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专题 8.4 椭圆
目录
题型一： 椭圆的定义及应用...........................................................................................................3
题型二： 椭圆中的最值问题...........................................................................................................4
题型三： 椭圆标准方程...................................................................................................................5
题型四： 椭圆的焦点三角形...........................................................................................................6
题型五： 椭圆的几何性质...............................................................................................................7
题型六： 位置关系的判断...............................................................................................................9
题型七： 弦长问题.........................................................................................................................10
题型八： 面积问题.........................................................................................................................12
知识点总结
知识点一、椭圆的定义
把平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于 | F F|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定
1 2 1 2
点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
知识点二、椭圆的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准
＋ ＝ 1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
方程
图形a，b，c
a 2 ＝ b 2 ＋ c 2
的关系
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
－a≤x≤a， －b≤x≤b，
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
简
单
几
A(－a,0)，A(a,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
何 1 2 1 2
性 顶点
质
B(0，－b)，B(0，b) B ( － b , 0) ， B ( b , 0)
1 2 1 2
轴长 短轴长|BB|＝2b，长轴长|AA|＝2a
1 2 1 2
离心率 e＝，且 e∈(0,1)，e越接近1，椭圆越扁平
知识点三、在用椭圆定义时，若|FF|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线
1 2
段(包括端点)；若|FF|＞2a，则轨迹不存在.
1 2
【常用结论与知识拓展】
(1)椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF|∈[a－c，
1
a＋c]；|PF|·|PF|∈[b2，a2]；∠FPF≤∠FBF.
1 2 1 2 1 2
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y)与两焦点构成的△PFF 叫做焦点三角形. r ＝|PF|，r
0 0 1 2 1 1 2
＝|PF|，∠FPF＝θ，△PFF 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
2 1 2 1 2
①焦点三角形的周长为2(a＋c)；
②4c2＝r＋r－2rrcos θ；
1 2③当r＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
④S＝rrsin θ＝b2tan＝c|y|，当|y|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大
1 2 0 0
值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为.
(4)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x，y)，B(x，y)，弦中点M(x，y)，则
1 1 2 2 0 0
①弦长l＝|x－x|＝|y－y|；
1 2 1 2
②直线AB的斜率k＝－；
③k·k ＝－.
OM
例题精讲
题型一：椭圆的定义及应用
【要点讲解】根据题目所给条件，抓住动点所满足的条件，根据椭圆定义得出椭圆的标准
方程．在得到的标准方程中，要注意是否需要“去除”某些不满足题设条件的点．
【例1】若 的两个顶点坐标 、 ， 的周长为18，则顶点 的轨迹
方程为
A． B．
C． D．
【变式训练1】已知圆 ，点 ， 是圆上任意一点，线段 的
中垂线 和直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程为A． B． C． D．
【变式训练2】已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上一动点，
点是三角形 的重心，则点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【变式训练3】已知椭圆 方程为 ，过平面内的点 作椭圆 的两条互相垂直
的切线，则点 的轨迹方程为
A． B． C． D．
题型二：椭圆中的最值问题
【例2】设椭圆 的左焦点为 ，下顶点为 ，点 在 上，则
的最大值为
A．1 B． C．3 D．
【变式训练1】椭圆 上任一点 到点 的距离的最小值为
A． B． C．2 D．【变式训练2】已知椭圆 ， 是椭圆的左焦点， 是椭圆上一点，若椭圆内一
点 ，则 的最小值为
A．3 B． C． D．
题型三：椭圆标准方程
【要点讲解】求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所
在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为
mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
【例3】两个焦点的坐标分别为 ， 的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，
