定理把 边用角表示，这样三角形的面积可表示为 的函数，求出 的范围， 结合三角函数性质可得面积范围． 【详解】（1） ∴ ∴ ∴ ，而 ∴ ， ，∴ ． （2） ∴ 为锐角三角形∴ 且 即 ∴ ∴ ∴ ． 【题型三】范围与最值3：有角无边型 【讲题型】 例题1.三角形 中，已知 ，其中，角 所对的 边分别为 . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的取值范围. 2π 2√3 C= ∈(1, ] 3 3 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 cosC C 试题分析：（Ⅰ）由正弦定理将角化为边，继而由余弦定理求得 ，得角 ；（Ⅱ） π sinA+sinB=sinA+sin( −A) 3 由正弦定理将边化为角，由 ，得 ，化简，结 √3 sinA+sinB∈( ,1] 2 合 ，得 ， . 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得： 由余弦定理得： ， . (Ⅱ)由正弦定理得： 又 ， ， ，而 ， ， ， . 考点：正弦定理、余弦定理． (abc)(abc) 3ac 例题2.在锐角三角形ABC,若 (I)求角B 3sin AcosA (II)求 的取值范围 B  600  3  2sin(A300) 2 【答案】（I） ；（II） 【解析】(I)由 ,得 ,从而可求得 cosB，进而求出 B 的值. (II)解本小题关键是确定 ,然后再确定 A 的取值范围，转 (abc)(abc) 3ac 化为三角函数的值域问题来解决. a2 c2 b2 ac 1 cosB    化简得a2 c2 b2  ac 2ac 2ac 2 B  600 3 1 3sin AcosA 2( sin A cosA)  2sin(A300)  （II） 2 2 由三角形ABC为锐角 三角形，  B  600,AC 1200,C 1200  A00  A900且00 1200  A900 3  sin(A300)1 解得 300  A900,600  A300 1200 2   3  2sin(A300) 2 【练题型】 1.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． （Ⅰ）若 ， ，求b （Ⅱ）求 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）首先根据正弦定理 a=2RsinA , b=2RsinB ,将边化为角，求得角B,再 π C=π− −A b 6 根据余弦定理求边 ；根据（1）的结果，将角C表示为 ,再根据 (π ) π− +A 6 化简，以及两角和的正弦公式展开化简，最后根据辅助角公式化简为 ( π) π √3sin A+ A+ 3 3 ,根据三角形是锐角三角形，可得角A的范围和 的范围，根据三角 ( π) √3sin A+ 3 函数的性质得到 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，由 为锐角三角形得 ． 根据余弦定理，得 ．所以， ． （Ⅱ） ．由 为锐角三角形知， ， ． ，所以 ． 由此有 ，所以 的取值范围为 ． 2.在锐角三角形 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 . （1）求 ； （2）求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】 （1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式和诱导公式可整理求得 ，进而得 到角 ； （2）利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可将 整理为 ，根据角 的范围 可求得 的范围，进而得到 的取值范围. （1）由正弦定理得： （2）由正弦定理得： 为锐角三角形且 ，即 【题型四】最值与范围4：边非对称型 【讲题型】例题1.在 中， 分别是角 的对边 . （1）求角 的值； （2）若 ，且 为锐角三角形，求 的范围. 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）由题结合余弦定理得角 的值；（2）由正弦定理可知， ， 得 ，利用三角恒等变换得A的函数即可求范围 【详解】 （1）由题意知 ，∴ ， 由余弦定理可知， ，又∵ ，∴ . （2）由正弦定理可知， ，即 ， ∴ ， 又∵ 为锐角三角形，∴ ，则 即 ， 所以， 即 ，综上 的取值范围为 . 【练题型】 在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【分析】 （Ⅰ）由正弦定理可得 ，然后由余弦定理可得答案； （Ⅱ）由正弦定理可得 ，然后由三角函数的 知识可得答案. 【详解】 （Ⅰ）由已知 ，结合正弦定理，得 ． 再由余弦定理，得 ，又 ，则 ． （Ⅱ）由正弦定理可得． 因为 为锐角三角形，则 ，有 ，则 ． 所以 的取值范围为 ． 【题型五】最值：均值型 【讲题型】 例题1.