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专题 8.5 双曲线
目录
题型一： 双曲线的定义...................................................................................................................4
题型二： 双曲线的标准方程...........................................................................................................5
题型三： 双曲线的焦点三角形.......................................................................................................6
题型四： 双曲线的渐近线...............................................................................................................7
题型五： 双曲线的离心率...............................................................................................................8
题型六： 直线与双曲线的位置关系............................................................................................12
知识点总结
知识点一、双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小
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于 | F F|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲
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线的焦距．
(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心
率为e＝.
知识点二、双曲线的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)图形
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F(0，－c)，F(0，c)
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焦距 |FF|＝2c
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a，b，c
c 2 ＝ a 2 ＋ b 2
的关系
范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
简单几 顶点 (－a,0)，(a,0) (0 ，－ a ) ， (0 ， a )
何性质 轴长 实轴长|AA|＝2a，虚轴长|BB|＝ 2 b
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渐近线 y＝ ± x y＝ ± x
离心率 e＝，且 e∈ (1 ，＋∞ )
【常用结论与知识拓展】
1．与双曲线定义及标准方程相关结论
(1)在双曲线定义中，当 2a＝|FF|时，点的轨迹为以 F ，F 为端点的两条射线；当 2a>|
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FF|时，轨迹不存在.
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(2)在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简
单套用“||PF|－|PF||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一
1 2步运算．
(3)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线
方程.
(4)双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，
当A·B＜0时为双曲线.
(5)直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直
线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直
线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个
公共点时，要注意两种情况的可能性.
(6)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0).
2．与双曲线几何性质相关结论
(1)离心率e＝＝，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔.
(2)焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”.
(3)通径长为.
(4)P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF|≥c－a，△PFF 的面积为S＝b2·＝(θ＝∠FPF).
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例题精讲
题型一：双曲线的定义
【要点讲解】以双曲线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判
断平面内动点所满足的“几何条件”，根据双曲线定义进行对比研究，究竟是“双曲线”
还是“双曲线的一支”．
【例1】已知点 ， ，动点 满足条件 ．则动点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【变式训练1】动点 与点 与点 满足 ，则点 的轨迹方程
为 ．
【变式训练2】与圆 及圆 都外切的圆的圆心在
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
【变式训练3】已知两定点 ， ，曲线 上的点 到 、 的距离之差的绝
对值是8，则曲线 的方程为
A． B．
C． D．
【变式训练4】已知圆 和圆 ，动圆 同时与圆 及
圆 外切，则动圆的圆心 的轨迹方程为 ．【变式训练5】已知平面内两定点 ， ，下列条件中满足动点 的轨迹为双
曲线的是
A． B．
C． D．
题型二：双曲线的标准方程
【要点讲解】求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为
了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算.
【例2】写出一个离心率为 且焦点在 轴上的双曲线的标准方程 ．
【变式训练1】已知双曲线 的离心率为 ，且该双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合，则这个双曲线的方程是 ．
【变式训练2】与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程为
A． B． C． D．
【变式训练3】设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为26，若曲线 上的点到
的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线 的标准方程为A． B．
C． D．
【变式训练4】已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程
为
A． B． C． D．
【例3】“ ”是“方程 表示的曲线是双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1】已知等轴双曲线 经过点 ，则 的标准方程为
A． B． C． D．
【变式训练2】若离心率为 的双曲线与椭圆 的焦点相同，则双曲线的方程是
A． B． C． D．【变式训练3】与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线的方程为
A． B． C． D．
【变式训练4】与双曲线 共渐近线，且经过 点的双曲线的标准方程
是
A． B． C． D．
题型三：双曲线的焦点三角形
【要点讲解】根据双曲线的定义，设|PF|＝m，|PF|＝n，结合∠FPF ＝60°利用余弦定理
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可得mn＝4b2，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径
的表达式，进而列式求解离心率即可．
【例4】已知双曲线 的左右焦点分别是 ， ， 是双曲线 上一点，若
，则
A．3 B．9 C．21 D．27
【变式训练1】如图， ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与
双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若点 为 的中点，且 ，则A．4 B． C．6 D．9
题型四：双曲线的渐近线
【要点讲解】求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边
的常数等于0. 双曲线焦点到渐近线的距离为b，这个结论要熟记.
