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第八讲：导数的概念及运算
【考点梳理】
1．导数的概念
函数 在 处的瞬时变化率 ，我们称它为函数
在 处的导数，记作 或 ，
即 ．
2．导数的几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义是曲线 在点 处的切线斜率，即
，相应地切线方程 ．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（ 为常数）
（ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
4．导数的运算法则
若函数 ， 均可导，则：
（1） ；
（2） ；
（3） ．5、切线问题
（1）已知函数 ，在点 的切线方程；
① ②
（2）已知函数 ，过点 的切线方程
①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用 求
出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线 。
【典型题型讲解】
考点一：导数的几何意义---已知切点求切线方程
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 ，该函数在 处的切线方程为__________.
【方法技巧与总结】
求导，求斜率，用点斜式写切线方程
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广东·一模）已知 ，则曲线 在 处的切线方程是______．
3.已知 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，则函数 的图象在点
处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【典型题型讲解】考点二：已经切线斜率求切点问题
【典例例题】
例1．（2022·广东潮州·高三期末）曲线 与直线 相切，则 ______．
例2．（2022·广东珠海·高三期末）若函数 在 处的切线与直线 垂直，则
______．
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，建立有关斜率和切点有关方程或方程组进行运算.
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
_________．
2.已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【典型题型讲解】
考点三：过一点求函数的切线方程
【典例例题】
例1.函数 过点 的切线方程为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，求斜率，写切线方程，带已经点到到切线方程
【变式训练】
1.若过点 的直线与函数 的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
2.曲线 过点 的切线方程是（ ）
A． B．C． D．
【典型题型讲解】
考点四：公切线问题
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 ，过点 可作两条直线与函数 相
切，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为2 D．
【方法技巧与总结】
分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程
【变式训练】
1.若函数 与函数 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数 ， ，若直线 与函数 ， 的图象都相切，则 的
最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
3.若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
一、单选题
1．若曲线 在点（1，f（1））处的切线方程为 ，则a＝（ ）A．1 B． C．2 D．e
2．设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若对任意 恒成立，
则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设 为可导函数，且 ，则曲线 在点 处的切线斜率为
（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
4．已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
5．已知函数 ， ，若经过点 存在一条直线 与 图象和 图
象都相切，则 （ ）
A．0 B． C．3 D． 或3
6．若不等式 对任意 ， 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线 与直线 是曲线 的两条切线，也是曲线 的两条切线，
则 的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．二、多选题
8．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的切线斜率可以是1
B．曲线 的切线斜率可以是
C．过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条
D．过点 且与曲线 相切的直线有且只有2条
三、填空题
9．已知函数 则曲线 在点 处的切线方程为_______.
10．若直线 与曲线 和 都相切，则 的斜率为______．
13．已知函数 ，则 __________.
14．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知 ，且
， ，那么 ___________.
