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专题 8.4 椭圆
目录
题型一： 椭圆的定义及应用...........................................................................................................3
题型二： 椭圆中的最值问题...........................................................................................................6
题型三： 椭圆标准方程...................................................................................................................7
题型四： 椭圆的焦点三角形...........................................................................................................9
题型五： 椭圆的几何性质.............................................................................................................12
题型六： 位置关系的判断.............................................................................................................17
题型七： 弦长问题.........................................................................................................................20
题型八： 面积问题.........................................................................................................................23
知识点总结
知识点一、椭圆的定义
把平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于 | F F|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定
1 2 1 2
点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
知识点二、椭圆的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准
＋ ＝ 1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
方程
图形a，b，c
a 2 ＝ b 2 ＋ c 2
的关系
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
－a≤x≤a， －b≤x≤b，
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
简
单
几
A(－a,0)，A(a,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
何 1 2 1 2
性 顶点
质
B(0，－b)，B(0，b) B ( － b , 0) ， B ( b , 0)
1 2 1 2
轴长 短轴长|BB|＝2b，长轴长|AA|＝2a
1 2 1 2
离心率 e＝，且 e∈(0,1)，e越接近1，椭圆越扁平
知识点三、在用椭圆定义时，若|FF|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线
1 2
段(包括端点)；若|FF|＞2a，则轨迹不存在.
1 2
【常用结论与知识拓展】
(1)椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF|∈[a－c，
1
a＋c]；|PF|·|PF|∈[b2，a2]；∠FPF≤∠FBF.
1 2 1 2 1 2
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y)与两焦点构成的△PFF 叫做焦点三角形. r ＝|PF|，r
0 0 1 2 1 1 2
＝|PF|，∠FPF＝θ，△PFF 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
2 1 2 1 2
①焦点三角形的周长为2(a＋c)；
②4c2＝r＋r－2rrcos θ；
1 2③当r＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
④S＝rrsin θ＝b2tan＝c|y|，当|y|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大
1 2 0 0
值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为.
(4)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x，y)，B(x，y)，弦中点M(x，y)，则
1 1 2 2 0 0
①弦长l＝|x－x|＝|y－y|；
1 2 1 2
②直线AB的斜率k＝－；
③k·k ＝－.
OM
例题精讲
题型一：椭圆的定义及应用
【要点讲解】根据题目所给条件，抓住动点所满足的条件，根据椭圆定义得出椭圆的标准
方程．在得到的标准方程中，要注意是否需要“去除”某些不满足题设条件的点．
【例1】若 的两个顶点坐标 、 ， 的周长为18，则顶点 的轨迹
方程为
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ， ，
又 的周长为18， ．
顶点 的轨迹是一个以 、 为焦点的椭圆，则 ， ， ，
顶点 的轨迹方程为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知圆 ，点 ， 是圆上任意一点，线段 的
中垂线 和直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，联结 ，由于 在 的中垂线上，有 ，
