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专题5.2 平面向量的概念及线性运算-重难点题型精练
【新高考地区专用】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较
高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·陕西渭南·高二期末（文））下列命题中正确的是（ ）
A．若⃗a=⃗b，则3⃗a>2⃗b
B．⃗BC−⃗BA−⃗DC=⃗AD
C．若 ，则 与 的方向相反
|⃗a|+|⃗b|=|⃗a+⃗b| ⃗a ⃗b
D．若 ，则
|⃗a|=|⃗b|=|⃗c| ⃗a=⃗b=⃗c
2．（5分）（2022·江苏宿迁·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若|⃑a|=|⃑b| ，则 ⃑a=⃑b 或 ⃑a=−⃑b B．若|⃑a|>|⃑b|，则 ⃑a>⃑b
C．若 ⃑a=⃑b，则 ⃑a//⃑b D．若|⃑a|=0，则⃑a=0
3．（5分）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量⃑AB与⃑CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量⃑a与向量⃑b平行，则⃑a，⃑b方向相同或相反；
③若非零向量⃑AB与⃑CD是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若 ，则 ， 是相等向量或相反向量.
|⃑a|=|⃑b| ⃑a ⃑b
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（5分）（2022·江苏镇江·高三期中）△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，
下列表达正确的是（ ）
1 1
A．⃗CO= ⃗NO+ ⃗MO B．⃗CO=⃗NO+⃗MO
2 2
3 3
C．⃗CO= ⃗NO+ ⃗MO D．⃗CO=2⃗NO+2⃗MO
2 2
5．（5分）（2022·全国·高三专题练习）在等腰梯形ABCD中，⃑AB=2⃑DC，E,F分别为AD,BC的中点，G为EF的中点，则⃑AG等于（ ）
3 3 3 1 1 3 1 3
A． ⃑AB+ ⃑AD B． ⃑AB+ ⃑AD C． ⃑AB+ ⃑AD D． ⃑AB+ ⃑AD
8 4 8 2 2 4 4 8
6．（5分）（2022·全国·高一课时练习）设⃑e ，⃑e 是两个不共线的向量，已知⃑AB=⃑e +5⃑e ，
1 2 1 2
⃑BC=−2⃑e +8⃑e ，⃑CD=3⃑e −3⃑e ，则（ ）
1 2 1 2
A．A、B、C三点共线 B．B、C、D三点共线
C．A、B、D三点共线 D．A、C、D三点共线
7．（5分）（2022·四川·高三阶段练习（文））已知P是△ABC所在平面内的一点，若⃑CB−⃑PB=λ⃑PA，
其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一
( 1 )
动点，若⃑OP−⃑OA=λ ⃑AB+ ⃑BC ，λ∈[0,+∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
2
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·广东·高二开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若⃑e ,⃑e 为单位向量，则⃑e =⃑e B．若⃗a与⃑b共线，则⃑a=⃑b或⃑a=−⃑b
1 2 1 2
C．若|→
a
|
=0
，则 ⃑a=0⃗ D．
⃑a
是与非零向量⃑a共线的单位向量
|⃑a|
10．（5分）（2022·安徽省高一阶段练习）在△ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，点G
为△ABC的重心，则下列结论中正确的是（ ）
1
A．⃑AB−⃑BC=⃑CA B．⃑AG= (⃑AB+⃑AC)
3
C．⃑AF+⃑BD+⃑CE=0 D．⃑GA+⃑GB+⃑GC=0⃑
11．（5分）（2022·吉林·高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．⃑a与⃑b是非零向量，则⃑a与⃑b同向是⃑a=⃑b的必要不充分条件
B．A,B,C是互不重合的三点，若⃑AB与⃑BC共线，则A,B,C三点在同一条直线上
C．⃑a与⃑b是非零向量，若⃑a与⃑b同向，则⃑a与−⃑b反向
D．设λ,μ为实数，若λ⃑a=μ⃑b，则⃑a与⃑b共线
12．（5分）（2022·湖南·高三阶段练习）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若⃗AM=2⃗AB−⃗AC，则点M在直线BC上1 1
B．若⃗AM＝ ⃗AB＋ ⃗AC，则点M是三角形的重心
3 3
C．若⃗AM=λ ( ⃗AB + ⃗AC ) (λ∈R) ，则点M在边BC的中线上
|⃗AB| |⃗AC|
1 1
D．若⃗AM=x⃗AB+ y⃗AC，且x＋y＝ ，则△MBC的面积是△ABC面积的
2 2
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·吉林·高一阶段练习）化简 .
4(⃑a−3⃑b)−6(−2⃑b−⃑a)=
14．（5分）（2022·全国·高二课时练习）下列向量中，真命题是 ．（填序号）
①若A、B、C、D在一条直线上，则⃗AB与⃗CD是共线向量；
②若A、B、C、D不在一条直线上，则⃗AB与⃗CD不是共线向量；
③向量⃗AB与⃗CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
④向量⃗AB与⃗CD是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．
15．（5分）（2022·上海市高三期中）在△ABC中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，
设 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，则S 的取值范围为
△APQ S △ABC S ⃗AP=λ⃗AB,⃗AQ=μ⃗AC 1
1 2 S
2
．
16．（5分）（2022·全国·高二开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为
《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的
正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形
拼成的一个大等边三角形，且DF=2AF，点M为AB的中点，点P是△≝¿内（含边界）一点，且
⃗MP=λ⃗MD−⃗MB，则λ的最大值为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·全国·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA
的中点，化简下列各式：
(1)⃑DG+⃑EA+⃑CB；
(2)⃑EG+⃑CG+⃑DA+⃑EB.
18．（12分）（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的
中点.
(1)写出与向量⃗FC共线的向量；
(2)求证：⃗BE=⃗FD.
19．（12分）（2022·贵州·高二开学考试）已知向量 ．
⃑AB=⃗a+5⃗b,⃑BC=−2⃗a+8⃗b,⃑CD=3(⃗a−⃗b)
(1)求证：A,B,D三点共线．
(2)若⃑CA=x⃑CB−⃑BD，求x的值．2 1
20．（12分）（2022·上海市高三阶段练习）已知△ABC中，AB=2BC，点D满足⃗BD= ⃗BC+ ⃗BA.
3 3
(1)求△BDC与△ABD面积之比；
π
(2)若∠ABD= ，DC=√7，求边BC长.
3
21．（12分）（2022·陕西·高一阶段练习）如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足⃗AO=2⃗OD，
过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M，N两点.
(1)若⃗AO=λ⃗AB+μ⃗AC，求λ，μ的值；
1 1
(2)设⃗AM=m⃗AB，⃗AN=n⃗AC，m>0，n>0，求 + 的值；
m n
22．（12分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，
则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得⃗AP=λ⃗AM+(1−λ)⃗AN”．此结论往往称为
向量的爪子模型．
(1)给出这个结论的证明；
1 1
(2)在△OAB的边OA、OB上分别取点E、F，使⃗OE= ⃗OA，⃗OF= ⃗OB，连结BE、AF交于点G．设
3 4⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b．利用上述结论，求出用⃗a、⃗b表示向量⃗OG的表达式．
