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专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·河南·高三阶段练习（文））若向量⃑BA=(4,2)，⃑AC=(−1,−3)，则⃑BC=（ ）
A．(3,−1) B．(−3,1) C．(−3,−1) D．(3,1)
【解题思路】利用向量坐标的加法运算，把向量的坐标代入计算即可.
【解答过程】∵⃑BC=⃑BA+⃑AC，∴⃑BC=⃑BA+⃑AC=(4,2)+(−1,3)=(3,−1).
故选：A.
2．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量⃗a,⃗b,⃗c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用
基底 表示 ，则（ ）
{⃗a,⃗b} ⃗c
A．⃗c=−2⃗a+3⃗b B．⃗c=2⃗a−3⃗b
C．⃗c=−3⃗a+2⃗b D．⃗c=3⃗a−2⃗b
【解题思路】建立直角坐标系，得到⃗a,⃗b,⃗c的坐标，设⃗c=x⃗a+ y⃗b，联立解方程组，求出x,y得出结论.
【解答过程】建立如图直角坐标系，则⃗a=(2,1)−(1,0)=(1,1)，
，
⃗b=(0,4)−(2,1)=(−2,3) ⃗c=(7,1)−(0,4)=(7,−3)设⃗c=x⃗a+ y⃗b，则(7,−3)=x(1,1)+ y(−2,3)
所以¿
解得：x=3,y=−2，
故⃗c=3⃗a−2⃗b，
故选：D.
3．（5分）在正方形ABCD中，E,F 分别为BC，CD的中点，则不正确的是（ ）
1 1
A．⃗AC=⃗AF+ ⃗AB B．⃗AC=⃗AE+ ⃗AD
2 2
1 2
C．⃗AC= ⃗AE+ ⃗AF D．⃗AC=⃗AB+⃗AD
3 3
【解题思路】根据向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案.
1 1
【解答过程】由题意可得⃗AC=⃗AF+⃗FC=⃗AF+ ⃗DC=⃗AF+ ⃗AB,A正确；
2 2
1 1
⃗AC=⃗AE+⃗EC=⃗AE+ ⃗BC=⃗AF+ ⃗AD,故B正确；
2 2
1 1 1 1
由⃗AE=⃗AB+⃗BE=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ ⃗AD , ⃗AF=⃗AD+⃗DF=⃗AD+ ⃗DC=⃗AD+ ⃗AB,
2 2 2 2
2
可得⃗AB+⃗AD= (⃗AE+⃗AF),
3
2 2
故⃗AC=⃗AB+⃗AD= ⃗AE+ ⃗AF,故C错误，D正确；
3 3
故选：C.
4．（5分）（2022·四川省高一阶段练习（理））设 ，向量 ，且
x,y∈R ⃗a=(x,1),⃗b=(1,y),⃗c=(2,−4)
⃗a⊥⃗b,⃗c//⃗b，则|⃗a+⃗b|等于（ ）
A．2√2 B．√10 C．3 D．4
【解题思路】由向量共线定理及垂直的坐标表示求得 、 ，应用向量线性运算、模长的
⃗a=(2,1) ⃗b=(1,−2)
坐标表示求结果.2λ=1
【解答过程】由 ⃗c//⃗b知：⃗b=λ⃗c且λ∈R，则{ ，可得y=−2，即⃗b=(1,−2) ，
−4λ= y
由⃗a⊥⃗b知：x−2=0，可得x=2，即⃗a=(2,1)，
所以 ，故 .
⃗a+⃗b=(3,−1) |⃗a+⃗b|=√10
故选：B.
5．（5分）（2022·江西赣州·高三期中（文））向量 ， ， ，若
⃗a=（1,3） ⃗b=(3x−1,x+1) ⃗c=(5,7)
，且 ，则 的值为（ ）
(⃗a+⃗b)∥(⃗a+⃗c) ⃗c=m⃗a+n⃗b m+n
5 7
A．2 B． C．3 D．
2 2
【解题思路】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出x=1，再利用向量的坐标表示
得到关于m、n的方程组进行求解.
