文档内容
备战2024年高考阶段性检测名校重组卷（新高考）
解析几何
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2023·广东·高三统考模拟预测）设 ，则“ ”是“直线 与直线
平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线 与直线 平行，
则 ，解得 或 ，
经检验 或 时两直线平行．
故“ ”能得到“直线 与直线 平行”，但是 “直线
与直线 平行”不能得到“ ”
故选：A
2.(2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F(0,2), F(0，－2)，P为椭圆上任意一点，
1 2
若|FF|是|PF|，|PF|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
1 2 1 2
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】 D
【解析】 由题意|PF|＋|PF|＝2|FF|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2，
1 2 1 2
焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.
3．（2023·广东江门·统考模拟预测）若直线 与圆 相交于P，Q两点，
且 （其中O为坐标原点），则b的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，圆的半径为1， ，
圆心 到直线 的距离 ， ，解得 .
故选：C4．(2023·昆明模拟)已知椭圆＋＝1的两个焦点为F ，F ，过F 的直线交椭圆于M，N两
1 2 2
点，则△FMN的周长为( )
1
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】 D
【解析】 由＋＝1得a＝2.
因为M，N是椭圆上的点，F，F 是椭圆的焦点，
1 2
所以|MF |＋|MF |＝2a，|NF |＋|NF |＝2a，
1 2 1 2
因此△FMN的周长为|MF |＋|MN|＋|NF |＝|MF |＋|MF |＋|NF |＋|NF |＝2a＋2a＝4a＝8.
1 1 1 1 2 2 1
5．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线 的焦点为
，准线为 ， 为 上一点， ，垂足为 ， 与 轴交点为 ，若 ，
且 的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由抛物线定义知 ，所以 为等边三角形， 为 的中点，
所以 ， ，
的面积 ，所以 的方程为 .
故选：A.
6．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C： 的右焦点，P为C上一点，Q为圆
M： 上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3 B．6
C． D．
【答案】D【详解】圆M： 的圆心为 ，
设椭圆的左焦点为 ，如下图，由椭圆的定义知， ，
所以 ，所以
，
当且仅当 三点在一条直线上时取等，
， ， ， .
故选：D．
7．（2023·浙江·统考二模）已知 是圆 上一点， 是圆 的直径，弦
的中点为 .若点 在第一象限，直线 、 的斜率之和为0，则直线 的斜率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得圆的方程，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，代
入圆的方程可得 的坐标，从而可得 的坐标，于是根据斜率关系可解得 的值，由于
点 在第一象限，对 的值进行取舍，即可得所求.
【详解】已知 是圆 上一点，所以
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，所以 ，
则 ， 恒成立，所以
由于 ，所以 ，则 ，由于 是圆 的直径，
所以 ，则弦 的中点为 坐标为因为直线 、 的斜率之和为0，所以 ，整理得
解得 或 ，又点 在第一象限，所以 ，故 ，即直线 的斜率是
.
故选：C.
8.(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)
自上而下顺次与上述两曲线交于M，M，M，M 四点，则下列各式结果为定值的是( )
1 2 3 4
A．|MM|·|MM| B．|FM|·|FM|
1 2 3 4 1 4
C．|MM|·|MM| D．|FM|·|MM|
1 3 2 4 1 1 2
【答案】 A
【解析】 如图，
分别设M，M，M，M 四点的横坐标为x，x，x，x，
1 2 3 4 1 2 3 4
由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l：x＝－1，
0
由定义得，|MF|＝x＋1，
1 1
又|MF|＝|MM|＋1，
1 1 2
所以|MM|＝x，
1 2 1
同理|MM|＝x，
3 4 4
由消去y，
整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，
设M(x，y)，M(x，y)，
1 1 1 4 4 4
则xx＝1，即|MM|·|MM|＝1.
1 4 1 2 3 4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·广东肇庆·统考一模）已知圆 ，直线
，则（ ）
A．直线 过定点
B．直线 与圆 可能相离
C．圆 被 轴截得的弦长为
D．圆 被直线 截得的弦长最短时，直线 的方程为
【答案】AC
【解析】直线 ，由 ，得 ，即l恒过定点
，故A正确；
点 与圆心 的距离 ，故直线l与圆C恒相交，故B错误；
令 ，则 ，可得 ，故圆C被y轴截得的弦长为 ，故
C正确；
要使直线l被圆C截得弦长最短，只需 与圆心 连线垂直于直线 ，
所以直线l的斜率 ，可得 ，故直线l为 ，故D错误．
故选：AC．
10．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 为
坐标原点，点 在抛物线上，直线 与抛物线 交于点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．
C．直线 的斜率为 D．
【答案】CD
【详解】由题意可知， ，得 ，则抛物线方程为 ，所以抛物线的准线方
程为 ，故A错误；
抛物线的焦点 ， ，则直线 的方程为 ，与抛物线方程联立
，得 ，
设 ， ，，则 ，故B错误，C正确；
，得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
即 ， ， ，故D正确.
