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第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
（一）教学目标
１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命
题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；
２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题
和解决问题的能力；
３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
（二）教学重点与难点
重点：命题的概念、命题的构成
难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
（三）教学过程
学生探究过程：
1．复习回顾
初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
2．思考、分析
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点 ．
（2）2+4=7．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（４）若x2=1,则x=1．
（５）两个全等三角形的面积相等．
（６）３能被２整除．
3．讨论、判断
学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其
中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
4．抽象、归纳
定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从
命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理
解．
5．练习、深化
判断下列语句是否为命题？
（１）空集是任何集合的子集． （２）若整数a是素数，则是a奇数．
（３）指数函数是增函数吗？ （４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．
(2)2
（５） ＝－２． （６）x＞１５．
让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、
祈使句、感叹句均不是命题．
解略。
引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否
举出一些定理、推论的例子来看看？
通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．
过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定
理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和
结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？
6.命题的构成――条件和结论
定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成
“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫
做命题的条件,q叫做命题结论．
7．练习、深化
指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．
（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．
（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．
（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．
（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．
此题中的（１）（２）（３）（４），较容易，估计学生较容易找出命题中的条件p和结论q，
并能判断命题的真假。其中设置命题（３）与（４）的目的在于：通过这两个例子的比较，
学更深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句，不管判断的结果是对的还是错的。
此例中的命题（５），不是“若P，则q”的形式，估计学生会有困难，此时，教师引导
学生一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．
解略。
过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题
的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．
8．命题的分类――真命题、假命题的定义．
真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫
做真命题．
假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题
叫做假命题．
强调：
(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．
(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，
强调真假命题的大前提，首先是命题。
9．怎样判断一个数学命题的真假？
(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．
(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
10．练习、深化
例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：（１） 面积相等的两个三角形全等。
（２） 负数的立方是负数。
（３） 对顶角相等。
分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写
成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。
11、巩固练习：Ｐ４ ２、３
12．教学反思 师生共同回忆本节的学习内容．
1．什么叫命题？真命题？假命题？ 2．命题是由哪两部分构成的？
3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式． 4．如何判断真假命题．
教师提示应注意的问题：
1．命题与真、假命题的关系． 2．抓住命题的两个构成部分，判断一些语句
是否为命题．
３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．
13．作业：P9：习题1．１Ａ组第1题1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题的相互关系
（一）教学目标
◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题
的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、
分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的
辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
（二）教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．
难点：（1）命题的否定与否命题的区别； （2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否
命题；
（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及
培养他们的分析问题和解决问题的能力．
（三）教学过程
学生探究过程：
１．复习引入
初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
2．思考、分析
问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么
关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正
弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不
是正弦函数．
３．归纳总结
问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）
和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）
和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
４．抽象概括
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论
和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题
叫做原命题的逆命题．
让学生举一些互逆命题的例子。
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件
的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，
另一个命题叫做原命题的否命题．
让学生举一些互否命题的例子。
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论
的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原
命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
让学生举一些互为逆否命题的例子。小结：
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
５．四种命题的形式
让学生结合所举例子，思考：
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么
形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p
的否定；即不是p；非p）
逆否命题：若￢q，则￢P．
６．巩固练习
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（１） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（２） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
（３） 若x2=1,则x=1；
（４） 若整数a是素数，则是a奇数。
７．思考、分析
结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
通过此问，学生将发现：
①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②原命题为真，它的否命题不一定为真。
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。
结合以上练习完成下列表格：
原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
真 真
假 真
假 真
假 假
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也
总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：８．总结归纳
若P，则q． 若q，则P．
互 逆
原命题 逆命题
互 否
互 为 逆 互
否 为 逆 否
互 否
否命题 逆否命题
互 逆
若￢P，则￢q． 若￢q，则￢P．
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困
难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
９．例题分析
例4： 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证
明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的
目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
1 1 1
p2 ＋ q2 ＝ ［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥ （p ＋q）2＞ ×２２＝２
2 2 2
所以p2 ＋ q2≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．
１０：教学反思
（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；
（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；
（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；
（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．
１１：作业 P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题
1．2 充分条件与必要条件
（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、
必要条件．
2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归
纳的逻辑思维能力．
３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思
维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（二）教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．
(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念
进行论证．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件。
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习
过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（三）教学过程
学生探究过程：
1．练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．
２．给出定义
命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那
么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p
是q成立的充分条件．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p
可推出q，记作：pq．
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p
必要条件．
上面的命题(1)为真命题，即
x ＞ a2 + b2 x ＞ 2ab，
所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2” ＂的必
要条件．
3．例题分析：
例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2 － 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．
解略．
例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
(1)若x ＝ y，则x2 ＝ y2；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； （3）若a ＞b,则ac＞bc．
分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．
解略．
４、巩固巩固：P12 练习 第1、2、3、4题
５．教学反思：
充分、必要的定义．
在“若p，则q”中，若pq，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．
６．作业 P ：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题
14
注：（1）条件是相互的；
（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；
② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件；
④ p是q的既不充分也不必要条件．1.2.2 充要条件
(一)教学目标
1.知识与技能目标：
（１） 正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充
分也不必要条件的定义．
（２） 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要
条件.
（３） 通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3. 情感、态度与价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
（二）教学重点与难点
重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
（三）教学过程
学生探究过程：
1.思考、分析
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，
就要看q能否推出p．
易知：pq，故p是q的充分条件；
又q p，故p是q的必要条件．
此时,我们说, p是q的充分必要条件
２.类比归纳
一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作 p q.
此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么
q也是p的充要条件.
概括地说,如果p q,那么p 与 q互为充要条件.
3.例题分析
例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（１） p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（２） p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
（３） p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
（４） p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10
（５） p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2
分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．
解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p q，故p 是q的充要条件；
命题（２）中，pq ,但q p，故p 不是q的充要条件；
命题（４）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件；
命题（５）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；４．类比定义
一般地，
若pq ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；
若pq，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；
若pq，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若pq ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；
②若qp，但p q，则p是q的必要但不充分条件；
③若pq，且qp，则p是q的充要条件；
④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
５．巩固练习：P14 练习第 1、2题
说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是
q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．
６．例题分析
例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切
的充要条件．
分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）
和必要性（qp）即可．
证明过程略．
例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分
条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？
７．教学反思：
充要条件的判定方法
如果“若p，则q”与“ 若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．
８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且 1.3.2 或
(一)教学目标
1.知识与技能目标：
（１） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义
（２） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
（３） 掌握真值表并会应用真值表解决问题
2．过程与方法目标：
在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．
3.情感态度价值观目标：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
(二)教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内
容。
难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨
q”.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质
的培养．
（三）教学过程
学生探究过程：
1、引入
在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一
个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学
比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经
常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．
在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用
这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联
结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p
与结论q的区别）
2、思考、分析
问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？
（1）①12能被3整除；
②12能被4整除；
③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；
②27是9的倍数；
③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的
新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一
些例子？例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。
3、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
p∧q
读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,
读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或”
字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里
的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前
后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或
我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命
题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
4、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假
和命题p，q的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假
之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。
第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。
p q p∧q
p q p∨q
真 真 真
真 真 真
真 假 假
真 假 真
假 真 假
假 真 真
假 假 假
假 假 假
（即一假则假） （即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q
是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是
假命题时，p∨q是假命题。
5、例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判
断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成平行四边形的对角线互相平分且相等.
p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成
平行四边形的对角线互相平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直且平分.
p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．
说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数且3是素数；
（3）2≤2．
解略．
例3、判断下列命题的真假；
（1）6是自然数且是偶数
（2）是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解略．
6．巩固练习 ：Ｐ 练习第1 ， 2题
2０
７.教学反思：
（１） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义
（２） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
（３） 掌握真值表并会应用真值表解决问题
p q P∧q P∨q
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 假 真
假 假 假 假
８．作业：
P20：习题１.３Ａ组第1、2题
1.3.3非
(一)教学目标
1.知识与技能目标：
（1）掌握逻辑联结词“非”的含义 （2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题
（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
2．过程与方法目标：观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养．
3.情感态度价值目标：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
(二)教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.
