文档内容
第 05 讲 椭圆及其性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：椭圆的定义.........................................................................................................................4
知识点2：椭圆的方程、图形与性质.................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................7
题型一：椭圆的定义与标准方程........................................................................................................8
题型二：椭圆方程的充要条件..........................................................................................................13
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题..................................................................15
题型四：椭圆上两点距离的最值问题..............................................................................................20
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题..........................................................................................25
题型六：离心率的值及取值范围......................................................................................................28
方向1：利用椭圆定义去转换...........................................................................................................28
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式................................................................................32
θ
方向3：利用最大顶角θ满足sin ≤e＜1........................................................................................34
2
方向4：坐标法...................................................................................................................................37
方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................................................................40
方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................................................................43
方向7：利用基本不等式...................................................................................................................45
方向8：利用焦半径的取值范围为 [a−c,a+c].............................................................................48
方向9：利用椭圆第三定义...............................................................................................................51
题型七：椭圆的简单几何性质问题..................................................................................................53
题型八：利用第一定义求解轨迹......................................................................................................60
题型九：椭圆的实际应用..................................................................................................................66
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................73
05课本典例·高考素材........................................................................................................................75
06易错分析·答题模板........................................................................................................................78
易错点：椭圆焦点位置考虑不周全..................................................................................................78
答题模板：求椭圆的标准方程..........................................................................................................79考点要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第5题，5分
椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考
2023年甲卷（理）第20题，12分 主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的
（1）椭圆的定义及其
2023年I卷II卷第5题，5分 求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是
标准方程
2023年北京卷第19题，15分 对离心率的求解，更是高考的热点问
（2）椭圆的几何性质
2023年甲卷（理）第12题，5分 题，因方法多，试题灵活，在各种题型
2022年甲卷（理）第10题，5分 中均有体现．
复习目标：
（1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程．
（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．
（3）掌握椭圆的简单应用．知识点1：椭圆的定义
平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫
做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 ，定义用集合语言表示为：
注意：当 时，点的轨迹是线段；
当 时，点的轨迹不存在．
【诊断自测】已知点 ， ，动点 满足 ，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在
【答案】D
【解析】由题设知 ，
则动点P的轨迹不存在．
故选：D
知识点2：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点
焦点在 轴上 焦点在 轴上
的位置图形
标准
方程
统一
方程
参数
方程
第一 到两定点 的距离之和等于常数2 ，即 （
定义
）
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴长 ，短轴长 长轴长 ，短轴长
对称
关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
性
焦点
、 、
焦距
离心
率
准线
方程点和
椭圆
的关
系
（ 为切点） （ 为切点）
切线
对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换
方程
为 可得
切点
弦所在的
直线方程
① ，（ 为短轴的端点）
②
焦点
三角形面
积
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
左焦半径： 上焦半径：
焦半
又焦半径： 下焦半径：
径
焦半径最大值 ，最小值通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长= （最短的过焦点的弦）
设直线与椭圆的两个交点为 ， ， ，
则弦长
弦长
公式
（其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式）
【诊断自测】一个椭圆的两个焦点分别是 ， ，椭圆上的点 到两焦点的距离之和等于8，
则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆上的点 到两焦点的距离之和等于8，故 ，
且 ，故 ，
所以椭圆的标准方程为 .
故选：B
解题方法总结
过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 ．
（1）
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为 ，距离的最小值为 ．
（2）椭圆的切线
①椭圆 上一点 处的切线方程是 ；②过椭圆 外一点 ，所引两条切线的切点弦方程是 ；
③椭圆 与直线 相切的条件是 ．
题型一：椭圆的定义与标准方程
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）过四点 ， ， ， 中的三点的一个椭圆
标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个．
【答案】 或 （写一个即可） 2
【解析】因为点 ， 关于 轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有 ， ，
和 ， ， 两种情况．
设椭圆方程为 （ ， ， ）．
当椭圆过 ， ， 三点时，将 ， 的坐标代入椭圆方程，得
，解得 ，所以椭圆的方程为 ．
同理可得当椭圆经过 ， ， 三点时，代入椭圆方程有，得
，得 ；
该椭圆的方程为 ．
故答案为： 或 （写一个即可）；【典例1-2】已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，
则 的长轴长与焦距的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，结合题设有 ， ，
由 ，则 ，
化简得 ，故 的长轴长与焦距的比值为 .
故选：D.
【方法技巧】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出
的方程组，解出 ，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 .
②与椭圆 共焦点的椭圆可设为 .
③与椭圆 有相同离心率的椭圆，可设为 （ ，焦点在 轴上）或
（ ，焦点在 轴上）.