则 ．
是 的半径， ．
所以 到 、 的距离之和为定值，轨迹为椭圆
椭圆的焦点是 、 ，中心是 中点
由于 ， ，
所以 ， ．
则 ．
则椭圆的方程是： ．
即 的轨迹方程为 ．
故选： ．【变式训练2】已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上一动点，
点是三角形 的重心，则点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设 ， ，设 为 ，
又易知 ， ， ， ，
根据三角形的重心坐标公式可得：
， ， ，
又 在椭圆 上，
， ，
即 ，
的轨迹方程为 ，
故选： ．【变式训练3】已知椭圆 方程为 ，过平面内的点 作椭圆 的两条互相垂直
的切线，则点 的轨迹方程为
A． B． C． D．
【解答】解：设点 ， ，当切线斜率存在且不为 0 时，设切线方程为
，
联立 ，
消去 得 ，
则 ，
即 ，
两切线垂直故其斜率之积为 ，则由根与系数关系知 ，即 ．
当切线斜率不存在或为0时，此时点 坐标为 ， ， ， ，满足方程
，
故所求轨迹方程为 ．
故选： ．
题型二：椭圆中的最值问题
【例2】设椭圆 的左焦点为 ，下顶点为 ，点 在 上，则的最大值为
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：根据题意可得 ，设椭圆 的右焦点为 ，
则 ，又点 在 上，
，
当且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立，
故 的最大值为3．
故选： ．
【变式训练1】椭圆 上任一点 到点 的距离的最小值为
A． B． C．2 D．
【解答】解：设点 的坐标为 ，有 ，
．
故选： ．
【变式训练2】已知椭圆 ， 是椭圆的左焦点， 是椭圆上一点，若椭圆内一
点 ，则 的最小值为
A．3 B． C． D．
【解答】解：由椭圆的方程可得 ，焦点 ，
因为 在椭圆内部，设右焦点 ，则 ，则 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，
故选： ．
题型三：椭圆标准方程
【要点讲解】求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所
在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为
mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
【例3】两个焦点的坐标分别为 ， 的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，
则椭圆的标准方程
为
A． B． C． D．
【解答】解： 两个焦点的坐标分别是 ， ，
椭圆的焦点在横轴上，并且 ，
由椭圆的定义可得： ，即 ，
由 ， ， 的关系解得 ，
椭圆方程是 ．
故选： ．
【变式训练1】椭圆的两个焦点是 和 ，椭圆上的点 到两个焦点的距离之和等
于10，则椭圆的标准方程是
A． B． C． D．【解答】解：椭圆的两个焦点是 和 ，椭圆上的点 到两个焦点的距离之和等
于10，
则 ，即 ， ，
故 ，
所以椭圆的标准方程是 ．
故选： ．
【变式训练2】焦点在 轴上，且长轴长与短轴长之比为 ，焦距为 的椭圆方程为
A． B． C． D．
【解答】解： 焦距为 ， ，
长轴长与短轴长之比为 ，
，即 ，
且 ，联立解得 ， ，
焦点在 轴上，所以椭圆方程为： ．
故选： ．
【例4】“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由 ， ，可得 ， ；
由方程 表示的曲线为椭圆可得 ， ， ．
故“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件．
故选： ．【变式训练1】“ ”是方程“ 表示椭圆”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：方程 表示椭圆 ，解得 ，且 ．
“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件．
故选： ．
【变式训练2】“ ”是“方程 表示椭圆”的
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： 可得 ，
方程 整理可得： ；
若 ，则方程 表示单位圆．
若方程： 表示椭圆，则 且 ．
故“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件．
故选： ．
题型四：椭圆的焦点三角形
【要点讲解】椭圆的焦点三角形是描述椭圆上一点到与两个焦点的距离、焦距之间的相互
制约关系的一个载体. 因此具有“双重特征”，即可以利用椭圆的定义和解三角形知识即可
解决相关问题，是高考命题热点，题材内容丰富多变，具备良好的考查背景．
【例5】如图，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点．若 ， ， ，则椭圆 的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，则 ，又因 ，
又 ，可得 ，解得 ，可得 ，
，
椭圆方程为： ，
故选： ．
【变式训练1】已 知 点 在 椭 圆 上 ， 与 分 别 为 左 、 右 焦 点 ， 若
，则△ 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆 ，可得 ， ，
设 ， ，
由题意可得： ， ，
解得 ，△ 的面积为 ．
故选： ．
【变式训练2】已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆 ， ， 为两个焦点， ，
为原点， 为椭圆上一点， ，
设 ， ，不妨 ，
可得 ， ，即 ，可得 ，
，
，
可得
．
可得 ．
故选： ．【变式训练3】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．若斜率为
1，且过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，则 的周长为
A．9 B．12 C．18 D．24
【解答】解：因为椭圆 ，
所以 ，解得 ，
又过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，
所以 的周长为
．
故选： ．