【解答过程】由题意，得 ， ，
⃗a+⃗b=(3x,x+4) ⃗a+⃗c=(6,10)
因为 ，所以 ，解得 ，
(⃗a+⃗b)∥(⃗a+⃗c) 30x=6x+24 x=1
则 ，
⃗c=m⃗a+n⃗b=(m,3m)+(2n,2n)=(m+2n,3m+2n)=(5,7)
即¿，解得¿，故m+n=3.
故选：C.
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量⃑OA=(3,−4),⃑OB=(6,−3),⃑OC=(5−m,−3−m)．
若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ）
1 1 1 1
A．m= B．m≠ C．m≠ D．m≠
2 2 3 4
【解题思路】根据题意得到⃑AB与⃑AC不共线，从而列出不等式，求出答案.
【解答过程】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即⃑AB与⃑AC不共线，
∵⃑OA=(3,−4)，⃑OB=(6,−3)，⃑OC=(5−m,−3−m)，
∴⃑AB=⃑OB−⃑OA=(3,1)，⃑AC=⃑OC−⃑OA=(2−m,1−m)，
1
∴3(1−m)−(2−m)≠0，解得m≠ .
2
故选：B．π
7．（5分）（2022·江苏南通·高三开学考试）在△ABC中，AB=3,AC=2，A= ，过△ABC的外心O
3
的直线(不经过点A)分别交线段AB,AC于D,E，且⃑AD=λ⃑AB，⃑AE=μ⃑AC，则λ+μ的取值范围是
（ ）
A．[11+4√6 13] B．[11+4√6 23]
, ,
18 10 18 15
C．[14+3√6 13] D．[14+3√6 23]
, ,
18 10 18 15
√7
【解题思路】求得BC=√7，外接圆的半径r= ，设⃑AO=x⃑AB+ y⃑AC，⃑BO=(x−1)⃑AB+ y⃑AC，
√3
7
⃑CO=x⃑AB+(y−1)⃑AC，根据|⃑AO|=|⃑BO|=|⃑CO|= ，结合⃑AD=λ⃑AB,⃑AE=μ⃑AC和
3
4 1 λ 8 10
D,O,E三点共线，得到 + =1，进而求得 ∈[ , ]，利用基本不等式和函数的性质，即可求
9λ 6μ μ 15 3
得λ+μ取值范围.
π
【解答过程】因为△ABC中，AB=3,AC=2,A= ，
3
π 1
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos =9+4−2×3×2× =7，
3 2
BC √7
即BC=√7，且r= = ，
2sinA √3
设⃑AO=x⃑AB+ y⃑AC，
则⃑BO=⃑BA+⃑AO=(x−1)⃑AB+ y⃑AC，⃑CO=⃑CA+⃑AO=x⃑AB+(y−1)⃑AC，
7
所以|⃑AO|=9x2+4(y−1) 2+6x(y−1)= ，
3
7 7
同理可得9(x−1) 2+4 y2+6(x−1)y= ，9x2+4(y−1) 2+6x(y−1)= ，
3 3
4 1 4 1
解得x= ,y= ，所以⃑AO= ⃑AB+ ⃑AC，
9 6 9 6
4 1 1 1
又因为⃑AD=λ⃑AB，⃑AE=μ⃑AC，所以⃑AO= ⋅ ⃑AD+ ⋅ ⃑AE，
9 λ 6 μ
4 1
因为D,O,E三点共线，可得 + =1，
9λ 6μ4 1 λ 10
因为λ∈[0,1]，所以λ( + )∈[0,1]，所以 ≤ ，
9λ 6μ μ 3
λ 8
同理可得0<μ≤1，所以 ≥
μ 15
4 1 11 λ 4μ
所以λ+μ=(λ+μ)⋅( + )= + + ，
9λ 6μ 18 6μ 9λ
λ 8 10 11 t 4
设t= ∈[ , ]，可得λ+μ= + + ，
μ 15 3 18 6 9t
11 t 4 1 4 2√2
令g(t)= + + ，可得g'(t)= − ，令g'(t)=0，解得t= ，
18 6 9t 6 9t2 √3
8 2√2
当t∈[ , )时，g'(x)<0，g(t)单调递减；
15 √3
2√2 10
当t∈( , ]时，g'(x)>0，g(t)单调递增，
√3 3
2√2 11 √1 4 11+4√6
所以当t= 时，λ+μ取得最小值，最小值为 +2 × = ；
√3 18 6 9 18
8 23 10 39 8 10
又由g( )= ，g( )= ，可得g( )>g( )，
15 15 3 30 15 3
8 23
所以当t= 时，λ+μ取得最大值，最大值为 ，
15 15
所以 的取值范围是[11+4√6 23].
