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专题 8.6 抛物线
目录
题型一： 抛物线的定义...................................................................................................................4
题型二： 抛物线的标准方程...........................................................................................................5
题型三： 抛物线的焦点弦...............................................................................................................9
题型四： 最值问题.........................................................................................................................13
题型五： 抛物线与直线方程.........................................................................................................16
题型六： 弦长、面积问题.............................................................................................................23
知识点总结
知识点一、抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
知识点二、抛物线标准方程和简单几何性质
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
开口 向右 向左 向上 向下
焦点
准线 x＝－ x ＝ y＝－ y ＝x≥0， x ≤0 ， y ≥0 ， y≤0，
范围
y∈R y∈R x∈R x∈R
简单
对称
几何 x轴 y轴
轴
性质
顶点 原点O(0,0)
离心率 e＝1
【常用结论与知识拓展】
1．抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，则有：
1 1 2 2
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：|AB|＝x＋x＋p(|AF|＝x＋，|BF|＝x＋).
1 2 1 2
(3)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝.
(6)＋＝；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
2．抛物线中的最值
P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|≥；焦点弦AB以通径(2p)为最
小值；A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
3．抛物线的切线已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，经过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，
分别过A，B作抛物线C的两条切线l，l，l∩l＝P.则有：(1)l⊥l；(2)P在定直线x＝－上；
1 2 1 2 1 2
(3)PF⊥AB．
4．抛物线中的焦点三角形
如右图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l：y＝kx－(其中k为直线l的斜率)交抛物
线于A，B两点，那么焦点三角形 OAB的面积可以表示为 S ＝(若抛物线方程为 x2＝
△OAB
2py(p>0)，直线l：y＝kx＋，则S ＝)．
△OAB
例题精讲
题型一：抛物线的定义
【要点讲解】以抛物线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判
断平面内动点所满足的“几何条件”，根据抛物线定义即可得出结果．与抛物线上一点有
关的距离的最值问题，往往根据抛物线的定义，将到焦点的距离和到准线距离相互转化，
再根据“共线”的几何特征进行求解．
【例1】若点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则点 的轨迹方程为
A． B． C． D．
【解答】解： 点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，
点 到点 的距离等于它到直线 的距离，由抛物线的定义可知，点 的轨迹为以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
焦准距 ，
点 的轨迹方程为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知点 为抛物线 上的点，且点 到抛物线 的焦点 的
距离为3，则 2 ．
【解答】解：抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
因为点 为抛物线 上的点，且点 到抛物线 的焦点 的距离为3，
所以 ，得 ．
故答案为：2．
【变式训练2】动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则动点 的
轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