【变式训练4】已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，右顶点为 ，
为 的中点，且 ，直线 与 交于 ， 两点，且 的周长为28，
则椭圆 的短轴长为 ．
【解答】解： 为 的中点，且 ，
， ，
， ，
，
，
，的周长为28，
， ，
由已知可得 ， ， ， ， ，
， ，
， ， ，
， 短轴长为 ．
故答案为： ．
题型五：椭圆的几何性质
【要点讲解】求椭圆的离心率一般策略：(1)直接利用公式e＝求解；(2)通过构造关于a，c
的“齐次方程”来解决，构造关于的方程求解；(3)值得注意的是，只要再确定a，b，c的
一个关系，就可以求离心率，椭圆e＝＝＝.求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆
的几何性质及平面几何的知识构造不等式后进一步求解．
【例6】已知椭圆 的左右焦点为 ， ，过 的直线与椭圆交于
两点， 为 的中点， ，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设 ， ，
此时 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 为锐角，
可得 ，
在 △ 中 ， 由 余 弦 定 理 得
，
所以 ，
则△ 为直角三角形，
此时 ，
而△ 的周长 ，
解得 ，
所以 ，
则 ，
解得 ．
故选： ．【变式训练1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ， 是
椭圆 上关于原点对称的两个点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率
为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
由椭圆的对称性可知，四边形 为长方形，
则 ， ，
由 ，且 ，
得 ， ，
，解得 ．
故选： ．【变式训练2】如 图 ， ， 是 椭 圆 的 左 、 右 顶 点 ， 是
上 不 同 于 ， 的 动 点 ， 线 段 与 椭 圆 交 于 点 ， 若
，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 在椭圆 上，则设 ，
， ，
①，
又 是 的直径，则 ，即 ，
②，
由①②得 ，
又 ，则 ．
故选： ．
【变式训练3】已知椭圆 中， ，则椭圆 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
则 ，
故 ，即 ，
又 ，
综上所述，椭圆 的离心率的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练4】已知椭圆 关于 轴、 轴均对称，焦点在 轴上，且焦距为 ，若
点 不在椭圆 的外部，则椭圆 的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆 的方程为 ，
因为 不在椭圆 的外部，
所以 ，因为 ，
所以 ，化简得： ，
同除以 得： ，结合 ，
解得： ，故 ．
故选： ．
【变式训练5】已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 为坐标原点， 是
椭圆 上的点（不在坐标轴上）， 的平分线交 于 ，且 ，则椭圆 的
离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的焦距为 ，则 ，即 ，
因为 平分 ，且 ，
所以 ，
由椭圆的定义知， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以离心率 ， ．故选： ．
【变式训练6】已知 为坐标原点， ， ， 分别是椭圆 的左顶
点、上顶点和右焦点，点 在椭圆 上，且 ，若 ，则椭圆 的离心率
为
A． B．1 C． D．
【解答】解：令椭圆 中 ，则 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，则 ，
即 ，
所以 ．
故选： ．题型六：位置关系的判断
【要点讲解】直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实
数解的个数来确定. 通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系
来判定.
【例7】若直线 与椭圆 恒有两个不同的公共点，则 的取值范围
是 ， ， ．
【解答】解：椭圆 ，则 ，且 ，
直线 恒过点 ，要使直线与椭圆 恒有两个公共点，
则 必在椭圆内部， ，则 ，
综上可知： 的取值范围： ， ， ．
故答案为： ， ， ．
【变式训练1】直线 与曲线 有两个公共点，则 的取值范围是
．
【解答】解：如图所示，曲线 是焦点在 轴的上半个椭圆，长半轴的长为
2，短半轴的长为1，
是一个斜率为1的直线，要使两图形有两个交点，直线经过 时，直线与半椭圆有两个交点，可得 ；
直 线 与 椭 圆 相 切 ， 可 得 ， 消 去 ， 可 得 ， △
，解得 ， 舍去，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【例8】如图，已知直线 和椭圆 ． 为何值时，直线 与椭
圆
（1）有两个公共点？
（2）有且只有一个公共点？
（3）没有公共点？【解答】解：由方程组 ，
消去 ，得 ，①
方程①的根的判别式△ ．
（1）由△ ，得 ，此时方程①有两个不相等的实数根，直线 与椭圆 有两
个不同的公共点．
（2）由△ ，得 或 ，此时方程①有两个相等的实数根，直线 与椭圆
有且只有一个公共点．
（3）由△ ，得 或 ，此时方程①没有实数根，直线 与椭圆 没有公共
点．
【变式训练1】椭圆 与直线 相交于 ， 两点，过 的中点 与
坐标原点的直线的斜率为2，则
A． B． C． D．2
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ，
，
由 的中点为 可得 ①， ②，
由 ． 在椭圆上，可得 ， ，
两式相减可得 ③，
把①②代入③可得 ，整理可得 ．
故选： ．
题型七：弦长问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x ，y)，B(x ，y)，则弦长公式|AB|＝＝·|x －x|＝·|
1 1 2 2 1 2
y －y|＝·(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式
1 2
Δ>0这一前提.