已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，且满足 . （1）求 的面积 ；（2）若 ，求 的最大值. 【答案】（1） （2） 解：（1）在 中， ，∴ ∵ ∴ ∵ ，∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴当 时， 取最大值 . 【练题型】 1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD =BC BC，b，c分别表示角B，C所对的边长， b c  则c b的取值范围是_． 【 答 案 】 由 已 知 边 上 的 高 ， 又 又 3 acosBbcosA c 2.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ，且 5 ，则 tan(AB) 的最大值为___． 3 3 acosBbcosA c 【 答 案 】 4 在 中 ， 5 ， 由 正 弦 定 理 得， 即 ， 则 tanA tanA 4 4 tanB ； 由 tanB 得 tan A4tanB0 ， 1 1 4tanB tanB ，当且仅当 tanB ， 2 ， tan A2 时，等号成 1 3 3 tanB 立，故当 tan A2 ， 2 ， tan(AB) 的最大值为4 ，故答案填4 . 【题型七】图形1：内切圆与外接圆 【讲题型】 例题1.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，且 ． (1)求角 和边 的大小； (2)求△ 的内切圆半径． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）将 代入式中，利用两角和、两角差的正弦公式即可求得 ， 再利用余弦定理即可求得 ； （2）利用等面积法 即可求得. (1)由 可得 ， ∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，又∵ , ∴ ． 由余弦定理可得 ，∴ ． (2)由（1）知 ，故△ 为直角三角形，设△ 的内切圆半径为 ． 由等面积法可知 ， 即 ，解得： . 例题2. 中，已知 ， ， 为 上一点， ， . (1)求 的长度； (2)若点 为 外接圆上任意一点，求 的最大值. 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）设 ， ，在 与 中应用余弦定理，结合 可得 ，再由 有 求出 . （2）由（1）易知 为 外接圆的直径，讨论 的位置，利用正余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质求 的最大值. (1)设 ， ，则 .在 与 中，由余弦定理知： ，即 ， ，即 . ， ，可得 . ， ，即 .解得 ， . . (2)由（1）知： 中， ， ， 为 外接圆的直径. 为 外接圆上任意一点，当 在 点时， .当 在 点时， . 当 在优弧 上时， ，设 ，则 . 中，由正弦定理知 ， . ，当 时， 的最 大值为 . 当 在劣弧 上时， ，设 ，则 . 中，由正弦定理知 ， . .当 时， 的最大值为 . 综上， 的最大值为 . 【讲技巧】 外接圆： 1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角 三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 内切圆：等面积构造法求半径【练题型】 1.锐角 的三个内角是 ，满足 ． (1)求角 的大小及角 的取值范围； (2)若 的外接圆的圆心为 ，且 ，求 的取值范围． 【答案】(1) ，角 的取值范围为 ； (2) 【分析】(1)利用正弦定理化角为边，结合余弦定理和同角关系求角 的大小，再由条件求 角 的取值范围；(2) (1)设 的外接圆的半径为 ，因为 ，由正弦定理 可得 ， ， ，所以 ，又 ， 所以 ，因为 ， 所以 ，因为 为锐角三角形，所以 ， ，所以 ， 所以角 的取值范围为 ； (2)由已知 为 的外接圆的圆心，所以 ，因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 ，设 ，则 ， 又 ，所以 所以 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以的取值范围为 . 2.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的内切圆半径. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 ，即可求解 的 值； （2）根据 ， 以及余弦定理列方程，可求出 ，设 内切圆半径为 ， 利用面积公式 ，解方程即可求出内切圆半径为 . 【详解】（1）根据题意 ，且 ， ∴ ， ， 由正弦定理得 ， 因为 ，故 ，即 ， ∵ ， ，∴ ，即 ， . （2）由题意可得： ，解得： ， 设 内切圆半径为 ，∴ ， 又 ，解得 ，∴ 内切圆半径 . 