λ+μ ,
18 15
故选：B.
8．（5分）（2022·北京市高一阶段练习）如图，在四边形ABCD中，
AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60∘,AB=2,AD=√3,E为线段CD的中点，F为线段AB上一动点（包
括端点），且⃑EF=λ⃑DA+μ⃑CB，则下列说法错误的是（ ）5
A．BC=
2
B．若F为线段AB的中点，则λ+μ=1
15
C．⃑FC⋅⃑FD的最小值为
4
8
D．μ的最大值比最小值大
5
【解题思路】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决
四个选项.
【解答过程】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C
作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则
△CDH∼△BCM，
因为AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60∘，
所以∠CDH=60°，设HD=x，则CH=√3x，则BM=AH=√3+x，CM=2−√3x，
DH CH x √3x √3
则 = ，即 = ，解得：x= 或x=0（舍去），
CM BM 2−√3x √3+x 4
则 (3 5√3)， (3 9√3)，
A(0,0),B(2,0),D(0,√3),C , E ,
4 4 8 8
√75 25 5
BC=√BM2+CM2= + = ，A说法正确；
16 16 2
若F为线段AB的中点，则F(1,0)，
所以 (5 9√3) (5 5√3)，
⃑EF= ,− ,⃑DA=(0,−√3),⃑CB= ,−
8 8 4 4
则¿，解得：¿，则λ+μ=1，B说法正确；
设F(m,0),0≤m≤2，
则 ⃑FC⋅⃑FD= (3 −m, 5√3) ⋅(−m,√3)=m2− 3 m+ 15 = ( m− 3) 2 + 231，
4 4 4 4 8 64
3 231
故当m= 时，⃑FC⋅⃑FD取得最小值，故最小值为 ，C选项说法错误；
8 64
( 3 9√3)，则 ，
⃑EF= m− ,− ¿
8 83 [ 3 13] 5 [ 3 13]
因为0≤m≤2，则m− ∈ − , ，所以 μ∈ − , ，
8 8 8 4 8 8
[ 3 13] 13 ( 3 ) 8
解得：μ∈ − , ， − − = ，
10 10 10 10 5
8
所以μ的最大值比最小值大 ，D说法正确.
5
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·贵州·高二阶段练习）已知向量⃑a=(1,2)，⃑b=(m,−1)，则下列结论错误的是（ ）
1
A．若 ⃑a∥⃑b，则m= B．若 ⃑a⊥⃑b，则m=2
2
1
C．若|⃑a|=|⃑b|，则m=2 D．若 ⃑a+2⃑b=0⃑，则m=−
2
【解题思路】根据向量的坐标运算即可求解平行垂直以及模长，根据选项即可逐一判断.
1
【解答过程】对于选项A， ⃑a∥⃑b，则2m=−1，则m=− ，即选项A错误；
2
对于选项B，⃑a⊥⃑b，则1×m+2×(−1)=0，则m=2，即选项B正确；
对于选项C， ，则 ，解得 ，即选项C错误；
|⃑a|=|⃑b| 12+22=m2+(−1) 2 m=±2
1
对于选项D， ⃑a+2⃑b=0⃑，即1+2m=0，则m=− ，即选项D正确，
2
故选：AC．
10．（5分）（2022·江苏·高二期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD
相切的圆上．若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD，则λ+μ的可能取值有（ ）
A．√5 B． 2√3 C．3 D．4【解题思路】建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用坐标表示⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD，用同角三角函数的
平方关系换元，转化为三角函数的最值问题.