故选：CD
11.．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，长轴长
1 2
为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则( )
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．当椭圆C的离心率为时，|QF|的取值范围是[2－，2＋]
1
C．存在点Q使得QF1·QF2＝0
D.＋的最小值为1
【答案】 BCD
【解析】 由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆C外，
则＋>1，解得b<，
所以椭圆C的离心率e＝＝>，
即椭圆C的离心率的取值范围是 ，故A不正确；
当e＝时，c＝，b＝＝1，
所以|QF|的取值范围是[a－c，a＋c]，
1
即[2－，2＋]，故B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
由于AF1·AF2＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q使得QF1·QF2＝0，故C正确；
(|QF|＋|QF|) ＝2＋＋≥2＋2＝4，
1 2
当且仅当|QF|＝|QF|＝2时，等号成立，
1 2
又|QF|＋|QF|＝4，
1 2
所以＋≥1，故D正确．12．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知双曲线C 的左､右焦点分别为 ，
，双曲线具有如下光学性质：从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线
反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程
为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C的方程为
B．若 ，则
C．若射线n所在直线的斜率为k，则
D．当n过点M（8，5）时，光由 所经过的路程为10
【答案】AC
【详解】对于A ，由题意可知， 因为双曲线C的一条渐近线的方程为 ，
所以 ，即 ，所以双曲线的方程为 故A正确；
对于B，由 ，得 ，解得 ，
在 中， ，由勾股定理及双曲线的定义知，
，
即 ，解得 ，故B错误；
对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ，
由双曲线的性质可得射线 所在直线的斜率范围为 ，故C正确；
对于D，由题意可知， ，当 过点 时，
由双曲线定义可得光由 所经过的路程为
，故D错误.
故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆 经过点 和 ，
则椭圆 的离心率为___________.
【答案】 /0.5
【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.
【详解】将两个点代入椭圆方程得： ，解得 ，故 .
故答案为：
14．（2023·浙江·统考二模）已知圆 ，若 被两坐标轴截得的弦
长相等，则 __________.
【答案】 /
【分析】 被两坐标轴截得的弦长相等，则圆心 到两坐标轴的距离相等，即圆心的横纵
坐标的绝对值相等可得答案.
【详解】圆的弦长为 （ 为圆的半径， 为圆心到弦的距离），
若 被两坐标轴截得的弦长相等，则圆心 到两坐标轴的距离相等，
即圆心的横纵坐标的绝对值相等，即 ，解得 .
故答案为： .
15.(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B
两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
【答案】 64
【解析】 方法一 (常规解法)
依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，
直线l的方程为x＝y＋4.
由
消去x，整理得y2－16y－64＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝16，yy＝－64.
1 2 1 2
S ＝|y－y|·|OF|＝2
△OAB 1 2＝2＝64.
方法二 (活用结论)
依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.
又l的倾斜角α＝.
所以S ＝＝＝64.
△OAB
16．（2023·辽宁大连·统考三模）已知 为坐标原点， 是双曲线
的左､右焦点，双曲线 上一点 满足 ，且
，则双曲线 的渐近线方程为__________.点A是双曲线 上一定点，过点
的动直线 与双曲线 交于 两点， 为定值 ，则当 时实数 的
值为__________.
【答案】
【详解】（1）根据 ，取 的中点 ，易知 ，
可知 ， ，即△ 为直角三角形.
设 ，依题意有 ，解得 ，
根据勾股定理得 ，解得 ，
故双曲线为等轴双曲线，渐近线为 .
（2）当 时，双曲线 ，
设直线 ，
联立方程组 ，化简得 ，
，，
因为 为定值 ，所以
法一： ，
，
，解得 ，
法二： ，解得 .
故答案为： ，
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17.(2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，短
1 2
轴顶点分别为M，N，四边形MF NF 的面积为32.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
【解析】 (1)因为离心率e＝＝，所以a＝c，
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF NF 的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4，
1 2
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意得，直线l的斜率存在．
设A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
两式相减得＋＝0，
所以＝－·.
