数学_教资初高中_教资面试2025教资面试备考资料合集_教资面试资料合集_2025教资面试资料_04面试真题汇总-含各学科试讲真题（含24下）_2024下半年教资面试真题

考生回忆+网上搜集 ~1~考生回忆+网上搜集 小学数学 篇目一《画正比例图象》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日08:05:06 1.题目：六年级下册《画正比例图象》 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）教学语言要规范，逻辑清楚，重难点突出，注意师生互动 （3）体现画正比例图象的步骤； （4）配合教学内容适当板书。 ~1~考生回忆+网上搜集 《画正比例图象》教案 一、教学目标 1.理解正比例的意义，掌握正比例图象的绘制方法，并能用图象表示正比例关系。 2.通过观察、比较、分析、归纳等活动，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力，发展几何直观。 3.在自主探索中感受到成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。 二、教学重难点 重点：正比例图象的绘制方法。 难点：正确判断两个量是否成正比例关系。 三、教学过程 （一）导入新课 大屏幕出示文具店彩带的销售数量和总价数据呈正比例的表格，提问学生除了用表格表示两者的关系， 还有别的方法吗？引导学生可以通过数形结合的方式学习，即画图象，从而引出课题《画正比例图象》， 并书写课题。 （二）探索新知 环节一：复习旧知 课件出示教材中文具店彩带的销售数量和总价数据呈正比例的表格，请学生试着用自己的话说一说数 y 据之间呈现的关系，即正比例关系，可以用符号 k 来表示，请学生感受正比例之间的关系。接着提问用 x 图象如何表示呢？在学生迷惘的表情中进入画正比例图象的学习。 环节二：画正比例图象 （1）引导学生观察彩带销量和总价的正比例图象示例，明确图象上每个点所代表的意义，提问学生从 图象中发现了什么？引导学生明确正比例图象是一条直线。 （2）讲解“描点法”绘制正比例图象的基本步骤，包括确定坐标轴、选择适当的比例尺、根据数据描 点、连线等。之后提问学生把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和上面的图象连起来再延 长，你还能发现什么？引导学生理解成正比例的两组数据满足正比例关系时都可以在一条直线上表示出来， 感受正比例图象的魅力。 （3）请学生根据表格的数据自己动手绘制彩带销量和总价的正比例图象，让学生观察并理解绘制过程。 同时提问不计算，根据图象判断，如果买9m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？请学生在组内完 成并探究得出结果。 环节三：正比例的应用 （1）提问学生小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？在具体的情境中引导学生 理解正比例关系并学会应用。 （2）请学生说一说生活中正比例关系的例子，与同桌一起交流，同时以小组为单位分享。例如：如果 汽车行驶速度一定，路程与时间成正比例关系。教师给与肯定评价之后和学生一起总结正比例图象的画法 和应用。 ~2~考生回忆+网上搜集 （三）巩固练习 大屏幕展示相关数据，请学生判断对应的数据是否成正比例关系，之后完成做一做中路程与时间的正 比例关系表格，请学生利用刚刚学习的方法自己绘制正比例图象，并说一说自己绘制时出现的难点，全班 共同交流。 （四）课堂小结 提问：同学们今天有什么收获？你是怎么学会这些知识的？心情怎样？ 要求：学生发言，教师归纳补充。 （五）布置作业 作业一：完成课后作业的第2、4题。 作业二：回家与爸妈分享今天所学。 四、板书设计 ~3~考生回忆+网上搜集 《画正比例图象》答辩 1.你在教授画正比例图象时，会采用哪些教学方法和策略？ 【参考答案】 在教授画正比例图象时，我会采用多种教学方法和策略。首先，我会通过实际例子引导学生理解正比 例关系，并明确画正比例图象的基本步骤。然后，我会组织学生进行小组讨论和合作，让他们共同探究如 何绘制正比例图象，并分享彼此的方法和经验。此外，我还会利用多媒体课件和数学软件等教学工具，展 示正比例图象的绘制过程，增强教学的直观性和趣味性。最后，我会设计一些练习题和实践活动，让学生 在实际操作中巩固和应用所学知识。 2.学生在学习画正比例图象时可能会遇到哪些困难？你如何帮助他们克服这些困难？ 【参考答案】 学生在学习画正比例图象时可能会遇到一些困难，如不理解正比例关系、无法准确绘制图象等。 为了帮助他们克服这些困难，我会采取以下措施：首先，我会通过具体例子和图示等方式，帮助学生 理解正比例关系的含义和特征；其次，我会详细讲解绘制正比例图象的基本步骤和注意事项，并示范绘制 过程；最后，我会设计一些有针对性的练习题和实践活动，让学生在实践中不断巩固和应用所学知识，提 高他们的操作能力和解决问题的能力。 ~4~考生回忆+网上搜集 篇目二《找最大公因数》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日08:05:06 1.题目：找最大公因数 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲时间约10分钟。 （2）有过程性评价。 （3）结合教学内容适当板书。 （4）讲清找最大公因数的方法。 ~5~考生回忆+网上搜集 《找最大公因数》教案 一、教学目标 1.理解公因数与最大公因数的概念，会用列举法找出两个数的公因数以及最大公因数。 2.经历找最大公因数的过程，初步培养学生对于列举法和筛选法的了解，提高解决问题的能力以及小组 合作探究的能力。 3.从生活中的问题着手，学生可以深刻体会数学与生活的紧密联系，体会数学的无处不在，增强学习数 学的兴趣。 二、教学重难点 1.重点：理解公因数与最大公因数的概念。 2.难点：灵活找出最大公因数。 三、教学过程 （一）导入新课 教师创设问题情境：今天，王阿姨想把长分别是12米和18米，宽相同的两块布料裁剪成同样长的小段，而 且没有剩余。接着提出问题：她应该怎么裁剪呢？这两块布料分别可以被裁剪成几块？你会用什么样的数学知识 来解决这个问题呢？学生进行思考，预设学生可以联系到之前学习的因数和倍数的相关知识来进行解决，但是具 体怎么裁剪，还有些疑惑，从而产生认知冲突，引入今天的课题《找最大公因数》。 （二）探究新知 1.找因数 基于导入中的问题，教师引导同学认真思考该如何解决，教师结合学生的回答提出需要用到公因数的 相关知识。教师提出问题：请认真计算找出12和18的因数，并说一说你用了哪种方式？学生独立思考后 回答。 预设生1：根据乘法算式：11212，2612，3412。可以得出12的因数有1，2，3，4，6，12。同理可得18 的因数有1，2，3，6，9，18。 预设生2：根据除法算式12112，1226，1234 ，可以得出12的因数有1，2，3，4，6，12。同理可得18 的因数有1，2，3，6，9，18。 教师肯定这两位学生的做法，并对他们的做法提出表扬。同时强调在找因数的过程中应该按照一定的 顺序做到不重不漏。 2.公因数与最大公因数 提出问题：12与18相同的因数有哪几个？怎么找？并组织学生进行小组讨论。 预设小组代表1：用的是列举法，将12和18的因数全部列举出来，发现相同的因数有1，2，3，6，其中最 大的因数是6。 预设小组代表2：用的是筛选法，先写出12的因数，再看看其中有没有18的因数，从而能够找出12 和18的公因数是1，2，3，6，其中最大的因数是6。 教师对学生的精彩表现给予鼓励性的评价。并且通过PPT呈现这两个小组的做法，通过动画进行展示。 并评价刚刚两位小组发现的结果都是正确的，鼓励其他同学可以将发现的结果记录下来进行对比。 师生共同总结公因数和最大公因数的定义：两个数相同的因数，叫做这两个数的公因数，两个数公因 ~6~考生回忆+网上搜集 数中最大的那一个，叫做这两个数的最大公因数。教师鼓励学生尝试着自己总结找最大公因数的步骤，结 束之后进行汇报。 预设：①先找出两个数的公因数；②公因数中最大的那一个就是两个数的最大公因数。 3.用集合圈的方法表示最大公因数 教师通过PPT出示淘气表示两个数公因数的图形，提出问题：同学们能解释一下淘气的图是什么意思 吗？教师组织学生同桌之间相互交流。 预设生1：中间两个圆圈重叠的部分表示12和18相同的因数，也就是12和18的公因数。 预设生2：左边的圆圈表示的是12的因数，右边的圆圈表示的是18的因数。 教师对学生的发现进行多元的鼓励性的评价。并且说明这样表示的优点：直观明了，能够迅速地看出 两个数的公因数以及最大公因数是什么。 （三）巩固运用，实践创新 教师出示题目，找出下列每组数的最大公因数：8和24；18和19；36和28。学生独立计算之后进行汇报， 教师核对数据并进行评价。 （四）总结体会，反思提升 教师向学生提出这样一个问题“通过今天的学习，你们学到了什么？”，引导学生自己总结所学，教师给予 补充点评。 （五）课后作业，拓展延伸 在作业环节，教师可以布置两种类型的作业：1.找一找8和24，2和4，3和12这3组数的最大公因数是什 么？你发现了什么规律？；2.4和5，5和7，11和13这3组数的最大公因数是什么？你发现了什么规律？ 四、板书设计 ~7~考生回忆+网上搜集 《找最大公因数》答辩 1.怎么让学生理解公因数的概念？ 【参考答案】 ①先组织学生分别找出12和18的因数，再观察12和18的因数有什么特点，从而发现1，2，3，6既是12的因 数，也是18的因数，初步感知公因数的概念；②教师通过PPT出示淘气表示两个数公因数的图形，请同学们 解释一下淘气的图是什么意思，从而发现中间的圈表示12和18的公因数，加深学生对公因数概念的理解 2.本节课中如何体现小学数学与生活相融？ 【参考答案】 生活是数学的源泉，数学离不开生活。生活是丰富多彩、变化莫测的，而数学有着自己的严谨性和确定性。 教学过程中，教师能按照感知、理解、巩固到应用的过程展开教学，让学生在不同的生活情景中不断经历“数学 化”的过程。 比如认识小数这一节课，认识小数本是一堂十分单调与抽象的概念课，但是如果能深入钻研教材，准确理解 教材编写意图，并能跳出教材，设计和组织符合本课数学知识特点和学生学习规律的教学过程，就会取得比较好 的教学效果。比如利用学生在超市中经常见到价签上的小数这一已有经验来引出课题，就可以比较好地处理生活 与数学的关系。 尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但课程不仅仅是指教材，学生的生活经验、教师的教学 经验、学生的学习差异、师生的交流启发都是有效的课程资源。教师对教材作了二次加工，使教材成为“学材”： 由“找身边的小数”入手，进而自然引出小数，体现了学生学习小数的需要，沟通了整数、分数、小数之间的内 在联系，针对性很强，有利于学生形成结构化的知识。 ~8~考生回忆+网上搜集 篇目三《摸球游戏》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日08:45:06 1.题目：摸球游戏 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲时间约10分钟； （2）理解可能性有大有小； （3）要有提问和评价； （4）结合教学内容，适当板书。 ~9~考生回忆+网上搜集 《摸球游戏》教案 一、教学目标 1.在游戏活动中，体会事件发生的可能性有大有小。 2.发散思维，培养解决问题的能力，感悟数学知识与现实生活的联系。 3.初步培养概率意识和数据意识，体验游戏的乐趣和挑战，增强团队协作精神。 二、教学重难点 重点：经历事件发生的可能性大小的探索过程，感受事件发生的可能性是不确定的。 难点：感受事件发生的可能性有大有小。 三、教学过程 （一）导入新课 创设情景：森林里举办了一次抽奖活动，每个人从自己面前的盒子里拿出一个球，谁先拿到白球谁就是赢家。 熊大的盒子里有7个白球，1个红球；熊二的盒子里有1个白球，7个红球；光头强的盒子里只有8个红球。大 家猜一猜谁最有可能是赢家呢？引出课题《摸球游戏》。 （二）探究新知 环节一：可能性有大有小 大屏幕出示5个盒子。 学生观察并思考：如果分别从这些盒子中任意摸出一个球，说一说盒子里面可能摸到什么球？ 预设：第1盒能摸到红球，第2盒能摸到白球，第3、4、5盒可能摸到白球也可能摸到红球。 问题：哪个盒子摸到白球的可能性最大，哪个盒子摸到白球的可能性最小？ 明确：第2盒全是白球，所以摸到白球的可能性最大。第1盒全是红球，所以摸到白球的可能性最小。 问题：从第3、4、5盒中摸出白球的可能性一样吗” 明确：不一样。 教师提问：哪个盒子中摸到白球的可能性最大呢？ 预设：第5盒中摸到白球的可能性最大。 问题：为什么从第5盒中摸到白球的可能性最大呢？学生小组讨论，教师巡视指导。学生代表汇报。 预设：第5盒中白球数量最多，所以在第5盒中摸到白球的可能性最大。 追问：第3盒和第4盒中哪个摸到白球的可能性最大呢？ 预设：第3盒一共有4个球，其中白球有1个；第4盒一共有8个球，其中白球有1个。所以第3盒中摸到 白球的可能性更高。 师生共同总结：当盒内只有一种颜色的球时，摸到这种颜色球的可能性最大，而且一定能摸到；当盒里有两 ~10~考生回忆+网上搜集 种颜色的球时，摸到两种球的可能性有大有小，哪种颜色球越多，摸到的可能性就越大。 环节二：深入理解可能性有大有小 大屏幕出示问题：分别在下面每个盒子里放6个球，满足给定的要求，写一写。 学生小组讨论，小组代表汇报交流，教师点评。 预设1：第一个盒子要求摸到白球的可能性比红球大，5个白球，1个红球；4个白球，2个红球均满足条件； 预设2：第二个盒子一定能摸到红球，说明第二个盒子里面有6个红球； 预设3：第三个盒子不可能摸到红球，所以第三个盒子里有6个白球； 预设4：第四个盒子要求摸到红球的可能性比白球大，5个红球，1个白球；4个红球，2个白球均满足条件。 教师给予鼓励性评价。 （三）巩固提高 出示问题：盒子里有两种不同颜色的球，笑笑摸了30次，摸球的情况如下表： 根据表中的数据推测，盒子里________色的球可能多，________色的球可能少。学生自主回答，教师点评。 （四）课堂小结 “通过今天的学习，你们学到了什么？”，学生自己总结所学，教师予以补充。 （五）布置作业 1.课后习题第1题；2.观察平时生活中有哪些地方应用到可能性。 四、板书设计 ~11~考生回忆+网上搜集 《摸球游戏》答辩 1.如何看待数学课上的小组讨论。 【参考答案】数学课上的小组讨论是一种促进学生学习和思考的有效方法。 （1）小组讨论为学生提供了一个合作学习和交流想法的平台。在小组中，学生可以分享自己的思路和解法， 共同探讨问题的解决方法，促进了学生之间的合作和交流。 （2）小组讨论能够激发学生的学习兴趣和动力。通过积极参与讨论，学生可以感受到自己对学习的掌控力， 同时也可以从其他同学的发言中获得新的启示和灵感。 （3）在小组讨论中，学生需要学会倾听、思考和质疑。这有助于培养学生的批判性思维和独立思考的能力。 通过讨论，学生可以学会如何从多个角度看待问题，并从中选择最佳的解决方案。 （4）小组讨论能够帮助学生提高沟通能力和表达能力。在讨论中，学生需要清晰地表达自己的观点和思路， 同时也要学会如何与他人交流和协商。这种沟通能力的提高对学生未来的发展具有重要意义。 （5）小组讨论也为教师和学生提供了一个互动的机会。教师可以参与到学生的讨论中，了解学生的思路和 困惑，并及时给予指导和帮助。这种互动有助于增强师生之间的联系和信任。 2.本节课的教学目标是什么？ 【参考答案】 （1）在游戏活动中，体会事件发生的可能性有大有小。 （2）发散思维，培养解决问题的能力，感悟数学知识与现实生活的联系。 （3）初步培养概率意识和数据意识，体验游戏的乐趣和挑战，增强团队协作精神。 ~12~考生回忆+网上搜集 篇目四《圆的周长》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日08:45:06 1.题目：圆的周长 2.内容： 3.基本要求： （1）根据题目结合所学内容试讲约10分钟； （2）教学语言规范，表达准确； （3）试讲中要结合板书。 ~13~考生回忆+网上搜集 《圆的周长》教案 一、教学目标 1.理解圆的周长和圆周率的含义，初步理解和掌握圆的周长的计算公式，并能正确计算圆的周长。 2.通过探究圆周率的形成过程，培养动手操作的能力和解决简单的实际问题的能力，渗透几何直观意识。 3.培养勇于探索、积极思考、团结协作的良好行为习惯，在学习中体验数学的价值。 二、教学重难点 重点：推导圆的周长的计算公式，准确计算圆的周长。 难点：理解圆周率的意义。 三、教学过程 （一）导入新课 1、引入情境 青青草原上，喜羊羊和沸羊羊正在进行跑步比赛，喜羊羊沿着直径100m的圆形跑道跑，沸羊羊沿着边长 100m的正方形跑道跑，他们同时出发，同时到达终点，于是喜羊羊说：“你跑得更快。”沸羊羊也说：“你跑 得更快。”到底谁跑得更快呢？ 2、学生猜答案，并说明理由。 