文档内容
重难点突破 14 阿基米德三角形
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：定点问题................................................................................................................................3
题型二：交点的轨迹问题....................................................................................................................5
题型三：切线垂直问题........................................................................................................................6
题型四：面积问题................................................................................................................................7
题型五：外接圆问题............................................................................................................................9
题型六：最值问题..............................................................................................................................10
题型七：角度相等问题......................................................................................................................11
03 过关测试.........................................................................................................................................13如图所示， 为抛物线 的弦， ， ，分别过 作的抛物线的切线交
于点 ，称 为阿基米德三角形，弦 为阿基米德三角形的底边．
y
B
F
A
O x
P
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内定点 ，则另一顶点 的轨迹为一条直线．
3、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为
．
6、点 的坐标为 ；
7、底边 所在的直线方程为
8、 的面积为 ．
9、若点 的坐标为 ，则底边 的直线方程为 ．
10、如图 1，若 为抛物线弧 上的动点，点 处的切线与 ， 分别交于点 C，D，则
.
11、若 为抛物线弧 上的动点，抛物线在点 处的切线与阿基米德三角形 的边 ， 分
别交于点C，D，则 ．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的 ．图1
题型一：定点问题
【典例1-1】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线
C： 给出如下三个条件：①焦点为 ；②准线为 ；③与直线 相交所得弦长为
2．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
(2)已知 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交
点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请
说明理由．
【典例1-2】（2024·山东滨州·一模）已知点 ， ，动点 满足 ．记点 的
轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别是 ， ．证明：直线 过定点．【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知动圆过点 （0，1），且与直线 ： 相切．
(1)求动圆圆心的轨迹 的方程；
(2)点 一动点，过 作曲线E两条切线 ， ，切点分别为 ， ，且 ，直线 与圆
相交于 ， 两点，设点 到直线 距离为 ．是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】设点 为抛物线 ： （ ）的动点， 是抛物线的焦点，当 时，
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)当 在第一象限且 时，过 作斜率为 ， 的两条直线 ， ，分别交抛物线于点 ， ，且
，证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标；
(3)是否存在定圆 ： ，使得过曲线 上任意一点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另
外两点 ， 时，总有直线 也与圆 相切？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
【变式1-3】（2024·河南·模拟预测）已知动点 到直线 的距离比到定点 的距离大1.
（1）求动点 的轨迹 的方程.
（2）若 为直线 上一动点，过点 作曲线 的两条切线 ， ，切点为 ， ， 为 的
中点.
①求证： 轴；
②直线 是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.题型二：交点的轨迹问题
【典例2-1】已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点，求直线
的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于D， 两点，过点D， 分别作抛物线 的切线 ， ，求 ，
交点 满足的轨迹方程．
【典例2-2】已知抛物线 的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心， 为半径的圆的
最小面积为 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线 ， ，两切线交于点P，求点P的轨
迹方程．
【变式2-1】（2024·高三·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，点 满足方程 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）作曲线 关于 轴对称的曲线，记为 ，在曲线 上任取一点 ，过点 作曲线 的切线 ，
若切线 与曲线 交于 、 两点，过点 、 分别作曲线 的切线 、 ，证明： 、 的交点必在曲线
上.
【变式2-2】已知抛物线C： ，过点 的直线 交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切
线为 ，在点B处的切线为 ，直线 与 交于点M.(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： ；
(2)证明：点M在定直线上.
题型三：切线垂直问题
【典例3-1】已知抛物线 的方程为 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 .
（1）若点 坐标为 ，求切线 的方程；
（2）若点 是抛物线 的准线上的任意一点，求证：切线 和 互相垂直.
【典例3-2】已知P是抛物线 的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线 ，切点
分别为 ．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值．
【变式3-1】已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，抛物线
的顶点为原点.
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 为切点.设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【变式3-2】如图，已知抛物线 的焦点是 ，准线是 ，抛物线上任意一点 到 轴的距离比
到准线的距离少2.
（1）写出焦点 的坐标和准线 的方程；
（2）已知点 ，若过点 的直线交抛物线 于不同的两点 （均与 不重合），直线 分
别交 于点 ，求证： .
题型四：面积问题
【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线 的准线方程为 ，直线l与C
交于A，B两点，且 （其中O为坐标原点），过点O作 交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点 作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求 面积的最小值.
【典例4-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线 ，点 在抛物线 上．(1)证明：以R为切点的 的切线的斜率为 ；
(2)过 外一点A（不在x轴上）作 的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线 （切点为
D），点 、 分别是与AB、AC的交点（如图）．
（i）若直线AD与BC的交点为E，证明：D是AE的中点；
（ii）设三角形△ABC面积为S，若将由过 外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）
围成的三角形叫做“切线三角形”，如 ．再由点 、 确定的切线三角形 ， ，
并依这样的方法不断作1，2，4，…， 个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于 ．
【变式4-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 是 轴下方的一点，过
点 作 的两条切线 ，且 分别交 轴于 两点.
(1)求证： ， ， ， 四点共圆；
(2)过点 作 轴的垂线 ，两直线 分别交 于 两点，求 的面积的最小值.
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且斜率为 的
直线 与圆 ： 相切.