【例5】已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，直线 与 相交于
， 两点，若线段 的中点为 ，则直线 的斜率为
A． B．1 C． D．2
【变式训练1】设双曲线 的左、右焦点为 、 ，渐近线方程为 ，过
直线 交双曲线左支于 、 两点，则 的最小值为
A．9 B．10 C．14 D．【变式训练2】若双曲线 的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【变式训练3】已知双曲线 的一条渐近线为 ，则双曲线 的
焦距为
A．2 B．4 C． D．
【变式训练4】若双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
题型五：双曲线的离心率
【要点讲解】求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋
求e；②列出含有a，b，c的齐次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于
e的方程(或不等式)求解.
【例6】如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双
曲线的右左两支分别交于点 、 两点．若 为等边三角形，则双曲线的离心率为A．4 B． C． D．
【变式训练1】已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 ，
为双曲线 在第一象限的右支上一点，以 为切点作双曲线 的切线交 轴于点 ，
若 ，且 ，则双曲线 的离心率为
A． B． C．2 D．
【变式训练2】如图， ， 分别是双曲线 的两个焦点，以坐标原
点 为圆心， 为半径的圆与该双曲线左支交于 ， 两点，若△ 是等边三角形，
则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．【变式训练3】已知双曲线 ，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【变式训练4】已知双曲线 的离心率为2，则其渐近线的倾斜角为
A． B． C． 或 D． 或
【变式训练5】双曲线 的右焦点为 ，过 作双曲线的一条渐近
线的垂线，垂足为 ，直线 与另一渐近线交于点 ，若 是 的中点，则双曲线
的离心率为
A． B．2 C． D．3
【变式训练6】已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，椭圆 与
双曲线 的焦点相同， 与 在第一象限的交点为 ，若 的中点在双曲线 的渐近
线上，且 ，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．【变式训练7】如图所示， ， 是双曲线 的左、右焦点， 的
右支上存在一点 满足 ， 与 的左支的交点 满足 ，则
双曲线 的离心率为
A．3 B． C． D．
【变式训练8】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在
上，且 ， 的面积为 为坐标原点），则双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
【变式训练9】已知 、 分别为双曲线 的左右焦点，双曲线上的
点 到原点的距离为 ，且 ，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．2
【变式训练10】如图，已知 ， 是双曲线 的左、右焦点， ， 为双曲
线 上两点，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
【变式训练11】已知点 ， 是双曲线 上关于原点对称的任意两点，
点 在双曲线上（异于 ， 两点），若直线 ， 斜率之积为 ，则双曲线的
离心率为
A． B．2 C． D．3
【例7】已知直线 与双曲线 无公共交点，则 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练1】已知圆 与双曲线 ，若在双
曲线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线，切点为 、 ，且
，则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练2】已知双曲线 ，点 的坐标为 ，若 上的任意
一点 都满足 ，则 的离心率取值范围是
A． B． C． D．
题型六：直线与双曲线的位置关系
【要点讲解】有关弦长、面积问题的解题策略：(1)弦长问题，通常利用“弦长公式”，借
助“韦达定理”进行求解；(2)面积问题多为“三角形或四边形的面积”，首先是图形的面
积怎么表示出来，是通过直接手段还是间接手段，其实质也是“弦长问题”．
【例8】已知直线 ，双曲线 ，则A．直线 与双曲线 有且只有一个公共点
B．直线 与双曲线 的左支有两个公共点
C．直线 与双曲线 的右支有两个公共点
D．直线 与双曲线 的左右两支各有一个公共点
【变式训练1】已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直线 与 只有
一个交点，则
A． B． C． D．
【变式训练2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的
直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 为线段 的中点，且 ，则
的离心率为
A． B．2 C． D．3
【变式训练3】已 知 双 曲 线 的 离 心 率 为 且 过 点 ， 直 线
与 的右支有两个不同的交点，则实数 的取值范围是
A． ， ， B．
C． D．【例9】已知双曲线 的一条渐近线为 ，且双曲线 的虚轴长
为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记 为坐标原点，过点 的直线 与双曲线 相交于不同的两点 、 ，若
的面积为 ，求直线 的方程．
【变式训练1】已知双曲线 的离心率为 ，设 的右焦点为 ，
右顶点为 ，虚轴下端点为 ，且 ．
（1）求 的方程；
（2）过坐标原点的直线 与 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，且点 ， 都在
第一象限，若 的面积是 面积的2倍，求 的斜率．【变式训练2】已知双曲线 经过点 ，其中一条渐近线为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）一条过双曲线 的右焦点 且纵截距为 的直线 ，交双曲线 于 ， 两点，求
的值．