集体讨论后得出：时间相同，判断谁跑得更快，就得看谁跑的路程更多。 3、计算沸羊羊跑的路程。 学生独立完成后汇报，得出：正方形的周长是边长的4倍，所以正方形的周长边长41004400m。 4、引入新课 师问：喜羊羊跑的路程是什么？怎么计算？从而达成共识：要解决这个问题，很有必要研究圆的周长的计算 方法。（板书课题：圆的周长） （二）探究新知 环节一：动手操作，初步感知 1.通过给不同小组分发3个不同大小的圆教具，结合我们前边学习的正方形周长，谈一谈你对圆周长的认识？ 2.既然大家对圆已经有了初步认识，接下来我们就小组讨论，开动你们的大脑，想办法测量一下圆教具的周 长，最先测完的小组，请把你们的结果填写在黑板对应的位置上。 3.所有的小组都测完了，谁能告诉老师你们用的什么方法进行测量的呢？你们的结果也是黑板上的数值么？ 所以围成圆的曲线的长就是圆的周长。我们测量的时候可以通过滚动和绕线的方法来进行测量。 4.出示：摩天轮、2015欧盟正在研究的圆形飞机跑道。 师：它们都是圆形的，你能用滚动法或绕绳法测量出它们的周长吗？（不行）可见化曲为直在 测量圆的周长时存在一定局限性，所以我们必须要找到一种更为普遍的方法来计算圆的周长。 环节二：经历探究，验证猜想 1.猜想： 我们知道正方形的周长与它的边长有关，边长越大，周长就越大，边长越小，周长就越小，并且它的周长总 是等于边长的4倍，利用它们之间的这种关系，用边长乘4求出正方形的周长。那我们是不是也可以用这种方法 来求出圆的周长呢？下面请大家猜一猜圆的周长与什么有关？（因为圆的半径决定圆的大小， 在同圆或等圆中，直径的长度等于半径的两倍，所以圆的周长只要跟它的直径有关就跟它的半径和大小都有关系。 ~14~考生回忆+网上搜集 下面我们就来看看圆的周长跟直径有关吗？如果有关，是不是也像正方形的周长和边长那样成倍数关系呢？ 2.验证： （同桌合作）用绕绳法或滚动法测量出你们准备好的标有直径的圆的周长，并求出周长与直径的比值，也就 是周长除以直径所得的商。周长和直径都以厘米为单位，除不尽的商保留两位小数。指名多位同学回答，老师把 结果记录下来。 3.发现： 从表中你们发现了什么？（圆的直径越大周长就越大，但是周长除以直径的商都是3点几，也就是圆的周长 总是直径的3倍多一些）那到底是3倍多多少呢？ 4.感受数学文化，激发情感教育。 大约1500年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之。他计算出圆的周长与直径的比值应在3.1415926 和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆的周长和直径的比值精确到7位小数的人。他的这项伟大成就比国外 数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年。可见我们的古人是多么的厉害，我们要为我们是炎黄子孙而 感到无比的自豪。 5.归纳圆的周长的计算公式。 当然不只是祖冲之一个人研究过圆的周长与直径的关系，还有非常多的人都研究过，他们发现一个共同的规 律：任意一个圆的周长与它的直径的比值也就是圆的周长除以直径所得的商都是一个固定的数，这个固定数是一 个无限不循环小数，它等于3.1415926535……我们把它叫做圆周率，用字母π表示。如果我们用大写字母C来表 示圆的周长，用d来表示直径这个公式就变成C除以d π，因为被除数等于商乘除数，所以Cπd ，因为π是 一个固定数，在实际应用中常常只取它的近似值：3.14，这样的话如果我们想知道圆的周长只需知道什么条件就 可以了（直径），然后用它的直径乘3.14就可以了。现在如果告诉你们圆的直径，同学们会求圆的周长吗？ 因为在同圆或等圆中，直径的长度等于半径的2倍，所以Cπd 中的d可以用2r来代替，这样C就等于π 乘2r，简写就是C2πr。这样求圆的周长就有两个公式，以后如果我们知道圆的直径就用Cπd 来求圆的周 长，如果知道圆的半径就用C2πr来求圆的周长，这样就方便多了。 （三）巩固提高 智慧城堡第一层： 1.摩天轮的直径是160米，坐着它转动一圈，大约在空中转过多少米？ 智慧城堡第二层： 2.在一个圆形亭子里，小丽沿着直径从一端走12步到达另一端，每步长大约是55厘米。这个圆的周长大约 是多少米？ （四）课堂小结 同学们，你觉得这节课里自己表现怎样？有什么收获和体会？教师肯定学生这节课的表现，给予学生积极的 评价，提高学生学习的自信心。 （五）布置作业 找一找生活中有哪些常见的圆，想办法测量一下它的周长？ ~15~考生回忆+网上搜集 四、板书设计 ~16~考生回忆+网上搜集 《圆的周长》答辩 1.圆的周长C2πr，这个π是如何得到的? 【参考答案】 分组实验，拿出自己准备的学具圆，分别量出它们的周长、直径，多次试验并把数据填入表格中。通过测量， 计算，汇报，学生观察数据，通过对比发现：每个圆的周长都是它的直径长度的3倍多一些。这个3倍多一些的 数，是一个固定不变的数，我们称它为圆周率，用π表示。 2.本节课的教学重点和难点分别是什么？ 【参考答案】 本节课的教学重点为推导圆的周长的计算公式，准确计算圆的周长；本节课的教学难点是理解圆周率的意义。 ~17~考生回忆+网上搜集 篇目五《2、5 的倍数的特征》 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日09:20:06 1.题目：2、5的倍数的特征 2.内容： 3.基本要求： （1）讲解清楚2、5的倍数的特征； （2）明确奇、偶数的概念； （3）要有适当板书； （4）在十分钟内完成试讲。 ~18~考生回忆+网上搜集 《2、5 的倍数的特征》教案 一、教学目标 1.掌握2、5倍数的特征，会判断2、5的倍数；理解并掌握奇数和偶数的概念，会判断一个数是偶数还是奇 数。 2.通过总结观察、猜想、验证、得出结论的过程，体现观察探究、归纳总结的学习方法；提高观察、分析、 概括、推理能力。 3.在学习活动中，感受数学知识的奥妙，体验发现知识的乐趣；激发学习数学知识的兴趣。 二、教学重难点 重点：掌握2、5倍数的特征，理解并掌握奇数和偶数的概念。 难点：由猜想演绎到验证的过程中理解并掌握2、5倍数的特征。 三、教学过程 （一）导入新课 【游戏导入】教师介绍规则：从第一排开始s形报数。如老师说5，是5的倍数的同学起立！在同学们一起 做游戏中，学生发现有同学站立的很快，有些很慢，还有些同学站错了。 教师进行提问：怎么能既快又准的站起来呢？引导学生思考，它们可能有什么特征，由此导入本节课的内容。 （二）探究新知 活动15的倍数的特征探究 教师通过多媒体在PPT中呈现百数表，要求学生观察5的倍数并在自己的学具百数表中，用黑色笔圈出5 的倍数。教师提问：你发现了什么规律？ 学生通过自主观察，得出结论：5的倍数的特征是个位上是0或5。 教师提问：根据百数表得出的规律，是不是大于100的数也符合这个规律呢？教师在多媒体上呈现几个大于 100的数。要求学生根据得到的规律进行判断，学生自主测试，验证结论：不只是100以内的数有这个规律，将 规律扩展到任意数。 活动22的倍数的特征 教师提问：根据研究5的倍数特征的经验，请同学们猜一猜2的倍数可能会有什么特征呢？要求根据寻找5 的倍数的特征的过程，用蓝色笔在自己的学具上的百数表中圈出2的倍数。 学生通过找规律得出结论：从尾数的角度可以得出：2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8。 教师追问：是不是大于100的数也符合这个规律呢？并在多媒体上呈现几个大于100的数。要求学生根据得 到的规律进行判断。 学生自主测试后验证结论：不只是100以内的数有这个规律，将规律扩展到任意数。 活动3 奇数与偶数 教师在PPT上展示标记2的倍数的百数表，要求学生观察这些数。提问：你发现了什么？ 学生通过观察和自己的生活经验得出结论：从1到100，每隔一个数就是2的倍数，也就是我们说的双数就 是2的倍数，单数不是2的倍数。 教师顺势引出奇数和偶数的概念：整数按是不是2的倍数来分可分为奇数和偶数两大类，2的倍数都是偶数 也就是我们生活中说的双数，不是2的倍数就是奇数也就是我们生活中说的单数。 ~19~考生回忆+网上搜集 （三）巩固提高 要求学生在百数表中，找到既是2的倍数，又是5的倍数的数。思考既是2的倍数又是5的倍数的数有什么 规律？ （四）课堂小结 提问学生：学习了本节课，你有哪些收获？教师引导学生分享收获，总结观察、猜想、验证得出结论的过程。 （五）布置作业 1.基础题：做一做第一题，利用今天所学的2、5倍数的特征规律，找一找这些数中谁是2的倍数，谁是5 的倍数，谁既是2的倍数又是5的倍数？ 2.选做题：总结10的倍数的特征。 四、板书设计 2、5的倍数的特征 5：个位上是0或5 2：个位上是0、2、4、6、8（偶数） 偶数：2的倍数叫做偶数（双数） 奇数：不是2的倍数叫做奇数（单数） 既是2的倍数又是5的倍数：个位上是0 ~20~考生回忆+网上搜集 《2、5 的倍数的特征》答辩 1.在义务教育阶段，教师应该如何引导学生学习数学？ 【参考答案】 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索与 合作交流等都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证 等活动过程。 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要 发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，帮助学生理解和 掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。 2.本节课的目标和重难点是什么？ 【参考答案】 教学目标： （1）通过自主探索，掌握2、5倍数的特征，会判断2、5的倍数；理解并掌握奇数和偶数的概念，会判断 一个数是偶数还是奇数。 （2）通过总结观察、猜想、验证、得出结论的过程，体现观察探究、归纳总结的学习方法；提高观察、分 析、概括、推理能力。 （3）在学习活动中，感受数学知识的奥妙，体验发现知识的乐趣；激发学习数学知识的兴趣。 教学重点：掌握2、5倍数的特征，理解并掌握奇数和偶数的概念。 教学难点：由猜想演绎到验证的过程中理解并掌握2、5倍数的特征。 ~21~考生回忆+网上搜集 篇目六《平均数》 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日10:00:06 1.题目：平均数 2.内容： 3.基本要求： （1）理解平均数； （2）会计算平均数； （3）要有小组讨论； （4）在十分钟内完成试讲。 ~22~考生回忆+网上搜集 《平均数》教案 一、教学目标 1.理解平均数的含义；知道平均数的求法；灵活运用平均数的相关知识解决生活中的问题。 2.经历简单的数据收集、整理的过程，提高发现问题和提出问题的能力；在学习平均数的计算方法的过程中， 发展数据分析观念。 3.感受数学与生活有密切联系；感受学习数学的乐趣。 二、教学重难点 重点：理解平均数的含义。 难点：平均数的求法。 三、教学过程 （一）导入新课 教师通过多媒体呈现的PPT中展示收集矿泉水瓶小组的成绩。学生能够发现每个人收集的矿泉水瓶数不一 样。教师提出问题：那么这一小组平均每人收集了多少个呢？我们该如何计算呢？由此引出今天的课题《平均数》。 （二）探究新知 活动1 平均数的含义和求法 教师通过多媒体展示图片，要求学生观察图片，数一数。提问：你能得到哪些信息呢？ 学生通过统计得出结论：小红收集了14个瓶子、小兰收集了12个瓶子、小亮收集了11个、小明收集的最 多，有15个。 教师追问：我们怎样做，才能使得每个人收集到的瓶子数一样多呢？教师引导学生利用学具小木棒模拟瓶子， 学生观察这几个数字，小组讨论，发现可以通过移多补少法：发现小红给小兰1个瓶子，小明给小亮2个瓶子， 这样大家都有13个瓶子。 教师追问：如果每个人收集到的瓶子数比较多，数字差距比较大的时候，比如：45、68、85、90，大家来试 试这种方法还好用吗？如何用数学计算的方法来快速完成呢？要求学生自主探究，尝试列出算式。通过尝试。 学生得出结论：可以先把这些瓶子合并到一起，然后再平均分成4份，先合再分法：14121115413。 教师指出：其实这里的13就是这4个数的平均数，平均数是一组数据平均水平的代表。 教师提问：你们能说说在哪里见过平均数吗？要求学生头脑风暴，踊跃发言。体会我们的日常生活中，平均 数无处不在。 （三）巩固提高 教师通过多媒体以PPT来展示踢毽子比赛中，小明、小红、小丹、小梅、小华踢毽子数分别为155、160、 163、171、161。提问：你能算出他们五个踢毽子的平均数呢？要求学生在本子上计算，请两位学生汇报自己的 计算结果，然后集体订正。 （四）课堂小结 提问学生：学习了本节课，你有哪些收获？教师引导学生分享收获，进行总结梳理。 （五）布置作业 课下询问自己家人的年龄，并计算出家人的平均年龄是多少，下节课一起分享你的结论。 ~23~考生回忆+网上搜集 四、板书设计 ~24~考生回忆+网上搜集 《平均数》答辩 1.在义务教育数学的“统计与概率”中，还有哪些常见的统计量，他们有什么特点？ 【参考答案】 常见的统计量还有：方差、众数、中位数等 特点： （1）方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。它的特点是：用来衡量一批 数据的波动大下（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。在样本容量相同的情况下，方差 越大，说明数据波动越大，越不稳定。 （2）众数是一组数据中，出现次数最多的数据。它的特点是：着眼于对各数据出现频数的考查，只与部分 数据有关，代表数据的一般水平；当一组数据中有大量数据多次重复出现时，众数能较好的反映数据的集中趋势。 （3）中位数是将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。 它的特点是：仅与数据的排列位置有关，不受某些数据变动的影响；当一组数据中的个别数据变动较大时，中位 数能较好的反映数据的集中趋势。 2.说说你导入的设计意图是什么？ 【参考答案】 导入是指教师在一项新的教学内容或教学活动开始前，引导学生做好心理准备和认知准备，并让学生明确学 习目标、学习内容以及学习方式的一种教学行为。 设计意图是在导入环节，运用创设情境，提出问题的形式导入，而且从学生的生活经验入手，学生切身体会 数学来源于生活，感受数学与生活的密切联系，引发学生的探究欲望，为主动探究新知识聚集动力。 ~25~考生回忆+网上搜集 篇目七《小数乘小数》 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日13:05:06 1.题目：小数乘小数 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲需在10分钟之内； （2）引导学生掌握小数乘小数的计算法则； （3）重点突出，授课思路要具有条理性、并适时的与学生进行互动； （4）按课题需要进行板书，板书要清晰，并与讲解相结合。 ~26~考生回忆+网上搜集 《小数乘小数》教案 一、教学目标 1.初步理解和掌握小数乘小数的计算法则。 2.在探究、归纳、感悟小数乘小数的计算过程中，提高计算能力，迁移、类推能力，初步了解数学中的转化 思想。 3.在探讨数学与现实生活的密切联系中，正确进行小数乘小数的计算，激发学习数学的兴趣，陶冶数学情操， 培养科学、严谨的学习态度。 二、教学重难点 重点：理解和掌握小数乘小数的计算法则。 难点：确定小数乘小数列式计算积的小数点的位置。 三、教学过程 （一）导入新课 多媒体展示学校宣传栏图片，提问学生：“一共需要多少千克油漆？”根据所学知识回答问题，学生能够说 出这道题如何列式。然后进一步提出问题，同学们你们会计算这种乘法算式吗？引出课题：小数乘小数。 （二）探究新知 环节1：巧妙转化，思考对策 教师活动：根据课堂初始多媒体展示的图片，引导学生自主探究。 问题1：有什么好的办法，来计算宣传栏的面积，即2.4×0.8=？ 问题2：得到宣传栏的面积后，继续计算求得问题的答案。 学生活动：学生自主思考问题1和2，预设会转化为整数乘法来计算，教师逐个提问。 师生总结：2.4和0.8均扩大10倍后，乘得的积缩小到原来的百分之一，得到1.92；1.92和0.9分别扩大100 倍和10倍，乘得的积缩小到千分之一，得到1.728。即计算小数乘小数，转化为整数乘法，因数扩大几倍，积就 缩小到相应的几分之一。 环节2：对比观察，合作探究 教师活动：引导学生借助呈现的计算过程，思考讨论因数和积的小数点的变化。 问题3：积的小数位数和两个因数的小数位数有什么关系？ 学生活动：问题3学生四人一组进行合作探究，教师提问，请小组代表回答。 （教师针对个人表现及小组表现进行评价） 师生总结：小数乘小数，先看成整数乘法计算，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点 上小数点。即一看、二算、三数、四点。 （三）巩固提高 任务：课后做一做，列竖式计算6.7×0.3= 。 教师给予学生鼓励和肯定。 （四）课堂小结 ~27~考生回忆+网上搜集 问题：本节课我们学习了什么？有什么收获？ 回答：小数乘小数，先看成整数乘法计算，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小 数点。即一看、二算、三数、四点。小数的计算要认真严谨。 （五）布置作业 1.在练习本上独立完成做一做的剩余3个计算题。 2.在生活中看看那些地方经常用到了小数乘小数，下节课分享给大家。 四、板书设计 ~28~考生回忆+网上搜集 《小数乘小数》答辩 1.请具体说一下如何达到你设定的教学目标？ 【参考答案】 数学知识的学习，重点是思想方法的领会。这节课我将重点引导学生用转化的方法学习小数乘法。由于小数 乘法与整数乘法之间有着十分密切的联系，因此，教学时应紧紧抓住这种联系,帮助学生将未知转化为已知。 其次，要注重引导学生对小数乘法的算理做出合理的解释，提高推理能力。在本节课的学习过程中，学生感 到困难的不是对小数乘法计算方法的掌握，而是对算理的理解和表达。因此，教学时我会给学生提供充分思考、 交流的机会，帮助学生对计算的过程做出合理的解释。如教学“2.4×0.8”时，应引导学生先说出将因数2.4和0.8 转化为整数24和8的理由，再说出将积缩小到它的1/100的理由。这个算理清楚了，在实际操作时，就能正确 地移动小数点的位置，达到正确计算的目的。 2.这节课你认为你的出彩点在哪里？ 【参考答案】 首先，这节课我合理地创设了教学情境，以给校园宣传栏刷油漆，需要计算长方形宣传栏的面积，引入小数 乘小数，贴近学生的生活，注重新旧知识的衔接，学生从已有的知识经验出发(抓住小数乘整数的算法)，探究发 现了小数乘小数的计算方法。其次，在例题的教学中，我注重学生在充分感受和理解算理的基础上，引导学生通 过对计算过程的观察、比较，提炼出了计算法则。最后，这节课我整体上做到了教师引导合理，学生自主探究和 合作探究相结合，教学重难点突出，总结补充到位，学生能够感受到学习数学的乐趣和价值。当然，需要改进之 处也有很多，如果有幸进入教师门槛，我将继续努力学习，补充教学技能和专业知识。 ~29~考生回忆+网上搜集 篇目八《平移》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日14:45:15 1.题目：二年级下册《平移》 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）教学语言要规范，逻辑清楚，重难点突出，注意师生互动 （3）联系生活实际让学生认识平移； （4）配合教学内容适当板书。 ~30~考生回忆+网上搜集 《平移》教案 一、教学目标 1.使学生初步认识平移现象，并能掌握。 2.通过生活实例，理解平移概念，培养观察与逻辑思维能力，发展几何直观。 3.激发学习兴趣，培养探索生活中数学现象的意识。 二、教学重难点 重点：理解平移的现象，掌握平移的特征。 难点：准确判断平移现象，并描述平移过程。 三、教学方法 启发法、小组讨论法、情境教学法等。 四、教学过程 （一）导入新课 通过视频展示生活中的平移现象，如电梯上下移动、火车行驶等。顺势提出问题，你们在生活中还见 过哪些类似的现象？对学生的回答予以鼓励性评价。今天，我们就一起来认识这种常见的现象——平移。 进而引出课题《平移》，并书写课题。 （二）探索新知 环节一：观察现象，认识平移 再次通过课件呈现生活中的平移现象，引导学生观察这些现象，尝试描述平移现象的共同特点。教师 提问学生，对学生的回答予以鼓励性评价，进而明确当一个物体在同一平面内，沿某一方向移动一定的距 离，但其形状和大小不发生变化时，这种运动就叫做平移。继续提问学生，生活中还有哪些平移现象。引 导学生回答并讨论，如：火车行驶、拉抽屉、电梯上下移动等。 环节二：动手操作，理解平移 （1）展示图像中的小房子图形，让学生以小组为单位，判断并讨论哪些小房子可以通过平移相互重合， 教师出示相关的教具，并请小组学生到讲台上操作。例如，房子①可以向下平移与房子⑥重合，房子②可 以向下平移与房子⑤重合。教师进而强调两个图形只要形状、方向、大小一样，就能通过平移相互重合。 （2）请学生在练习本上画出简单的图形（如小星星），并进行平移操作。教师进而利用课件展示图形 的平移过程，帮助学生直观理解。 环节三：平移的判断 教师出示一系列图形变化的图像，请学生尝试判断它们哪些属于平移，哪些不属于平移，进一步明确 平移的特点。 （三）巩固练习 教师引导学生对手上的积木进行平移，并在草稿纸上把前后的图形画出来，通过实际操作，加深学生 对平移现象的理解和应用能力。学生分组进行活动，每组轮流上台操作，展示他们的平移过程。教师对学 生的操作进行点评，强调平移过程中形状和大小的不变性。 ~31~考生回忆+网上搜集 （四）归纳总结 提问：同学们今天有什么收获？你是怎么学会这些知识的？心情怎样？ 要求：学生发言，教师归纳补充。明确今天我们学习了平移现象，平移是物体在同一平面内沿某一方 向移动，但形状和大小不发生变化。 （五）布置作业 作业：请学生回家后观察家中的平移现象，并记录下来，第二天课堂分享。 五、板书设计 ~32~考生回忆+网上搜集 《平移》答辩 1.在《平移》这节课中，你如何通过教学活动确保学生能够准确理解和区分平移现象？ 【参考答案】 在《平移》这节课中，我设计了多层次的教学活动来确保学生能够准确理解和区分平移现象。首先， 通过课件展示生活中的平移实例，如电梯、火车等，引导学生观察并思考这些现象的共同特点，从而引出 平移的定义。接着，我组织学生进行图形平移的实操活动，让他们在练习本上画出简单图形并进行平移操 作，这有助于他们直观感受平移的过程和特征。此外，我还设计了“平移拼图”的连续实际应用活动，让 学生通过动手操作，进一步加深对平移现象的理解和应用能力。在活动过程中，我注重引导学生观察平移 过程中形状和大小的不变性，这是区分平移与其他运动现象的关键。通过这些教学活动，学生能够逐步建 立起对平移现象的准确认知，并能够在实践中灵活运用。 2.在你的教案中，如何体现“联系生活实际让学生认识平移”这一教学要求？ 【参考答案】 在我的教案中，我充分体现了“联系生活实际让学生认识平移”这一教学要求。首先，在导入新课环 节，我通过展示生活中的平移现象，如电梯上下移动、火车行驶等，引导学生从熟悉的情境中抽象出平移 的概念。这样，学生就能在生活经验和数学知识之间建立起联系，更容易理解和接受平移的概念。其次， 在新授课环节，我鼓励学生回忆和分享他们在生活中见过的平移现象，这进一步强化了平移与生活的联系。 最后，在连续实际应用活动中，我设计了“平移拼图”游戏，这个游戏不仅具有趣味性，而且紧密联系了 生活实际，让学生在游戏中体验平移的过程，从而加深对平移现象的理解。通过这些设计，我成功地将平 移知识与学生的生活实际相结合，使学生能够在生活中发现数学、学习数学、应用数学。 ~33~考生回忆+网上搜集 篇目九《10 的加、减法》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：小学数学 抽题时间：2024年12月7日10:00:05 1.题目：一年级上《10的加、减法》 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）教学语言要规范，逻辑清楚，重难点突出，注意师生互动 （3）配合教学内容适当板书。 ~34~考生回忆+网上搜集 《10 的加、减法》教案 一、教学目标 1、熟练掌握10的组成和分解的基础上，学会得数是10的加减法和10减几的减法，并能正确口算。 2、培养学生仔细观察看图说图意和口头表达的能力。让学生学会独立思考和合作学习，主动参与学习 过程，从而掌握10的加减法。 3、在活动中培养学生团结友爱的精神。 二、教学重难点 重点：让学生通过观察，自主探索10的加减法的所有算式。 难点：理解相应的加减法之间的联系。 三、教学方法 启发法、情境教学法等。 四、教学过程 （一）谈话导入： 玩找朋友游戏，复习10的组成。 师出1个手指，说道：“1的朋友在哪里呀在哪里？” 生出9个手指，答道：“1的朋友在这里呀在这里。1和9组成10。” 师：“1和9组成10，你就会想到谁？” 生：“想到9和1也可以组成10。” 那请同学们开火车，完成下面这几个题 小朋友们刚才对10的组成掌握得真好！ 1、教师出示圆圈图：9个白○，1个蓝○。 师边打手势边问：“9个白○，1个蓝○，合起来一共有几个圆圈？”○（10个圆圈） 2、你怎么知道是10个圆圈？对！今天我们就来学习10的加减法。 （教师板题：10的加减法） （二）新授 1、看着这幅圆圈图，你还能列那些算式呢？ ~35~考生回忆+网上搜集 学生回答， 教师板书：1+9=10 9+1=10 10-1=9 10-9=1 学生齐读算式。 2、出示圆圈图：8个白○ 2个蓝○。 问：你们会用四道算式表示吗? 学生写出相应的算式， 教师板书：8+2=10 2+8=10 l0-2=8 10-8=2 学生齐读算式。 3、问：你们能看图写出四道算式吗?试试看! 打开书61页，将剩余两幅点子图的算式补充完整。 ①写好之后可以与同桌对照看看别人写的算式是否和自己的一样，并且说说自己的理由。(留给学生足 够的时间，先独立完成，然后与同桌交流) ②请两位学生把算式写在黑板上，集体订正。 7+3=10 3+7=l0 l0-7=3 10-3=7 6+4=10 4+6=10 10-6=4 10-4=6 4、想一想。 出示：5+5=口10一5=口 请全班同学用手指来表示出得数。 将书上的算式补充完整。 4、齐读所有带10的加减法算式。 （三）巩固练习 1、游戏“找朋友”，用数字卡片组成l0。 让学生随便出一张10以内的数字卡片，自由的和其他同学组合，使两张数字卡片的和为10。看谁最快 找到自己的朋友。 2、教科书第61页“做一做”的第2题。 3、练习九第5题。孔雀开屏，学生独立完成，集体订正。 4、送信题 学生独立完成，集体订正。教师巡视，个别辅导。 （四）总结： 今天学习了什么内容？你学到了什么知识？ （五）布置作业： “生活中的数学家”：寻找生活中与10的加减法相关的事例，如家里有10本书，送给朋友2本，现 在还有几本？并将发现的故事记录下来。 ~36~考生回忆+网上搜集 五、板书设计 《10的加、减法》 1+9=10 9+1=10 10-1=9 10-9=1 8+2=10 2+8=10 l0-2=8 10-8=2 ~37~考生回忆+网上搜集 《10 的加、减法》答辩 1.在教授《10的加、减法》时，如何引导学生理解加减法的含义？ 【参考答案】 首先，通过直观教具演示，如使用10个小棒或圆片，展示加法是将两部分合起来，例如3个小棒和7 个小棒放在一起得到10个小棒，让学生直观感受“合起来”的过程，理解加法就是求总数。对于减法，从 10个小棒中拿走一部分，如拿走4个，剩下6个，让学生体会从总数中去掉一部分求剩余的概念。其次， 创设生活情境，比如有10个苹果，吃了3个，还剩几个，引导学生将实际生活中的操作与数学减法运算联 系起来，逐步深化对加减法含义的理解。 2.如何利用《10的加、减法》教学培养学生的数学思维？ 【参考答案】 在教学过程中，引导学生观察10的不同数字组合，如1和9、2和8等，让学生发现规律并进行归纳 总结，培养他们的归纳思维。通过创设开放性问题，如“你能想出多少种10的加法算式”，鼓励学生多角 度思考，培养发散性思维。利用加减法的互逆关系，如已知3+7=10，引导学生思考10-7等于多少，培养逆 向思维。在解决实际问题时，如安排座位问题（教室有10排座位，已坐了6排，还有几排空着），让学生 分析问题、选择合适的运算方法并得出结论，培养逻辑思维能力。 ~38~考生回忆+网上搜集 初中数学 篇目一《全等三角形》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日08:05:06 1.题目：全等三角形 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲时间约10分钟； （2）条理清晰，重点突出； （3）结合教学内容适当板书； （4）教学过程中要有互动。 ~39~考生回忆+网上搜集 《全等三角形》教案 一、教学目标 1.理解并掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应顶点的相关知识。 2.通过实际动手操作，经历探究全等图形的形状、大小、位置关系和变换过程，提高观察能力和分析能 力。 3.通过感受图形平移、翻折、旋转等变换过程，培养学习数学的乐趣。 二、教学重难点 重点：能够准确地判断出两个全等三角形中的对应边、对应角。 难点：探究两个三角形全等的过程以及找出对应边、对应角。 三、教学过程 （一）游戏情境，引入新课 上课伊始，教师创设“开心消消乐”游戏情境，通过大屏幕展示，引导学生找到相同的图形并把它消 除。来激发学生的学习兴趣，教师顺势提问学生这些被消掉的图形都有什么样的特点，从而引出课题《全 等三角形的性质》。 （二）尝试探究，理解掌握 1.引导探究、初识性质 （1）观察PPT中的图形，它们是不是全等图形？为什么？小组讨论，发表意见。 （2）活动内容：观察图片引导学生认真观察几何图形找出完全一样的图形。能够重合的图形称为全等 图形，得出全等图形的特征：全等图形的形状和大小都相同。从正反面使学生对全等的概念有了一个更清 楚地理解——全等图形的形状和大小都相同。 2.探三角形、揭示全等 （1）提问的形式，由全等图形类比得出全等三角形概念：能够完全重合的两个图形是全等图形。能够 完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（让学生剪一剪） （2）在活动中引导学生结合直接经验，说出两个全等三角形中具有的特征。在图中，△ABC与△DEF 能够完全重合，它们是全等的。其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应 边；A与D重合，它们是对应角。 （3）符号语言揭示：△ABC与△DEF 全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”。记两个三角形全等 时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （4）总结概括性质：三角形在重合的过程中，你发现了什么？引导学生观察思考后得到：全等三角形 的对应边相等，对应角相等。 （三）解释应用，巩固新知 先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角。 ~40~考生回忆+网上搜集 5分钟时间，大家在下面做，我请一位同学上台来完成。其他同学在草稿本上完成。 （四）总结体会，反思提升 通过本节课的学习，你有哪些收获？鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从知识、 方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。 （五）课后作业，拓展延伸 1.基础作业：课后习题1-2； 2.开放性思考题：如何去判断两个三角形是否是全等三角形呢？有哪些方法呢？ 四、板书设计 ~41~考生回忆+网上搜集 《全等三角形》答辩 1.初中阶段图形与几何有哪些内容？请简单举例。 【参考答案】 初中阶段图形与几何的教学内容主要包括：点、线、面、角、相交线、平行线、三角形、四边形与多 边形、圆、视图与投影、图形与变换等。其中，点、线、面、角、相交线、平行线是初中数学图形与几何 领域的基础知识，图形与变换是新课标的重要内容，它包括图形的轴对称、平移、旋转等内容；图形与坐 标中的平面直角坐标系、图形变换后点的坐标变化以及物理位置的确定等内容，属于基础知识、基本技能 范畴；图形与证明中的命题与逆命题，反例、反证法与综合法，平行线的性质与判定，三角形的内角和定 理及其推论，全等三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定，角平分线和线段垂直平分线的性质定理 及逆定理等等。 2.怎样培养学生良好的空间观念？ 【参考答案】 空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体 与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本 图形，并能分析其中的基本元素及关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物 体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。由此可以看出，培养学生的空间观 念不是一个简单的问题，它涉及到上述的一些内容，我们在对教材相关内容进行教学时，应该了解这些内 容对培养学生空间观念的重要性。具体做法主要还是借助实物，引导学生仔细观察和动手操作，并进行想 象，多进行这样的活动，有利于帮助学生建立空间观念。 ~42~考生回忆+网上搜集 篇目二《加减消元法解二元一次方程组》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日08:05:06 1.题目：加减消元法解二元一次方程组 2.内容： 3.基本要求： （1）请在10分钟内完成试讲内容； （2）引导学生掌握消元法解方程组的思想； （3）要求配合教学内容有适当的板书设计； （4）进行师生互动。 ~43~考生回忆+网上搜集 《加减消元法解二元一次方程组》教案 一、教学目标 1.掌握用加减消元法解同一未知数系数不同的二元一次方程组。 2.理解加减消元法的化归思想方法，培养应用意识和运算能力。 3.体验数学研究的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心。 二、教学重难点 重点：掌握用加减消元法解同一未知数系数不同的二元一次方程组。 难点：理解相同字母的系数绝对值不相等时的解法。 三、教学过程 （一）复习导入 x y10 上课之初，引导学生回顾上节课内容，借助方程组 探究了用加减消元法解同一未知数系数 2x y16 相同的二元一次方程组。提问：针对同一未知数系数不同的二元一次方程组该如何求解呢？由此引出今天 的课题《加减消元法解二元一次方程组》。 （二）新课讲授 环节一：回顾加减消元法 提问：什么是加减消元法？ 要求：学生独立思考并回答。 明确：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相 加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 环节二：深入理解加减消元思想 3x4y16 出示例题： ，学生观察并思考这个方程组和上节课学习的方程组有哪些不同点，并展开 5x6y33 小组讨论如何求解这个方程组，教师巡视指导。 预设1：这个方程组的同一未知数的系数不相同，可以将其中一个未知数的系数改为相同或相反。 预设2：解：①3，得9x12y48 ③ ②2，得10x12y66 ④ ③④，得19x114 x6 1 将x6代入①，得y 。 2 ~44~考生回忆+网上搜集 x6  所以这个方程组的解是 1 。 y  2 环节三：总结加减消元法解方程组的方法 教师引导学生思考总结加减消元法的计算方法及需要注意的问题。 明确：当方程组中有同一未知数，其系数相同或相反时，两式直接进行相加减消元；当方程组中两未 知数的系数均不相等或相反时，先将其中一个未知数转化成系数相同或相反的形式再进行相加减，这里大 家需要注意转化的方法。 （三）巩固练习 5x2y25 教师黑板呈现问题： ，找学生上黑板板演，其他学生自主完成。师生共同评价。 3x4y15 （四）课堂小结 小结：教师向学生提出这样一个问题“通过今天的学习，你们学到了什么？”引导学生自己总结所学， 教师给予补充点评。 （五）布置作业 作业：1.课后习题第1-2题；2.针对例3中的问题，尝试用先消去x的方法来解决。。 四、板书设计 ~45~考生回忆+网上搜集 《加减消元法解二元一次方程组》答辩 1.一次函数与二元一次方程的关系是什么？ 【参考答案】一次函数和二元一次方程之间有着密切的关系。这种关系主要体现在它们所描述的几何 图形和代数表达上。 首先，从几何图形的角度来看，二元一次方程可以表示一条直线，而一次函数也可以表示一条直线。 这意味着，如果我们有一个二元一次方程，如ymxb，那么它同时也可以被看作是一个一次函数，其中 m是斜率，b是轴上的截距。 其次，从代数表达的角度来看，二元一次方程ymxb和一次函数 f xmxb在形式上是一样的。 它们都表示了一个变量y或 f x与另一个变量x之间的线性关系。 综上所述，一次函数和二元一次方程在几何图形和代数表达上都是紧密相关的。 2.在二元一次方程组求解中怎样为学生渗透消元的思想？ 【参考答案】在二元一次方程组求解中为学生渗透消元的思想可以从这几个步骤入手：首先明确教学 目标。学生明确我们的目标是通过消元法解决二元一次方程组，引导学生关注如何消去其中一个变量，以 便求解另一个变量。其次呈现实例。通过一个具体的例子，演示如何使用消元法解决方程组。这样可以帮 助学生更好地理解概念，并将消元法与实际问题联系起来。再次是消元思想的引入。介绍消元的思想，并 解释如何通过将两个方程相加或相减来消去一个变量，强调通过消元可以简化方程组的求解过程。同时详 细演示消元法的步骤，并着重解释每一步的原因和意义。例如，将两个方程相加或相减可以使其中一个变 量的系数相消。最后提供一系列练习题，让学生亲身尝试使用消元法解决方程组，初步练习可以包含一些 简单的方程组，以帮助学生熟悉消元的过程，然后逐渐增加难度，同时带领学生总结概念，在讲解结束时， 总结消元法的基本原理和步骤，强调其在解决二元一次方程组中的重要性和效果。 ~46~考生回忆+网上搜集 篇目三《平面直角坐标系》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日08:45:06 1.题目：平面直角坐标系 2.内容： 3.基本要求： （1）学生能够在平面直角坐标系中表示点； （2）10分钟内完成试讲； （3）条理清晰，重点突出； （4）结合内容，适当板书 ~47~考生回忆+网上搜集 《平面直角坐标系》教案 一、教学目标 1.理解平面直角坐标系的概念，掌握平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系。 2.通过从点到面的探究过程，提高学生的几何直观意识。 3.感受代数与几何问题的转化与联系，体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用，培养数学学习兴 趣，体会数形结合思想。 二、教学重难点 重点：理解平面直角坐标系的相关概念。 难点：能够熟练写的出点坐标。 三、教学过程 （一）新课导入 上课之初，教师采用复习引入的方式来引入新课：回顾数轴的三要素。教师在此讲解数轴上的点与位 置的一一对应关系，结合上节课所学，提问：平面上一个点应该如何表示呢？由此引出今天的课题《平面 直角坐标系》。 （二）新课讲授 环节一：认识平面直角坐标系 教师展示教材思考中的图7.1-3，并提问：你能说出图7.1-3上面的这几个点的位置吗？ 要求：学生思考，并举手回答。 预设：B在D的西南方向。B在C的西南方向。C在A的西南方向。 追问：类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢？ 教师呈现下图，并介绍各部分名称。 明确：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成的就是平面直角坐标系，水平的数轴称为x轴 或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为 平面直角坐标系的原点。 ~48~考生回忆+网上搜集 环节二：用平面直角坐标系表示有序数对 学生初步认识平面直角坐标系后，老师介绍到平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。并提问： 你能尝试用有序数对表示A这个点的坐标吗？ 要求：学生在已有的知识基础上，写出A点坐标。 预设：过点A作x轴的垂线，垂足为M ，M 在x轴上对应的坐标是3，所以，这个3就是点A的横坐 标。相应的，过点A作y轴的垂线，垂足为N，N在y轴上对应的数是4，所以4即为点A的纵坐标。所 以，有序数对3，4即为点A的坐标，其中3是横坐标，4是纵坐标。 教师强调：在表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开。 学生类比写出点B，C，D的坐标：B3，4，C0，2，D0，3。 通过刚刚的教学活动学生已经能够对点和坐标的一一对应关系有一定理解。教师通过问答带领学生进 行验证，归纳总结：点和坐标是一一对应的关系。 （三）巩固练习 教师引导学生采用上面总结出来的方法完成练习题。 （1）给出点的坐标，在平面直角坐标系上进行标注； （2）给出平面直角坐标系上的点，写出对应坐标。 学生自行完成，教师查漏补缺。 （四）课堂小结 小结：教师向学生提出这样一个问题“通过今天的学习，你们学到了什么？”，引导学生自己总结所 学，教师给予补充点评。 （五）布置作业 第一：完成课后练习的前两题； 第二：下课后阅读一下数学家笛卡尔发现坐标系的故事。 四、板书设计 ~49~考生回忆+网上搜集 《平面直角坐标系》答辩 1.平面直角坐标系怎样划分平面上的点，画平面直角坐标系的时候注意什么？ 【参考答案】因为平面直角坐标系把坐标平面分成四部分，分别为第一象限、第二象限、第三象限、 第四象限。但是坐标轴上的点不属于任何象限。所以，坐标平面上的点可以被看作成五大类，各象限内的 点与坐标轴上的点；学生在学习平面直角坐标系时，对其正方向、原点、单位长度等问题上有时候会不够 清晰。因此要注意引导学生明晰平面直角坐标系两轴之间是直角，交点为原点，坐标系是向右为x轴正方向， 向上为y轴正方向。 2.在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？ 【参考答案】在学校教育教学中，培养学生的观察力可以从以下几个方面入手：第一、引导学生明确 观察的目的与任务，是良好观察的重要条件。第二、充分的准备、周密的计划、提出观察的具体方法，是 引导学生完成观察的重要条件。第三、在实际观察中应加强对学生的个别指导，有针对性地培养学生良好 的观察习惯。在观察活动中，每个学生的知识经验、个性特点、心理品质不同，观察的效果也不一样，因 此，教师要有针对性地对学生进行个别指导。比如：要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指 导学生选择适当的观察方法，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等；第四、要科学地运用直观 教具和现代多媒体教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入的观察；第五、引导学生学会记录整 理观察结果，在分析研究的基础上，写出观察报告、日记等。最后，引导学生开展讨论、交流并汇报观察 成果，不断提高学生的观察能力、培养良好的观察品质。此外，教师还应努力培养学生浓厚的观察兴趣与 优良的性格特征，如学习的坚韧性、独立性等。 ~50~考生回忆+网上搜集 篇目四《切线长定理》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日08:45:06 1.题目：切线长定理 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲时间约10分钟； （2）通过小组合作，引导学生证明切线长定理； （3）配合教学内容适当板书。 ~51~考生回忆+网上搜集 《切线长定理》教案 一、教学目标 1.了解切线长的定义，理解定理的推导过程并掌握切线长定理。 2.经历画图、猜想、证明等一系列活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。 3.了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意 志，建立自信心；运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。 二、教学重难点 重点：掌握切线长定理。 难点：切线长定理的推导过程及灵活运用。 三、教学过程 （一）导入新课 出示悠悠球（教师演示），提问：大家在玩悠悠球时，是否能想到它的转动过程中还包含着数学知识 呢？（多媒体展示悠悠球在转动的瞬间的剖面），从中你能抽象出什么样的数学图形？（球的整体和中心 轴可分别抽象成圆形，被拉直的线可抽象成线段。） 这些图形位置关系怎样？（线段与圆相切）。从而导入新课《切线长定理》。 （二）学习新知 环节一：切线长定义 教师过圆外一点P作O的两条切线PA、PB；引导学生观察图形，抽象概括切线长的定义：经过圆 外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 定义中的线段有什么特征呢？ 环节二：探究切线长定理 1.引导学生在半透明的纸上画出O的两条切线PA、PB，沿PO将图形对折，观察PA与PB，APO 与BPO之间有什么关系？PA和PB有什么关系？ 预设：PAPB，APOBPO。 提问：你们能证明这一猜想吗？引导学生前后桌4人为一个小组讨论，利用切线的性质和三角形全等 来证明，并安排小组代表分享。 证明：连接OA和OB。∵PA、PB是O的两条切线，∴OAPA，OBBP，又∵OAOB，OPOP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PAPB，APOBPO。 ~52~考生回忆+网上搜集 问题：那么大家能根据上述结论用语言描绘切线长定理的具体内容吗？ 预设：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。 （三）巩固拓展 出示问题：过圆外一点P P作O的两条切线PA、PB，若PA3，求PB。找同学板演。 （四）归纳总结 通过今天的学习，你有什么收获？师生共同总结。 （五）分层作业 1.完成课后练习第1题； 2.查阅资料，看看生活中哪些地方用到了切线长定理。 四、板书设计 切线长定理 1.定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2.定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。 3.证明：连接OA和OB。∵PA、PB是O的两条切线， ∴OAPA，OBBP， 又∵OAOB，OPOP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ， ∴PAPB，APOBPO。 ~53~考生回忆+网上搜集 《切线长定理》答辩 1.圆幂定理分别是什么？请你简单介绍一下。 【参考答案】 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它 们推论的统一与归纳。根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理： 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线长定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A，B，C，D，则有PAPBPCPD。当 PAPB，即直线AB重合，通过PA切线得到切线定理PA2 PCPD 。割线长定理：指的是从圆外一点引 圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。割线定理为圆幂定理之一。 2.如何判断直线与圆相切？ 【参考答案】 判定直线与圆相切的方法：①定义法：直线和圆有且只有一个公共点，就说直线与圆相切；②d，r判 断法：设圆心到直线的距离是d，圆的半径是r ，则当d r时，直线与圆相切；③切线的判定定理：过半 径的外端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。 ~54~考生回忆+网上搜集 篇目五《平方差公式》 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日09:20:06 1.题目：平方差公式 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲需在10分钟之内； （2）讲解要目的明确、条理清楚、重点突出； （3）讲清平方差公式的特征； （4）能够体会数形结合的思想。 ~55~考生回忆+网上搜集 《平方差公式》教案 一、教学目标 1.掌握平方差公式，会运用平方差公式解决实际问题。 2.在探究平方差公式的过程中，提高学生解决问题的能力。 3.培养运算能力、推理能力的核心素养。 二、教学重难点 重点：理解并掌握平方差公式。 难点：平方差公式的探究过程及灵活利用平方差公式解决实际问题。 三、教学过程 （一）导入新课 教师可以采用创设情景的方式来引入新课：今天菜市场阿姨碰到一件神奇事情，小明同学去买鱼，一斤鱼 10.5元，小明买了9.5斤，当卖鱼的阿姨拿出计算器计算时，小明已经快速地算了出来，你们知道小明用了什么 方法吗？由此引出今天的课题《平方差公式》。 （二）学习新知 环节一：寻找规律 出示几道有趣的计算题，引导学生抢答：（1）x1x1x21；（2）m2m2m24；（3） 2x12x14x21，对于学生的表现及时给予评价，并引导学生观察这几个式子，小组讨论寻找规律，找 小组代表汇报成果。 预设：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 此时教师引导学生用字母来表示这个规律，ababa2b2。 环节二：验证规律 在大屏幕上展示一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，引导学生观察，看看能发现什么？ 