【题型八】图形2：“补角”三角形 【讲题型】 例题1.在 中，已知 ， ， ， 为 边上的中点， 的 面积为 . (1)求 的长； (2)点 在边 上，且 ， 与 相交于点 ，求 的余 弦值.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式可得角 ，再结合向量模长的求法可得线段 . （2）在 中，由正弦定理可得 ，进而可得 ，可知点 为三角形 的重心， 进而可得 与 ，利用余弦定理可得解. （1）由 ， 解得 ，又 ，且 即 ，所以 ， 又 ，得 ，所以 ； （2）在 中， ，由 ，得 ， 所以 为 中点， ，即 ， 且点 为三角形 的重心，则 ， ， 所以 ，所以 的余弦值为 . 例题2.如图，在平面四边形 中， ， ， . (1)当 ， 时，求 的面积； (2)当 ， 时，求 . 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）利用余弦定理求出 ， ，再利用诱导公式、三角形面积公式计 算作答. （2）在 和 中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答. (1) 当 时，在 中，由余弦定理得 ， 即 ，解得 ， ， 因为 ，则 ，又 ， 所以 的面积是 . (2)在 中，由正弦定理得 ，即 ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ， 则 ，整理得 ，而 ， 为锐角， 所以 . 【练题型】 1.如图， 是边长为3的等边三角形，线段 交 于点 ， . (1)求 ； (2)若 ，求 长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中由余弦定理及已知可求得 的长，再由正弦定理可得到 ； （2）由（1）得到 ， 中由余弦定理可求得 的长. （1） 解：在 中，由余弦定理可得 ，代入数据可 得 ， ，由正弦定理可得 ，所以 ； （2） 在 中，由（1）及余弦定理得 ， ，又 ， 在 中，由余弦定理可得 ，故 . 2.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6， ， ，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．(1)求cosB与△ABC的面积； (2)求线段AD的长． 【答案】(1) ； (2)4 【分析】（1）利用余弦定理 和面积公式 ，代入求解， （2）在△ABD中利用正弦定理 ，代入计算． (1)根据题意得： ，则 ∴△ABC的面积 (2)∵∠ADC＝60°，则 在△ABD中由正弦定理 ，可得 【题型九】图形3：四边形与多边形 【讲题型】 例题1.如图，在平面四边形ABCD中， ， . (1)若 的面积为 ，求AC； (2)在（1）的条件下，若 ，求 . 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）根据 ， ， 的面积为 ，先求得BC，再利用余弦 定理求解； （2）利用正弦定理求得 ，再利用二倍角公式求解. （1）在 中， ， ， 的面积为 ，所以 ，即 ，解得 .在 中，由余弦定理得 ， 所以 ，解得 ； （2）因为 ， ，AD=9，在 中，由正弦定理 ， 所以 ．所以 ． 例题2.如图，在四边形 中， ． (1)证明： 为直角三角形； (2)若 ，求四边形 面积S的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)12 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简 即可； （2）由 与 ，结合 与基本不 等式求解即可 （1）∵ ，由 与余弦定理∴ ，整理得， ，∴ ．∴ 为直角三 角形． （ 2 ） ∵ ， ∴ ． 由 ， 得 ． ．（当且仅 当 时取等号）所以四边形 面积S的最大值为12． 【练题型】 1.如图，在平面四边形 中， ， ，且 是边长为 的等边三 角形， 交 于 点．(1)若 ，求 ； (2)若 ，设 ，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得 ，可求得 的长，然后在 中，利用勾股 定理可求得 的长； （2）求得 ， ，在 中利用余弦定理可得出关于 的等式， 结合三角恒等变换可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值. (1)解：因为 ，可得 ， 因为 ，可得 ， ， 故 中， ，可得 ． (2)解：设 ，则 ， ， 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ， 可得 ， 可得 ，可得 ，解得 ， 因为 ，则 ，得 ，则 ，所以 ，得 ． 2.