难点： 1、正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题 “￢P”.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取
的精神．
（三）教学过程
学生探究过程：1、思考、分析
问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？
（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除；
（2） ①方程x2+x+1=0有实数根。 ②方程x2+x+1=0无实数根。
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。
2、归纳定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作
￢p
读作“非p”或“p的否定”。
3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系
命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢p的真假性，概括出这两个命题的真假之间的
关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。
第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。
由此可以看出，既然命题￢P是命题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题，也不能同
时为假命题，也就是说，
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；
p ￢P
真 假
假 真
4、命题的否定与否命题的区别
让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？
命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，
因此在解题时应分请命题的条件和结论。
例：如果命题p:5是15的约数，那么
命题￢p：5不是15的约数；
p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。
显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。
5.例题分析
例1 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一 至少有个 一个
其否定语分别为
分析：“等于”的否定语是“不等于”；
“大于”的否定语是“小于或者等于”；
“是”的否定语是“不是”；
“都是”的否定语是“不都是”；
“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；
“至少有一个”的否定语是“一个都没有”；
例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。
解略.
6.巩固练习：P20 练习第3题
7．教学反思：
（１）正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．
（２）简洁、准确地表述命题 “￢P”.
８．作业 P20：习题１.３Ａ组第3题
1．4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
(一)教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词
和存在量词．
（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及
判断其命题的真假性．
2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中
进行辩证唯物主义思想教育．
(二)教学重点与难点
重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取
的精神．
（三）教学过程
学生探究过程：1．思考、分析
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；
(2) x＞３；
(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教
科书；
（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；
（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；
（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
1．推理、判断
（让学生自己表述）
（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反
例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民
教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；
命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．
（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存
在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
3．发现、归纳
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这
样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符
号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。命题（5）－（8）都是全称命题。
通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M
表示。那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：xM, p（x），
读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。
刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：
（5），存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6），存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．（7）， 存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
（8），不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一
部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存
在命题）命题（5），－（8），都是特称命题（存在命题）．
特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：xM,p(x)。
读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”．
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于
日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.
4．巩固练习
（1）下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数； B. xR,(x1)2 0；
1 1
C.xR,x 2 D.x(0, ),sinx 2
x 2 sinx
（2）下列特称命题中，假命题是：
A. xR,x2 2x30 B.至少有一个xZ,x能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.x{x|x是无理数},x2是有理数．
1
（ 3） 已 知 ： 对 xR,a x 恒 成 立 ， 则 a的 取 值 范 围
x
是 ；
变 式 ： 已 知 ： 对 xR,x2 ax10恒 成 立 ， 则 a的 取 值 范 围
是 ；
（4）求函数 f(x)cos2 xsinx3的值域；
变式：已知：对 xR,方程cos2 xsinx3a0有解，求a的取值范围．
5．课外作业P 习题1.4A组1、2题：
296．教学反思：
（1）判断下列全称命题的真假：
①末位是o的整数，可以被5整除；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
③负数的平方是正数；
④梯形的对角线相等。
（2）判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
（3）探究：
①请课后探究命题（5），－（8），跟命题（5）－（8）分别有什么关系？
②请你自己写出几个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，并试
着写出它们的否命题。
1．4．3 含有一个量词的命题的否定
(一)教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形
式上的变化规律．
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上
的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法目标 ：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中
进行辩证唯物主义思想教育．
(二)教学重点与难点
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确
地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取
的精神．
（三）教学过程
学生探究过程：1．回顾
我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定
（或非p ），它们的真假性之间有何联系？
2．思考、分析
判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）x∈R, x2－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6） x∈R, x2＋1＜0。
3．推理、判断
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“xM,p(x) 。
”
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，
存在一个矩形不都是平行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，
存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非x∈R, x2－2x＋1≥0”，也就是说，
x∈R, x2－2x＋1＜0；
后三个命题都是特称命题，即具有形式“xM,p(x)
”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，
所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，
每一个平行四边形都不是菱形；
命题（6）的否定是“不存在x∈R, x2＋1＜0”，也就是说，
x∈R, x2＋1≥0；
4．发现、归纳
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定
都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
xM,p(x)
它的否定￢P
xM,p(x)特称命题P：
xM,p(x)
它的否定￢P：
x∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。
5．巩固练习
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（１） p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（２） p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（３） p：对x∈Z，x2个位数字不等于3；
（４） p： x∈R, x2＋2x＋2≤0；
（５） p：有的三角形是等边三角形；
（６） p：有一个素数含三个正因数。
6．教学反思与作业
（1）教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式
上有什么变化？
（2）作业：P 习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）
29
第第二二章章 圆圆锥锥曲曲线线与与方方程程
2.1 曲线与方程
2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．
(三)学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学
科打下扎实的基础．
二、教材分析
1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．
(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求
动点的轨迹方法．
(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)
教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取
的精神．
三、教学过程
学生探究过程：
(一)复习引入
大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已
经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
(二)几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐
标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对(1)分析：
动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R
或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x2+y2=4R2或x2+y2=0．
故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．
对(2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆
心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为M(x，y)，连结OM，
则OM⊥AM．
∵kOM·kAM=-1，
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的
轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或
差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程．
解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=2．
由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
3．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x ，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q
0
点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，
且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．
解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)
∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲
曲线方程．
分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方
程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．
∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．
(以下由学生完成)
由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．
(三)巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．
1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的
2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，
并说明轨迹是什么图形？
3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
答案：
义法)
由中点坐标公式得：
(四)、教学反思
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法
也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．
五、布置作业1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．
2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．