预设：长方形的长为ab，宽为ab，长方形的面积为a2 b2等于大正方形的面积减去小正方形的面积， ~56~考生回忆+网上搜集 所以可以得到ababa2b2。 环节三：知识运用 （1）3x23x2 （2）x2yx2y 引导学生运用平方差公式进行计算，并找同学回答，学生能够发现将3x看成a，2看成字母b，所以有 3x23x29x24，预设问题2：x2yx2yx24y2。 此时教师向学生提出：任意两项的乘积都可以用平方差公式来计算吗？ 明确：只有满足两个数的和与这两个数的差的积的时候才可以用，其它时候要用多项式乘法进行计算。 （三）巩固运用 引导学生回顾导入中的问题，并向学生提问：你们知道小明是怎么计算的吗？经过一节课的学习，学生能够 想到将两个数字进行拆分，然后再运用平方差公式计算，即10.59.5100.5100.51000.2599.75 。 （四）总结体会 教师向学生提出这样一个问题“通过今天的学习，你们有哪些收获呢？”，引导学生自己总结所学，教师予 以补充。 （五）课后作业 在作业环节，教师可以布置两种类型的作业：1.课后习题第1、2题；2.同桌之间互相出一道有关平方差公式 的问题。 四、板书设计 ~57~考生回忆+网上搜集 《平方差公式》答辩 1.本节课的教学目标是什么？ 【参考答案】 ①掌握平方差公式，会运用平方差公式解决实际问题。 ②在探究平方差公式的过程中，提高学生解决问题的能力。 ③培养运算能力、推理能力的核心素养。 2.如何培养初中生学习数学的兴趣？ 【参考答案】 兴趣是学习的最好的老师，特别是数学，因此想办法提高学生的学习兴趣，变学生“要我学”为“我要学” 才能提高学习效率。 一要注意师生之间的情感交融，如何激发学生对学习数学的兴趣，调动他们学习的积极性，老师要注意情感 “投资”。建立良好的师生关系是必不可少的。教师要注意要有良好的教态，和颜悦色，学生就会感到这位老师 可亲可敬，老师要用幽默风趣的语言和夸张滑稽的动作，让学生要轻松愉快的氛围中学习，进而对这门学科就会 产生兴趣，从而调动学生参与到学习中来。 二要激情入景，从开始就让学生产生兴趣。巧设引入，良好的开始是成功的一半，生动有趣的开头，不仅能 激发学生的求知欲，而且能为上好课作好铺垫。创造最佳的教学情境，可以通过讲故事，游戏、课件等手段来设 置情景，激发学生的好奇心，引发兴趣，使学生能保持较长的最佳学习心理状态，从而提高学习效果。 三是引导学生挖掘教材中与生活实际有联系的因素。生活离不开数学，数学来源于生活，数学的教学一定不 能脱离生活。一些生活中的数学问题，只要我们老师有意识地引导学生解决这些问题，就自然激发了学生学习数 学的兴趣。 四是把学生学习的自主权还给学生，提高学习兴趣。课堂教学体现学生的主体性，教会学生会自主学习，提 供适宜的机会使学生全身心投入到自主探索，自主创造的实践中，从而对学习产生深厚的兴趣。我们应做到：优 化课堂教学原则，体现学生主体地位；狠抓课堂教学三大环节，强化学生的自主意识；优化教学方法，提高学生 的自主能力。 ~58~考生回忆+网上搜集 篇目六《二次函数与一元二次方程》 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日10:00:06 1.题目：二次函数与一元二次方程 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲时间约10分钟； （2）学生能够运用数形结合的思想理解二次函数与一元二次方程的关系； （3）配合教学内容适当板书。 ~59~考生回忆+网上搜集 《二次函数与一元二次方程》教案 一、教学目标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 2.通过观察二次函数的图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根情况，发展解决问题的能力。 3.体会方程与函数之间的互相转化，能够用函数的观点看方程。 二、教学重难点 重点：一元二次方程与二次函数之间的联系。 难点：二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学过程 （一）导入新课 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不 考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h20t5t2。 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）小球从飞出到落地需要用多少时间？ 学生自主探索。从而导入新课《二次函数与一元二次方程》。 （二）探索新知 环节一：小组互动，探明思路 问题1：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （1）y x2 x2；（2）y x2 6x9；（3）yx2 x1 问题2：当x取上述公共点的横坐标时，相应的函数值分别是多少？ 问题3：由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样 的联系？ 请大家同桌之间相互讨论，并根据以上信息填空： ①二次函数y x2 x2的图象与x轴有______个公共点，则一元二次方程x2 x20的根的判别式 ______0，一元二次方程x2 x20有______个实根； ②二次函数yx2 6x9的图象与x轴有______个公共点，则一元二次方程x2 6x90的根的判别 式______0，一元二次方程 x2 6x90有______个实根； ~60~考生回忆+网上搜集 ③二次函数yx2 x1的图象与x轴______公共点，则一元二次方程x2 x10的根的判别式 ______0，一元二次方程x2 x10______实根。 小组汇报交流。 环节二：师生互动，归纳总结 师生共同归纳：如果抛物线yax2 bxc与x轴有公共点，公共点的横坐标是x ，那么当xx 时， 0 0 函数的值是0，因此xx 就是方程ax2 bxc0的一个根；反过来，一元二次方程的解就是相应二次函 0 数的图象与x轴交点的横坐标。 提问：那么二次函数图象与x轴的位置关系有几种呢？和对应的一元二次方程之间又有怎样的关系呢？ 4人为1个小组讨论一下。 小组代表分享讨论结果。 明确：二次函数yax2 bxc的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个 公共点，这对应着一元二次方程ax2 bxc0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两 个不等的实数根。 （三）巩固练习 大屏幕出示问题：求出函数y x2 2x6所对应的一元二次方程的根。 学生板演。 （四）课堂小结 同学们，通过这节课的学习，你收获了什么？ 学生总结，教师补充。 （五）课后作业 1.完成课后练习第1题； 2.想一想，不解方程，你能利用一元二次函数的图象求出方程的根吗？ 四、板书设计 二次函数与一元二次方程 yax2 bxc ax2 bxc0 x轴 有1个公共点 有两个相等的实根 有2个公共点 有两个不等的实根 无公共点 无实根 ~61~考生回忆+网上搜集 《二次函数与一元二次方程》答辩 1.一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的联系是什么？ 【参考答案】 区别：（1）二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式；（2） 二次函数中，代数式ax2 bxc等于因变量y；一元二次方程中，代数式ax2 bxc等于零；一元二次不 等式中，代数式ax2 bxc大于或小于零；（3）图象：二次函数的图象是一条曲线：抛物线；一元二次方 程的解是点：二个点或一个点或无点 ；一元二次不等式的解集是线段或射线。 联系：（1）一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识；（2）令二次函数 yax2 bxc的y0，则原式变为一元二次方程ax2 bxc0，令一元二次不等式ax2 bxc0的不 等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax2 bxc0。（3）二次函数yax2 bxc抛物线与x轴的两 交点的横坐标x 、x （x x ），即为一元二次方程ax2 bxc0的两根。（抛物线与x轴有一个交点， 1 2 1 2 即方程有两个相同的根；没有交点，即方程无解），一元二次不等式ax2 bxc0解集是：xx 或xx 。 1 2 2.如何培养学生对于数学的学习兴趣。 【参考答案】 俗话说，兴趣是最好的老师，兴趣是一种潜在的素养，它能激发学生对学习、生活产生心理上的爱好 和追求。学在数学知识本身是枯燥的，但数学它又是至高无上的美，只要我们精心设计，巧妙安排，一定 能够激发学生的兴趣。提高学生的兴趣可以从以下几个方面入手： 第一，精心设计问题情景，增进学生学习数学的兴趣。古人云，学起于思，思起于一。学生积极的思 维往往从一开始。好奇，质疑正好也是学生的天性。在数学中，老师要巧妙的设计疑问，并鼓励学生质疑 提问，这样可以培养学生的数学学习兴趣； 第二，从生活中提炼数学问题。数学来源于生活，又服务于生活。我们要从身边找出数学问题，引导 学生利用数学的知识解决生活中的问题，满足学生的需求感，使学生产生对数学学习的兴趣； 第三，在生活中运用数学知识，学习是为了更好的运用。一旦学生用自己学到的知识解决了生活中的 一个难题，他那种成就感、自豪感也会激发他产生更浓烈的学习兴趣。因此，我们要特别引导学生做到以 学致用。 学生只有对学习产生了兴趣，才会变“要我学”为“我要学”，变“苦学”为“乐学”，真正热爱数 学。 ~62~考生回忆+网上搜集 篇目七《三视图》 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日13:05:06 1.题目：三视图 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲10分钟； （2）引导学生理解三视图的特点； （3）需要有师生互动； （4）要有板书设计。 ~63~考生回忆+网上搜集 《三视图》教案 一、教学目标 1.借助实物理解视图的含义以及之间的关系，并且会画几何体的三视图； 2.通过对三视图的探究过程，培养观察物体，解决问题的能力，增强空间观念，几何直观； 3.通过识图与画图，提高学习几何的兴趣，培养学数学，用数学的意识。 二、教学重难点 重点：简单几何体的三视图的画法。 难点：理解三视图的含义及其内在联系。 三、教学过程 （一）导入新课 运用古诗《题西林壁》：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中，这首诗描 述了从不同角度观察庐山，看到的图形是不一样的？在数学中又该如何描述这一现象呢？今天一起来学习《三视 图》。 （二）探究新知 1.引导学生自主观察手中的课本，从不同的角度，观察到的图形有什么不同？ 2.探究三视图及其关系 在PPT中展示几张“三视图”在生活中和工程设计中的应用的图片。 提问：确定一个物体需要几个方向的视图？ 学生阅读教材，并观看PPT动画。 学生小组讨论得出： 主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图，反映物体的长和高； 俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，反映物体的长和宽； 左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，反映物体的宽和高。 关系：长对正，高平齐，宽相等。 ~64~考生回忆+网上搜集 （三）巩固提高 画出圆柱体和圆锥体的三视图。 （四）课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？引导学生总结，教师进行查漏补缺。 （五）布置作业 课后寻找生活中哪里应用了三视图。 四、板书设计 ~65~考生回忆+网上搜集 《三视图》答辩 1.如何培养学生的数学应用意识？ 【参考答案】 （1）充分利用教学内容自身的魅力，培养学生的数学应用意识。 概念的产生，计算的由来，几何形体的特征及有关公式，应用题的解题规律，无不渗透着数学在现代 生产、生活和科技中的应用，使学生真正体会到“数学有用、要用数学”。 （2）结合实际提供应用问题，增强学生的数学应用意识。 要结合教学的适当时机和学生的年龄特征，为他们提供一些简单的应用问题，启发、诱导学生去研究、 发现问题的实质，增强学生的数学应用意识。 （3）开展丰富多彩的数学实践活动、强化学生的数学应用意识。 通过“学”与“做”的活动激发学生学习的动机和兴趣，培养学生的注意力，意志力和认真求实、追 求完美、讲求效率，联系实际的学习态度和学习习惯。 2.如何画三视图？ 【参考答案】 人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来的图形 称为视图。从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状，从物体 的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图 称左视图（侧视图）——能反映物体的左面形状。 以画圆锥的三视图为例：首先画圆锥的主视图，是个三角形；然后在三角形的正下方画它的俯视图， 会是一个圆形，圆形的直径与主视图三角形的底边长度相同；最后画左视图，在主视图的右面画，也是一 个三角形，与主视图的三角形高度相同，底边长度与俯视图圆形的直径长度相同。 ~66~考生回忆+网上搜集 篇目八《反比例函数》 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日14:45:06 1.题目：反比例函数 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲需在10分钟之内； （2）引导学生掌握反比例函数的一般式； （3）授课思路要具有条理性、并适时地与学生进行互动； （4）按课题需要进行板书，板书要清晰，并与讲解相结合。 ~67~考生回忆+网上搜集 《反比例函数》教案 一、教学目标 1.理解和掌握反比例函数的概念，并能够用反比例函数来表示问题中变量间的对应关系。 2.经历探究归纳反比例函数概念的过程，培养分析问题、解决问题的能力， 3.学生在探索的过程中感受数学的魅力，体验并感悟数学的奇妙与乐趣，树立学好数学的信心。 二、教学重难点 重点：理解和掌握反比例函数的概念，能够用反比例函数来表示问题中变量间的对应关系。 难点：归纳形成反比例函数概念的过程。 三、教学过程 （一）导入新课 带领学生回顾之前学习过的有关函数的知识。提问：你们还记得我们之前学习过哪些函数相关的知识吗？ 预设学生能够回答正比例函数，一次函数，二次函数的概念、图象以及性质等相关内容，并进而揭示课题— —反比例函数。 （二）探究新知 活动1：形成概念 借助多媒体呈现课本上的思考问题： （1）京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v km h，随此次列车的全程运行时间t（单位：h ） 的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一块面积为100m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽x（单位：m）的 变化而变化； （3）已知北京市的总面积为1.68104km，人均占有面积S（单位：km2 人）随全市人口n（单位：人） 的变化而变化。 提问学生：上述问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点呢？组织学生交流 分享。 1463 1000 1.68104 k 师生共同总结：v ，y ，S  。这些解析式都有y 的形式，其中k是非零常数。 t x n x k 归纳概念：一般地，形如y （k为常数，k 0）这样的函数就是反比例函数，其中x是自变量，y是因 x 变量，y是关于x的函数。 活动2：应用概念 ~68~考生回忆+网上搜集 通过大屏幕呈现例题：已知y是x的反比例函数，并且当x2时，y6。 提问学生：你能写出y关于x的函数解析式吗？当x4时，求出y的值。 组织学生交流讨论，并分享汇报。 12 师生共同总结：函数解析式y 当x4时，y3。 x ， （三）巩固提高 PPT呈现题目。 学生根据问题情境，写出函数解析式。 （四）课堂小结 教师提问：今天都有哪些收获？ 学生回答，教师补充评价。 （五）布置作业 1.完成练习册对应题目； 2.找一找生活中的反比例函数。 四、板书设计 反比例函数 k 一般式：y （k为常数，k 0） x 其中x是自变量（x0）， y是因变量 ~69~考生回忆+网上搜集 《反比例函数》答辩 1.