重难点突破05立体几何中最值、范围问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 05 立体几何中最值、范围问 题 一．选择题（共5小题） 1．已知二面角 的平面角为 ， 与平 面 所成角为 ．记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：作 ，垂足为 ，连接 ， ，即 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，又 ，故平面 ，平面 ， 为 在 内的射影，则 为 与平面 所成角，即 ， ， ， 为二面角 的平面角，即 ， ， 在 中，由正弦定理有：， ， ，又 ， ， ，又 ， ，即 ， ． 故选： ． 2．在正方体 中，点 为棱 上的动点，则 与平面 所成角 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：设 ，连接 ，则 ， 因为在正方体 中， 平面 ， 平面 ， 所以 ， 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以 即为 与平面 所成角 ． 设 ， ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ． 故选： ． 3．在如图所示的几何体中，底面 是边长为2的正方形， ， ， ， 均 与底面 垂直，且 ，点 ， 分别为线段 ， 的中 点，则下列说法错误的是 A．直线 与平面 平行 B．三棱锥 的外接球的表面积是 C．点 到平面 的距离为 D．若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是 【解答】解：如图建立空间直角坐标系，可得 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， 对于 ，2， ， 设平面 的法向量 ， ， ， ，2， ， ，2， ， 所以 ， 令 ，得 ， ， 所以 ，1， ， 所以 ，2， ，1， ， 所以直线 与平面 平行，选项 正确； 对于 ：三棱锥 的外接球的球心为 ， ， ， 则 ， 所以 ， 解得 ， ， ， 所以三棱锥 的外接球的体积为 ，选项 正确； 对于 ， ，， ， 所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以点 到平面 的距离为 ，选项 正确； 对于 ：设 ，0， ， ， ， ， ，0， ， 所以 ， ， ， 所以异面直线 和 所成角的取值范围是 ， ．选项 错误． 故选： ．4．在正方体 中，棱长为2，平面 经过点 ，且满足直线 与平面 所成角为 ，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，则 长度的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，连接 ，因为 ，所以 ， 又因为直线 与平面 所成角为 ，即 ，所以 ， 所以 在如图所示的圆锥底面上，所以 ， 易知 ， ， ， 所以 ， 所以 ， ． 故选： ．5．在长方体 中， ， ， 是 的中点，点 在线段 上（包含端点），若直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直 角坐标系，如图所示， 则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2， ， 设 ，则 ， ， ， 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ，则 ， 令 ，得 ， ，所以 ， 所以 ， 由于 ，所以 ，所以 ． 故选： ． 二．解答题（共10小题） 6．如图4，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面 为 等腰梯形，且 ， 为 的中点． （1）证明： ； （2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角 的正弦值的取值范围． 【解答】（1）证明：如图，作 的中点 ，连接 ， ， 在等腰梯形 中， ， 为 ， 的中点， ， 在正 中， 为 的中点， ，， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， ． （2）解： 平面 ， 在平面 内作 ，以 为坐标原点，以 ， ， ，分别为 ， ， ， 轴正向，如图建立空间直角坐标系， ， ， 为二面角 的平面角，即 ， ， 0， ， ， ，0， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 则 有 ， ， 即 ， 可 得 令 ， ， ， 即 ， ， ， 又 ，， ， ， ． 7．如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形， ， ， 分 别是线段 ， 的中点， 在平面 内的射影为 ． （1）求证： 平面 ； （2）若点 为棱 的中点，求点 到平面 的距离； （3）若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取 值范围．【解答】证明：（1）法一：连结 ， 为等边三角形， 为 中点， ， 又 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 平面 ，又 平面 ， ， 由题设知四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 中点， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ． 