【解答过程】以C为圆点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
4
则由已知有：C(0,0)，B(2,0)，A(2,1)，D(0,1)，即P(2−2μ,1−λ)在圆x2+ y2= 上，
5
所以有¿，则λ+μ=2−sin(θ+φ),∴λ+μ∈[1,3]．
故选：AC.
11．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直
线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设⃑AB=m⃑AM，⃑AC=n⃑AN，其中m>0，n>0，则下列结
论正确的是（ ）
2 1 1 2
A．⃑AO= ⃑AB+ ⃑AC B．⃑AO= ⃑AB+ ⃑AC
3 3 3 3
C．2m+n=3 D．m+2n=3
【解题思路】根据向量基本定理，用⃑AB,⃑AC表达出⃑AO，用向量共线基本定理的推论结合题干信息进行
求解得到2m+n=3.
1 1 2 1
【解答过程】⃑AO=⃑AB+⃑BO=⃑AB+ ⃑BC=⃑AB+ (⃑AC−⃑AB)= ⃑AB+ ⃑AC，A正确，B错误；
3 3 3 3
2 1 2m 1
因为⃑AB=m⃑AM，⃑AC=n⃑AN，所以⃑AO= ⃑AB+ ⃑AC= ⃑AM+ n⃑AN，
3 3 3 3
又因为M,O,N三点共线，
2 1
所以 m+ n=1，故2m+n=3，C正确，D错误.
3 3
故选：AC.
12．（5分）（2022·浙江温州·高一期末）如图， 已知△ABC，△≝¿均为等边三角形， D，E，F分
别为BE，CF，AD的中点，P为△≝¿内一点 (含边界)． ⃑AP=x⃑AB+ y⃑AC， 下列说法正确的是
（ ）1
A．延长BE交AC于M， 则⃑CM= ⃑CA
3
B．若⃑OD+⃑OE+⃑OF=0⃑， 则O为△ABC的重心
1
C．若x+ y= ，则点P的轨迹是一条线段
2
1
D．x+ y的最小值是
3
【解题思路】A选项，作出辅助线，根据面积比求出AM=2CM，判断A选项；
B选项，建立平面直角坐标系，设出△ABC边长为1，写出各点的坐标，然后写出直线CN，BM，AG的
方程，联立后求出D，E，F的坐标，求出△ABC与△≝¿的重心坐标，两者重合；C选项，设出点P的
1
坐标，利用向量关系⃑AP=x⃑AB+ y⃑AC及x+ y= 求出6m+2√3n−3=0，得出C正确；D选项，利用C
2
选项，得到 √3 ，结合 [ 5 5] [√3 2√3]，求出 的最小值.