【解答】解： 动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，
将直线 向左平移1个单位，得到直线 ，
可得点 到点 的距离等于它到直线 的距离．
因此点 的轨迹是以 为焦点、 为准线的抛物线，
设抛物线的方程为 ，可得 ，得 ，
抛物线的方程为 ，即为点 的轨迹方程．
故选： ．
【变式训练3】设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线 与抛物线相交于 、两点，若点 恰为线段 的中点，则 8 ．
【解答】解：过点 ， ， 分别作抛物线准线 的垂线，
垂足为 ， ， ，据抛物线定义，
得 ．
故答案为8
【变式训练4】已知曲线 上的任意一点到定点 的距离与到定直线 的距离相等．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）若曲线 上有两个定点 、 分别在其对称轴的上、下两侧，且 ， ，
求原点 到直线 的距离．
【解答】解：（1） 曲线 上任意一点到点 的距离与到直线 的距离相等．
曲线 的轨迹是以 为焦点的抛物线，且 ，
曲线 的方程为 ；
（2）由抛物线的定义结合 可得， 到准线 的距离为2，
即 的横坐标为1，代入抛物线方程可得 ，即 ，
同理可得 ，故直线 的斜率 ，
故 的方程为 ，即 ，
由点到直线的距离公式可得：原点 到直线 的距离为
题型二：抛物线的标准方程
【要点讲解】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口
方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就
可以确定抛物线的标准方程．【例2】准线方程为 的抛物线的标准方程是
A． B． C． D．
【解答】解：由抛物线的准线方程为 ，可知抛物线是焦点在 轴负半轴上的抛物线，
设其方程为 ，则其准线方程为 ，得 ．
该抛物线的标准方程是 ．
故选： ．
【变式训练1】焦点坐标为 的抛物线的标准方程是
A． B． C． D．
【解答】解： 抛物线的焦点坐标是 ，
故可设抛物线方程为 ，
抛物线是焦点在 轴负半轴的抛物线，且 ，得 ．
抛物线的标准方程为 ．
故选： ．
【变式训练2】若抛物线 上一点 到其准线的距离为3，则抛物线的
标准方程为
A． B． C． D．
【解答】解： 到其准线的距离为 ，
故抛物线方程为 ．
故选： ．【变式训练3】以坐标轴为对称轴，焦点在直线 上的抛物线的标准方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【解答】解：直线 与坐标轴的交点为 ，
当抛物线的焦点为 时，其标准方程为 ；
当抛物线的焦点为 时，其标准方程为 ．
故选： ．
【例3】中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人
民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶 时，水面宽 ．若水面下降 ，
则水面宽度为
A． B． C． D．12
【解答】解：根据题意，设该抛物线的方程为 ，
又由当水面离拱顶 时，水面宽 ，即点 和 在抛物线上，
则有 ，解可得 ，
故抛物线的方程为 ，
若水面下降 ，即 ，则有 ，解可得 ，此时水面宽度为 ，
故选： ．
【变式训练1】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且过点 ，则此抛物线的标
准方程为 ．
【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且过点 ，
设抛物线 ，可得 ，所以 ，
所以抛物线的标准方程 ．
故答案为： ．
【变式训练2】过点 ，且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为
，或 ．
【解答】解：设抛物线方程为 ，
代入点 可得， ，
解得， ，
则抛物线方程为 ，
设抛物线方程为 ，
代入点 可得， ，
解得， ，
则抛物线方程为 ，
故抛物线方程为 ，或 ．故答案为： ，或 ．
【例4】经过点 焦点在 轴上的抛物线标准方程．
【解答】解：设抛物线的标准方程为 ，把点 代入可得： ，
，
故所求的抛物线的标准方程为 ．
【变式训练1】分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点 的抛物线的标准方程．
【解答】解：（1）设椭圆的长轴长为 ，焦距为 ，
由条件可得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
当椭圆的焦点在 轴上时，标准方程为 ；
当椭圆的焦点在 轴上时，标准方程为 ．
（2）当抛物线的焦点在 轴上时，可设所求抛物线的标准方程为 ，
将点 的坐标代入抛物线的标准方程得 ，
此时，所求抛物线的标准方程为 ；
当抛物线的焦点在 轴上时，可设所求抛物线的标准方程为 ，
将点 的坐标代入抛物线的标准方程得 ，解得 ，
此时，所求抛物线的标准方程为 ．综上所述，所求抛物线的标准方程为 或 ．
【变式训练2】（1）求准线为 的抛物线标准方程；
（2）求中心在原点，焦点在 轴上，渐近线为 ，且实轴长为2的双曲线标准方程．
【解答】解：（1）准线为 的抛物线标准方程为 ；
（2）设双曲线标准方程为 ，
由实轴长为2得 ，即 ，
由渐近线 得 ，即 ，
故抛物线标准方程为 ．
题型三：抛物线的焦点弦
【要点讲解】在解决抛物线的焦点弦有关的问题时，要注意利用几何图形(特征“直角梯
形”)的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【例5】若抛物线 的准线经过椭圆 的右焦点，则 的值为
A． B． C．1 D．2
【解答】解：已知椭圆 的右焦点 ，
若抛物线 的准线经过椭圆 的右焦点，
此时 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练1】抛物线 的焦点到准线的距离为A．4 B．2 C． D．