3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，
求动点P的轨迹方程．作业答案：
1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M
的轨迹方程x2+y2=4
2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线
六、板书设计2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程
的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方
法．．
◆ 过程与方法目标
（1）预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧
面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平
行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把
圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当
学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 页上的问题（同桌的两位同学准
41
备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，
一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图
形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什
么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点F ，F 的距离之和等于常数（大于 FF ）的点的轨迹
1 2 1 2
叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦
距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P M | MF MF 2a ．
1 2（ii）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；
第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何
意义．
y2 x2
类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程 1a b 0 ．
a2 b2
（iii）例题讲解与引申
5 3
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点 , ，求它的
2 2
标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方
法来解．
x2 y2 5 3
另解：设椭圆的标准方程为 1a b 0，因点 , 在椭圆上，
a2 b2 2 2
25 9
1 a 10
则4a2 4b2 ．
a2 b2 4 b 6
例 2 如图，在圆x2 y2 4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，
D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？
分析：点P在圆x2 y2 4上运动，由点P移动引起点M 的运动，则称点M 是点P
的伴随点，因点M 为线段PD的中点，则点M 的坐标可由点P来表示，从而能求点M 的
轨迹方程．
x2 y2
引申：设定点A6,2，P是椭圆 1上动点，求线段AP中点M 的轨迹方
25 9
程．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x,y，Px ,y ；②（点与伴随点的关系）∵
1 1
x 2x6 x2 y2
M 为线段AP的中点，∴ 1 ；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵ 1 1 1，
y 2y2 25 9
1
x32 y12
1
∴点M 的轨迹方程为 ；④伴随轨迹表示的范围．
25 9 4例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，
4
且它们的斜率之积为 ，求点M 的轨迹方程．
9
分析：若设点M x,y，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含x,y的式
4
子表示，由于直线 AM ，BM 的斜率之积是 ，因此，可以求出x,y之
9
间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．
y
解 法 剖 析 ： 设 点 M x,y， 则 k x 5，
AM x5
y
k x 5；
BM x5
y y 4
代入点M 的集合有 ，化简即可得点M 的轨迹方程．
x5 x5 9
引申：如图，设△ ABC的两个顶点 Aa,0， Ba,0，顶点 C在移动，且
k k k ，且k 0，试求动点C的轨迹方程．
AC BC
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，
线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．
◆ 情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是
因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形
当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角
坐标系的两个原则，及引入参量b a2 c2 的意义，培养学生用对称的美学思维来体现
数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，
培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，
培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引
申、分段讨论的思维品质．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和
抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直
观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为
几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问
题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决
问题的一般的思想、方法和途径．练习：第45页1、2、3、4、
作业：第53页2、3、
2．1．2 椭圆的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、
离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解
椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．．
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意
通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究
方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得
到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴
的概念；④通过P 的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2
48
椭圆的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和
位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）椭圆的简单几何性质
y2 x2
①范围：由椭圆的标准方程可得， 1 0，进一步得：a x a，同理
b2 a2
可得：b y b，即椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形框图里；
②对称性：由以x代x，以y代 y和x代x，且以y代 y这三个方面来研究椭
圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点
叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴
叫做长轴，较短的叫做短轴；
c
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率（0e1），
a
当e1时，c a，，b0 当e0时，c 0，b a
； ．
椭圆图形越扁 椭圆越接近于圆
（iii）例题讲解与引申、扩展
例4 求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用椭圆的长
轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．
10
扩展：已知椭圆mx2 5y2 5mm 0的离心率为e ，求m的值．
5
解法剖析：依题意，m 0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨
论 ： ① 当 焦 点 在 x轴 上 ， 即 0 m5时 ， 有 a 5,b m,c 5m， ∴
5m 2
， 得 m 3； ② 当 焦 点 在 y轴 上 ， 即 m 5时 ， 有
5 5
m5 10 25
a m,b 5,c m5，∴ m ．
m 5 3
例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口
BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 上，片门位于另一个焦点F 上，由椭
1 2
圆一个焦点F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F ．已知BC FF ，
1 2 1 2
FB 2.8cm， FF 4.5cm．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．
1 1 2
x2 y2
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为 1，算出a,b,c的值；
a2 b2
此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没
有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定
轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F 为一个焦点的
2
椭圆近，地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．
25
例6如图，设M x,y与定点F4,0的距离和它到直线l：x 的距离的比是常数
4
4
，求点M 的轨迹方程．
5
25
分析：若设点 M x,y，则 MF x42 y2 ，到直线 l： x 的距离
4
25
d x ，则容易得点M 的轨迹方程．
4
引申：（用《几何画板》探究）若点 M x,y与定点
a2
Fc,0的距离和它到定直线l： x 的距离比是常数
c
c
e a c 0，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：
a
a2
x 相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：
c
a2
x ．
c
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探
究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界
观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能
直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立
直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学
生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要
求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量
的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的
兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问
题和解决问题的能力．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为
几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生
的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决
问题的一般的思想、方法和途径．
练习：第52页1、2、3、4、5、6、7
作业：第53页4、5补充： 1.课题:双曲线第二定义
学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.
复习回顾 问题推广 引出课题
归纳小结 课堂练习 典型例题
教学目标
知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；
2了解离心率的几何意义；
3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待
问题，体现数学的美学价值.
教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
教学难点：椭圆的第二定义的运用；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取
的精神．
教学过程： 学生探究过程：复习回顾
2 2
1．椭圆9x2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为6 2 ，离心率为 ，焦
3
27 2
点坐标为(0,6 2)，顶点坐标为(0,9) (3,0)，（准线方程为y ）.
43
2．短轴长为8，离心率为 的椭圆两焦点分别为F 、F ，过点F 作直线l交椭圆于A、B
5 1 2 1
两点，则ABF 的周长为 20 .
2
引入课题
x2 y2
【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为 1，M ，M 为椭圆上的点
1 2
25 16
① 求点M （4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .
1
② 若点M 为（4，y ）不求出点M 的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？
2 0 2
42 y 2 169 13
解：|MF | (43)2 y2 且 0 1代入消去y 2得|MF |
0 25 16 0 25 5
x2 y2
【推广】你能否将椭圆 1上任一点M(x, y)到焦点F(c,0)(c 0)的距离表示成
a2 b2
点M横坐标x的函数吗？
|MF | (xc)2 y2
解 ： x2 y2 代 入 消 去 y2 得
1
a2 b2
b2 c
|MF | x2 2cxc2 b2 x2 ( xa)2
a2 a
c c a2 a2
| xa| | x |e| x |
a a c c
问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
a2 c
椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x 的距离的比等于离心率
c a
问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）
a2 c
动点M 到定点F(c,0)的距离与它到定直线x 的距离的比等于常数 (a c)的点的
c a
轨迹是椭圆．
【引出课题】椭圆的第二定义
c
当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e (0e1)时，这
a
个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
x2 y2 a2
对于椭圆 1，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x ．根据对称性，相应于焦
a2 b2 ca2 y2 x2 a2
点F(c,0)的准线方程是x ．对于椭圆 1的准线方程是y ．
c a2 b2 c
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几
何意义．
|MF |
由 椭 圆 的 第 二 定 义 e可 得 ： 右 焦 半 径 公 式 为
d
a2 a2
|MF |ed e| x | aex；左焦半径公式为|MF |ed e| x( )| aex
右 c 右 c
典型例题
x2 y2
例1、求椭圆 1的右焦点和右准线；左焦点和左准线；
25 16
a2 a2
解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x ；左焦点F(c,0)和左准线x
c c
变式：求椭圆9x2 y2 81方程的准线方程；
y2 x2 a2 27 2
解：椭圆可化为标准方程为： 1，故其准线方程为 y
81 9 c 4
小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出
x2 y2
例 2、椭圆 1上的点 M 到左准线的距离是 2.5，求 M 到左焦点的距离
25 16
为 .
变式：求M 到右焦点的距离为 .