初中数学如何运用多媒体辅助教学，帮助学生突破重点和难点？请以“反比例函数的图 象和性质”为例说明。 【参考答案】 数学学科的特点之一是逻辑性强，抽象思维要求高，尤其是涉及三维空间问题，动态过程问题、复杂 计算问题等，传统教学手段以静态为主，很难在课堂上利用黑板将这种复杂的情景展示出来，更不用说借 助情景来分析。以“反比函数的图象和性质”一课为例，教师设计制作了多个反比例函数的图象和性质的 实验，利用网络教室的操作平台及校园网，以具体的数学问题结合“几何画板”有趣的数学实验引起学生 的学习兴趣和探究欲望。教师利用几何画板软件的赋值和计算功能让学生利用“几何画板”自己动手“做”， 开展数学实验，完成意义建构，探究反比例函数的图象和性质的联系，通过实验得出规律。 2.简述选择中学数学教学方法的依据。 【参考答案】 教学方法是为了完成教学任务，达到教学目标，所采取的教与学的方式和手段，包括教师教的方法和 学生学的方法，是教师引导学生掌握知识技能，获得身心发展而共同活动的方法。选择中学数学教学方法 的依据主要有：（1）课堂教学目标与教学任务；（2）教材内容的特点；（3）学生的实际情况；（4）教 师自身的条件；（5）教学方法的适用范围和使用条件；（6）教学时间和效率。 ~70~考生回忆+网上搜集 篇目九《加权平均数的应用》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：初中数学 抽题时间：2024年12月7日14:15:27 1.题目：八年级下册《加权平均数的应用》 2.内容： 3.基本要求： （1）授课内容要完整 讲解时逻辑清晰； （2）教学过程中要有互动、提问环节 （3）教学过程中要配合板书； （4）请在10分钟内完成试讲内容。 ~71~考生回忆+网上搜集 《加权平均数的应用》教案 一、教学目标 1.理解加权平均数的概念和计算方法，掌握加权平均数在解决实际问题中的应用。 2.通过对数据的分析处理和计算等活动，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力，树立数据观念。 3.在自主探索中感受到成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。 二、教学重难点 重点：能够通过分析实际问题，正确运用加权平均数进行计算。 难点：能够将加权平均数的概念和计算方法灵活应用于实际问题中。 三、教学方法 启发法、讲练结合法、情境教学法等。 四、教学过程 （一）导入新课 在上课之初教师提问学生是否参与过评分比赛，如演讲比赛、体育比赛等，并讨论这些比赛中综合成 绩是如何计算的。预设同学根据生活经验以及之前所学知识，提出算平均分。教师进而引导学生复习加权 平均数的概念，并强调其在比赛评分中的重要性。从而引出课题《画正比例图象》，并书写课题。 （二）探索新知 环节一：结合例题，初步应用 课件出示教材中一个具体的演讲比赛评分例子，包括演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩及各自 权重（50%、40%、10%）。计算两位选手的综合得分，并解释为什么即使单项成绩之和相同，最终得分也 会不同。教师请学生回答，予以鼓励性评价，并且强调权重的作用：不同项目对最终结果的影响程度不同。 环节二：联系实际，理解应用 请学生思考并举例说明生活中加权平均数的应用，分组讨论，每组选择一个例子进行分享，教师点评 并补充。教师举例学生成绩计算：例子：某学生一学期的数学成绩由平时测验、期中和期末成绩组成。平 时测验占20%的权重，期中考试占30%，期末考试占50%。假设该学生平时测验得80分，期中考试得90 分，期末考试得95分。加权平均成绩为90.5分。这个例子体现加权平均数能够更合理地反映学生的整体学 习状况，因为不同的考试在学期总成绩中的重要性是不同的。 环节三：趣味活动，灵活应用 将学生分成若干个小组，以小组为单位进行数学答题竞赛，各个题目的得分权重各不相同，请同学们 在小组内商量计划，分工合作，思考如何在规定时间内得到最高的分数，并尝试开始挑战。时间结束以后 要求学生根据评分标准，对自己小组的表现进行打分，并计算加权平均分。教师为最高分的小组提供奖励， 并且对全班同学的积极参与给予鼓励性评价。 （三）巩固练习 大屏幕展示相关习题，请学生根据本节课所学知识完成练习，教师校对答案后对学生进行鼓励性评价。 ~72~考生回忆+网上搜集 （四）归纳总结，深入理解 提问：同学们今天有什么收获？你是怎么学会这些知识的？心情怎样？ 要求：学生发言，教师归纳补充。 （五）实际演练，布置作业 作业一：完成课后作业的第3、4题。 作业二：通过询问家长，网络查询等方式寻找加权平均数在生活中的其他应用。 五、板书设计 ~73~考生回忆+网上搜集 《加权平均数的应用》答辩 1.在加权平均数的计算中，为什么权重起着至关重要的作用？请结合一个具体实例进行说明，并阐述权 重如何影响最终的平均数值。 【参考答案】 权重在加权平均数的计算中起着决定性的作用，因为它反映了不同数据项在整体中的重要程度或影响 力。以学生的期末成绩计算为例，假设学生的最终成绩由平时成绩（权重30%）、期中考试成绩（权重30%） 和期末考试成绩（权重40%）组成。如果一个学生在平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩上分别得了 80分、85分和90分，那么在没有权重的情况下，简单的平均分是（80+85+90）/3=85分。但是，考虑到不 同考试在总评中的重要程度不同，我们给予它们不同的权重。按照给定的权重计算，加权平均分是 （80×30%+85×30%+90×40%）/（30%+30%+40%）=86.5分。这个加权平均分更准确地反映了学生在整个学 期中的综合表现，因为期末考试在总评中的比重更大，所以它的成绩对最终的平均分影响也更大。因此， 权重在加权平均数的计算中至关重要，它决定了不同数据项对最终结果的贡献程度。 2.如何确保学生能够熟练掌握加权平均数的计算方法，并能够将其应用于解决实际问题？ 【参考答案】 在教学过程中，我会大量使用实例来辅助教学，比如上述的学生成绩计算问题。通过这些实例，学生 能够更直观地理解加权平均数的应用，并能够将所学知识与实际问题相结合。此外我会组织学生进行小组 合作学习，让他们相互讨论、交流和协作解决问题。通过小组合作，学生能够相互学习和借鉴，共同提高 计算能力和问题解决能力。 ~74~考生回忆+网上搜集 高中数学 篇目一《复数的加法及其几何意义》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日08:05:06 1.题目：复数的加法及其几何意义 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）讲清楚复数加法的计算方法及几何意义； （3）要有师生互动； （4）配合教学内容适当板书。 ~75~考生回忆+网上搜集 《复数的加法及其几何意义》教案 一、教学目标 1.理解复数加法的运算律及几何意义。 2.在问题探究过程中，体会数形结合的数学思想，感悟运算形成的基本过程，提高数学抽象能力。 3.通过探究复数加法运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时类比向量的加法，理解复数加法的运 算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律。 二、教学重难点 理解和掌握复数加法运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加法运算，初步运用加法的几何意义解决 简单问题。 复数加法的几何意义。 三、教学过程 （一）导入新课 回顾复数的相关知识，明确复数的产生使得我们把实数集扩充到了复数集，引入新的数集，就要研究其中的 数之间的运算。引出新课《复数的加法及其几何意义》。 （二）探究新知 环节一：复数的加法法则 已知z abi，z cdi a，b，c，dR。 1 2 教师提出问题：多项式的加法实质是合并同类项，类比想一想复数如何进行加法运算？ 预设1：两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加，即 abicdiacbdi。 预设2：两个复数的和仍然是一个确定的复数，当z ，z 都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实 1 2 数的和。 问题：复数的加法满足交换律和结合律吗？ 预设：z z  z z ，z z z  z z z 。 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 环节二：复数加法的几何意义 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出 发讨论复数加法的几何意义吗？ 学生小组讨论，小组代表汇报讨论成果。     预设：OZ ，OZ 分别与复数abi，cdi对应，则OZ a，b，OZ c，d，由平面向量的坐标运 1 2 1 2     算法则，得OZ  OZ ac，bd，这说明两个向量OZ ，OZ 的和就是复数acbdi对应的向量。 1 2 1 2 所以复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。 ~76~考生回忆+网上搜集 （三）巩固提高 出示课后练习题第1题，学生独立完成，并请同学分享，师生共同点评。 （四）课堂小结 “通过今天的学习，你们学到了什么？”，学生自己总结所学，教师补充。 （五）布置作业 1.课后习题第2题； 2.类比复数加法，想一想，复数的减法的运算法则及几何意义。 四、板书设计 复数的加法及几何意义 1.abicdiacbdi 2.z z  z z ，z z z  z z z  1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 3.复数加法的几何意义： ~77~考生回忆+网上搜集 《复数的加法及其几何意义》答辩 1.复数的向量形式是什么？ 【参考答案】 ①复数的模： a2 b2 为复数 zabia，bR 的模，记为 z ，复数的模是非负实数。特别地： z 0z0。 ②复数的向量表示：复数zabia，bR，在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Za，b为终点  的向量OZ 来表示，复数集C和复平面内所有以原点为起点的向量所成的集合也是一一对应的（复数0对应点O， 看成零向量）。 2.本节课的教学目标是什么？ 【参考答案】 1.理解复数加法的运算律及几何意义。 2.在问题探究过程中，体会数形结合的数学思想，感悟运算形成的基本过程，提高数学抽象能力。 3.通过探究复数加法运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时类比向量的加法，理解复数加法的运 算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律。 ~78~考生回忆+网上搜集 篇目二《交集与并集》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日08:05:06 1.题目：交集与并集 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲时间约10分钟； （2）讲解条理清楚、重点突出； （3）需要适当板书； （4）渗透数学思想方法。 ~79~考生回忆+网上搜集 《交集与并集》教案 一、教学目标 1.理解交集、并集的概念，掌握有关集合的术语和符号，会用它们正确的表示一些简单的集合。 2.经历探索集合的交与并的过程，学会用集合的术语和符号，求两个集合的交集、并集。 3.激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的密切联系，在探索归纳的过程中，认识由具体到抽象的思维过程。 二、教学重难点 理解交集与并集的概念。 会求集合的交集和并集。 三、教学过程 （一）创设情境，悬疑导入 1.情境：数学老师整理了中考数学成绩在90分以上的学生，化学老师整理了中考化学成绩在90分以上的学 生，两个成绩都在90分以上的学生顺利成为科学兴趣小组的成员。 2.结合上述情境复习集合与元素的关系的知识。 3.引出新问题：若数学老师整理的学生名单为集合A，化学老师整理的学生名单为集合B，则科学兴趣小组 的成员组成的集合是什么？该如何表示呢？引出课题。 （二）尝试探究，理解掌握 1.引导探究、形成概念 （1）交集的定义 概念中的“且”即“同时”的意思。 ①自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集。 ②符号语言：AB{x|xA且xB}。 ③图形语言：如图所示。 （2）并集的定义 并集学习概念时要注意“三种语言”之间的转化。 ①自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集。 ②符号语言：AB{x|xA，或xB}。 ③图形语言：如图所示。 2.深入研究、研究运算 ~80~考生回忆+网上搜集 （1）交集运算的四类关系。集合A与B之间的这四种关系，它们的交集分别是？ 用韦恩图直观解释。 （2）交集运算性质 ①ABBA；②AB A，ABB；③A；④A A A。 （3）并集运算性质 结合韦恩图阐述并集运算性质：ABBA，A AB，B AB，A A A，A A A。 如果AB，则ABB，反之也成立。 （三）解释应用，巩固新知 大屏幕的练习题，巩固一下所学知识。 求下列集合的交集和并集， （1）设集合A4，5，6，8，B{3，4，5，6，7，8}； （2）设集合A{x|4x2}，B{x|1x3}。 5分钟时间，大家在下面做，我请一位同学上台来完成。其他同学在草稿本上完成。 （四）总结体会，反思提升 通过本节课的学习，你有哪些收获？鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从知识、方法、 数学思想等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。 （五）课后作业，拓展延伸 1.基础作业：课后习题1-2； 2.开放性思考题：结合除了交集和并集的运算之外，还会有什么运算呢？他们之间的混合运算该如何运算呢？ 我们下节课来分享。 四、板书设计 ~81~考生回忆+网上搜集 《交集与并集》答辩 1.集合、函数、方程之间是怎么联系的？ 【参考答案】 集合是一些元素组成的总体。对于给定的集合而言，任何一个元素都是确定的，该元素要么在这个集合中， 要么不在这个集合中。集合的元素类型可以是任意的，可以是数字、可以是汉字、可以是具体实物。函数可以看 作是两个实数集合之间的映射关系，也就是自变量集合和函数值集合，这两个集合之间的对应关系也不是任意的， 每个自变量都对应唯一的函数值（也就是说，当自变量确定的时候，函数值也确定，并且唯一）。当函数值确定 的时候，自变量的值却不一定唯一。函数可以看作是一类方程，确定函数值的过程，也就是解方程的过程，方程 的解不一定唯一，这里方程的解对应的则是自变量集合中对应的元素。 2.什么是集合？ 【参考答案】 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象集合而成的集体。集合中这些研究的对象也称之为集合中 的元素。具有如下特点，确定性，对于给定的集合，其中的每一个元素，或者属于或者不属于这个集合，不允许 出现模棱两可的情况，二者必居其一；互异性，对于给定的集合，任何两个元素都是不相同的，也就是说每个元 素只允许出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，允许元素出现多次；无序 性，对于一个给定的集合，集合中的每个元素的地位都是相同的，元素之间无序。集合上可以定义序关系，如果 定义了序关系，集合中的元素可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。 ~82~考生回忆+网上搜集 篇目三《直线的两点式方程》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日08:45:06 1.题目：直线的两点式方程 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）引导学生进行小组讨论； （3）结合教学内容，适当板书。 ~83~考生回忆+网上搜集 《直线的两点式方程》教案 一、教学目标 1.掌握直线的两点式方程，并能正确利用直线方程的两点式求直线方程。 2.在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的两点的基础上，通过师生探讨，得出直线的斜 率，然后根据直线的点斜式方程得出直线的两点式方程。 3.培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，学生能用联系的观点看问题。 