【解答】解：抛物线 可化为 ，则 ，
由抛物线的定义得焦点到准线的距离为 ，
即焦点到准线的距离为4；
故选： ．
【变式训练2】已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点．若 ，
则点 的横坐标为
A．12 B．16 C．18 D．19
【解答】解析：由题意，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，
由抛物线的定义可得， ，解得 ，
故点 的横坐标为18．
故选： ．
【例6】已知 为抛物线 上的动点，动点 满足到点 的距离与到点
是 的焦点）的距离之比为 ，则 的最小值是
A． B． C． D．4
【解答】解：由题意得 ， 等于点 到准线的距离，
过点 作 垂直准线于点 ，则 ，
设动点 ，则 ，整理得 ，所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆，
，
所以当 ， ， 三点共线时， 最小， ．
故选： ．
【变式训练1】设抛物线 的准线与 轴的交点为 ， 为坐标原点，经
过 、 两点的圆 与直线 相切，圆 与抛物线 的另一个交点为 ，若
，则
A．2或 B．2或4 C． 或 D．2或
【解答】解：抛物线 的准线与 轴的交点为 ， 为坐标原点，经过 、
两点的圆 与直线 相切，圆 与抛物线 的另一个交点为 ，
设圆心 ， ，半径为 ，已知 ， ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
， ．又 圆 与直线 相切，
当 时，则圆心到直线距离 ，得 ；
当 时，则圆心到直线距离 ．
即 ， ， 或 （舍 ，
综上 或 ．
故选： ．
【变式训练2】直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点，线段
中点的纵坐标为1， 为坐标原点，则 到直线 的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：由抛物线 得焦点 ，
设 ， ， ， ，则 ，
两式相减得 ，即 ，
因为线段 中点的纵坐标为1，即 ，所以 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，显然此时直线与抛物线有两交点，
所以 到直线 的距离 ．
故选： ．
【变式训练3】已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交抛
物线于 ， 两点，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，当点 在第一象限时，过点 ， 分别向准线作垂线，垂足为 ，
，作 ，垂足为 ，
则 轴，设 ，则 ， ，
由抛物线的定义得 ， ，则有 ，
在 中， 等于直线 的倾斜角，其正切值即为 值，
， ， ，
于是直线 的倾斜角为 ，斜率 ．
当点 在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为 ．故选： ．
题型四：最值问题
【例7】抛物线 上有一动点 ，其焦点为 ， ，则 的最小值
为 1 5 ．
【解答】解：由题可知，抛物线焦点为 ，准线为 ，
过 作准线的垂线为 交准线为点 ，
根据抛物线的定义可知 ，
所以 ，
因为 为抛物线上的动点，所以当 为点 时， 取到最小值为
．
故答案为：15．
【变式训练1】已知点 及抛物线 上一动点 ， ，则 的最小
值为 2 ．
【解答】解：用抛物线的定义：
焦点 ，准线 ，设 到准线的距离为（当且仅当 、 、 共线时取等号）
故 的最小值是2．
故答案为：2．
【变式训练2】已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为1，过
点 的直线与圆 相切于点 ，则 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由向量投影的运算可得： ，
由抛物线的性质可得 ，
即： ，
则： 最小值为3．
故选： ．
【变式训练3】抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最小值为
A．0 B．4 C．5 D．6
【解答】解： 抛物线 的焦点 ，
又圆 的圆心 ，半径 ，
抛物线 的焦点 到圆 上点的距离的最小值为：
．
故选： ．
【变式训练4】已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线任意一点，当取最小值时，点 的坐标为 ．
【解答】解：设点 在准线上的射影为 ，如图，
则根据抛物线的定义可知， ，
求 的最小值，即求 的最小值，
显然当 ， ， 三点共线时 最小，
此时 点的横坐标为1，代入抛物线方程可知 ．
故答案为： ．
【变式训练5】已知 为抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影为 ，点 的坐标
是 ，则 的最小值是
A．2 B． C． D．
【解答】解：设抛物线 的焦点为 ，
则 ，
，当且仅当三点 ， ， 共
线时取等号，
的最小值是 ．
故选： ．【变式训练6】已知抛物线 上一点 ， ，点 ，则 的最
小值是
A．10 B．8 C．5 D．4
【解答】解：由抛物线 ，可得准线方程 ，焦点 ，
因为 ， 在抛物线 上，可得 ，
又因为 ，可得 在抛物线的外部，
所以 ，
可得 ，
所以 ，当且
仅当 ， ， 三点共线，且 在 ， 之间时取等号，
所以 的最小值为8．
故选： ．
题型五：抛物线与直线方程
【要点讲解】对于开口向上或向下的抛物线的切线问题，常常借助导数的几何意义写出切
线方程，则根据韦达定理等解决问题，常用的解题策略有“变量代换”，“同构法确定直
线”等．所谓“同构法确定直线”即若 A(x ，y)，B(x ，y)分别满足x －2y ＋2＝0，x －
1 1 2 2 1 1 2
2y＋2＝0，则直线AB的方程为x－2y＋2＝0.