x+ y=m+ n m∈ , ,n∈ , x+ y
3 14 7 14 7
【解答过程】A选项，因为已知△ABC，△≝¿均为等边三角形，D，E，F分别为BE，CF，AD
的中点，
连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M，
则S =S =S =S =S =S ，
△DBC △DCE △ABF △BDF △AEF △≝¿¿
1
所以S =2S ，则AM=2CM，⃑CM= ⃑CA，A正确；
△ABE △CBE 3
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，
延长AD交BC于点G，延长CF交AB于点N，由A选项可知：CG=2BG,BN=2AN，设 边长为1，则 (1 ) (1 √3) (1 √3) (5 √3)，
△ABC B(1,0),N ,0 ,C , ,M , ,G ,
3 2 2 3 3 6 6
√3 √3
则直线CN: y=3√3x−√3，直线BM：y=− x+ ，
2 2
联立直线CN与BM，求得： ，所以 (3 2√3)，
¿ E ,
7 7
直线AG： √3 ，联立直线AG与BM，求得： ，所以 (5 √3)，
y= x ¿ D ,
5 7 7
联立直线AG与CN，求得： ，所以 ( 5 √3)，
¿ F ,
14 14
因为⃑OD+⃑OE+⃑OF=0⃑， 则O为△≝¿的重心，
3 5 5 2√3 √3 √3
则 ( + + + + ) ，即 (1 √3)，
7 7 14 7 7 14 O ,
O , 2 6
3 3
1 √3
而 的重心为 ( 0+1+ 0+0+ ) ，即(1 √3)，
△ABC 2 2 ,
, 2 6
3 3
故O为△ABC的重心，B正确；
设P(m,n)，⃑AP=x⃑AB+ y⃑AC，结合B选项中建立的坐标系，可知：(1 √3)，即 ，解得：
(m,n)=x(1,0)+ y , ¿ ¿
2 2
1 √3 2√3 1
若x+ y= ， 则m− n+ n= ，整理得：6m+2√3n−3=0，
2 3 3 2
因为P为△≝¿内一点 (含边界)，所以点P的轨迹是一条线段，C正确；
√3 2√3 √3
结合C选项，可知x+ y=m− n+ n=m+ n，
3 3 3
其中 [ 5 5] [√3 2√3]，
m∈ , ,n∈ ,
14 7 14 7
5 √3 √3
当m= ,n= 时，x+ y=m+ n取得最小值，
14 14 3
5 √3 √3 3
最小值为x+ y= + × = ，故D错误.
14 3 14 7
故选：ABC.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知向量⃗AB=(2,1)，⃗BC=(7,m)，⃗CD=(3,−1)，若A，B，D三点共线，则m= 6 ．
【解题思路】根据给定条件，求出⃗BD，再利用共线向量的坐标表示计算作答.
【解答过程】因⃗BC=(7,m)，⃗CD=(3,−1)，则⃗BD=⃗BC+⃗CD=(10,m−1)，
又⃗AB=(2,1)，且A，B，D三点共线，即⃗AB//⃗BD，因此2(m−1)−1×10=0，解得m=6，
所以m=6.
故答案为：6.
14．（5分）（2022·四川·高二阶段练习（理））在△ABC中，D，E分别是线段AB，BC上的点，且
2 1
AD=3DB,BE= BC,若⃗DE=x⃗AB+ y⃗AC ，则x+ y= .
3 4
【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理将⃗DE用⃗AB，⃗AC表示，从而可求出x，y的值，进而可
求得x+ y.
2
【解答过程】因为AD=3DB，BE= BC，
3
1 2
所以⃗DB= ⃗AB，⃗BE= ⃗BC，
4 3
1 2 1 2
所以⃗DE=⃗DB+⃗BE= ⃗AB+ ⃗BC= ⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)
4 3 4 35 2
=- ⃗AB+ ⃗AC=x⃗AB+ y⃗AC，
12 3
5 2 5 2 1
所以x=- ，y= ，所以x+ y=- + = .
12 3 12 3 4
1
故答案为： .
4
2π
15．（5分）（2022·辽宁大连·高三期中）在△ABC中，CA＝CB＝1，∠ACB= ，若CM与线段AB
3
交于点P，且满足 ，（ , ），且 ，则 的最大值为 2 ．
⃗CM=λ ⃗CA+λ ⃗CB λ >0 λ >0 |⃗CM|=1 λ +λ
1 2 1 2 1 2
【解题思路】利用平面坐标系可得点M坐标满足x2+ y2=1，从而得到(λ -
1
λ )❑ 2+(
√3
λ )❑ 2=1，利
1 2 2 2 2
用基本不等式即可求得λ +λ 的最大值.