【例9】若椭圆 的弦 被点 平分，则 所在直线的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， ， ， ，
则 ，
所以 ，
整理得 ，
因为 为弦 的中点，
所以 ， ，
所以 ，
所以弦 所在直线的方程为 ，即 ．
故选： ．【变式训练1】在椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设以点 为中点弦的两端点为 ， ， ， ，
则有 ，
两式相减得可得： ，
又由点 为 的中点，则有 ， ，
则有 ．
即以点 为中点的弦所在直线斜率为 ；
直线方程为： ，即 ．
故选： ．
【例10】已知椭圆 ，点 是椭圆的弦 的中点．
（1）求直线 的方程；
（2）求弦 的长度．
【解答】解：（1）因为 是椭圆弦 的中点，
不妨设 ， ， ， ，
此时 ， ，因为 ， 两点都在椭圆 ，
所以 ，
两式相减得 ，
即 ，
因为 ，
对等式两边同时除以 ，
可得 ，
即 ，
则直线 的方程为 ，
即 ；
（2）联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
又△ ，
则 ．
【变式训练1】椭圆 左、右焦点为 ， ，离心率为 ，点在椭圆 上．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过点 ，倾斜角为 直线 与椭圆交于 ， 两点，求 ．
【解答】（1）由题意得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为： ；
又因为点 在椭圆 上，
可得 ，解得 ， ，
所以椭圆的标准方程为： ；
（2）过点 ，倾斜角为 直线 的方程为： ，即 ，
设 ， ， ， ，
联立椭圆的方程 ，整理可得 ，
可得 ， ，
代入直线 的方程可得 ， ，
即 ， ， ，
所以弦长 ．
题型八：面积问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x ，y)，B(x ，y)，则弦长公式|AB|＝＝·|x －x|＝·|
1 1 2 2 1 2y －y|＝·(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式
1 2
Δ>0这一前提.
【例11】已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，焦距为 ，点
， 在椭圆 上．
（1） 是 上一动点，求 的范围；
（2）过 的右焦点 ，且斜率不为零的直线 交 于 ， 两点，求△ 的内切圆
面积的最大值．
【解答】解：（1）由题间知 ， ，
将 ， 代入 ，解得 ， 椭圆 的方程为： ，
设点 ，则 ， ， ，
又 ， ， 的取值范围是 ， ．
（2）依题意可设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ，
， ，
，
又 ，当且仅当 时等号成立， ，
设△ 的内切圆半径为 ，则 ，
△ 的内切圆面积的最大值为 ．
【变式训练1】已知平面内的动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点 与两定点 ， 的距
离之比 ， ，且 是一个常数），其方程为 ，定点分别为椭
圆 的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的长轴长为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的左焦点为 ，过点 作直线 交圆 于点 ， ，求 面积
的最大值．
【解答】解：（1）不妨令 ，
由阿波罗尼斯圆定义可得 ，①
因为椭圆 的长轴长为 ，
所以 ，②
联立①②，可得 ，
所以 ，
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）因为 ，
易知直线 的斜率不为0，不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，
消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
因为△ ，
解得 ，
易知 ，
因为 ， 同号，
所以
，
不妨令 ， ，
此时
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 面积的最大值3．
【变式训练2】已知椭圆 经过点 ，且离心率为 ．（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的右顶点为 ，若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（异于点 ，且满足
，求 面积的最大值．
【解答】解：（1）因为经过点 ，且离心率为 ，
所以 ，
解得 ， ，
则椭圆 的方程为 ；
（2）不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理的 ，
易知 ，
由韦达定理得 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
此时 ，
整理得 ，
解得 或 （舍 ，
当 时，满足△ ，所以直线 恒过定点 ，
因为
，
不妨令 ， ，
此时 ，
当 时， 的面积取得最大值，最大值为 ．