2
【例8】已知点 ， 在抛物线 上且位于 轴的两侧， （其中 为坐标原
点），则直线 一定过点A． B． ， C． D．
【解答】解：当直线 的斜率为0时，直线 与抛物线只有1个交点，不符合题意，
所以直线 的斜率不为0，设其方程为 ，因为点 ， 在抛物线 上，
所以设 ， ， ， ，所以， ，
解得 或 ．又因为 ， 两点位于 轴的两侧，所以 ．
联立 得 ，△ ，所以 ，
即 ，所以直线 的方程为 ，所以直线 一定过点 ．
故选： ．
【变式训练1】已知抛物线 ，过点 的直线与 交于 ， 两点，线段 的
垂直平分线与 轴的交点为点 ，若 ，则 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：不妨直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
易知△ ，
解得 ，
不妨设 ， ， ， ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，此时 中点为 ，
因为 ，
解得 或 （舍去），
此时 垂直平分线方程为 ，
不妨令 ，
解得 ，
所以 ，
此时 ，
而点 到直线 距离 ，
则 ．
故选： ．
【变式训练2】已知抛物线 的焦点 与椭圆 的右焦点重合．
斜率为 的直线 经过点 ，且与 的交点为 ， ．若 ，则直线 的
斜率为
A．1 B． C． D．
【解答】解：因为椭圆的方程 ，
所以 ，即 ，所以右焦点为 ，
因为抛物线的方程为 ，
所以抛物线的焦点为 ， ，
所以 ，即 ，
所以抛物线方程为 ，
所以直线 的方程为 ，
所以 ，
过点 ， 分别作准线 的垂线，垂足为 ， ，
取 的中点 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，
由 ，
所以 ，
又 为 的中点，
所以 ，
所以 ，即 为 的中点，
设 ，则 ， ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 点的横坐标为 ，
代入抛物线的方程可知 点的纵坐标为 ，
所以 ， ，
把 点坐标代入直线 的方程： ，
所以 ，即 ，
故选： ．
【变式训练3】过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，点 是原点，若
，则 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
，
，代入抛物线方程可得 ，
，
直线 的方程为 ，联立方程 ，解得 或 ，
，
，
故选： ．
【例9】已知抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与 交于 ， 两点，以
为直径的圆与 轴交于 ， 两点，且 ，则直线 的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， 的中点为 ， 轴于点 ，过 ， 作准线
的垂线，垂足分别为 ， ，如图：
由抛物线的定义知 ，
故 ，所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
故 的横坐标为 ，
设直线 ， ， ， ， ，
将 代入 ，
得 ，
则 ，
解得 ，
故直线 的方程为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与 交于 、 两点，
以 为直径的圆与 轴交于 、 两点，且 ，则直线 的方程为
A． B． C． D．【解答】解：设 ，由题知 ，设 中点为 ，作 轴于点 ，过 、
作准线的垂线，垂足分别为 、 ，由抛物线定义及梯形中位线性质知：
， 于 是 ， 由 垂 径 定 理 ：
，即 ，解得 或 ，又 ，故 ，
于是 横坐标为： ，设直线 ，代入 有： ，
则 ，解得 ，故直线 方程为： ．
故选： ．
【变式训练2】在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 抛 物 线 的 准 线 与 圆
相切于点 ，直线 与抛物线 切于点 ，直线 的方程为
A． B．
C． 或 D． 或
【解答】解：如图，抛物线 的准线为 ，
由准线与圆 相切于点 ，
则 ，解得 ．
则抛物线 方程为： ，
设直线 的方程为 ，
联立方程 得， ，
由直线 与抛物线相切得，
△ ，解得 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 或 ．
故选： ．
题型六：弦长、面积问题
【要点讲解】解决直线与抛物线相交的弦长、面积问题，同直线与椭圆、双曲线位置关系
问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 另外，抛物线的几何
性质及导数工具等的应用往往能简化运算. 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否
过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x ＋x ＋p，若不过焦点，则
1 2必须用一般弦长公式. 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
