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微重点 17 抛物线的二级结论的应用
抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础
知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准
确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常
用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．
考点一 抛物线的焦点弦
核心提炼
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x ，y)，B(x ，
1 1 2
y)(y>y)两点，则
2 1 2
(1)焦半径|AF|＝x＋＝，
1
|BF|＝x＋＝，
2
(2)焦点弦长|AB|＝x＋x＋p＝，
1 2
(3)S ＝(O为坐标原点)，
△OAB
(4)xx＝，yy＝－p2，
1 2 1 2
(5)＋＝，
(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
考向1 焦半径、弦长问题
例1 (1)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l，l，直线l 与
1 2 1
C相交于A，B两点，直线l 与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
2
A．16 B．14 C．12 D．10
(2)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与抛物线交于A，B两点，A在第一象限
且|AF|＝4，则|AB|＝________.
考向2 面积问题
例2 (2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B
两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
考向3 ＋＝的应用
例3 (2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两
点，则2|AF|＋|BF|最小值为( )
A．2 B．2＋3C．4 D．3＋2
考向4 利用平面几何知识
例4 (2022·遂宁模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与抛物线交
于P，Q两点，直线l与抛物线的准线l 交于点M，若PM＝2FP，则等于( )
1
A. B.
C. D．3
易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解
时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．
跟踪演练1 (1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐
标原点，且满足AB＝3FB，S ＝|AB|，则|AB|的值为( )
△OAB
A. B. C．4 D．2
(2)(多选)已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物
线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下
列说法正确的是( )
A．线段AB长度的最小值为2
B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切
C．∠HFG＝90°
D．∠AMO＝∠BMO
考点二 定点问题
核心提炼
抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过(2p，0)的直线与之交于A，B两点，则OA⊥OB，反之，也
成立．
例5 如图，已知直线与抛物线x2＝2py交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点
D，点D的坐标为(2,4)，则p的值为( )
A．2 B．4 C. D.易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需
证明该结论．
跟踪演练2 已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则△AOB的面积
的最小值为________．