二、教学重难点 掌握直线的两点式方程。 直线的两点式方程的推导及应用。 三、教学过程 （一）导入新课 复习直线的点斜式方程，提出问题：已知直线l经过两点P1，2，P 3，5，求直线l的方程。 1 2 引导学生思考有不同的方法吗？引出直线的两点式方程。 （二）探究新知 1.提出问题：已知两点Px，y ，P x，y ，其中（x  x ，y  y ），求通过这两点的直线方程。这 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 个问题应该怎么解决呢？ 小组进行讨论，找小组代表进行回答。 把它转化为利用点斜式进行求解，当x  x 时，这条直线的斜率是存在的，现根据斜率公式，求得直线的斜 1 2 y y y y 率是：k  2 1 ，然后带入直线的点斜式方程公式中可以得到：y y  2 1xx 。 x x 1 x x 1 2 1 2 1 y y y  y 提示：为了使式子看起来更美观，对式子进行了变形，等式两边同时除以xx ，可以写作 1  2 1（板 1 xx x x 1 2 1 书）。 2.引导学生思考这个公式的适用范围是什么？如果x x ，y  y ，此时，过这两点的方程式什么呢？ 1 2 1 2 师生总结得出：公式使用时要注意x  x ，y  y ，否则这个公式就没有意义了。若P、P 中有x x ， 1 2 1 2 1 2 1 2 或y  y 时，直线PP 没有两点式方程。 1 2 1 2 当x x 时，直线PP 平行于y轴，直线方程为xx 0或xx ；当y  y 时，直线PP 平行于x轴， 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 直线方程为yy 0或y y 。 1 1 3.公式变形：y y x x xx y  y  0。思考这个式子中，还需要限制条件吗？x x ，y  y 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 ~84~考生回忆+网上搜集 时，这个式子是否成立呢？ 师生共同总结得出：经过点Px，y ，P x，y 的所有直线的方程都可以写成这样的形式，这是为什么 1 1 1 2 2 2 呢？这个问题请学生课下思考，下节课来探索。 （三）巩固提高 多媒体呈现题目，巩固所学。 （四）课堂小结 提问学生：学习了本节课，你有哪些收获？教师引导学生分享收获，进行总结梳理。 （五）布置作业 1.作业：课后练习中的第1和第3题。 四、板书设计 直线的两点式方程 y y y  y 1  2 1 （x  x ，y  y ） xx x x 1 2 1 2 1 2 1 变形：y y x x xx y  y  0 1 2 1 1 2 1 ~85~考生回忆+网上搜集 《直线的两点式方程》答辩 1.直线方程有哪几种形式？ 【参考答案】 直线方程的五种形式： 名称 方程 常数的几何含义 适用范围 不能表示垂直于x轴 点斜式 y y kxx  x，y 是直线上一定点，k为斜率 0 0 0 0 的直线 不能表示垂直于x轴 斜截式 ykxb k表示斜率，b表示在y轴的截距 的直线 yy xx 不能表示垂直于坐标 两点式 1  1 x，y ，x，y 是直线上两定点 y y x x 1 1 2 2 轴的直线 2 1 2 1 不能表示垂直于坐标 x y 截距式  1 a表示在x轴上的截距，b表示在y轴上的截距 a b 轴和经过原点的直线 A 当A0且B0时，斜率为 ，在x轴上的截距 B 一般式 AxByC 0 任意直线 C C 为 ，在y轴上的截距为 A B 2.如何突破本节课《直线的两点式方程》的重难点？ 【参考答案】 结合学生的认知水平，我确定本节课的重点和难点如下： 重点：掌握直线的两点式方程。难点：直线的两点式方程推导及应用。 本节课是在学习直线的点斜式方程的基础上，引导学生根据除了已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径 外探讨已知两点来求直线方程。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的，而直线方程的斜截式、两点 式都是由点斜式推出的。在推导直线方程的两点式时，根据直线方程的点斜式这一结论，先猜想确定一条直线的 条件，再根据已知的两点猜想得到的条件求出直线的方程。在应用直线两点式方程应注意满足的条件。在整个教 学过程中，引导学生观察，分析，概括，归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，以此突破重难点。 ~86~考生回忆+网上搜集 篇目四《二倍角的正弦、余弦、正切公式》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日08:45:06 1.题目：二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲时间约10分钟； （2）学生能够运用两角和公式推导二倍角公式； （3）配合内容，适当板书。 ~87~考生回忆+网上搜集 《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案 一、教学目标 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 2.在运用两角和公式推导二倍角公式的过程中，发展推理能力。 3.能够灵活运用公式解决问题，学会用联系的眼光看待问题，体会转化思想。 二、教学重难点 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决实际问题。 三、教学过程 （一）导入新课 教师出示问题：谁能来说一说两角和差的正弦、余弦、正切公式？ 预设学生抢答：sinsincoscossin coscoscosmsinsin tantan tan 1mtantan 问题：除了和、差以外还有倍角关系，其中最基本的就是二倍角，那么，我们如何得出sin2、cos2、tan2 的公式呢？从而导入新课《二倍角的正弦、余弦、正切公式》。 （二）探索新知 环节一：公式推导 学生思考并小组合作探究sin2、cos2、tan2公式的推导过程。小组代表发言。 预设生1：运用两角和的正弦、余弦、正切公式来进行推导。 将两角和的正弦、余弦、正切公式中的看成，可以得到： sinsincoscossin2sincos coscoscossinsincos2sin2 tantan 2tan tan  1tan2 1tan2 教师提问：大家还有不同想法吗？ 预设生 2：根据同角的三角函数关系sin2cos21 ，可以将两角和的余弦公式进一步推导为： coscos2sin22cos2112sin2。 提问：谁能来总结一下？ ~88~考生回忆+网上搜集 sin22sincos cos2cos2sin22cos2112sin2 2tan tan2 1tan2 环节二：应用举例 3 1.例题展示：已知sin ，是第一象限角，求sin2。 5 教师引导学生运用二倍角公式进行计算。 学生自由发言： 4 3 4 24 Q是第一象限角，由sin2cos21，cos ，sin22sincos2   。 5 5 5 25 追问：那么大家可以快速计算出cos2、tan2吗？ 3 2 预设：cos212sin2 7 ，tan sin  3 ，tan2 2tan  4  24 。 25 cos 4 1tan2 3 2 7 1  4 （三）巩固拓展，提升认知 3 大屏幕出示问题，已知cos ，是第二象限角，求sin2、cos2、tan2。 4 （四）归纳总结，深入理解 通过今天的学习，大家学到了什么？ 学生总结，教师补充。 （五）实际演练，分层作业 1.完成课后练习第2题；2.自己编一道题目，运用二倍角公式解决，下节课分享。 四、板书设计 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin22sincos cos2cos2sin22cos2112sin2 2tan tan2 1tan2 ~89~考生回忆+网上搜集 《二倍角的正弦、余弦、正切公式》答辩 1.本节课的教学目标是什么？ 【参考答案】 结合教材内容及学生情况，本节课的教学目标确定如下： 1）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2）在运用两角和公式推导二倍角公式的过程中，发展推理能力； 3）能够灵活运用公式解决问题，学会用联系的眼光看待问题，体会转化思想。 2.请说出正弦、余弦、正切的半角公式。 【参考答案】 根据倍角公式可以推导出半角公式如下：  1cos sin2  2 2  1cos cos2  。 2 2  1cos sin 1cos tan    2 sin 1cos 1cos ~90~考生回忆+网上搜集 篇目五《函数的最大（小）值的应用》 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日09:20:06 1.题目：函数的最大（小）值的应用 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）引导学生进行小组讨论，突出互动； （3）呈现完整的解题过程； （4）结合教学内容，适当板书。 ~91~考生回忆+网上搜集 《函数的最大（小）值的应用》教案 一、教学目标 1.能建立数学模型，利用函数的最大（小）值解决实际问题。 2.在观察分析，交流讨论的过程中，进一步增强分析问题和解决问题的能力。 3.认识到知识之间的密切联系，增强应用意识，体会知识的实用性。 二、教学重点 能利用函数的最大（小）值解决实际问题。 三、教学难点 利用函数的最大（小）值解决实际问题的过程。 四、教学过程 （一）导入新课 在上课之初，教师多媒体呈现超市售货架上形状大小各异的饮料品的图片。 问题：你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？是不是饮料瓶越大，饮料公司的 利润越大？怎样用数学中的函数来探明这一问题？以此引出课题《函数的最大（小）值的应用》。 （二）探究新知 环节一：分析题目 课件呈现例8：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm） 是瓶子的半径已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm。 （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 提问：从这个题目中你发现了什么信息呢？运用怎样的方法可以解决这个问题？ 要求：学生观察题目信息，同桌之间相互交流，举手汇报。 明确：构建函数模型，利用函数最值进行求解。 提问：根据题目信息，可以构建怎样的函数模型？ 要求：学生独立思考，尝试解决。 4 r3  明确：先求出每瓶饮料的利润：y f r0.2 πr30.8πr2  0.8π r2  ，0r 6。 3  3  环节二：解决问题 提问：接下来怎样求每瓶饮料的最大利润呢？最小利润该怎么求？ 要求：学生以小组为单位进行讨论。 明确：求出函数 f r的导函数，再求单调性，最后求出最值。 fr0.8π  r22r ，令 fr0，r 2。 当r0，2时， fr0，当r2，6时， fr0。因此，当半径r 2时， fr0， f r单调递增，即 半径越大，利润越高；当半径r2时， fr0， f r单调递减，即半径越大，利润越低。 提问：可以得到怎样的结果？ ~92~考生回忆+网上搜集 明确：半径为6cm时，利润最大；瓶子半径为2cm时，利润最小。 提问：当半径为2cm时，利润为多少？ 明确：当瓶子半径为2cm时，这时 f 20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负 值。 环节三：总结应用函数最值解决实际问题的方法 提问：怎样利用函数最值求解实际问题？ 要求：学生根据例题的求解过程，尝试自行总结。 明确：先根据题意建立函数模型，根据实际问题确定自变量的取值范围，再对函数进行求导，在定义域内结 合函数的单调性，求出函数最值。 （三）巩固提高 大屏幕呈现练习题，教师引导学生采用上面总结出来的方法再来试着计算，学生独立完成，师生共同点评。 （四）课堂小结 小结：教师向学生提出这样一个问题“通过今天的学习，你们学到了什么？”，引导学生自己总结所学，教 师给予补充点评，提示利用函数最值解决实际问题过程中自变量取值范围的问题。 （五）布置作业 1.完成课后练习； 2.寻找实际生活中还有哪些地方用到了函数最值，下节课分享！ 五、板书设计 ~93~考生回忆+网上搜集 《函数的最大（小）值的应用》答辩 1.简单说一下函数的单调性有哪些应用？ 【参考答案】函数的单调性在高中数学知识中有许多应用。 首先可以解决最值问题。根据函数的单调性可以确定函数的最大值和最小值。如果一个函数在某个区间上单 调递增，那么在这个区间内的最大值就位于区间的端点；同样地，如果函数在某个区间上单调递减，那么在这个 区间内的最小值也位于区间的端点。这个应用在优化问题中经常出现，例如求函数的最大值或最小值。 其次也可以用于函数图象的绘制。函数的单调性可用于确定函数的图象。如果函数在某个区间上单调递增， 那么函数图象将从左到右逐渐上升；如果函数在某个区间上单调递减，那么函数图象将从左到右逐渐下降。通过 确定函数的单调性，我们可以更好地理解和绘制函数图象，帮助我们更好地分析和解释数学问题。 2.在利用已学数学知识解决实际问题时，需要注意哪些问题？ 【参考答案】应用已学数学知识解决实际问题时，往往需要建立数学模型，因此要注意以下几个方面： ①模型的合理性：在建立数学模型时，需要确保模型符合实际问题的特性和条件。包括对实际问题进行准确 的理解和分析，选择合适的变量和因素，以及合理假设各种关系。②数据的准确性：在实际问题中，需要依赖大 量的数据来进行数学建模和分析。因此，所使用的数据必须是准确、可靠的。这包括数据的采集方法、数据的真 实性、数据的完整性等方面。③假设条件的合理性：在建立数学模型时，通常需要对实际问题做一些假设。这些 假设条件应当是合理且符合实际情况的。④结果的解释和评估：得到数学模型的结果后，需要对结果进行解释和 评估。这包括对结果的意义和可行性进行分析，以及对结果的合理性和准确性进行评估。 总之，利用高中数学知识解决实际问题需要注意模型的合理性、数据的准确性、假设条件的合理性以及结果 的解释和评估。只有充分考虑这些问题，才能更好地应用数学知识解决实际问题。 ~94~考生回忆+网上搜集 篇目六《两条直线垂直的判定》 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日10:00:06 1.题目：两条直线垂直的判定 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）引导学生进行小组讨论，突出互动； （3）讲清楚两直线垂直的判定方法； （4）结合教学内容，适当板书。 ~95~考生回忆+网上搜集 《两条直线垂直的判定》教案 一、教学目标 1.掌握两条直线垂直的条件，能根据斜率判定两条直线垂直。 2.通过用斜率研究两条直线的垂直关系的过程，提升分析、解决问题的能力。 3.感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有感性的认识。 二、教学重点 两直线垂直的判定及其应用。 三、教学难点 探究两直线斜率与其垂直之间关系的分析方法。 四、教学过程 （一）复习旧知，导入新课 复习两直线平行与两直线的斜率之间的关系。提问：能否利用研究两直线平行的判定的策略探究一下两直线 垂直的判定呢？导入新课《两条直线垂直的判定》。 （二）探究新知，深入理解 环节一：探究两直线垂直的条件 提问：设两条直线l，l 的斜率分别为k，k ，当l⊥l 时，k，k 会有什么关系吗？ 1 2 1 2 1 2 1 2 明 确 ： 设 直 线 l，l 的 方 程 分 别 为 yk xb ， yk xb ， 则 l，l 的 方 向 向 量 分 别 为 1 2 1 1 2 2 1 2 a1，k ，b1，k ，由于l⊥l ab0，所以l⊥l ab01，k 1，k 1kk 0，从而得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 出kk 1。总结得出l⊥l kk 1。 1 2 1 2 1 2 提问：这个结论的应用是否有条件限制呢？ 明确：l⊥l kk 1成立的前提是两直线的斜率k，k 都存在，如果有一个不存在就不能利用这个结论 1 2 1 2 1 2 来判断，需要特殊分析。如当一条直线l 的倾斜角为90°时，这条直线的斜率就不存在，如果有另一条直线l 且 1 2 l⊥l ，那么l 的倾斜角必为0°；反之亦然。 1 2 2 教师讲解：由上得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如 果两条直线的斜率之积等于1，那么它们互相垂直。 