则椭圆的标准方程
为
A． B． C． D．
【变式训练1】椭圆的两个焦点是 和 ，椭圆上的点 到两个焦点的距离之和等
于10，则椭圆的标准方程是
A． B． C． D．
【变式训练2】焦点在 轴上，且长轴长与短轴长之比为 ，焦距为 的椭圆方程为A． B． C． D．
【例4】“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1】“ ”是方程“ 表示椭圆”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式训练2】“ ”是“方程 表示椭圆”的
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型四：椭圆的焦点三角形
【要点讲解】椭圆的焦点三角形是描述椭圆上一点到与两个焦点的距离、焦距之间的相互
制约关系的一个载体. 因此具有“双重特征”，即可以利用椭圆的定义和解三角形知识即可
解决相关问题，是高考命题热点，题材内容丰富多变，具备良好的考查背景．
【例5】如图，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的直线
与椭圆相交于 、 两点．若 ， ， ，则椭圆 的方程为A． B． C． D．
【变式训练1】已 知 点 在 椭 圆 上 ， 与 分 别 为 左 、 右 焦 点 ， 若
，则△ 的面积为
A． B． C． D．
【变式训练2】已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．
【变式训练3】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．若斜率为
1，且过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，则 的周长为
A．9 B．12 C．18 D．24【变式训练4】已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，右顶点为 ，
为 的中点，且 ，直线 与 交于 ， 两点，且 的周长为28，
则椭圆 的短轴长为 ．
题型五：椭圆的几何性质
【要点讲解】求椭圆的离心率一般策略：(1)直接利用公式e＝求解；(2)通过构造关于a，c
的“齐次方程”来解决，构造关于的方程求解；(3)值得注意的是，只要再确定a，b，c的
一个关系，就可以求离心率，椭圆e＝＝＝.求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆
的几何性质及平面几何的知识构造不等式后进一步求解．
【例6】已知椭圆 的左右焦点为 ， ，过 的直线与椭圆交于
两点， 为 的中点， ，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ， 是
椭圆 上关于原点对称的两个点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率
为
A． B． C． D．【变式训练2】如 图 ， ， 是 椭 圆 的 左 、 右 顶 点 ， 是
上 不 同 于 ， 的 动 点 ， 线 段 与 椭 圆 交 于 点 ， 若
，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【变式训练3】已知椭圆 中， ，则椭圆 的离心率的取值范
围是
A． B． C． D．
【变式训练4】已知椭圆 关于 轴、 轴均对称，焦点在 轴上，且焦距为 ，若
点 不在椭圆 的外部，则椭圆 的离心率的取值范围为
A． B． C． D．【变式训练5】已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 为坐标原点， 是
椭圆 上的点（不在坐标轴上）， 的平分线交 于 ，且 ，则椭圆 的
离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练6】已知 为坐标原点， ， ， 分别是椭圆 的左顶
点、上顶点和右焦点，点 在椭圆 上，且 ，若 ，则椭圆 的离心率
为
A． B．1 C． D．
题型六：位置关系的判断
【要点讲解】直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实
数解的个数来确定. 通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系
来判定.
【例7】若直线 与椭圆 恒有两个不同的公共点，则 的取值范围
是 ．
【变式训练1】直线 与曲线 有两个公共点，则 的取值范围是．
【例8】如图，已知直线 和椭圆 ． 为何值时，直线 与椭
圆
（1）有两个公共点？
（2）有且只有一个公共点？
（3）没有公共点？
【变式训练1】椭圆 与直线 相交于 ， 两点，过 的中点 与
坐标原点的直线的斜率为2，则
A． B． C． D．2题型七：弦长问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x ，y)，B(x ，y)，则弦长公式|AB|＝＝·|x －x|＝·|
1 1 2 2 1 2
y －y|＝·(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式
1 2
Δ>0这一前提.
【例9】若椭圆 的弦 被点 平分，则 所在直线的方程为
A． B． C． D．
【变式训练1】在椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为
A． B． C． D．
【例10】已知椭圆 ，点 是椭圆的弦 的中点．
（1）求直线 的方程；
（2）求弦 的长度．
【变式训练1】椭圆 左、右焦点为 ， ，离心率为 ，点在椭圆 上．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过点 ，倾斜角为 直线 与椭圆交于 ， 两点，求 ．
题型八：面积问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x ，y)，B(x ，y)，则弦长公式|AB|＝＝·|x －x|＝·|
1 1 2 2 1 2
y －y|＝·(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式
1 2
Δ>0这一前提.
【例11】已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，焦距为 ，点
， 在椭圆 上．
（1） 是 上一动点，求 的范围；
（2）过 的右焦点 ，且斜率不为零的直线 交 于 ， 两点，求△ 的内切圆
面积的最大值．【变式训练1】已知平面内的动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点 与两定点 ， 的距
离之比 ， ，且 是一个常数），其方程为 ，定点分别为椭
圆 的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的长轴长为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的左焦点为 ，过点 作直线 交圆 于点 ， ，求 面积
的最大值．【变式训练2】已知椭圆 经过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的右顶点为 ，若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（异于点 ，且满足
，求 面积的最大值．
