文档内容
专题 8-1 直线与圆归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】直线含参（动直线）.............................................................................................................................2
【题型二】直线含参（圆切线型）........................................................................................................................3
【题型三】曲线关于直线对称..................................................................................................................................3
【题型四】切线应用....................................................................................................................................................4
【题型五】圆定点（圆含参型）.............................................................................................................................5
【题型六】圆的切点弦型...........................................................................................................................................6
【题型七】两圆公切线型...........................................................................................................................................6
【题型八】圆有关的轨迹及应用.............................................................................................................................7
【题型九】函数中的圆应用......................................................................................................................................8
【题型十】圆综合应用................................................................................................................................................8
【题型十一】与圆有关的定点定值定直线........................................................................................................10
专题训练.........................................................................................................................................................................11
讲高考
1．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记 为点 到直线
的距离，当 、 变化时， 的最大值为
A． B．
C． D．
2．（·湖北·高考真题）设 、 是关于 的方程 的两个不等实根，则过
， 两点的直线与双曲线 的公共点的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ，
为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线
的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为
（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
5．（2018·全国·高考真题）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆
上，则 面积的取值范围是
A． B． C． D．
6．（·四川·高考真题）设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线
交于点 ，则 的最大值是______．7．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 和 都相切的一条
直线的方程________________．
8．（2019·全国·专题练习）已知直线 ： 与圆 交于 ， 两
点，过 ， 分别作 的垂线与 轴交于 ， 两点，若 ，则 __________．
9．（2022·全国·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与
圆 有公共点，则a的取值范围是________．
题型全归纳
【题型一】直线含参（动直线）
【讲题型】
例题1.过坐标原点 作直线 的垂线，垂足为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(3m−n)x+(m+2n)y−n=0
例题2.已知直线 则当m、n变化时，直线都通过定点
【讲技巧】
一般情况下，过定点
直线系：
过Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线可设：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2
＋C )＝0.
2
直线含参不包含的直线：
(1) 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1
(2) 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
(3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行
【练题型】
1.已知直线 恒过定点 ，若点 到直线l的最大距
离为2，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
2.已知定点 和直线 ，则点 到直线 的距离的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．【题型二】直线含参（圆切线型）
【讲题型】
例题1.已知直线 ，以下结论不正确的是（ ）
A．不论a为何值， 与 都互相垂直
B．当a变化时， 与 分别经过定点 和
C．不论a为何值， 与 都关于直线 对称
D．若 与 交于点M．则 的最大值是
例题2.已知集合 {直线 其中 是正常数 }，下列结论中
正确的是（ ）
A．当 时， 中直线的斜率为
B． 中所有直线均经过同一个定点
C．当 时， 中的两条平行线间的距离的最小值为
D． 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【讲技巧】
到直线系 距离，每条直线的距离
，
直线系 表示圆 的切线集
合，
【练题型】
1.已知实数 满足 ，则 的最小值为_______．
2.直线系 ，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.
【题型三】曲线关于直线对称
【讲题型】
例题1.函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的单调减区
间为（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知的 图象关于直线 对称，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．【讲技巧】
曲线关于直线对称面可以转化为曲线上动点关于直线对称，则：
求解点 关于直线 的对称点 的基本方法如下：
① 与 连线与直线 垂直，即 ；
② 中点在直线 上，即 ；
③ 与 到直线 的距离相等，即 ；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点 坐标.
【练题型】
1.若函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
2.若曲线 关于直线 的对称曲线是 ，则 的值为
（ ）
A．2 B． C．1 D．不确定
【题型四】切线应用
【讲题型】
例题1.已知函数 ，如果函数 恰有三个不同的
零点，那么实数 的取值范围是________
例题2.对于任意放置的椭圆，经过椭圆上的任意一点有且仅有一直线与该椭圆有一个交点，
则称该直线为椭圆的切线.椭圆 绕坐标原点逆时针旋转45°后得到的椭圆中最高点
与原点的距离为_______.