1 2
【解答过程】如图所示：
2π 1 √3
设C(0,0)，A(1,0)，因为∠ACB= ，CB＝1，则B (- , )，
3 2 2
1 √3
⃗CA=(1,0)，⃗CB=(- , )，设M(x,y)，则⃗CM=(x,y)，
2 2
因为 ，所以 ，
|⃗CM|=1 x2+ y2=1
因为 ，则 ，
⃗CM=λ ⃗CA+λ ⃗CB ¿
1 2
所以有(λ -
1
λ )❑ 2+(
√3
λ )❑ 2=1，
1 2 2 2 2
即λ 2+λ 2-λ λ =1，即λ λ =
(λ
1
+λ
2
)❑ 2-1
，
1 2 1 2 1 2 3
(λ +λ )❑ 2
又λ λ ≤ 1 2 （λ >0,λ >0），
1 2 4 1 2(λ +λ )❑ 2-1 (λ +λ )❑ 2
所以 1 2 ≤ 1 2 ，
3 4
解得0<λ +λ ≤2，当且仅当λ =λ =1时不等式取等号.
1 2 1 2
则λ +λ 的最大值为2.
1 2
故答案为：2.
16．（5分）（2022·江苏·高一期末）如图，正八边形ABCDEFGH中，若⃑AE=λ⃑AC+μ⃑AF
(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为 √2 ．
【解题思路】以HD、BF所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心O即为坐标原
点，设AC交y轴与M点，由正八边形的性质可得AC⊥ y轴，△AOM、△MOC为等腰直角三角形，
设OD=2，求出F、A、C、E点坐标及⃗AE、⃗AF、⃗AC坐标，根据
⃗AE=λ⃗AC+μ⃗AF的坐标运算可得答案.
【解答过程】
如图，以HD、BF所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心O即为坐标原点，设
AC交y轴与M点，∠AOB=∠COB=∠AOH=∠EOD=
(360) ∘
=45∘，
8
∠ABC=180∘−45∘=135∘，所以∠BAC=22.5∘，
∠HAC=∠HAB−∠CAB=135∘−22.5∘=112.5∘，所以∠HAC+∠AHO=180∘，即AC⊥ y轴，△AOM、△MOC为等腰直角三角形，
设OD=2，则OD=OF=OE=OA=OC=2，F(0,2)，
所以 ，所以 ， ， 与 关于 轴对称，
AM=OM=MC=√2 A(−√2,−√2) C(√2,−√2) C E x
所以 ，
E(√2,√2)
， ， ，
⃗AE=(2√2,2√2) ⃗AF=(√2,2+√2) ⃗AC=(2√2,0)
由 得 ，
⃗AE=λ⃗AC+μ⃗AF (2√2,2√2)=λ(2√2,0)+μ(√2,2+√2)
即¿，解得¿，
所以λ+μ=2√2−2+2−√2=√2.
故答案为：√2.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高一课时练习）已知向量⃑a=(3,1)，⃑b=(2,−1)，O为坐标原点．若向量
⃑OA=3⃑a−⃑b，⃑BA=2⃑b−⃑a，求向量⃑BO的坐标．
【解题思路】由向量线性运算可得⃑BO=⃑BA−⃑OA=−4⃑a+3⃑b，由向量坐标运算可求得结果.
【解答过程】 ，又 ， ，
∵⃑BO=⃑BA+⃑AO=⃑BA−⃑OA=(2⃑b−⃑a)−(3⃑a−⃑b)=−4⃑a+3⃑b ⃑a=(3,1) ⃑b=(2,−1)
∴⃑BO=(−12,−4)+(6,−3)=(−6,−7).
18．（12分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知向量⃑a=(1,2)，⃑b=(−3,1).
(1)求 ；
|⃑a+2⃑b|
(2)若向量⃑c=(−1,5)，试以向量⃑a，⃑b为基底表示向量⃑c.
【解题思路】（1）根据向量坐标运算及模的坐标表示求解；
（2）根据平面向量基本定理，利用待定系数法求解.
【解答过程】(1)
∵⃑a+2⃑b=(1,2)+(−6,2)=(−5,4)，
∴ .
|⃑a+2⃑b|=√(−5) 2+42=√41
(2)
设⃑c=λ⃑a+μb(λ,μ∈R).