解：记椭圆的左右焦点分别为F ,F 到左右准线的距离分别为d ,d 由椭圆的第二定义可知：
1 2 1 2
|MF | |MF | c 3 3
e 1 e |MF |ed 2.51.5|MF |1.5
d d a 5 1 1 5 1
1
又由椭的第一定义可知：|MF ||MF | 2a 10|MF |8.5
1 2 2
a2 50 5 85
另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为2 2.5
c 3 2 6
|MF | 3 85
2 e|MF |ed 8.5
d 2 2 5 6
2
小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用
例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x 8的距离的比是1：2，求点P的轨
迹；(x2)2 y2 1 x2 y2
解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则 由化简得 1，
| x8| 2 16 12
故所的轨迹是椭圆。
a2
解法二：因为定点A（2，0）所以c 2，定直线x 8所以x 8解得a 4，又因
c
c 1 x2 y2
为e 故所求的轨迹方程为 1
a 2 16 12
变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x 5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法
来解呢？
(x2)2 y2 1
解法一：设 P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则 由化简得
| x5| 2
(x1)2 y2
3x2 6x4y2 9 0配方得 1，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）
4 3
a2
解法二：因为定点A（2，0）所以c 2，定直线x 8所以x 5解得a2 10，故
c
x2 y2
所求的轨迹方程为 1
10 6
x2 y2 (x1)2 y2
问题1：求出椭圆方程 1和 1的长半轴长、短半轴长、半焦距、
4 3 4 3
离心率；
x2 y2 (x1)2 y2
问题2：求出椭圆方程 1和 1长轴顶点、焦点、准线方程；
4 3 4 3
x2 y2 (x1)2 y2
解：因为把椭圆 1向右平移一个单位即可以得到椭圆 1所以问题
4 3 4 3
c 1
1中的所有问题均不变，均为a 3,b 3,c 1,e
a 2
x2 y2
1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(2,0)，(1,0) x 4；
4 3
(x1)2 y2
1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(21,0)，(11,0) x 41；
4 3
反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条c 2 1
件，所以我们必须进行检验，又因为e 另一方面离心率就等于 这是两上矛盾
a 10 2
的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是
采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的
关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。
例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）
A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？
解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l；
d d
过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d ,d ,d 由梯形的中位线可知d 1 2
1 2 2
| AF | | BF |
又由椭圆的第二定义可知 e e即| AF || BF |e(d d )
d d 1 2
1 2
| AB| | AF || BF | d d | AB|
又 e 1 2 且0e1d 故直线与圆相离
2 2 2 2
x2 y2
例5、已知点M 为椭圆 1的上任意一点，F 、F 分别为左右焦点；且A(1,2)求
25 16 1 2
5
|MA| |MF |的最小值
3 1
5
分析：应如何把 |MF |表示出来
3 1
a2 25
解：左准线l ：x ，作MD l 于点D，记d |MD|
1 c 3 1
|MF | c 3 3 5
由第二定义可知： 1 e ⇒ |MF | d ⇒ d |MF |
d a 5 1 5 3 1
5
故有|MA| |MF ||MA|d |MA||MD|
3 1
25
所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1
3
5 28
即|MA| |MF |的最小值是
3 1 3
变式1：3|MA|5|MF |的最小值；
1
5 28
解：3|MA|5|MF |3(|MA| |MF |) 3 28
1 3 1 33
变式2： |MA||MF |的最小值；
5 1
3 3 5 3 28 28
M
解： |MA||MF | (|MA| |MF |)
5 1 5 3 1 5 3 5
D
A
F
巩固练习 1
1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦
点的距离为_____________．
2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．
答案：1． 2．1或2
教学反思
1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
2．椭圆定义的简单运用；
3．离心率的求法以及焦半径公式的应用；
课后作业
1.例题5的两个变式；
2. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若
， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ，
，由椭圆定义有 ，所以 ，则
， 中点 到右准线距离为 ，于是 到左准线距离为， ，所求椭圆方程为 ．
思考：
1．方程2 (x1)2 (y1)2 | x y2|表示什么曲线？
(x1)2 (y1)2 2 2
解： 1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比
|x y2| 2 2
2
常数（且该常数小于1）方程表示椭圆
例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交
椭 圆 的 上 半 部 分 于 P,P P 七 个 点 ， F是 椭 圆 的 一 个 焦 点 ， 则
1 2 7
|PF ||P F ||P F |=
1 2 7
c 3 5
解法一：e ，设P的横坐标为x ，则x 5 i不妨设其焦点为左焦点
a 5 i i i 4
|PF | c 3 a2 3 5 3
由 i e 得|PF |e(x ) aex 5 (5 i) 2 i
d a 5 i i c i 5 4 4
3
|PF ||P F ||P F | 27 (127)35
1 2 7 4
解法二：由题意可知 P 和 P 关于 y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知
1 7
|PF ||P F | 2a，同理可知|P F ||P F | 2a，|P F ||P F |2a，|P F |a
1 7 2 6 3 5 4
故|PF ||P F ||P F |7a 35
1 2 7
板书设计：
复习回顾 典型例题 课堂练习：
引入课题
1． 2． 3． 4． 5． 课堂小结：
问题：
课后作业：
推广：
椭圆第二定义 思考：2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
x2 y2
性质一：已知椭圆方程为 1(a b 0),两焦点分别为 F ,F ,设焦点三角形
a2 b2 1 2
PFF 中FPF ,则S b2 tan 。
1 2 1 2 F 1 PF 2 2
(2c)2 F F 2 PF 2 PF 2 2PF PF cos
1 2 1 2 1 2
(PF PF )2 2PF PF (1cos)
1 2 1 2
(PF PF )2 4c2 4a2 4c2 2b2
PF PF 1 2
1 2 2(1cos) 2(1cos) 1cos
1 b2
S PF PF sin sinb2 tan
F 1 PF 2 2 1 2 1cos 2
x2 y2
性质二：已知椭圆方程为 1(a b 0),左右两焦点分别为F ,F ,设焦点三角形
a2 b2 1 2
PFF ，若F PF 最大，则点P为椭圆短轴的端点。
1 2 1 2
证明：设P(x ,y ),由焦半径公式可知： PF aex ， PF aex
o o 1 o 1 o
PF 2 PF 2 F F 2 (PF PF )2 2PF PF 4c2
在F PF 中，cos 1 1 1 2 1 2 1 2
1 2 2PF PF 2PF PF
1 2 1 2
4a2 4c2 4b2 2b2
1 1= 1
2PF PF 2(aex )(aex ) a2 e2x2
1 2 o o o
a x a x2 a2
0 o
x2 y2
性质三：已知椭圆方程为 1(a b 0),两焦点分别为 F ,F ,设焦点三角形
a2 b2 1 2
PF F 中F PF ,则cos12e2.
1 2 1 2
证明：设PF r ,PF r ,则在F PF 中，由余弦定理得：
1 1 2 2 1 2r2 r2 F F 2 (r r )2 2rr 4c2 2a2 2c2
cos 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2rr 2rr 2rr
1 2 1 2 1 2
2a2 2c2 2a2 2c2
1 112e2. 命题得证。
r r 2a2
2( 1 2)2
2
x2 y2
（2000年高考题）已知椭圆 1(a b 0)的两焦点分别为F ,F ,若椭圆上存在
a2 b2 1 2
一点P,使得F PF 1200,求椭圆的离心率e的取值范围。
1 2
1
简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos1200 12e2.即 12e2 ,
2
3
于是得到e的取值范围是 ,1.
