跟踪训练02圆的方程（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）_第八章平面解析几何

跟踪训练 02 圆的方程 一．选择题（共15小题） 1．已知方程 表示半径为1的圆，则实数 A．2 B．1 C． D． 【解答】解：方程 ，即 ， 由题可知： ，可得 ． 故选： ． 2．设 ， ，则以线段 为直径的圆的方程是 A． B． C． D． 【解答】解：由题设，所求圆的圆心为 ，半径为 ， 所以以线段 为直径的圆的方程是 ． 故选： ． 3．已知动点 满足 ，则动点 的轨迹是 A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【解答】解：动点 满足 ， 即 ，就是动点 到定点 与到定直线 的距离之 比为1的轨迹，是抛物线． 故选： ． 4．棱长为 1 的正方体 中， 为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点 的轨迹所围成图形的面积为 A． B． C． D．1 【解答】解：如图，连接 ， ， 则在正方体 中， 易知四边形 为矩形，且 ， 又 平面 ，且 平面 ， ，又 ， 平面 ， 动点 的轨迹所围成图形为矩形 ， 动点 的轨迹所围成图形的面积为 ． 故选： ． 5．设 、 是两定点， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是 A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线 【解答】解：因为 ，所以动点 的轨迹是以 为起点，指向 方 向的射线．故选： ． 6．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就 是 他 的 研 究 成 果 之 一 ， 指 的 是 ： 已 知 动 点 与 两 定 点 ， 的 距 离 之 比 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗 尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点， ， 且 ，若点 ， 则 的最小值为 A． B． C． D． 【解答】解：设 ， 由题意可得： ， 即 ， 即 ， 又此方程为 ， 则 且 ， 即 ， 即 ， 则 ，当且仅当 、 、 三 点共线时取等号， 故选： ．7．已知动点 满足 ，则动点 的轨迹是 A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【解答】解：设 ， ， 动点 满足 ， 即 ， 动点 的轨迹是线段 ． 故选： ． 8．圆 关于直线 对称的圆的方程为 A． B． C． D． 【解答】解：圆 化为标准方程为 ，圆心为 ，半径 为1， 设圆心 关于直线 的对称点为 ， ， 则有 ，解得 ，所以圆 关于直线 对称的圆的方程为 ， 即 ． 故选： ． 9．圆心为 ，且经过坐标原点的圆的标准方程为 A． B． C． D． 【解答】解：圆心为 ，且经过坐标原点的圆的半径为： ． 所以所求的圆的方程为： ． 故选： ． 10．已知线段 ，则平面上全体满足 为定值 的点 的轨迹是 A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【解答】解：已知线段 ，且平面上全体满足 为定值 ， 因为 为定值，所以以 所在直线为 轴，中垂线为 轴， 设 ，则 ， ，所以 ， 以其一定在 中点 为圆心，确定半径的一个圆上运动， 则点 的轨迹为圆． 故选： ．11．若点 在圆 的外部，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：圆 的标准方程为 ， ，即 ， 若点 在圆 的外部， 则 ，解得 ， 故 ． 故选： ． 12．动点 满足 ，则点 的轨迹是 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【 解 答 】 解 ： 方 程 ， 可 化 为 方程左边表示点 ， 到一定点 的距离，右边表示点 到一定直线 的距离 因为 在直线 上，所以点 的轨迹为过 且垂直于直线的直线 故选： ． 13．点 是直线 上的动点， 是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点 A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【解答】解：设点 ，则线段 的中点为圆心 ， ， 圆 的半径为 ， 所以以 为直径为圆的方程为 ， 即 ，即 ． ，解得 或 ， 因此以 为直径的圆经过的定点坐标为 ， ． 故选： ． 14．在平面直角坐标系 中，已知 ， 两点，若圆 以 为直径，则圆 的标准方程为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得 ，因为 ， 所以圆 以 为直径的圆的方程为 ，故选： ． 