则(−1,5)=λ(1,2)+μ(−3,1)=(λ−3μ,2λ+μ),∴¿,解得¿,
∴⃑c=2⃑a+⃑b.
19．（12分）（2022·全国·高一课时练习）已知向量⃗a=(3,2),⃑b=(−1,2),⃗c=(4,1)．
(1)求3⃗a+⃑b−2⃗c；
(2)求满足⃗a=m⃑b+n⃗c的实数m和n的值；
(3)若 ，求实数k的值．
(⃗a+k⃗c)∥(2⃑b−⃗a)
【解题思路】（1）利用平面向量的坐标运算求解；
（2）利用平面向量相等求解；
（3）利用平面向量共线定理求解.
【解答过程】（1）
解：3⃗a+⃑b−2⃗c=3(3,2)+(−1,2)−2(4,1)=(9,6)+(−1,2)−(8,2)=(0,6)；
（2）
因为⃗a=m⃑b+n⃗c．
所以(3,2)=(−m+4n,2m+n)，
则¿，解得¿．
（3）
⃗a+k⃗c=(3+4k,2+k),2⃑b−⃗a=(−5,2)，
因为 ，
(⃗a+k⃗c)∥(2⃑b−⃗a)
所以(3+4k)×2−(−5)×(2+k)=0，
16
解得k=− ．
13
1 1
20．（12分）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，⃑OC= ⃑OA，⃑OD= ⃑OB，AD与BC
3 2
交于点M．设⃑OA=⃑a，⃑OB=⃑b．(1)试用向量⃑a，⃑b表示⃑OM；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设⃑OE=λ⃑OA，⃑OF=μ⃑OB，其中λ，μ∈R．
1 2
证明： + 为定值，并求出该定值．
λ μ
【解题思路】（1）设⃑OM=m⃑a+n⃑b，由A、D、M三点共线以及B、C、M三点共线可得出关于m与n的
方程组，解出这两个未知数，即可得出⃑OM关于⃑a、⃑b的表达式；
λ⃑OA+μγ⃑OB λ μγ
（2）设⃑EM=γ⃑MF，利用向量的减法运算可得出⃑OM= = ⃑a+ ⃑b，结合
1+γ 1+γ 1+γ
1 2
⃑OM= ⃑a+ ⃑b可建立等式，即得.
5 5
【解答过程】（1）
设⃑OM=m⃑a+n⃑b(m∈R,n∈R)，
由A，M，D三点共线，可知存在α（α∈R，且α≠−1），使得⃑AM=α⃑MD，
则⃑OM−⃑OA=α(⃑OD−⃑OM)，
1 1 α
因为⃑OD= ⃑OB，所以⃑OM= ⃑a+ ⃑b，
2 1+α 2(1+α)
由平面向量基本定理得¿，即m+2n=1，①
同理，由B，M，C三点共线，可知存在β（β∈R，且β≠−1），使得⃑CM=β⃑MB，
则⃑OM−⃑OC=β(⃑OB−⃑OM)，
1 1 β
又⃑OC= ⃑OA，所以⃑OM= ⃑a+ ⃑b，
3 3(β+1) 1+β
由平面向量基本定理得¿ 即3m+n=1，②
1 2
由①②得m= ，n= ，
5 5
1 2
故⃑OM= ⃑a+ ⃑b；
5 5
（2）
由于E，M，F三点共线，则存在实数γ（γ∈R，且γ≠−1）使得⃑EM=γ⃑MF，即
⃑OM−⃑OE=γ(⃑OF−⃑OM)，
⃑OE+γ⃑OF
于是⃑OM= ，
1+γ
又⃑OE=λ⃑OA，⃑OF=μ⃑OB，λ⃑OA+μγ⃑OB λ μγ
所以⃑OM= = ⃑a+ ⃑b，
1+γ 1+γ 1+γ
由平面向量基本定理得¿，消去γ，
1 2
得 + =5，
λ μ
1 2
故 + 为定值，该定值为5.
