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重难点突破 04 立体几何表面积与体积
1．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有一个“鳖臑”，
底面 ， ，且 ， ，则该四面体的体积为
A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为
的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为
A． B． C． D．
3．四棱锥 的底面 是平行四边形，点 、 分别为 、 的中点，连
接 交 的延长线于点 ，平面 将四棱锥 分成两部分的体积分别为 ，
且满足 ，则
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
4．如图，在棱长为 1的正方体 中，点 满足 ，其中
， ， ， ，则A．当 时，
B．当 ，时，点 到平面 的距离为
C．当 时， 平面
D．当 时，三棱锥 的体积恒为
三．填空题（共1小题）
5．四棱锥 的底面 是平行四边形，点 、 分别为 、 的中点，平
面 将四棱锥 分成两部分的体积分别为 ， 且满足 ，则 ．
四．解答题（共15小题）
6．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，
，点 ， 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点．
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 的体积．7．如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 平面
．
（1）求证： 平面 ；
（2）设 ， ，求三棱锥 的体积．8．如图，在正四棱锥 中， ， 分别为 ， 的中点， ．
（1）证明： ， ， ， 四点共面．
（2）记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 的值．9．《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两
堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角
形的四面体的统称．如图所示， 是长方体．
（1）求证：三棱锥 为鳖臑；
（2）若 ， ， ，求三棱锥 的表面积．10．如图 1，在 中， ， 分别为 ， 的中点； 为 的中点，
， ，将 沿 折起到△ 的位置，使得平面 平面
，如图2，点 是线段 上的一点（不包含端点）．
（1）求证： ；
（2）若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的体积．11．如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 平面 ，且满足
．
（1）利用向量基本定理求 的值；
（2）求三棱锥 的体积．12．如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为2的等边三角形， ，
分别是 ， 的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．13．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面
面 ， ， ， 为 的中点．
（1）求证：面 面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求 与面 所成角的正弦值；
（3）若平面 与平面 所成的锐二面角大小为 ，求四棱锥 的体积．14．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班
人具有重要战略意义，为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高
中组织学生到工厂进行实践劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为 ，高
为 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面
内．
（1）求该圆柱的侧面积的最大值；
（2）求该圆柱的体积的最大值．15．如图，在多面体 中，四边形 与 均为直角梯形， ，
， 平面 ， ， ．
（1）已知点 为 上一点，且 ，求证： 与平面 不平行；
（2）已知直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求该多面体 的体积．16．已知四棱锥 ，底面 是菱形， ， 底面 ，且
，点 ， 分别是棱 和 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积．17．如图，在正四棱锥 中， ， 是棱 的中点；
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．18．如图，四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ， ， 、
分别是 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的表面积．19．如图，四棱锥 中，四边形 为直角梯形，平面 平面 ，
， ， ， ．
（1）若 与 相似，三棱锥 的外接球的球心恰为 中点，求 与平
面 所成角的正弦值；
（2）求四棱锥 体积的最大值．20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生
活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图 1所示．一个普通的蒙古包可视为
一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底
面直径为6米．
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积．