15．已知圆 的圆心为 ，且与直线 相切，则圆 的方程是 A． B． C． D． 【解答】解：因为圆心 到直线 的距离 ， 故圆 的方程为 ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知 ， 点 满足 ，设点 的轨迹为圆 ，则下列说法正确的是 A．圆 的方程是 B．过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为 C．过点 作直线 ，若圆 上恰有三个点到直线 的距离为2，则该直线的斜率为 D．过直线 上的一点 向圆 引切线 、 ，则四边形 的面积的 最小值为 【解答】解：对于 ：设 ， 点 满足 ，且 ， ，，即 ，即 ，故 正 确； 对于 ：设过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为 ，一条切线与圆 相交与点 ， 在 中， ，且 ， 则 ， 又 ， ，则 ， ，解得 ，故 正确； 对于 ：由选项 得圆 ， ， 要使圆 上恰有三个点到直线 的距离为2，则圆心 到直线 的距离等于2， 显然直线 存在，设直线 的方程为 ，即 ， 则 ，解得 ，故 错误； 对于 ：由题意可得 ，要使四边形 的面 积的最小，即只需 最小， 点 在直线 ， ， 则 ， 即四边形 的面积的最小值为 ，故 正确， 故选： ． 17． 卵形线是由法国天文家 引入的．卵形线 的定义是：线上的任何点到两个固定点 ， 的距离的乘积等于常数 ， 是正常数，设， 的距离为 ，当 时称得到的卵形线为双纽线．已知在平面直角坐标系 中， 到两定点 ， 距离之积为常数的点的轨迹 是双纽线， ， 是曲线 上一点，则 A．曲线 关于原点 中心对称 B． 的取值范围是 ， C． 的最大值为 D．曲线 上有且仅有一个点 满足 【解答】解：设 是曲线 上任意一点， 由双纽线定义知， ①， 对 ， 关于原点的对称点 ， 代入①中，则 成立， 即曲线 关于原点 中心对称，故 正确； 对 ，令 ，由①可得 ，即 ， 解得 ，由 ， 是曲线 上一点知， 的取值范围是 ，故 错误； 对 ， ， ①式两边平方化简可得 ， 由 ， 是曲线 上一点可得， ， 由 知， 的取值范围是 ，所以当 时， ， 所以 的最大值为 ，故 正确； 对 ，点 满足 ，则 在 垂直平分线上，则 ， 设 ，则 ，故只有原点满足，故 正确． 故选： ． 18．已知动点 到原点 与到点 的距离之比为 ，动点 的轨迹记为 ，直线 ，则下列结论中正确的是 A． 的方程为 B．动点 到直线 的距离的取值范围为 C．直线 被 截得的弦长为 D． 上存在三个点到直线 的距离为 【解答】解：设 ，因为 ，所以 ， 所以 的方程为 ，故 正确； 因为圆心 到直线 的距离 ，其中 为圆 的 半径， 所以直线 与圆 相交，且直线 被 截得的弦长为 ，故 正确； 动点 到直线 的距离的取值范围为 ，故 错误， 正确． 故选： ．19．已知点 满足 ，点 ， ， ，则 A．当 最小时， B．当 最大时， C．当 面积最大时， D．当 最大时， 面积为 【解答】解：设点 ， ， ， 又 ， 得 ， 化简可得 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆， 又点 和点 均在圆外， 所以当 与圆相切时， 取最值， 设切点为 ，则 ，故 ， 选 项正确； 又 的面积 ， 所以当 最大时， 取最大值， 此时 ， ，故 选项错误； 由 ，所以 ， 当且仅当 为 延长线与圆 的交点时，等号成立， 又 延长线方程为 ， ，联立方程组 ，解得 （舍 ， ， 所以 ， 此时 的面积为 ，故 选项正确． 故选： ． 20．1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一种特殊的曲线 卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知在 平面直角坐标系 中， ， ，动点 满足 ，其轨迹为一条 连续的封闭曲线 ．则下列结论正确的是 A．曲线 关于 轴对称 B．曲线 与 轴交点为 ， ， ， C． 面积的最大值为6 D． 的取值范围是 ， 【 解 答 】 解 ： 设 点 ， 依 题 意 ， 整 理 得 ， 对于 ：将 换成 ，曲线 变形为 ，则 ，曲线 关于 轴对称，故 正确； 令 中的 ，可得 ，解得 或 （舍 ，解得 ，所以曲线与 轴的交点 ， ，故 错误； 对于方程 ，令 ，则 一定存在正根， 为了方便讨论，先求解两根均为负根的情况， 即 ，解得 ，无解，故不存在均为负根的情况， 所以△ 时一定有正根，不等式解得 ， 所以 面积的最大值为 ，故 正确； 由 ，整理得 ， 即 ，所以 ， 由 ，得 ，解得 ， ， ，所以 ， ，故 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知 ， ， ，则过 ， ， 三点圆的一般方程为 ． 【解答】解：设圆的方程为 ， 圆过 ， ， ， 则 ，解得 ， ， ， 故过 ， ， 三点圆的一般方程为： ．