法二：由 平面 ， ， 平面 ， ， ， 又 为等边三角形， 为 中点， ， 则以 为坐标原点， 所在直线为 ， ， 轴，可建立如图所示空间直角坐标 系， 则 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 平面 ， 平面 ．解：（2）由（1）坐标法得 ， 平面 的一个法向量为 ， 点到 到平面 的距离 ． 解：（3） ， 设 ，则 ， ， ， ； 由（1）知 平面 ， 平面 的一个法向量 设平面 的法向量 ， 则 ， ，即 ，令 ，则 ， ， ， ， 令 ，则 ， ，， ， ， ， 即锐二面角 的余弦值的取值范围为 ． 8．在棱长均为2的正三棱柱 中， 为 的中点．过 的截面与棱 ， 分别交于点 ， ． （1）若 为 的中点，试确定点 的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面 与底面 所成锐二面角的正切值； （3）设截面 的面积为 ， 面积为 ， 面积为 ，当点 在棱 上 变动时，求 的取值范围． 【解答】解：（1）在平面 内延长 ， 相交于点 ，则 平面 ，又 平面 ， 则有平面 平面 ， ，即 ， ， 三点共线， 因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，即点 为棱 上靠近点 的三等分点． （2）在平面 内延长 ， 相交于点 ，连接 ， 则平面 平面 ， 在平面 内作 于点 ，则 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 在平面 内作 于点 ，连接 ， 又 ， 平面 ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 所以 为截面 与底面 所成锐二面角的平面角， 在 中，作 于点 ， ， ， ， ，， ， 由余弦定理可得： ，则 ， ，可得 ，所以 ， 又 ，所以 ， 故截面 与底面 所成锐二面角的正切值为 ； （3）设 ，则 ， ， ， 设 的面积为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，且 ， 故 ，令 ，则 ， 设 ， 当 时， ， 由 ， ， ，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递减， 所以 （1） ， ，所以 ， 所以 ．9．如图，在等腰梯形 中， ， ，四边形 为矩形，平面 平面 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离； （3）若点 在线段 上运动，设平面 与平面 的夹角为 ，试求 的取值 范围． 【解答】解：（1）证明：因为在等腰梯形 中， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ，则 ， 因为平面 平面 ，平面 面 ， 面 ， 所以 面 ． （2） ， ， 所以 为等腰三角形，边 上的高为 ， 所以 ， 设点 到平面 的距离为 ， 由 ，得 ， 所以 ，所以 ， 所以点 到平面 的距离为 ． （3）分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系： 令 ，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， 所以 ，1， ， ， ， ， 设 ， ， 为平面 的一个法向量， 则 ， 取 ，则 ， ， 所以 ， ， ， 由题知 ，0， 是平面 的一个法向量， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 的取值范围为 ， ． 10．如图，在三棱柱 中，底面是边长为 4 的等边三角形， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点，平面 平面 ． （1）求证： 平面 ； （2）若点 为线段 上的动点，求平面 与平面 的夹角的余弦值的取值范围． 【解答】解：（1）证明：连接 ，如图所示： 在三棱柱 中，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 中点， ， ， 又 为线段 中点， 是等边三角形， ，又二面角 为直二面角，即平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2） ， ， 为等边三角形， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系 ， 则 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ，0， ， ，2， ， ， ， ， ，4， ，，0， ， ， ， ， ，2， ， ，6， ， 设 ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ，由（1）得 平面 ， 平面 的一个法向量 ，6， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，则 ， ， 平面 的法向量为 ， ， ， ， ， 令 ，则 ， ， ， ， ，令 ，则 ， ， ， ， ， 故锐二面角 的余弦值的取值范围为 ， ． 11．如图，在三棱柱 与四棱锥 的组合体中，已知 ，四边形 是菱形， ， ， ， ． （1）求证： 平面 ． （2）点 为直线 上的动点，求平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围． 