2
x2 y2
性质四：已知椭圆方程为 1(a b 0),两焦点分别为 F ,F ,设焦点三角形
a2 b2 1 2
sin()
PFF ，PF F ,PF F ,则椭圆的离心率e 。
1 2 1 2 2 1 sinsin
PF F ,PF F ,
1 2 2 1
F F PF PF
由正弦定理得： 1 2 2 1
sin(180o ) sin sin
F F PF PF
由等比定理得： 1 2 1 2
sin() sinsin
F F 2c PF PF 2a
而 1 2 ， 1 2 ∴
sin() sin() sinsin sinsin
c sin()
e 。
a sinsin
已知椭圆的焦点是F (－1，0)、F (1，0)，P为椭圆上一点，且｜F F ｜是｜PF ｜和｜PF ｜
1 2 1 2 1 2
的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF F ＝120°，求tanF PF ．
1 2 1 2解：(1)由题设2｜F F ｜＝｜PF ｜＋｜PF ｜
1 2 1 2
x2 y2
∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝ 3 ∴椭圆的方程为 ＝1．
4 3
(2)设∠F PF ＝θ，则∠PF F ＝60°－θ
1 2 2 1
1 1 sin(180o ) sin
椭圆的离心率e 则 ，
2 2 sin120o sin(60o ) 3
sin(60o )
2
整理得：5sinθ＝ 3(1＋cosθ)
3
2
sin 3 3 5 5 3
∴ 故tan ，tanF PF ＝tanθ＝ ．
1cos 5 2 5 1 2 3 11
1
25
22..33 双双曲曲线线
2．2．1 双曲线及其标准方程◆ 知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线
标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几
何画板》的制作或操作方法．．
◆ 过程与方法目标
（1）预习与引入过程
预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥
的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆
锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你
能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲
线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P 页上的问题
56
（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一
个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，
一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子
的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过
程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及
其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 FF ）的
1 2 1 2
点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫
做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P M MF MF 2a ．
1 2
（ii）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学
生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理
的数学活动过程．
类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系
有明显的几何意义．
y2 x2
类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程 1a 0,b 0．
b2 a2
（iii）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲线两个焦点分别为F 5,0，F 5,0，双曲线上一点P到F ，F 距
1 2 1 2
离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．
补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C：x22 y2 2内切，且过点
A2,0；② 与⊙C ：x2 y12 1和⊙C ：x2 y12 4都外切；③ 与⊙C ：
1 2 1x32 y2 9外切，且与⊙C ：x32 y2 1内切．
2
解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆
M 的半径为r．
① ∵⊙C与⊙M 内切，点 A在⊙C外，∴ MC r 2， MA r，因此有
MA MC 2 ，∴点M 的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程
是2x2
2y2
1 x 2 ；
7
② ∵⊙ M 与⊙ C 、⊙ C 均外切，∴ MC r 1， MC r 2，因此有
1 2 1 2
MC MC 1，∴点M 的轨迹是以C 、C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程
2 1 2 1
是 4y2 4x2 1 y 3 ；
3 4
③ ∵A M 与A C 外切，且A M 与A C 内切，∴ MC r 3， MC r 1，因此
1 2 1 2
MC MC 4，∴点M 的轨迹是以C 、C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方
1 2 1 2
x2 y2
程是 1x2．
4 5
例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为
340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸声的时间
差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨
迹方程．
扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点
同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察
点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为
340m/s；相关点均在同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比
正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴方向，建立直
角坐标系，设 A、 B、 C分别是西、东、北观察点，则 A1020,0，
B1020,0，C0,1020．
设Px,y为巨响发生点，∵A、C同时听到巨响，∴OP所在直线为y x……①，
又因B点比A点晚4s听到巨响声，∴ PB PA 4340 1360m．由双曲线定义知，x2 y2
a 680， c 1020，∴ b 340 5 ，∴ P点在双曲线方程为 1
6802 53402
x 680……②．联立①、②求出P点坐标为P 680 5,680 5 ．即巨响在正西北方
向680 10m处．
探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，
4
且它们的斜率之积为 ，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？
9
探究方法：若设点M x,y，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含x,y的式子表示，
4
由于直线AM ，BM 的斜率之积是 ，因此，可以求出x,y之间的关系式，即得到点M
9
的轨迹方程．
◆ 情感、态度与价值观目标
通过课件（a）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面
所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特
殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图
形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量b c2 a2 的意义，培养学生用对称的美学
思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：像例1这基础题配备是必要的，但对定义的
理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典
型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定
的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例
子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，
反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为
几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问
题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决
问题的一般的思想、方法和途径．
练习：第60页1、2、3、
作业：第66页1、2、
2．2．2 双曲线的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过
方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究
了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定
义．．
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲
线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的
进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的
性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及
实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆
通过P 的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线
56
的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小
和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）双曲线的简单几何性质
y2 x2
①范围：由双曲线的标准方程得， 10，进一步得：x a，或x a
b2 a2
．这说明双曲线在不等式x a，或x a所表示的区域；
②对称性：由以x代x，以y代 y和x代x，且以y代 y这三个方面来研究双
曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆
锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称
轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
b x2 y2
④渐近线：直线y x叫做双曲线 1的渐近线；
a a2 b2
c
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e 叫做双曲线的离心率（e 1）．
a
（iii）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近
线方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实半轴长、
虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐a
近线是y x．
b
x2 y2
扩展：求与双曲线 1共渐近线，且经过A 2 3,3 点的双曲线的标准方及离
16 9
心率．
x2 y2 3
解法剖析：双曲线 1的渐近线方程为y x．①焦点在x轴上时，设所求
16 9 4
x2 y2 1
的双曲线为 1，∵A 2 3,3 点在双曲线上，∴k2 ，无解；②焦点在
16k2 9k2 4
x2 y2 1
y轴上时，设所求的双曲线为 1，∵A 2 3,3 点在双曲线上，∴k2 ，
16k2 9k2 4
y2 x2 5
因此，所求双曲线的标准方程为 1，离心率e ．这个要进行分类讨论，但只
9 4 3
4
x2 y2
有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为 mmR,m 0．
16 9
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它
的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，
求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为
x2 y2
1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角
a2 b2
坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确
度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路
PA或 PB送到呈矩形的足球场 ABCD中去铺垫，已知 AP 150m，
BP 100m， BC 60m，APB 60能．否在足球场上画一“条等距离线”“在，等
距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则 PA AM PB BM
，即 BM AM AP BP 50（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲
x2 y2
线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为 135 x 25,0 y 60
625 3750．理由略．
16
例5 如图，设M x,y与定点F5,0的距离和它到直线l：x 的距离的比是常数
5
5
，求点M 的轨迹方程．
4
16
分析：若设点M x,y，则 MF x52 y2 ，到直线l：x 的距离
5
16
d x ，则容易得点M 的轨迹方程．
5
引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
a2 c
若点M x,y与定点Fc,0的距离和它到定直线l：x 的距离比是常数e
c a
a2
c a 0，则点M 的轨迹方程是双曲线．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：x
c
a2
相应于F 的准线；另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：x ．
c
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探
究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界
观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方
程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已
知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一
般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不
近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的
按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养
学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问
题和解决问题的能力．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为
几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生
的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决
问题的一般的思想、方法和途径．
练习：第 66 页 1、2、3、4、5
作业：第 3、4、6
补充： 3.课题:双曲线第二定义教学目标：
11111．知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
11112．能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。
教学重点：双曲线的第二定义
教学难点：双曲线的第二定义及应用.
教学方法：类比法（类比椭圆的第二定义）
教学过程：111111111111111111111111111111
一、复习引入：
F、F
1、（1）、双曲线的定义：平面上到两定点 1 2距离之差的绝对值等于常数（小于
|F F |
1 2 ）的点的
F、F
轨迹叫做双曲线.定点 1 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
(2)、双曲线的标准方程：
x2 y2 y2 x2
焦点在x轴： 1 (a0,b0) 焦点在y轴： 1 (a0,b0)其中
a2 b2 a2 b2
a2 b2 c2
2、对于焦点在x轴上的双曲线的有关性质：
b c
（1）、焦点：F (-c,0),F (c,0)；(2)、渐近线:y x；（3）、离心率：e >1
1 2
a a
3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。（板书课题：双曲线第二定义）
二、新课教学：
16
1、引例(课本P 例6)：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线l:x 的距离之
64
5
5
y
比是常数 ,求点M的轨迹方程. H
4
分析：利用求轨迹方程的方法。
H
F o F x
1 2
a2
x
c|MF | 5
解:设d 是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M| },
d 4
(x5)2 y2 5 x2 y2
即 化简得 1
16 4 16 9
x
5
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
16 a2
由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线l:x 为x ,
5 c
c
常数为离心率e >1.
a
[提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线
a2 c
l:x 的距离之比是常数e 1,求点M的轨迹方程。
c a
|MF | 5
解：设d 是点M到直线l的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合P={M| },
d 4
(xc)2 y2 c
即 化简得(c2 a2)x2 a2y2 a2(c2 a2)两边同时除以
a2 a
x
c
x2 y2
a2(c2 a2)得 1 (其中a 0,b0)
a2 b2
2、小结：
a2
双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线l:x 的距
c
c
离之比是常数e 1时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一
a
a2
个焦点，定直线l:x 叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上任一
c
点到焦点的线段称为焦半径。例如PF是双曲线的焦半径。
（P 思考）与椭圆的第二定义比较,你有什么发现？（让学生讨论）
65
c c
答：只是常数e的取值范围不同，椭圆的0e 1,而双曲线的e 1.
a a
三、课堂练习
x2 y2
1．求 1的准线方程、两准线间的距离。
3 4x2 y2 3
解:由 1可知,焦点在x轴上,且c 34 7所以准线方程为:x ；
3 4 7
3 3 6 7
故两准线的距离为 ( ) .