如图所示，在平面五边形 中，已知 ， ， ， ， . (1)当 时，求 ； (2)当五边形 的面积 时，求 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）连接 ，根据已知可得 为等腰梯形，进而得到 为等腰三角形， 应用余弦定理求得 ，即可求结果. （2）由题设可得 ，设 得到 关于x的表达式，进而求x的 范围即可. (1)连接 ，由五边形内角和得： ，∴ ，则四边形 为等腰梯 形，则 ， 又 ， ，故 ， ， 所以在 中 ，由余弦定理得 ，∴ ，过 点作 于 ，可得 ，∴ ； (2) 由 ，又五边形 的面积 ，∴ ， 设 ，则 ， 整理得 ，解得 或 ， 又 ，即 ，∴ 的取值范围是 . 【题型十】三大线1：角平分线应用 【讲题型】 例题1.在 中，设角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 (1)求 ； (2)若 为 上的点， 平分角 ，且 ， ，求 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边整理得 ，再结合余弦定理 ；（2）利用等面积 ，整理得 ，再由角平分线 的性质 代入计算． (1) 因为 ， 所以由正弦定理可得： ，整理得 . 由余弦定理得： 。又因为 所以 (2)由（1）知 .又因为 平分角 ，所以 . 由 得 . 即 .又因为 ， ，所以 .再由角平分线的性质可知： 【讲技巧】 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： 【练题型】 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ． (1)求角C； (2)CD是 的角平分线，若 ， 的面积为 ，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得； （2）两次利用面积公式求出 、 ，再由余弦定理计算可得； (1)解：因为 ，由正弦定理得： ， 所以 ，即 ，所以 ， 因为 ，所以 ； (2)解：因为 ，所以 ， 又 ，所以 解得 或 ， 又 解得 或 （舍去）； 【题型十一】三大线2：中线应用 【讲题型】 例题1.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 . (1)求C； (2)若 的面积为 ，D为AC的中点，求BD的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用正弦定理得到 ，从而求出C；（2）利用面积公式得到 ，进而用余弦定理和基本不等式求出BD的最小值. (1) 由正弦定理得： ，即 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， (2)由面积公式得： ，解得： ， 在三角形BCD中，由余弦定理得： ， 因为 ，当且仅当 时，等号成立，经检验，符合要求. 所以 ，故 ，所以BD的最小值为4. 【讲技巧】 中线的处理方法 1.向量法： 2. 双余弦定理法（补角法）： 如图设 ， 在 中，由余弦定理得 ，① 在 中，由余弦定理得 ，② 因为 ，所以 所以①+②式即可 3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 4.中线分割的俩三角形面积相等 【练题型】 锐角 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 (1)求角C的大小； (2)若边 ，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合同角三角函数基本关系以及正弦定理化简求解 ，因为，所以 ； （2）由余弦定理与正弦定理 ，然后结合三角函数性质求 解其取值范围即可. (1)因为 ，所以 ，即 ， 又因 ，所以 又由题意可知 ， 所以 ，因为 ，所以 . (2)由余弦定理可得 ，又 ， 则 ， 由正弦定理可得 ，所以 ， ， 所以 ，由题意得 ，解得 ，则 ， 所以 所以 所以 所以中线CD长的取值范围为 【题型十一】三大线3：高的应用 【讲题型】 例题1. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ． (1)求 ； (2)设 为 边上一点，且 ，求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由 求得 ，再由余弦定理求得 即可； （2）先由余弦定理求得 ，再求出 ，最后由面积公式求解即可. (1)因为 ，所以 ，所以 ．在 中，由余弦定理得 ， 即 ，解得 （舍去）， ． (2) 因为 ，由余弦定理得 ，又 ，即 是直角三角形，所以 ， 则 ，又 ，则 ，所以 的 面积为 ． 【讲技巧】 高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 【练题型】 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . (1)求 的大小； (2)若 边上的高为 ，且 的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得 ，利用余弦定理得 和基本不等式可得 ，根据面积得 ，整理分析． （1）由正弦定理得 ，得 ， 因为 ，所以 ，即 .