【解答】（1）证明：在三棱柱 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 面 ， 平面 ； （2）解：连接 交 于点 ， 四边形 为菱形， ， 以 为原点， ， 所在直线为 轴， 轴，过点 作平行于 的直线为 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ，1， ，设 ， ， ， ， ， ， ， 设 为平面 的一个法向量， 则有 ，令 ，可得 ， ， 则 ， 显然 是平面 的一个法向量， 设平面 与平面 所成角为 ， 则 ， 故平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围为 ． 12．边长为4的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，四边形 是半圆 弧 的内接梯形，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）设 ，且二面角 与二面角 的大小都是 ，当点 在棱 （包含端点）上运动时，求直线 和平面 所成角的正弦值的取值范围． 【解答】解：（1）证明：由题知，平面 面 ，交线为 ， 因为 ， 面 ， 所以 面 ， 又 面 ，所以 ， 又 是 上异于 ， 的点，且 为直径， 所以 ， 又 ， 所以 面 ， 又 面 ， 所以平面 面 ． （2）过点 作 ，垂足为 ， 由（1）知 面 ， 以 为坐标原点， 的方向为 轴正向， 为单位长度， 建立如图所示空间直角坐标系 ， 由（1）知 面 ， 因为 ， 所以 面 ， 所以 为二面角 的平面角， 为二面角 的平面角， 所以 ，四边形 是等腰梯形， 所以 ， 由上可得 ，0， ， ，4， ， ，4， ， ，0， ， ，0， ， ，0， ， 所以 ，0， ， ， ， ， ，4， ， ，0， ，， 令 ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 设 ， ， 是平面向量 的法向量， 则 ，即 ， 令 ，则 ， ， 所以 ， ， ， 设直线 和平面 所成的角为 ， 则 ， ， 当 时， ， 当 时， ， 又 ，当且仅当 时，取等号， 所以 ， 所以直线 和平面 的角的正弦值的取值范围为 ， ． 13．如图，在三棱锥 中，侧面 是锐角三角形， ，平面 平面 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，点 在棱 （异于端点）上，当三棱锥 体积最大时，若二面角 大于 ，求线段 长的取值范围． 【解答】（1）证明：过点 作 于点 ， 平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ， 平面 ，则 ， 又 ，且 ， 平面 ， 而 平面 ，可得 ； （2）解：设 ， ， ，可得 ，即 ， ，得 ， 又由 ， 得 ． 令 （a） ，得 （a） ，由 （a） ，解得 ． 当 时， （a） ， （a）单调递增； 当 时， （a） ， （a）单调递减． 当 时，即 ， 时，三棱锥 的体积最大． 以 为坐标原点，分别以 、 所在直线为 、 轴，以过 垂直于平面 的直线 为 轴建立空间直角坐标系．设 ，可得 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 与平面 的法向量分别为 ， ， 由 ，取 ，可得 ； 由 ，取 ，得 ． 设二面角 的平面角的大小为 ， 则 ，解得 ． 线段 长的取值范围是 ． 14．如图，直三棱柱 的底面边长和侧棱长都为2，点 在棱 上运动（不包括端点）． （1）若 为 的中点，证明： ． （2）设平面 与平面 的夹角为 ，求 的取值范围． 【解答】（1）证明：分别取 ， 的中点 ， ， 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为直三棱柱 的底边长和侧棱长都为2， 为 的中点， 所以 ， ，0， ， ，0， ， ， 故 ， ， 则 ，所以 ； （2）解：设 ，则点 ，0， ， 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ，由 ， ， 可得 ，即 ，令 ， 则 ，故 ，又平面 的一个法向量为 ， 所以 ， 因为 ，则 ， 所以 ， 故 的取值范围为 ． 15．如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， 为等边三角形， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）若点 为线段 上的动点（不包括端点），求平面 与平面 夹角的余弦值 的取值范围．【解答】（1）证明：连接 ，由题设知四边形 为菱形， ， ， 分别 ， 为中点， ， ；又 为 中点， ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ，又 ， ， 平面 ， 平面 ； （2）解： ， ， 为等边三角形， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 以 为坐标原点， 所在直线为 ， ， 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 由（1）知： 平面 ， 所以平面 的一个法向量 ， 设平面 的法向量 ， 则由 ，令 ，可得 ， ， 平面 的法向量 ， ， 令 ，则 ， ， ， ， ， ，即平面 与平面 夹角的余弦值的取值范围为 ．