7 7 7
2、(2006年广东高考第8题选择题)已知双曲线 3x 2－y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右
焦点
的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。
2 3
(A) 2 (B) (C) 2 (D) 4
3
解：
x2 y2
3、如果双曲线 1上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是＿＿＿＿
25 144
c 13
解： P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知a=5，b=12，c=13，e
a 5
a2 25 9 13 45
准线方程为x 根据双曲线第二定义得, e m
c 13 m 5 13
25 25 50
又两准线间的距离为 ( )
13 13 13
50 45 95
P到右准线的距离为 。
13 13 13
4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求e.
a2 a2 1 c2 c
解：由题意可知， ( ) 2c即 3,又e1 所以e 3
c c 3 a2 a
x2 y2
5. 双曲线的 1 a＞0，b＞ 0 渐近线与一条准线围成的三角形的面积
a2 b2
是 .
a2 b a2
解:由题意可知,一条准线方程为:x ,渐近线方程为 y x 因为当x 时
c a c
b a2 ab 1 ab ab a2 a3b
y A 所以所求的三角形面积为: A[ ( )]A
a c c 2 c c c c2
四、巩固练习：x2 y2
1．已知双曲线 = 1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A，△OAF
a2 b2
a2
面积为 （O为原点），则两条渐近线夹角为（ ）
2
A．30° B．45° C．60° D．90°
b a2 ab 1 ab a2
解：由题意可得，△OAF 的底边|OC|=c,高h= A S = c
△OAF
a c c 2 c 2
a b因此可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为 90°。
y2 1
2.已知点A（3，1）、F（2，0）,在双曲线x2 1上求一点P，使得 PA PF 的值最小，并求出最小值。
3 2
1 1
分析：本题的关键是利用双曲线的第二定义将 PA PF 中的 PF 转化。
2 2 y
H P
解：由题意得e2，设点P到右准线的距离为d，
P
PF 1 1 H
则由双曲线第二定义得： 2 PF d 即PA PF PA d A
d 2 2
F o F x
1 2
a2 5 2 3
结合图形得:最小值为：3 ,这时P为：（ ，1）。
c 2 3
五、教学反思： a2
x
c
(1) 知识内容：双曲线的第二定义及应用。
(2) 数学方法:类比法，
(3) 数学思想: 从特殊到一般
六、作业：
1、双曲线2mx2 m y2 2的一条准线是y=1,则m的值。2、求渐近线方程是4x3y 0,准线方程是5y16 0的双曲线方程．
3、已知双曲线的离心率为2,准线方程为y 2x,焦点F(2,0),求双曲线标准方程.
4、(请你编题)若双曲线标准方程为＿＿上一点p到(左,右)焦点的距离是＿＿＿则点p到(左 ,
右)准线的距离＿＿＿.
七、板书设计
课题：双曲线的第二定义及应用
1、复习引入 例题： 课后练习：
（1）、双曲线的定义 课堂练习： 1、
(2)、双曲线的标准方程 1、 2、
(3)、关于焦点在x轴上的双曲线的有关 2、 作业：
性质 3、 1、 2、 3、 4、
2、新内容 4、
双曲线第二定义: 5、
2.4 抛物线
一 教学设想
1 2． 3 1抛物线及标准方程
（1） 教具的准备
问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图
象？
问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情
形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的
图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.
通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫
学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义．
（2） 抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方
程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案
方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的
直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y
轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．
化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．
方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，
且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．
化简得：y2=2px+p2(p＞0)．
方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线
为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：y2=2px(p＞0)．
（3） 例题讲解与引申
教材中选取了2个例题，例1是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。
例2是应用方面的问题，关键是由题意设出抛物线的方程即可。2 2。 3 2 抛物线的几何性质
（1） 抛物线的几何性质
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研
究它的几何性质．
(二)几何性质
怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下
表，请学生对比、研究和填写．
（2） 例题的讲解与引申
例3有2种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距
离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．
(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，
y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p
例4涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得
到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．
附 教学教案
2.4.1抛物线及标准方程
知识与技能目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等
方面的能力．过程与方法目标
情感，态度与价值观目标
（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造
地解决问题；
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻
辑思维能力
（1） 复习与引入过程
回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜
1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？
2．简单实验
如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧
靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于
A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，
紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描
出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
（3） 新课讲授过程
（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义
《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F
不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
(ii) 抛物线标准方程的推导过程引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不
仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2
倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四
种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x
轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，
相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．
(iii)例题讲解与引申例1 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程
已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程
解 因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2
因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方
程是x2=-8y
例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线
的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线
的标准方程和焦点坐标。
解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）
代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76
所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）
练习：第72页1、2、3、
作业：第78页1、2、3、4、
2.4.2 抛物线的几何性质
知识与技能目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能
力
过程与方法目标
复习与引入过程
1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线．”
2．抛物线的标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p
＞0)和x2=-2py(p＞0)．
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研
究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质
（2）新课讲授过程
（i）抛物线的几何性质
通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
学生和教师共同小结：
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重
合，抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结
果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥
曲线作为点的轨迹统一起来了
（ii）例题讲解与引申
．例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点
的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．
解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意
在抛物线上且|MF|=5，故
例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，
且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．
证明：
(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．
或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．
综合上述有y1y2=-p2
又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，
练习：第78页：1、2、3、4、
作业：5、6、7
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算（一）
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会
用联系的观点看待事物．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学方法：讨论式．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB ．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以
将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表
示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行
一些简单的应用．请同学们阅读课本P ～P ．
26 27
Ⅱ.新课讲授
［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如
空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的
呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段
表示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一
平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
OB OA AB=a+b，AB OBOA（指向被减向量），
OP λa (R)
［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的
终点的向量．即：
AA A A A A A A AA
1 2 2 3 3 4 n1 n 1 n
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
AA A A A A A A A A 0 ．
1 2 2 3 3 4 n1 n n 1
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法
则．
例１已知平行六面体ABCD A'B'C'D'（如图），化简下列向
量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
1
⑶AB AD CC'
2
1
⑷ (AB AD AA')．
3
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成
的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
解：（见课本P ）
27
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等
于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，
这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
Ⅲ.巩固练习
课本P 练习
92
Ⅳ. 教学反思
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平
移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包
含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
Ⅴ.课后作业
⒈课本P 1、2、
106
⒉预习课本P ～P ，预习提纲：
92 96
