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第 3 讲 空间向量与空间角
1.(2022·莆田质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AFC；
(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在横线上，并作答．
①∠ABC＝；②BD＝AC；③PC与平面ABCD所成的角为.
若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且________，求二面角D－AC－F的余弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC＝a，E，F分
别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G的坐标；若不存
在，请说明理由．
3．(2022·新高考全国Ⅰ)如图，直三棱柱ABC－ABC 的体积为4，△ABC的面积为2.
1 1 1 1
(1)求A到平面ABC的距离；
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(2)设D为AC的中点，AA＝AB，平面ABC⊥平面ABBA，求二面角A－BD－C的正弦值．
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4．(2022·山东名校大联考)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为 60°，点M在线
段AB上(包含端点)运动，连接AD.
(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线
OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，确定点M的位置；
若不存在，请说明理由．