【练题型】
1.已知 ，若 的图象与 轴有3个不同的交点，
则实数 的取值范围为______.
2.已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，有下列结论：
①函数 在 上单调递增；
②函数 的图象与直线 有且仅有2个不同的交点
③若关于x的方程 的实数根之和为8；④函数 的值域为 .
其中所有正确答案的编号是______________.
【题型五】圆定点（圆含参型）
【讲题型】
例题1.已知抛物线 与 轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，
B，C三点，当实数 变化时，存在一条定直线 被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线
方程为（ ）
A． B．
C． D．
例题2. 已知点 为直线 上任意一点， 为坐标原点．则以 为直径的圆除
过定点 外还过定点（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
过x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的直线可设：x2＋y2＋Dx
1 1 1 2 2 2 1
＋Ey＋F＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0.
1 1 2 2 2
【练题型】
1.如果直线 和函数 的图象恒过同一个
定点，且该定点始终落在圆 的内部或圆上，那么 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
2.若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的点 、 、 ，则 的外接圆
恒过的定点坐标为_______
【题型六】圆的切点弦型
【讲题型】
例题1.过圆 上的动点作圆 的两条切线，两个切点之间的线段称为
切点弦，则圆 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2.设点P为直线 上的点，过点P作圆C： 的两条切
线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（
）
A． B．C． D．
【讲技巧】
求切点弦方法：
1.公共弦法：过圆 外一点作圆的切线 ，则切点 与 四点共圆，线段
就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．
2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x，y)做切线，切点所在直线方程（切点
0 0
弦方程）为：(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.
0 0
【练题型】
1.已知 是半径为1的动圆 上一点， 为圆 上一动点，过点 作圆
的切线，切点分别为 ， ，则当 取最大值时，△ 的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.已知点 在直线 上，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，
点 在圆 上，则点 到直线 距离的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【题型七】两圆公切线型
【讲题型】
例题1.已知圆 与圆 有且仅有 条公切线，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知圆 和圆 恰有三条公共切
线，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【讲技巧】
设圆 与圆 的半径长分别为 和 .
（1）若 ，则圆 与圆 内含。无公切线
（2）若 ，则圆 与圆 内切，一条公切线。
（3）若 ，则圆 与圆 相交两条公切线
（4）若 ，则圆 与圆 外切，三条公切线
（5）若 ，则圆 与圆 外离.，四条公切线
【练题型】1.两圆 和 恰有三条公切线，若 ，
且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.若圆 : 与圆 : 相交于 ， 两点，且两圆
在点 处的切线互相垂直，则公共弦 的长度是______.
【题型八】圆有关的轨迹及应用
【讲题型】
例题1.已知 为正方体 表面上的一动点，且满足 ，则
动点 运动轨迹的周长为__________.
例题2.现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面
上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.在长方体 中，已知底面 为正方形， 为 的中点，
，点 是正方形 所在平面内的一个动点，且 ，则
线段 的长度的最大值为___.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），
点D恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则
_____________.
【题型九】函数中的圆应用
【讲题型】
例题1.已知 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点 对称，若不等
式 的解集为区间 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．例题2.） ， 表示不大于 的最大整数，如 ， ，且 ，
， ， ，定义：
.若 ，则 的概率为
A． B． C． D．
【练题型】
1.已知二次函数 交 轴于 ， 两点，交 轴于 点.若圆 过 ， ， 三
点，则圆 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知二次函数 交 轴于 两点( 不重合)，交 轴于 点. 圆
过 三点.下列说法正确的是
① 圆心 在直线 上；
② 的取值范围是 ；
③ 圆 半径的最小值为 ；
④ 存在定点 ，使得圆 恒过点 .
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④
【题型十】圆综合应用
【讲题型】
例题1.在①直线 与 、 均相切，②直线 截 、 、 所得的弦长均相等，这
两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.