故答案为： ． 22．阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比 为常数 的点的轨迹为圆，已知 ， 分别是圆 与直线 上的点， 是坐标原点，则 的最小值为 ． 【解答】解：不妨设 ， ， ， 若 ， 整理得 ， 因为圆 ， 所以 ， 解得 ， 此时 ， 因为圆 上任意一点 ，都有 ， 所以 ， 此时 的最小值为点 到直线 的距离 ， 易知 ， 所以 ， 即 的最小值为 ．故答案为： ． 23．已知圆 经过 ， 两点，且在 轴上截得的弦长等于6，则圆 的方程 为 或 ． ． 【解答】解：设圆 ， 根据题意得 ， 解得 或 ， 圆 的方程为 或 ． 故答案为： 或 ． 24．写出一个圆心在 上，且与直线 和圆 都相切的圆的方程 （答案不唯一） ． 【解答】解：设圆心为 ，则半径 ，假设与圆 外切，则 ， 整理得 ，故 ，即 ， 若 ，则 ，则圆心为 ，半径为 ，故 ； 若 ，则 ，不满足条件． 假设与圆 内切， 结合点 与 的距离为 ，可知圆 内切于所求圆， 则 ，所以 ，故 ， 可得 ， 若 ，则 ，则圆心为 ，半径为 ，可得 ； 若 ，则 ，不满足条件． 综上所述，所求的圆为 或 ． 故答案为： （答案不唯一）．25．已知正方体 的棱长为3，动点 在△ 内，满足 ，则点 的轨迹长度为 ． 【解答】解：在正方体 中，如图， 如图， 为正三角形 的外心， 平面 ， 根据几何关系，不难得出 ， 因为点 在△ 内，满足 ，则 ， 因此点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆在△ 内的圆弧， 而△ 为正三角形，则三棱锥 必为正三棱锥， 为正△ 的中心， 于是正△ 的内切圆半径 ， 则 ，即 ， 所以圆在△ 内的圆弧为圆周长的 ， 即点 的轨迹长度为 ， 故答案为： ． 四．解答题（共3小题）26．已知圆心为 的圆经过 ， 两点，且圆心 在直线 上． （1）求圆 的方程； （2）已知点 ，点 在圆 上运动，求线段 中点 的轨迹方程． 【解答】解：（1）因为圆心在线段 的中垂线上， 的中点 ， ， 因为 ，所以 的中垂线的方程为 ， 即 ， 由题意可得圆心为 与 的交点， 联立 ，解得 ， ， 即圆心 ，半径 ， 所以圆 的方程为 ； （2）设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， ， 由于点 的坐标为 ，点 是线段 的中点，所以 ， 于是 ， ，因为点 在圆 上运动，所以点 的坐标满足圆 的方程， 即 ， 所以 ， 整理得 ， 所以线段 中点 的轨迹方程 ． 27．已知点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，动点满足 ． （1）求动点 的轨迹方程 ； （2）过点 的动直线 与曲线 交于 ， 两点，与圆 交于 ， 两点， 求 的最大值； 是否存在定点 ，使得 的值是定值？若存在，求出点 的坐标及该定值；若不 存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设点 ， ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以动点 的轨迹 的方程为 ． （2） ①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，可得 ， 所以△ 恒成立， 所以 ， ， ， 联立 ，得 ， 所以 ， ，所以 ， 所以 ， 设 ，则 ， 则△ ，得 ，当且仅当 时，取等号， 此时 最大值是16． ②当直线 的斜率不存在时，则直线 为 ， 联立 ，解得 ， 所以 ， ， 所以 ， 联立 ，解得 ， 所以 ， ， 所以 ， 此时 ， 综上， 最大值是16． 当直线 的斜率存在时，设 ， ， ， ， ， 所以， 要使得上式为定值，即与 无关，则满足 且 ， 解得 ， ，即点 ，此时 ， 当直线 的斜率不存在时，直线 为 ， 解得 ， ， 所以 ， 综上可得，存在定点 ，使得 ． 28．已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记 的 轨迹为曲线 ． （1）求 的方程，并说明 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 于 ， 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连 结 并延长交 于点 ．证明：直线 与 的斜率之积为定值． 【解答】解：（1）由题意可得 ，整理可得： ， ， 所以 的方程为： ， ；曲线为椭圆去掉 轴上的点； （2）证明：设直线 的方程为： ，设 ， ， ， ， 联立 ，整理可得 ，因为 在第一象限，可得 ，， ， ， 再由题意可得 ， 所以直线 的方程为： ， 联立 ，整理可得： ， 可 得 ， 可 得 ， ， 即 ， ， 所以 为定值． 即可证得 为定值 ．