（2）因为 ，所以 .由余弦定理得 ，得 （当且仅当 时，等号成立），即 .因为 ，所以 .因为 ， 所以 .因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，即 .故 的最小值为 . 【题型十一】证明题 【讲题型】 例题1.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ． (1)若 ，求C； (2)证明： 【答案】(1) ；(2)证明见解析． 【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理 化简即可证出． （1） 由 ， 可得， ，而 ，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所以， ，而 ， ，所以 ． （2） 由 可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 【练题型】 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 ，且 为锐角. (1)求角 的大小； (2)若 ，证明： 是直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角可解得 ，再由 为锐角即可求解（2）利用正 弦定理边化角之后再消元，可得 ，再结合 的范围即可得证 (1)由正弦定理可知， ， 又在 中， ，即 ， 为锐角， . (2) 所以由正弦定理得： ， 又 ， 即 ， ， 故可得 ，即 为直角三角形. 1．在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 . (1)求角B的大小； (2)若 ，D为 边上的一点， ，且 是 的平分线，求 的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进 行求解即可； （2）由 ，得 ，结合余弦定理，求出 的值即可求得 的面积. 【详解】（1） ， 又 ， 则 ，即 ， 又 ，则 ； （2）由 平分 ， ， ， 则有： ，即 ， 在 中，由余弦定理可得： ， 又 ，则有： ，联立 ，可得： ， 解得： 或 (舍去)， 故 . 2．（山西省吕梁市2023届高三上学期期末数学试题）在锐角 中，内角 的对 边分别为 ，且满足： (1)求角 的大小； (2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦边化角，并结合恒等变换得 ，再结合题意 得 ，进而根据内角和定理得答案； （2）由题，结合（1）得 ，设 ，则 ，进而根据锐角三 角形得 ，在在 中，由正弦定理得 ，进而 ，再根据三角 函数性质求范围即可. 【详解】（1）解：因为 所以 ，即 所以 ， 所以 ，即 ， 因为在锐角 中， ， 所以 ，即 ， 因为 ， 所以 ，解得 所以 （2）解：因为 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ， 所以 ， 所以 所以 ， 设 ，则 ，因为 为锐角三角形， 所 ，解得 所以，在 中，由正弦定理 得 ， 所以， 面积 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以， 面积的取值范围是 . 3．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a， b，c. (1)从下列中选择一个证明： ①证明： ； ②证明： . (2)若 ， ， ，求 面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）若选择①证明： ． 证法一：三角形外接圆法，设 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，结合三角形边角关 系，对 为锐角，钝角及直角各种情况进行证明； 证法二：向量法，以 作为原点，以射线 的方向为 轴的正方向建立直角坐标系， 在 轴上的投影为 ，结合向量的投影即可证明； 若选择②证明： ．证法一：建系法，以 点为原点， 的边 所在直线为 轴，建立直角坐标系，结合 两点间的距离公式可证； 证法二：解析法，对 为锐角，钝角及直角各种情况进行讨论，结合三角形边角关系即可 证明． （2）由已知结合三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）若选择①证明： . 证法一：三角形外接圆法 设 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，如图． 由图（1）知，当 为锐角时， 为直径， ，∴ ； 由图（2）知，当 为钝角时， 为直径， ，∴ ，∴ ； 如图（3），当 时， 为直径， . ∴对于任意三角形都有 ．同理， ． ∴ . 证法二：向量法 当 为钝角时，以 作为原点，以射线 的方向为 轴的正方向建立直角坐标系， 在 轴上的投影为 ，如图所示， ∵向量 与 在 轴上的投影均为 ， 即 ， ， ∴ ，即 . 