问题： 年是中国传统的农历“鼠年”，现用 个圆构成“卡通鼠”的头像.如图，
是 的圆心，且 过原点；点 、 在 轴上， 、 的半径均为 ， 、
均与 外切.直线 过原点.若___________，求直线 截 所得的弦长.
例题2.如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东
45°方向距O岛 千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，
O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正
沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?
【练题型】
1.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外
籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，
速度为28 km/h.
问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
2.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB
是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划
要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l
的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q
两点间的距离．
【题型十一】与圆有关的定点定值定直线
【讲题型】
例题1.已知圆 经过坐标原点 和点 ，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）设 是圆 的两条切线，其中 为切点．
①若点 在直线 上运动，求证：直线 经过定点；②若点 在曲线 （其中 ）上运动，记直线 与 轴的交点分别为
， 求 面积的最小值．
例题2.已知圆 ，点P是直线 上的一动点，过点P作圆M的
切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为 时，求点P的坐标；
（2）若 的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所
有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
【练题型】
1.如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ， 、 分别为线段 、
上的动点，且满足 .
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）设点 的坐标为 ，求 的外接圆的一般方程，并求 的
外接圆所过定点的坐标.
2.已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ， ，切
点分别为 ， .
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）设 的外接圆为圆 ，当点 在直线 上运动时，圆 是否过定点（异于原点
）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.一、单选题
1．过定点M的直线 与过定点N的直线 交于点A（A与M，N
不重合），则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．8 D．16
2．已知直线 ，直线 ，其中实数 ，则直线 与
的交点位于第一象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若圆 与圆 有且仅有3条公切线，则m=
（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
4．已知直线l： 是圆C： 的对称轴，过点
作圆的一条切线，切点为A，则 （ ）
A． B．7 C． D．2
5．若M，N为圆 上任意两点，P为直线 上一个动点，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．若 为圆 上的动点，当 到直线
的距离取得最大值时，直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
A，B的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，
称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P
是满足 的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线 上的动点，Q在直线
上的射影为R，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为 的圆 的一段圆
弧 ，且弧 所对的圆周角为 .设圆 的圆心 在点 与弧 中点的连线所在直线上.若
存在圆 满足：弧 上存在四点满足过这四点作圆 的切线，这四条切线与圆 也相切，
则弧 上的点与圆 上的点的最短距离的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆 ，直线 ，则（ ）
A．存在实数m使得圆上的点到直线 的距离等于2，且这样的点有且只有1个
B．存在实数m使得圆上的点到直线 的距离等于2，且这样的点有且只有2个
C．存在实数m使得圆上的点到直线 的距离等于2，且这样的点有且只有3个
D．存在实数m使得圆上的点到直线 的距离等于2，且这样的点有且只有4个
10．已知直线 和圆 ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．圆心 到直线 的最大距离是2
C．若直线 与圆 相切，则 或
D．若 ，直线 与圆 相交
11．在平面直角坐标系 中， ，点 是圆 上的动点，
则（ ）
A．当 的面积最大时，点 的坐标为
B．
C．若点 不在 轴上，则 平分
D．当直线 与圆 相切时，
12．已知圆M： ，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若圆 与圆M恰有一条公切线，则m=-8
B．圆 与圆M的公共弦所在直线为
C．直线 与圆M恒有两个公共点
D．点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP
三、填空题
13．已知点 ，若直线 上存在点 使得 成立，则
实数 的取值范围是______.
14．已知直线 上的动点 ，过点 作圆 的两条切线，切点
分别为 ，则原点到直线 的距离的取值范围为__________.15．若⊙C： ，⊙D： ，M，N分别为⊙C，⊙D上
一动点， 最小值为4，则 取值范围为_________．
16．在矩形 中， ， ， ， 是平面 内的动点，且
，若 ，则 的最小值为____．
