文档内容
专题 5-2 线性规划综合应用
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】 转化型.......................................................................................................................................................2
【题型二】向量转化....................................................................................................................................................2
【题型三】求参..............................................................................................................................................................3
【题型四】含参讨论画图...........................................................................................................................................4
【题型五】绝对值和换元型......................................................................................................................................5
【题型六】函数和导数型...........................................................................................................................................6
【题型七】条件画图....................................................................................................................................................6
【题型八】线性规划综合应用..................................................................................................................................7
专题训练............................................................................................................................................................................7
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足约束条件 则 的最大值是
（ ）
A． B．4 C．8 D．12
2．（2021·浙江·统考高考真题）若实数x，y满足约束条件 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·统考高考真题）若 满足约束条件 则 的最小值为
（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
4．（江苏·高考真题）已知实数 满足 则 的取值范围是 .
5．（湖南·高考真题）设集合 ， ，
．
（1） 的取值范围是________；
（2）若 ，且 的最大值为9，则 的值是________．题型全归纳
【题型一】 转化型
【讲题型】
例题1.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【讲技巧】
1.分式型，如果是斜率型， 要注意分离常数，还要注意x，y的系数要提出来。
2.齐次分式型，可以同除换元，但是要注意同除时，是否要讨论为0的情况。
3.复杂分式型，实质是划归后（主要是同除或者分离常数），可换元转为基础型
【练题型】
1.设实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.、若实数 满足不等式 ，则 的取值范围是______________；
【题型二】向量转化
【讲题型】
例题1.在直角梯形ABCD中，已知 ， ．点P是梯形内一点
（含边界），且满足 ，则P点可能出现的区域
的面积是（ ）A． B． C． D．1
例题2.已知点 满足不等式组 ，点 ， 为坐标原点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
向量型
1.把向量转化为截距型等各类常规型求解
2.借助向量几何意义进行转化。
【练题型】
1.已知点A的坐标 满足线性约束条件 ， ， ，则 的最大值
为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
2.已知e，e 为平面上的单位向量，e 与e 的起点均为坐标原点O，e 与e 夹角为 .平面区
1 2 1 2 1 2
域D由所有满足 的点P组成，其中 ，那么平面区域D的面积为
A． B． C． D．
【题型三】求参
【讲题型】
例题1.已知 ， 满足 ，目标函数 的最大值为7，最小值为1，则 ，
的值分别为（ ）
A．-1，4 B．-1，-3 C．-2，-1 D．-1，-2
例题2.设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值是12，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
参数位置大概有以下几个：1.参数在目标函数中：
2.参数在约束条件中：
含参线性求解的技巧方法：可以借助于目标函数与约束条件中两条直线（一条含参）“三线共点”特
征来快速求解。
【练题型】
1.已知实数 ， 满足 若目标函数 的最大值为 ，最小值
为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知实数 、 满足 ，若 的最大值为 ，最小值为 ，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】含参讨论画图
【讲题型】
例题1.实数 ， 满足 且 的最小值为4，则实数 的值为（ ）
A．0 B．-2 C． D．3
例题2.已知实数x，y满足条件 若目标函数 的最小值为5，则c的
值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【讲技巧】
参数在约束条件中，可以通过分类讨论来画图。在分类讨论时，要注意对应的不等区域
的变化。
【练题型】1.曲线 上存在点 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.函数 为奇函数，设变量x，y满足约束条件 ，则目
标函数 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型五】绝对值和换元型
【讲题型】
例题1.已知实数x，y满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2..已知实数 满足： ， ，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【练题型】
1.已知点 满足 ， 的取值范围是__________．
2.设点 在不等式组 所表示的平面区域内，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】函数和导数型
【讲题型】3x y5
x y4
yex y
例题1.已知 x，y 满足 x>0，y>0，求 x 的取值范围。
1 1 1 1
例题2.已知函数1+ + + +⋯+ ≤n的图像与 轴交点的横坐标分别为 ，且
2 3 4 2n−1
，则 的取值范围是
A.（-2，-1） B.（-4，-2） C.（-4，-1） D.（-2,1）
【练题型】
1.、函数 ，若 恰有五个不同的实
根，则2a+b的取值范围为
A. B. C. D.
2.、已知 ， ， 为正实数，且 ， ，则 的取值范围为
__________.
【题型七】条件画图
【讲题型】
x2,
x y0,
x2y0
0 W
例题1.设 ，不等式组 所表示的平面区域是 ．给出下列三个结论：
1 W 3 0 W
① 当 时， 的面积为 ； ② ，使 是直角三角形区域；
y
x 4
P(x,y) PW
③ 设点 ,对于 有 ．其中，所有正确结论的序号是______．
x2 y2 1 (x,y) S
例题 2.已知满足条件 的点 构成的平面区域面积为 1，满足条件
[x]2 [y]2 1 (x,y) S [x]、[y] x,y
的点 构成的平面区域的面积为 2,其中 分别表示不大于
[0.4]1 [1.7]1 S 与S
的最大整数，例如： ， ，则 1 2的关系是
S S S S S S
A． 1 2 B． 1 2 C． 1 2 D．
S S 3
1 2
【练题型】
A={(x,y)|x+y≤1,且x ≥0,y≥0},
1.在平面直角坐标系x0y中，已知平面区域 则平面
B={(x+y,x−y)|(x,y)∈A}
区域 的面积为_ __.
【题型八】线性规划综合应用【讲题型】
例题1.已知集合 ，集合 ，若
，则（ ）
A． B． C． D．
例题2.在平面直角坐标系中，不等式组 ，表示的平面区域内整点个数是
（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【练题型】
1.已知不等式组 ，构成的平面区域为D．命题p：对 ，都有
；命题 ，使得 ．下列命题中，为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
2.以坐标原点O为圆心的圆全部都在平面区域 内，则圆O的面积的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．下面给出的四个点中位于 表示的平面区域的点是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．3．已知 则x＋2y的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
4．若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A． B．0 C．2 D．6
5．已知 ，若不等式组 表示的平面区域的面积为1，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．若x，y满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知实数x、y满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．已知点 与点 在直线 的同侧，给出下列四个命题中正确命题是
（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．当 时， 的取值范围是
10．若实数x，y满足 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为11．函数 有两个不相等的零点 ，其中 ，则 的
取值可能为（ ）
A． B． C． D． （ ）
12．已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意 ， ，均有
，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若点 在曲线 上,且不等式 恒成立,则 的取值范围是
______.
14．若变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是_______
15．已知 满足 ，若 ，其最大值为 ，最小值为 ，则
_____
16．已知 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点 对称，若实数
， 满足等式 ，则 的最大值为______．