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
板书设计：
§9.5 空间向量及其运算（一）
一、平面向量复习 二、空间向量 三、例1
⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示
⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结
⒊运算律 ⒊运算律
教学后记：
空间向量及其运算（2）
一、课题：空间向量及其运算（2）
二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．
四、教学过程：
（一）复习：空间向量的概念及表示；
（二）新课讲解：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或
平行向量。读作：a平行于b ，记作：a//b ．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量a,b(b 0),a//b的充要条件是存在实数，使a b（唯
一）．
推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线
l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向
a
l
P
B
A
O
向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②
1 1
当t 时，点P是线段AB的中点，此时OP (OAOB)③
2 2
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向
量a平行于平面，记作：a//． a
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的． a
4．共面向量定理：
如果两个向量 a,b 不共线， p与向量 a,b 共面的充要条件是存在实数 x,y使
p xa yb．
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对 x,y，使
MP xMA yMB或对空间任一点O，有OPOM xMA yMB①
上面①式叫做平面MAB的向量表达式．
（三）例题分析：
1 2 2
例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP OA OB OC，
5 5 5
试判断：点P与A,B,C是否一定共面？
解：由题意：5OPOA2OB2OC，
∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，
∴AP2PB2PC ，即PA2PB2PC，
所以，点P与A,B,C共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的
充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
【 练 习 】 ： 对 空 间 任 一 点 O和 不 共 线 的 三 点 A,B,C， 问 满 足 向 量 式
OP xOA yOBzOC （其中x yz 1）的四点P,A,B,C是否共面？
解：∵OP(1z y)OA yOBzOC，
∴OPOA y(OBOA)z(OCOA)，
O
D
C
A
B
H
G
E F
∴AP yABzAC，∴点P与点A,B,C共面．
A
例2．已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量
OEkOA,OF KOB,OGkOC,OH kOD，
（1）求证：四点E,F,G,H 共面；
（2）平面AC //平面EG．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC AB AD，
∵EG OGOE，
kOCkOAk(OCOA)kAC k(AB AD)
k(OBOAODOA)OF OEOH OE
EF EH
∴E,F,G,H 共面；
（2）∵EF OF OE k(OBOA)kAB，又∵EG kAC，
∴EF// AB,EG// AC
所以，平面AC//平面EG．
五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．
六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
七、作业：
1．已知两个非零向量e ,e 不共线，如果ABe e ，AC 2e 8e ，AD3e 3e ，
1 2 1 2 1 2 1 2
求证：A,B,C,D共面．
2．已知a 3m2n4p,b (x1)m8n2yp，a 0，若a//b ，求实数x,y的值。
3．如图，E,F,G,H 分别为正方体AC 的棱AB,AD,BC ,DC 的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF //平面BDHG．
4．已知E,F,G,H 分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，
D1 H C1 A
（1）用向量法证明：E,F,G,H 四点共面； F
G E H
A1 E B1
（2）用向量法证明：BD//平面EFGH ．
B D
D C G
F
C
A B3.1.3．空间向量的数量积（1）
教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的
一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取
的精神．
教学过程
学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量a,b ，在空间任取一点O，作OAa,OBb ，则AOB叫做向量a
与b 的夹角，记作a,b ；且规定0a,b ，显然有a,b b,a ；
若a,b ，则称a与b 互相垂直，记作：a b ；
2
2．向量的模：
设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；
3．向量的数量积：
已知向量a,b ，则|a||b |cosa,b 叫做a,b 的数量积，记
作ab ，即ab |a||b|cosa,b ．
e B
已知向量 ABa和轴l，e 是l上与l同方向的单位向量，
A B
A C
作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e 上
的正射影；可以证明AB的长度| AB|| AB|cosa,e |ae|．
4．空间向量数量积的性质：
（1）ae |a|cosa,e ．
（2）a b ab 0．
（3）|a|2aa．
5．空间向量数量积运算律：
（1）(a)b (ab)a(b)．
（2）ab ba（交换律）．
（3）a(b c)ab ac （分配律）．
（三）例题分析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且l m,l n
求证：l ．
证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，
l
在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，
∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在
唯一有序实数对(x,y)，使g xm yn ， g m
l n
∴l g xl m yl n，又∵l m0,l n 0， n m g
∴l g 0，∴l g，∴l g，
所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l ．
例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，AC BD，求证：AD BC．
证明：（法一）ADBC (ABBD)(ACAB)
2
ABACBDACAB ABBD
AB(ACABBD) ABDC 0．
（法二）选取一组基底，设ABa,AC b,ADc，
∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，
同理：abbc，，
∴acbc，
∴c(ba)0，∴ADBC 0，即AD BC．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知
向量，然后通过向量运算取计算或证明。
例 3． 如 图 ， 在 空 间 四 边 形 OABC中 ， OA8， AB6， AC 4， BC 5，
OAC 45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。
解：∵BC ACAB，
O
∴OABC OAACOAAB
|OA|| AC|cosOA,AC |OA|| AB|cosOA,AB
84cos135 86cos120 2416 2
A
C
B
OABC 2416 2 32 2
∴cosOA,BC ，
|OA||BC| 85 5
32 2
所以，OA与BC的夹角的余弦值为 ．
5
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC 135易错写成OA,AC 45，
切记！
五．巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。
六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。
七．作业：课本第106页第3、4题
补充：
1．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，
试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)．
向量的数量积（2）
一、教学目标：①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
二、教学重点：①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法
四、教学过程：
考点一：向量的数量积运算
（一）、知识要点：
1）定义：① 设=,则 aAb （的范围
为 ）
②设a(x ,y )，b(x ,y )则aAb 。
1 1 2 2
注：①aAb不能写成ab，或ab ②aAb的结果为一个数值。
2）投影：b在a方向上的投影为 。
3）向量数量积运算律：
①aAbbAa ②(a)Ab(aAb)aA(b) ③(ab)AcaAcbAc
注：①没有结合律(aAb)AcaA(bAc)
二）例题讲练
1、下列命题：①若aAb0，则a，b中至少一个为0②若a 0且aAbaAc，则bc
2 2
③(aAb)AcaA(bAc)④(3a2b)A(3a2b)9 a 4 b
中正确有个数为 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2、已知ABC中，A，B，C所对的边为 a,b,c，且 a=3,b=1,C=30°,则BCACA
= 。
3、 若 a， b， c满 足 abc0， 且 a 3, b 1, c 4， 则 aAbbAcaAc
= 。
4、 已 知 a b 2， 且 a与 b的 夹 角 为 ， 则 ab在 a上 的 投 影
3
为 。
考点二：向量数量积性质应用
一）、知识要点：
①a b aAb0（用于判定垂直问题）
2
② a a （用于求模运算问题）
aAb
③cos （用于求角运算问题）
a b
二）例题讲练
1、已知 a 2， b 3，且a与b的夹角为 ，c3a2b，d mab，求
2
当m为何值时cd
2、已知 a 1， b 1， 3a2b 3，则 3ab 。
3、已知a和b是非零向量，且 a = b = ab ，求a与ab的夹角
4、已知 a 4， b 2，且a和b不共线，求使ab与ab的夹角是锐角
时的取值范围
巩固练习
1、已知e 和e 是两个单位向量，夹角为 ，则（e e ）A(3e 2e )等于
1 2 3 1 2 1 2
（ ）
9 5
A.-8 B. C. D.8
2 2
2、已知e 和e 是两个单位向量，夹角为 ，则下面向量中与2e e 垂直的是
1 2 3 2 1
（ ）
A. e e B. e e C. e D. e
1 2 1 2 1 2
3、在 ABC中，设 AB a， BC b， CA c，若 a(ab)0，则 ABC
（ ）(A) 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判定
4、已知a和b是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a
与b的夹角。
5、已知OA、OB、OC是非零的单位向量，且OA+OB+OC=0，求证：
ABC 为正三角形。
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
课题 向量的坐标
1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系
教学目的要求
2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示
1．投影与投影定理 25分钟
主要内容与时间分配 2．分向量与向量的坐标 30分钟
3．模与方向余弦的坐标表示 35分钟
1．投影定理
重点难点 2．分向量
3．方向余弦的坐标表示
教学方法和手段 启发式教学法，使用电子教案
一、向量在轴上的投影
1．几个概念
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴 u， AB是轴 u上的有向线段，如果数满足
AB ，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫
做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即 AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则
AB e
(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC ABBC
(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和 b，任取空间一点 O，作OAa，
OB b，规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为 (a,b)
(4) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'
叫做点A在轴u上的投影。
(5) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别
为点 A'和 B'，那么轴u上的有向线段的值 A'B'叫做向量 AB在轴u上的投影，记做
Pr j AB。
u
2．投影定理
性质 1：向量在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：
Pr j AB AB cos
u
性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
Pr j (a a ) Pr ja Pr ja
u 1 2 1 2
性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
Pr j (a) Pr ja
u
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立
了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的
研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设 a =M M 是 以 M (x ,y ,z )为 起 点 、
1 2 1 1 1 1
M (x ,y ,z )为终点的向量，i、j、k分别表示 图7－5
2 2 2 2
沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用
向量的加法规则知：
M M (x x )i + (y y )j+(z z )k
1 2 2 1 2 1 2 1
或 a = a i + a j + ak
x y z
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组a 、a 、a 与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影a 、a 、a 就
x y z x y z叫做向量a的坐标，并记为
a ＝ {a ，a ，a}。
x y z
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为M (x ,y ,z )终点为M (x ,y ,z )的向量可以表示为
1 1 1 1 2 2 2 2
M M {x x ,y y ,z z }
1 2 2 1 2 1 2 1
特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径
OM {x,y,z}
注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数a 、a 、a，
x y z
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量a i 、 a j 、 ak.