(1)求 的方程；
(2)设 ，过点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，试求 面积的取值
范围.题型五：外接圆问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·二模）已知抛物线 的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C
上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：① ；② ；③直
线AB的方程为 ．
(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 经过点 ，且与（1）的抛物线C交于A，B两点， ，若 ，
求 的值；
(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线
两两相交于M，N，P，求证： 的外接圆过焦点F．
【典例5-2】已知抛物线C： ，直线l： 交 于 ， 两点，当 ，
时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)分别过点 ， 作抛物线 的切线，两条切线交于点 ，且 ， 分别交 轴于 ， 两点，证明：
的外接圆过定点．
【变式5-1】已知抛物线 ： ，焦点为 ，过 作 轴的垂线 ，点 在 轴下方，过点 作抛物
线 的两条切线 ， ， ， 分别交 轴于 ， 两点， ， 分别交 于 ， 两点．
(1)若 ， 与抛物线 相切于 ， 两点，求点 的坐标；
(2)证明： 的外接圆过定点；
(3)求 面积 的最小值．【变式5-2】设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点
分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线
相交于点 . 求证：
(1)直线 AB经过点 ;
(2) 的外接圆过定点.
题型六：最值问题
【典例6-1】（2024·河南驻马店·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，直
线 ： 与 相离．若 到直线 的距离为 ，且 的最小值为 ．过 上两点 分别
作 的两条切线，若这两条切线的交点 恰好在直线 上．
（1）求 的方程；
（2）设线段 中点的纵坐标为 ，求证：当 取得最小值时， ．
【典例6-2】如图已知 是直线 上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为
，与 轴分别交于 .
（1）求证：直线 过定点，并求出该定点；
（2）设直线 与 轴相交于点 ，记 两点到直线 的距离分别为 ；求当 取最大值时
的面积.【变式6-1】在直角坐标系 中，已知抛物线 ， 为直线 上的动点，过点 作
抛物线 的两条切线，切点分别为 ，当 在 轴上时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)求点 到直线 距离的最大值.
【变式6-2】从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，
平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活
中．如图，已知抛物线 ，从点 发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经
过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 ，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别
为A、B，求 的取值范围．
题型七：角度相等问题
【典例7-1】（2024·广西·二模）已知抛物线 ，过点 作直线交抛物线C于A，B两点，过
A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)证明：P在定直线上；(2)若F为抛物线C的焦点，证明： ．
【典例7-2】如图所示，设抛物线C： 的焦点为F，动点P在直线l： 上运动，过P作抛
物线C的两条切线 ， ，切点分别为A，B，求证： .
【变式7-1】已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，直线 过点 且垂直于椭圆长轴，动
直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)若动点 在直线 上运动，且过点 作轨迹 的两条切线 、 ，切点为A、B，试猜想
与 的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【变式7-2】（2024·广东汕头·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线
于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明： ．
1．过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称 为抛物线的阿基米德三角形，
弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三
角形面积的三分之二．如图，点 是圆 上的动点， 是抛物线 的
阿基米德三角形， 是抛物线 的焦点，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
(3)设 是“圆边形”的抛物线弧 上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线 交阿基米
德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明： ．2．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形，对于抛物线 给
出如下三个条件：
①焦点为 ②准线为 ③与直线 相交所得弦长为 ．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线 的方程
(2)已知 是 中抛物线的 阿基米德三角形 ，点 是抛物线 在弦 两端点处的两条切线的交点，
若直线 经过点 ，试判断点 是否在一条定直线上 如果是，求出定直线方程 如果不是，请说明理
由．
3．在平面直角坐标系 中，圆 ： 外的点 在 轴的上半部分运动，且 到圆 上的点的
最小距离等于它到 轴的距离.
（1）求动点 的轨迹方程 ；
（2）若从点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：直线 恒过定点.
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知曲线 上的任意一点 到点 的距离比到直线 的距离少
1，动点 在直线 上，过点 作曲线 的两条切线 ，其中 为切点.
（1）求曲线 的方程；
（2）判断直线 是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由.
5．已知曲线 上的动点 满足到点 的距离比到直线 的距离小1．
（1）求曲线 的方程；
（2）动点 在直线 上，过点 分别作曲线 的切线 、 ，切点为 、 ．（ⅰ）求证：直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线 上是否存在一点 ，使得 为等边三角形（ 点也在直线 上）？若存在,求出点 坐
标,若不存在,请说明理由
6．已知动点P在x轴及其上方，且点P到点 的距离比到x轴的距离大1.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若点Q是直线 上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA､QB，其中A､B为切点，试
证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.
7．（2024·高三·全国·课后作业）设 为抛物线 ： 上的两个动点，过 分别作抛物线 的切
线 ，与 轴分别交于 两点，且 与 相交于点 ，若 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）求证： 的面积为一个定值，并求出这个定值．
8．如图所示，抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧
AB上动点P(x，y)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l，l，
0 0 1 2
l 与l 相交于点M.
1 2(1)求p的值；
(2)求动点M的轨迹方程．
9．（2024·高三·陕西咸阳·期末）如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线 于不同两点 ，
为拋物线上任意一点（与 不重合），直线 分别交抛物线的准线 于点 .
（Ⅰ）写出焦点 的坐标和准线 的方程；
（Ⅱ）求证： .
10．（2024·江苏·模拟预测）抛物级 的焦点 到直线 的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的两条切线，
两切线的交点为 ，求证： .11．设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点．
(1)若 ，求 的方程．
(2)以 ， 为切点分别作抛物线 的两条切线，证明：两条切线的交点 一定在定直线上，且 ．
12．已知抛物线C： （ ）的准线方程为 ．动点P在 上，过P作抛物线
C的两条切线，切点为M，N．
(1)求抛物线C的方程：
(2)当 面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
13．已知抛物线 与双曲线 有共同的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交于
点 ，求 面积的最小值.
14．（2024·河南·三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆 经过
抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.15．（2024·云南·二模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：
经过抛物线C的焦点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线1与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求
面积的最小值.
16．（2024·高三·浙江嘉兴·期末）已知抛物线 上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距
离大 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线
上，求三角形ABP面积的最大值.