λ μ
21．（12分）（2022·上海市高一期末）如图，在平行四边形ABCD中，
π
AB=2,AD=3,∠BAD= ,⃑AF=⃑FD，⃑DE=λ⃑DC(0≤λ≤1),AE交BF于点N.
3
1
(1)若λ= ,⃑AN=μ⃑AE，求μ的值；
2
(2)求⃑BE⋅⃑FE的取值范围.
【解题思路】（1）由平面向量基本定理化简计算可得；
1
（2）以A为原点建立坐标系，表示出⃗BE⋅⃗FE =4λ2+ λ+3，根据单调性求取值范围.
2
【解答过程】（1）
1−t
因为⃗AN=⃗AF+⃗FN=⃗AF+t⃗FB=⃗AF+t(⃗AB−⃗AF) =（1−t）⃗AF+t⃗AB= ⃗AD+t⃗AB
2
1
又⃗AN=μ⃗AE=μ(⃗AD+ ⃗AB)
2
1−t 2
μ= μ=
2 5
所以{ ，解得{ .
1 1
μ=t t=
2 5
（2）
3
以A为原点建立如图坐标系，A(0,0)、B(1,√3)、D(3,0)、F( ,0)、C(4,√3)，
21 3
因为⃗BE=⃗BF+⃗FD+⃗DE=( ,−√3)+( ,0)+λ(1,√3)
2 2
=(2+λ,√3λ−√3)，
因为
3 3 3
⃗FE=⃗FD+⃗DE=( ,0)+λ⃗DC=( ,0)+λ(1,√3)=( +λ,√3λ)，
2 2 2
3 3 1
⃗BE⋅⃗FE =(2+λ,√3λ−√3) ⋅( +λ,√3λ) =(2+λ)×( +λ)+(√3λ−√3)×√3λ=4λ2+ λ+3
2 2 2
1 1
令y=4λ2+ λ+3，则对称轴为λ=− ，∵0≤λ≤1，
2 16
1
所以y=4λ2+ λ+3在[0,1]单调递增，
2
所以当λ=0时，y=3，
15
λ=1时，y= ，
2
15
⃗BE⋅⃗FE的取值范围为[3, ].
2
22．（12分）（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知向量
．
⃑a=(cosx,2sinα+√2sinx),⃗b=(sinx,2cosα−√2cosx)
(1)若⃑a//⃑b，求x+α的值；
π
(2)若α= ，函数f(x)=⃑a⋅⃑b，求f(x)的值域．
4
【解题思路】（1）根据向量平行的坐标运算公式，结合两角和的余弦公式化简即可；
（2）根据向量数量积的坐标运算公式，运用三角函数相关知识化简原函数后，换元求解即可.
【解答过程】(1)
因为⃑a//⃑b，
所以cosx(2cosα−√2cosx)=sinx(2sinα+√2sinx)，整理得 ，
2(cosxcosα−sinxsinα)=√2(sin2x+cos2x)
所以2cos(x+α)=√2，
√2
即cos(x+α)= ，
2
π
则x+α=2kπ± ,k∈Z．
4
(2)
π
因为α= ，
4
所以f(x)=⃑a⋅⃑b=sinxcosx+2(1+sinx)(1−cosx)
=−sinxcosx+2(sinx−cosx)+2
1
=− [1−(sinx−cosx) 2]+2(sinx−cosx)
2
1 3
= (sinx−cosx) 2+2(sinx−cosx)+ ．
2 2
( π)
令t=sinx−cosx，则t=√2sin x− ∈[−√2,√2]．
4
1 3
设函数g(t)= t2+2t+ ,t∈[−√2,√2]，
2 2
则g(t)在区间[−√2,√2]上单调递增，
5 5
所以g(t) =g(−√2)= −2√2,g(t) =g(√2)= +2√2，
min 2 max 2
[5 5 ]
所以f(x)的值域为 −2√2, +2√2 ．
2 2