环节二：两直线垂直判定方法的应用 出示例题4：已知A6，0，B3，6，P0，3，Q6，6，试判断直线AB与PQ的位置关系。 2 3 2  3 解：直线AB的斜率k  ，直线PQ的斜率k  ，因为k k   1，所以直线AB⊥PQ。 AB 3 PQ 2 AB PQ 3  2 （三）巩固拓展，提升认知 1 教师引导学生自主完成大屏幕上的题：直线y2x3与y x3的位置关系是什么？ 2 同学独立完成后回答，师生共同点评。 ~96~考生回忆+网上搜集 （四）归纳总结，深入理解 教师向学生提出这样一个问题“通过今天的学习，你们学到了什么？”，引导学生自己总结所学，教师给予 补充点评。 （五）实际演练，布置作业 作业1：完成课后习题； 作业2：思考如果已知两条直线的一般式方程，如何判定他们的位置关系。 五、板书设计 ~97~考生回忆+网上搜集 《两条直线垂直的判定》答辩 1.谈谈你对《两条直线平行与垂直的判定》的教材的理解？ 【参考答案】《两条直线平行与垂直的判定》是人教A版高中数学选择性必修第一册的内容，本节课的内容 是两条直线平行与垂直的判定的推导及其应用，学生对于直线平行和垂直的概念已经十分熟悉，并且在上节课学 习了直线的倾斜角与斜率，在此基础上对两直线的平行与垂直的判定方法展开了研究。先对比较简单的平行展开 了探究学习，从而给了学生探究垂直的一些灵感和着手点，从而探究问题的思路会更清晰一些。 2.如何判定两条直线平行？ 【参考答案】根据本章节知识点，可以利用两条直线的斜率关系来判断，但需要分情况来看。若斜率都存在， 则当两条直线的斜率相等时可以得出两直线是平行的；当两直线的斜率都不存在时，则两条直线都是平行于y轴 的直线，也是平行的。 另外还可以根据两直线所在向量共线来判断，或者两直线的法向量平行判断；还可以利用几何的方法，如两 直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也平行等。 ~98~考生回忆+网上搜集 篇目七《平面与平面平行判定定理的应用》 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日13:05:06 1.题目：平面与平面平行判定定理的应用 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）讲清定理，并用符号语言表示定理：说明应用定理的条件； （3）讲解要目的明确、条理清楚、重点突出，结合教学内容，适当板书。 ~99~考生回忆+网上搜集 《平面与平面平行判定定理的应用》教案 一、教学目标 1.掌握平面与平面平行的判定定理，并能够运用平面与平面平行的判定定理来证明一些简单的问题。 2.在运用平面与平面平行的判定定理解决问题的过程中，培养学生观察、探究、解决问题的能力。 3.在自主探究、合作交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，提高学习的自我效能感。 二、教学重点 掌握平面与平面平行的判定定理。 三、教学难点 平面与平面平行判定定理的应用。 四、教学过程 （一）导入新课 教师出示谜语：四方一件宝，变化真不少，左旋再右转，赏玩需用脑，常玩常出新，孰能生技巧。引出魔方 后引导学生观察发现魔方相对的面是平行的，并提问：我们如何判定这两个面是平行的呢？引出本节课的课题 ——平面与平面平行判定定理的应用。 （二）探究新知 环节一：复习回顾 师生共同复习平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。可以用符号表示为：a，b，abP，a∥，b∥∥。 教师提出问题：应用这一定理的条件是什么？ 明确：其中一面中必须有两条相交直线与另一平面平行。 环节二：运用定理解决问题 教师提出：已知正方体ABCD-ABCD ，求证：平面ABD∥平面CBD。 1 1 1 1 1 1 1 学生独立思考后小组讨论。 明确：要证两个平面互相平行，根据面面平行的判定定理，要在一个平面内寻找两条相交直线与另一个面平 行，而在本题中给的是正方体及其截面，隐含了很多线面平行的位置关系。 学生代表叙述证明过程： 证明：因为 ABCD-ABCD 为正方体，所以DC∥AB ，DC  AB ，又 AB∥AB ， AB AB ，所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 DC∥AB， DC  AB，所以四边形 DCBA为平行四边形，所以 DA∥CB ，又因为 DA平面CBD， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~100~考生回忆+网上搜集 CB平面CBD ，由直线与平面平行的判定定理得， DA∥平面CBD 。同理 DB∥平面CBD ，又 1 1 1 1 1 1 1 DADB D ，所以平面ABD∥平面CBD。 1 1 1 1 1 1 1 （三）巩固提高 已知平面，和直线m，n，若m，n，m∥，n∥，则∥。 （四）课堂小结 “通过今天这节课的学习，你们都学到了什么呢？” （五）布置作业 1.课后习题2、3题； 2.思考一下，还有哪些方法可以证明两个平面互相平行。 五、板书设计 ~101~考生回忆+网上搜集 《平面与平面平行判定定理的应用》答辩 1.分别说说判定平面与平面平行的方法和平面与平面平行的性质有哪些？ 【参考答案】 判定方法： ①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 ②如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 ③垂直于同一条直线的两个平面平行。 ④平行于同一条平面的两个平面平行。 性质： ①如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 ②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ③如果两个平行平面有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线。 2.这节课运用到了什么数学思想？ 【参考答案】 基本思想是“平面化”，转化的思想：判定平面与平面平行可以由直线与平面平行判定平面与平面平行，即 线面平行则面面平行。判定两个平面平行的真命题很多，之所以把“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行”当成判定定理，是因为这个定理实现了将平面与平面平行的判定，转化为已有的直线与 平面平行的判定，而判定直线与平面平行，常转化为判断直线与直线平行，所以判定平面与平面平行的基本思想 还是“平面化”。 ~102~考生回忆+网上搜集 篇目八《圆的一般方程》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日14:45:06 1.题目：选择性必修一《圆的一般方程》 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）教学语言要规范，逻辑清楚，重难点突出，注意师生互动 （3）配合教学内容适当板书。 ~103~考生回忆+网上搜集 《圆的一般方程》教案 一、教学目标 （1）掌握圆的一般方程及其特点； （2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径； （3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程，探究二元一次方程关系，形成代数与几何相结 合的数学思想方法。 二、教学重难点 重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径；（2）用待定系数法求圆 的方程． 难点：圆的一般方程特点的研究。 三、教学方法 启发法、讲练结合法、情境教学法等。 四、教学过程 （一）导入新课 前边已经学过了圆的标准方程xa2 yb2 r2把它展开得 x2  y2 2ax2bya2 b2 r2 0 任何圆的方程都可以通过展开化成形如 x2  y2 DxByF  0①的方程 【问题1】 形如①的方程的曲线是否都是圆？从而一如本节课《圆的一般方程》 （二）新课讲授 【问题2】方程x2  y2 2x4y60可以表示圆吗？ 【小组活动】经过配方后发现x12 y22 1，即这个方程不可以表示任何图形。 师生共同讨论分析： 如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的，我们把它再写成原来的形式不就可  D 2  D 2 D2 E2 4F D2 E2 4F 以看出来了吗？运用配方法，得 x  y   ②显然②是不是圆方程与  2   2  4 4 是什么样的数密切相关，具体如下：  D E 1 （1）当D2 E2 4F 0时，②表示以  ，  为圆心、以 D2 E2 4F 为半径的圆；  2 2 2  D E （2）当D2 E2 4F 0时，②表示一个点  ，  ；  2 2 （3）当D2 E2 4F 0时，②不表示任何曲线． ~104~考生回忆+网上搜集 总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示． 圆的一般方程的定义：  D E 1 当x时，①表示以  ，  为圆心、以 D2 E2 4F 为半径的圆，  2 2 2 此时①称作圆的一般方程． 即称形如x2  y2 DEEyF  0  D2 E2 4F  0  的方程为圆的一般方程。 【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同． （1）x2和y2的系数相同，都不为0； （2）没有形如xy的二次项。 圆的一般方程与一般的二元二次方程 Ax2 BxyCy2 DxEyF  0③ 相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件． 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用． （三）巩固练习 例1：下列方程各表示什么图形． （1）x2  y2 0； （2）x2  y2 2x4y40； （3）x2  y2 2axb2 0。 学生演算并回答 （1）表示点0，0； （2）配方得x12 y22 9，表示以1，2为圆心，3为半径的圆； （3）配方得xa2  y2 a2b2，当a、b同时为0时，表示原点0，0；当a、b不同时为0时，表示 以a，0为圆心， a2 b2 为半径的圆． 例2：求过三点O0，0，M 1，1，M 4，2的圆的方程，并求出圆心坐标和半径． 1 2 分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方 程求解。 解：设圆的方程为 x2  y2 DxEyF  0因为O、M 、M 三点在圆上，则有 1 2 F 0   DEF 20  4D2EF 200 解得：D8，E 6，F 0 所求圆的方程为x2  y2 8x6y0可化为x42 y32 25圆心为4，3，半径为5。 ~105~考生回忆+网上搜集 （四）巩固练习 师生共同总结： （1）圆的一般方程及其特点； （2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径； （3）用待定系数法求圆的方程。 （五）布置作业 必做题：课本练习第1、2题，预习下一节内容。 选做题：1.下列方程各表示什么图形? 若是圆，则求出圆心坐标和半径. （1）2x2 2y2 4x8y10 （2）x2  y2 2ay0(a0) 五、板书设计 《圆的一般方程》 1.分析方程x2  y2 DxByF  0表示的轨迹 2.圆的一般方程的定义 二、圆的一般方程的特点 （1）x2和y2的系数相同，都不为0； （2）没有形如xy的二次项。 ~106~考生回忆+网上搜集 《圆的一般方程》答辩 1.任何x2  y2 DxByF  0的方程都可以表示圆吗？ 【参考答案】  D E 1 不可以。当D2 E2 4F 0时，②表示以  ，  为圆心、以 D2 E2 4F 为半径的圆；  2 2 2 2.学生在学习圆的一般方程可能会遇到哪些困难？你如何帮助他们克服这些困难？ 【参考答案】 困难描述：在将圆的一般方程转化为标准方程时，配方是一个关键步骤。学生可能会在配方过程中出 现错误，特别是对于含有和的一次项系数的处理。 解决方法建议：加强学生对完全平方公式的理解和运用。可以通过一些简单的配方练习，如、等的配 方，让学生熟练掌握配方的技巧，然后再进行圆的一般方程的配方练习。 ~107~考生回忆+网上搜集 篇目九《圆的标准方程的应用》 中小学教师资格考试面试备课纸 报考科目：高中数学 抽题时间：2024年12月7日16:45:10 1.题目：选择性必修一《圆的标准方程的应用》 2.内容： 3.基本要求： （1）试讲约10分钟； （2）教学语言要规范，逻辑清楚，重难点突出，注意师生互动 （3）配合教学内容适当板书。 ~108~考生回忆+网上搜集 《圆的标准方程的应用》教案 一、教学目标 1.掌握圆的标准方程，能根据圆的标准方程判断点是否在圆上； 2.进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问 题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力； 3.通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 二、教学重难点 重点：能根据圆的标准方程判断点是否在圆上。 难点：通过圆的标准方程解决实际问题。 三、教学方法 启发法、讲练结合法、情境教学法等。 四、教学过程 （一）复习导入 【教师活动】上一节课我们学习了圆的标准方程，圆的标准方程是什么呢？圆的标准方程有那些应用 呢？带这这样的问题我们来学习今天的内容《圆的标准方程的应用》 （二）探索新知 【教师活动】出示例题：求圆心为A2，3，半径为5的圆的标准方程，是判断点M 5，7和M 2，1 1 2 是否在这个圆上。 【预设1】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程， 就可以得到这个点是否在圆上。 【预设2】按照两点之间的距离公式，判断AM、AM 和5大小关系，距离等于5，则代表这个点在改 1 2 圆上。 【教师活动】同学们总结的很全面，对两点之间的距离公式应用的很好。同时第二种思路我们更能直 观的理解该点在圆上、圆内或者圆外。我们现在掌握这个“点是否在圆”上的判定方法，请大家各自完成 本题的解答。 【学生活动】自行完成解答过程，同时请一位代表上台进行板演。圆心为A2，3，半径为5的圆的 标准方程是x22 y32 25 把点 M 5，7 的坐标代入方程x22 y32 25 的左边，得 ， 1 522 732 25，左右两边相等，点M 的坐标满足圆的方程，所以点M 在这个圆上，把点M 的坐 1 1 2 标代人方程x22 y32 25的左边，得222132 20 ，左右两边不相等，点M 的坐标不 2 满足圆的方程，所以点M 不在这个圆上。 2 ~109~考生回忆+网上搜集 【师生总结】要判定一点是否在圆上，只需要将该点代入到圆的标准方程中，看左右两边是否相等即 可，相等表示该点在圆上，不相等表示该点不在该圆上。 （三）巩固练习 试判断点1，0是否在圆心为1，2，半径为3的圆上？ （四）归纳总结 提问：同学们今天有什么收获？你是怎么学会这些知识的？心情怎样？ 要求：学生发言，教师归纳补充。 （五）布置作业 完成课后作业的第2、4题。 五、板书设计 圆的标准方程的应用 x22 y32 25 ~110~考生回忆+网上搜集 《圆的标准方程的应用》答辩 1.圆的标准方程与两点之间距离公式的区别？ 【参考答案】 圆的标准方程为xa2 yb2 r2，其中a，b为圆心，r 为半径，它描述的是平面内到定点（圆 心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合，主要用于研究圆的性质，如确定圆的位置（通过圆心坐标） 和大小（通过半径），还用于求解圆与直线的交点、圆与圆的位置关系等诸多几何问题。而 Ax，y 、 1 1 Bx，y 两点间的距离公式为AB x x 2y y 2 ，即表达形式不一样，即圆的标准方程可以看 2 2 1 2 1 2 做一动点到定点a，b的距离始终等于r 的点的集合。 2.圆的标准方程的应用有哪些？ 【参考答案】 实际问题往往包含复杂的背景信息。像在描述卫星围绕地球做近似圆周运动时，需要确定地球中心作 为圆心坐标，以及卫星到地球中心的距离作为半径，这中间涉及对物理知识和空间位置关系的理解。 在实际场景中，准确找出变量对应的几何意义并构建方程是困难的。比如，在设计圆形的体育场馆看 台布局时，要根据观众到场地中心的最佳观看距离范围来确定圆的半径。如果看台有不同的分层，每层观 众到场地中心的距离都不同，如何用圆的标准方程来表示不同分层的观众位置就变得复杂。需要考虑以场 地中心为圆心，以不同的观看距离为半径建立多个圆的方程，而且还要考虑各层之间的空间关系等因素。 ~111~