以同样的方式可以证明 为锐角或直角时上式同样成立，∴ . 若选择②证明： .证法一：建系法 以 点为原点， 的边 所在直线为 轴，建立直角坐标系， 则 ， ， ． 由两点间的距离公式得 ，即 ， 则 ． 证法二：解析法 当 为锐角时，过 作 于 ． 则 ， ， ， 在 中， ，即 ， 所以 ，则 ． 当 为钝角时，过 作 垂直于 的延长线于 ， 则 ， ， ， 在 中， ，即 ， 所以 ，则 ． 当 为直角时， ，满足 ， 综上， ． （2）∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ 面积的最小值为 ． 4．（重庆市2023届高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题）在 中，角 的 对边分别为 且 .(1)求角C； (2)求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系化简已知等式即可 得 ，结合 ，可求得 的值. （2）通过边角互化将 转换为 ，再由（1）知角 ，利用辅助角公式 化简，即可求得最大值. 【详解】（1）在 中，由正弦定理得， ， ， . ， ， 即 . （2）由正弦定理得： ， 其中 ，又 ， 故 ， ∴ ， ∴ ， 故 的最大值为 . 5．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）在 中，角A、B、C所对的边长分别为a、 b、c，且 ． (1)求A的值； (2)若 的面积为 ，求a的最小值． 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）根据三角恒等变换可得 ，然后根据正弦定 理及余弦定理结合条件即得； （2）根据三角形面积公式可得 ，然后根据余弦定理及基本不等式即得. 【详解】（1）由 ， 可得 所以 整理得： ，由正弦定理得： ，∴ ， ∵A为 内角，∴ ； （2）由 ，得 ，所以 ，∵ ， ∴ ，当且仅当 时，符号成立， ∴ ，又 ，∴ ， 即 a 的最小值为 ． 6．（云南省部分学校2023届高三上学期12月联考数学试题）a，b，c分别为 内角 A，B，C的对边．已知 ． (1)求C； (2)若c是a，b的等比中项，且 的周长为6，求 外接圆的半径． 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据正弦定理、余弦定理，结合等比中项的性质进行求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理，由 ， 因为 ，所以 ， 于是由 ， 因为 ，所以 ； （2）因为c是a，b的等比中项，所以 ， 因为 的周长为6，所以 ， 由余弦定理可知： ，或 舍去， 所以 外接圆的半径为 . 7．（2023·全国·模拟预测）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ． (1)求C； (2)若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝l，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到 ，结合 ，求出 ； （2）设 ，则 ，由正弦定理得到 ，从而表达出. 【详解】（1） ，由正弦定理得： ， 因为 ，所以 ，故 ，即 ，因为 ， 所以 ，故 ，因为 ，所以 ，故 （2）在 中， ，设 ，则 ， 由正弦定理得： ，即 ， 解得： ，故 ， 因为 ，所以 ， 的取值范围是 . 8．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）在 中，内角 的对边分别为 ， ． (1)求 ； (2)如图，在 所在平面上存在点 ，连接 ，若 ， ， ， ，求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理求解； （2）由（1）的结论，运用正弦定理和条件计算出 ，再用面积公式计算. 【详解】（1） ，由正弦定理得： ，即 ， 由余弦定理得： ， ，又 是三角形内角， ； （2）令 ，四边形内角和为 ，由（1）的结论知： …① ， 在 中，由正弦定理得： ， 在 中， ，又 ，将①代入得： ， ， 即 ， ， ， ； 综上， ， . 9．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ． (1)判断 的形状； (2)若 ，D在BC边上， ，求 的值． 【答案】(1)直角三角形(2) 【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果； （2）由（1）中结论即可得到 ，从而得到 的值，然后在 中结合余弦定理 即可得到结果. 【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得， 即 所以 且 ，所以 即 是直角三角形. （2）在直角 中，有 ，即 ，所以 ， 又因为 ，所以 且 ， 在 中，由余弦定理可得， 解得 ， 在 中由余弦定理可得，