【例10】已知过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且当 的
斜率为1时， 恰为 中点．
（1）求 的值；
（2）当 经过抛物线 的焦点时，求 的面积．
【解答】解：（1）当 斜率为1时，
可得直线 的方程为 ，
此时直线 恰好经过坐标原点，
不妨设 ，
则 为抛物线上的点，
所以 ，
解得 ；
（2）由（1）可知抛物线的焦点 ，
当直线 经过 时，
直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
不妨设 ， ， ， ，
由韦达定理得 ， ，
则 的面积 ．
【变式训练1】已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线方程为 ．
（1）求 的方程；（2）若直线 与 交于 ， 两点，求弦 的长．
【解答】解：（1）依题意可设 的方程为 ，
则 ，解得 ．
所以 的方程为 ；
（2）将 代入 ，得 ，
则△ ， ， ，
因为 过抛物线 的焦点 ，
所以 ．
【变式训练2】已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一动点， 为圆
上一动点， 的最小值为 ．
（1）求 的方程；
（2）直线 交 于 ， 两点，交 轴的正半轴于点 ，点 与 关于原点 对称，且
，求证 为定值．
【解答】解：（1）由题得 ，
当点 ， ， ， 四点共线且点 ， 在 ， 中间时， 取得最小值，最小值为 ，
又 ，解得 ，
所以 的方程为 ；
证明：（2）当直线 的斜率为0时，显然不适合题意，
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立方程 ，消去 得 ，
则△ ， ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
即 ，所以 ，所以 ，
又
所以 ，
即 为定值0．
【例11】已知点 是抛物线 上一点，直线 与抛物线 交于 ，
两点（位于对称轴异侧）， 为坐标原点）．
（1）求抛物线 的方程；
（2）求证：直线 必过定点．
【解答】（1）解：因为点 是抛物线 上一点，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ．
（2）证明：因为 ， 位于对称轴异侧，所以 不与对称轴平行，
设直线 的方程为 ， ，且 ，
联立 ，消去 可得 ，
所以△ ，且 ， ，即 ，
所以 ，
由 ，得 ，即 ，解得 或 ，故直线 的方程为 ，
所以直线 必过定点 ，得证．
【变式训练1】已知抛物线 上的点 到其焦点 的距离为2．
（1）求 的方程及焦点 的坐标．
（2）过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，且 的面积为8，求直线 的方程．
【解答】解：（1）由抛物线的定义可得： ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ；
（2）由题意可设直线方程为 ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
所以△ ， ， ，
因为 ，
所以 ，得 ，故直线 的方程为： ．
【变式训练2】抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与抛物线 交于 ，两点，当 垂直于 轴时 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）点 ，直线 ， 与抛物线 的交点分别为 ， ；探究直线 是否
过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1） ，
当 轴时， ，
根据抛物线的定义可得 ，解得 ，
抛物线 的方程： ；
（2）设 ， ， ， ，
直线 方程为： 即 ，
直线 过点 ，
，
同理，直线 ，即 ，
直线 过点 ， ，同理可得 ，， ，
直线 的方程为： ，
，
当 时， ，
直线 恒过定点 ．
【例12】已知点 在抛物线 上， 、 为抛物线 上的两个动点，
不垂直于 轴， 为焦点，且 ．
（1）求 的值，并证明 的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中的定点为 ，求 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，
请说明理由．
【解答】解：（1）因为点 在抛物线 上，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
△ ，
， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，①设 的中点为 ， ，
所以 ， ，
所以 的垂直平分线方程为 ，②
联立①②，可得 ，
所以 的垂直平分线过定点 ．
（2） ，
点 到直线 的距离为 ，
所以
，
，
令 ，则 ， ，
，
解得： （舍去）， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 ， 单调递减，
所以当 时， 取最大值为 ，所以 面积最大值为 ．