x y z
2．向量运算的坐标表示
设a {a ,a ,a }，b {b ,b ,b }即a a i a ja k，b b i b jb k
x y z x y z x y z x y z
则
(1) 加法： ab (a b )i (a b )j(a b )k
x x y y z z
◆ 减法： ab (a b )i (a b )j(a b )k
x x y y z z
◆ 乘数： a (a )i (a )j(a )k
x y z
◆ 或 ab {a b ,a b ,a b }
x x y y z z
ab {a b ,a b ,a b }
x x y y z z
a {a ,a ,a }
x y z
◆ 平行：若a≠0时，向量b//a相当于b a，即
{b ,b ,b }{a ,a ,a }
x y z x y z
也相当于向量的对应坐标成比例即
b b b
x y z
a a a
x y z
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设a {a ,a ,a }，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于
x y z
）来表示它的方向，称、、为非零向量 a的方向角，见图 7－6，其余弦表示形式
cos、cos、cos称为方向余弦。 图 7－6
1．模
a a2 a2 a2
x y z
2．方向余弦
a M M cos a cos
x 1 2
由性质1知a M M cos a cos，当 a a2 a2 a2 0时，有
y 1 2 x y z
a M M cos a cos
z 1 2
a a
cos x x
a a2 a2 a2
x y z
a a
cos y y
a a2 a2 a2
x y z
a a
cos z z
a a2 a2 a2
x y z
◆ 任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos21
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
a 1
a0 {a ,a ,a } {cos,cos,cos}
x y z
a a
3．例子：已知两点M (2,2, 2 )、M (1,3,0)，计算向量M M 的模、方向余弦、方向角以
1 2 1 2
及与M M 同向的单位向量。
1 2
解：M M ＝{1-2，3-2，0- 2 }={-1，1，- 2 }
1 2
M M (1)2 12 ( 2)2 2
1 2
1 1 2
cos ，cos ，cos
2 2 2
2 3
， ，
3 3 4
设a0为与M M 同向的单位向量，由于a0 {cos,cos,cos}
1 2即得
1 1 2
a0 { , , }
2 2 2
3.2 立体几何中的向量方法
空间距离
利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明
等步骤，而转化为向量间的计算问题．
例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥
平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：由题设可知CG、CB、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐
标系．用向量法求解，就是求出过 B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B
到平面EFG 的距离．
解：如图，设CD 4i，CB 4j，CG 2k，
以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，
E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴ BE (2,0,0)，BF (4,2,0)，
BG (0,4,2)，GE (2,4,2)，
EF (2,2,0)．
设BM 平面 EFG，M为垂足，则 M、G、E、F四点共面，由共面向量定
理知，存在实数a、b、c，使得BM aBE bBF cBG (abc1)，
∴ BM a(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由BM 平面EFG，得BM GE，BM EF ，于是
BM GE 0，BM EF 0．
(2a4b,2b4c,2c)(2,4,2)0
∴ (2a4b,2b4c,2c)(2,2,0)0
abc1
15
a
11
a5c 0
7
整理得：a3b2c 0，解得b ．
11
abc 1
3
c
11
2 2 6
∴ BM ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝( , , )．
11 11 11
2 2 2
2 2 6 2 11
∴ |BM |
11 11 11 11
2 11
故点B到平面EFG 的距离为 ．
11
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在
平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以
了．
例2已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，求
直线DA'与AC的距离．
分析：设异面直线DA'、AC的公垂线是直线l，则线
段AA'在直线 l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所
以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．
解：如图，设B'A' i，B'C' j，B'B k，以i、j、k
为坐标向量建立空间直角坐标系B'－xyz，则有
A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．
∴ DA' (0,1,1)，AC (1,1,0)，A'A (0,0,1)．
设n(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则x2 y2 z2 1．
∵ n DA' ，n AC ，
yz 0
3 3
∴ x y 0 ，解得x y z 或x y z ．
3 3
x2 y2 z2 1
3 3 3
取n( , , )，则向量A'A 在直线l上的投影为
3 3 3
3 3 3 3
n·A'A ( , , )·(0,0,1) ．
3 3 3 33
由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA'与AC的距离为 ．
3
向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的
内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：
coscoscossinsincos, (1)
其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。
AON ，BON ， AOB 。为二面角P-MN-Q（见图1）。
z
P
D A
a
N
y
M O
b
B Q
x
图1
公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：
以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面
与平面P的交线为射线OD，则ODMN ，得
AOD ，DOx ，DOz 。
2 2
分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b ，则 a,b 。
由计算知a，b 的坐标分别为
(sincos,cos,sinsin)，(sin,cos,0)，
于是，
ab
cos ab coscossinsincos。
|a||b |
公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的
两个应用。例1．立方体ABCD-A B C D 的边长为1，E、F、G、H、I分别为A D 、A A、A B 、B C 、B B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
的中点。
求面EFG 和面GHI的夹角的大小（用反三角函数表示）。
解 由于图 2中所画的两平面 EFG和 GHI 只有一个公共点，没有交线，所
以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面
HIG。而就是二面角 G-IH-G（见图 3）。利用公式（1），只要知道了，
和的大小，我们就能求出。
D1 C1
E
H
G
A1 B1
F I
D
C
A B
图2
由已知条件， GHI 和 HIG均为等边三角形，所以 ，而
3
GIG 。因此，
2
D1 C1
E H
G G'
A1 B1
F I
D C
A B
图3
cos cos cos sin sin cos，
2 3 3 3 3
即
1 1 3 3
0 cos。
2 2 2 2
解得
1 1
cos ， arccos 。
3 3当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法
向量，利用法向量同样也可算出夹角来。
例 2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。
解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面
体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q 是两个相邻的面，MN是它们的交线
（如图4），则公式（1）中的，，分别为：
AMN ， BMN ， AMB，
因此它们均为正五边形的内角。所以
108。
N
P Q
M
B
A
图4
所以，由公式（1）知
cos108cos108cos108sin108sin108cos，
或
cos108(1cos108) 5
cos 。
sin2108 5
5
因此，arccos ，或1163354。
5
如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。
利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。
设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的
正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以 O为其顶点。设该正五
棱锥为，从而可知：
V 12V 。
再设的底面积为S、高为h，设O为单位边长正五边形（即的底）的中
心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，|OH | a，则1 1 a 5
O'AH 54， a tanO'AH tan54， S 5 tan54。
2 2 2 4
h
仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则 tan 。所以
a 2
1
h tan54tan 。
2 2
但是，
1cos 5 1
tan ，
2 1cos 2
5 1
从而V 12V 4Sh 4 tan54 tan54tan
4 2 2
5 5 52 5 5 1 157 5
(tan54)2 tan ，
2 2 2 5 2 4
或V 7.6631