因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，所以＝1，所以直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.18．（2023·重庆·统考三模）已知椭圆 的上、下顶点分别为 ，
左顶点为 ， 是面积为 的正三角形．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 外一点 的直线交椭圆 于 两点，已知点 与点 关于 轴对称，
点 与点 关于 轴对称，直线 与 交于点 ，若 是钝角，求 的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 是面积为 的正三角形， ，解得： ，
椭圆 的方程为： .
（2）
设 ，则 ，
直线 方程为： ，即 ；
由对称性可知：点 在 轴上，则令 ，解得： ，
设直线 ，
由 得： ， ，
，，
又 ， ， ， ，
为钝角， ，解得： 或 ，
即实数 的取值范围为 .
19.（2023·安徽·校联考三模）如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，点A，B，C分别为椭圆 的左、右顶点和上顶点，O为坐标原点，过点 的直线l交
椭圆 于E，F两点，线段 的中点为 ．点P是 上在第一象限内的动点，直线AP
与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）因为线段 的中点为 在y轴上，O为 的中点，
所以 轴，即 轴，
设 ， ， ，代入椭圆 的方程得， ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．（2）由题意可得 ， ，所以直线BC的方程的截距式为 ，即为
．
设直线AP的斜率为k，点P的坐标为 ，则AP的方程为 ，
联立 得 ，
所以 ，即 ， ．
所以 ．直线CP的方程为 ，
设点M，Q的坐标分别为 ， ，
在 中，令 得 ．
解 得 ．
所以 ．
20．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知 ， 是双曲线 的左､右顶点， 为双
曲线上与 ， 不重合的点.
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 是定值；
(2)设直线 与直线 交于点 ， 与 轴交于点 ，点 满足 ，直线 与
双曲线 交于点 （与 ， ， 不重合）.判断直线 是否过定点，若直线 过定
点，求出该定点坐标；若直线 不过定点，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)直线MN过定点
【详解】（1）设 ，由题意 ，且 ，
所以
（2）设 ， ， ，BN的斜率为 ，由 知：，由(1)知： 所以
设MN： ，与双曲线 联立，
得： ，
所以 ，
所以 ，
即 ﹐
则
整理得 ，解得 或 （舍），
故直线MN过定点 .
21．（2023·山西运城·统考三模）已知抛物线 的焦点为 ， 分别为
上两个不同的动点， 为坐标原点，当 为等边三角形时， .
(1)求 的标准方程；
(2)抛物线 在第一象限的部分是否存在点 ，使得点 满足 ，且点 到直线
的距离为2？若存在，求出点 的坐标及直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点 ，直线 的方程为 .
【详解】（1）由对称性可知当 为等边三角形时， 两点关于 轴对称，
当 为等边三角形时， 的高为 ，
由题意知点 在 上，代入 ，得 ，解得 ，
所以 的标准方程为 .
（2）由（1）知 ，根据题意可知直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ， ， ， ，联立 ，得 ，
所以 ，即 ，且 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又点 在 上，所以 ，即 ，①
所以 ，解得 ，
又点 在第一象限，所以 ，所以 .
又点 到直线 的距离 ，化简得 ，②
联立①②解得 ，或 （舍去），或 （舍去）.
此时点 ，直线 的方程为 .
22.（2023·山东淄博·统考二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术
活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如
下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一点，标记为 ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 ；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭
圆.
现取半径为 的圆形纸片，定点 到圆心 的距离为 ，按上述方法折纸.以向量
的方向为 轴正方向，线段 中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)求折痕围成的椭圆 的标准方程；(2)已知点 是圆 上任意一点，过点 做椭圆 的两条切线，切点分别是
，求 面积的最大值，并确定此时点 的坐标.
注：椭圆： 上任意一点 处的切线方程是： .
【答案】(1) ；
(2) ， .
【分析】（1）利用椭圆的定义结合条件即得；
（2）由题可得直线 的方程是 ，然后利用韦达定理法结合条件可表示出
，然后利用换元法利用导数求函数的最值即得.
【详解】（1）设 为椭圆上一点，
则 ，
所以 点轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，设椭圆的方程为
，
所以 ，则 ，
所以椭圆方程为 ；
（2）设 ，则 ，
切线 方程： ，切线 方程： ，两直线都经过点 ，
所以，得 ， ，从而直线 的方程是： ，
由 ，得 ，
由韦达定理，得 ，
，
点 到直线 的距离 ，
，其中 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上递增，
，即 时， 的面积取到最大值 ，此时点 .