【变式1-1】方程 表示的曲线是 ，其标准方程是 .
【答案】 椭圆
【解析】方程 ，
表示点P(x,y)到 两点的距离之和等于 ，而 ，
所以方程 表示的曲线是椭圆，
且长轴长 ，焦距 ，所以 ，所以半短轴长 ，
所以其标准方程为 .
故答案为：椭圆； .
【变式1-2】已知椭圆 的焦点在坐标轴上，且经过 和 两点，则椭圆 的标准方
程为 .
【答案】
【解析】设所求椭圆方程为： ( ， ， )将 和 的坐标代入方程得：
，解得 ，
所求椭圆的标准方程为： .
故答案为： .
【变式1-3】已知椭圆 的左、右焦点为 ，且过点 则椭
圆标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题知： ，①
又椭圆经过点 ，
所以 ，②
又 ，③
联立解得： ，
故椭圆的标准方程为： .
故答案为： .
【变式1-4】（2024·高三·广东揭阳·期末）已知椭圆E： （ ），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为 ， 的面积为 ，则E的标准方程
为 .
【答案】
【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：
由题意知： ，直线AB的斜率为 ，即 ，
所以 ， .
由椭圆的性质知： ， ，则 ，所以 ， ，
则 ，故直线AB的方程为 .
联立 ，解得： 或 ，
所以 ，故 ，
则 ，解得： .
又 ，所以 ，即 ，则E的标准方程为 .
故答案为： .
【变式1-5】过点 ，且与椭圆 有相同的焦点的椭圆标准方程是 ．【答案】
【解析】由题意设椭圆的方程为 ， ，
将点 代入， ，
整理可得： ，
解得 或 （舍 ，
所以椭圆的方程为： ，
故答案为： ．
【变式1-6】（2024·山西太原·三模）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点，
的内切圆的圆心为 ，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设椭圆 的方程为 ，由 在 上，得 ，
显然 的内切圆与直线 相切，则该圆半径为1，而 ，
又 ，于是 ， ，因此 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程是 .
故选：B题型二：椭圆方程的充要条件
【典例2-1】（2024·山西吕梁·二模）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在
椭圆 上，则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【解析】由题意得，函数 ，且 的图象所过定点为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C.
【典例2-2】方程 表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【解析】若 表示椭圆，则有 ，
解得 或 .
故选：D.
【方法技巧】
表示椭圆的充要条件为： ；
表示双曲线方程的充要条件为： ；
表示圆方程的充要条件为： .
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）命题“实数 ”是命题“曲线
表示椭圆”的一个（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意“曲线 表示椭圆”等价于“曲线 表
示椭圆”，
而“曲线 表示椭圆”，等价于 ，解得 或 ，
所以命题“实数 ”是命题“曲线 表示椭圆”的一个必要不
充分条件.
故选：C.
【变式2-2】（2024·高三·辽宁大连·期末）已知曲线“ 表示焦点在
轴上的椭圆”的一个充分非必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若 表示焦点在 轴上的椭圆，
则有 ，即 ，即 ，
故A、D选项为既不充分也不必要条件，B选项为充要条件，
C选项为充分非必要条件，故C选项符合要求.
故选：C.
【变式2-3】对于方程 表示的曲线 ，下列说法正确的是（ ）
A．曲线 只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若 为负角，则曲线 为双曲线
C．若 为正角，则曲线 为椭圆 D．若 为椭圆，则其焦点在 轴上
【答案】B
【解析】对A，当 ，即 时，曲线 的方程为 ，
此时曲线 为两条平行的直线，故A错误；
对B，若 为负角，即 ，则 ，
此时曲线 为双曲线，故B正确；对C，若 为正角，即 ，当 时， ，
则曲线 的方程为 1，是圆，故C错误；
对D，若 为椭圆，则 ，又 可变形为 ，
则 为焦点在 轴上的椭圆，故D错误．
故选：B．
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】已知双曲线 ： 与椭圆 ： 有公共的焦点 ， ，
且 与 在第一象限的交点为M，若 的面积为1，则a的值为 ．
【答案】
【解析】设 ， 分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得
所以 ， ，
所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
故 ，
因此 的面积为 ，
解得 ．
故答案为： .
【典例3-2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于
A、B两点， 是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．【答案】C
【解析】椭圆的方程为 ，则 ， ， ，
连接 ， ，
则由椭圆的中心对称性可知 ，
可知 为平行四边形，则 ，
可得 的周长为 ，
当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为 ，
所以周长为 ．
故选：C.
【方法技巧】
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常
用定义，即 .
【变式3-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上
一点且 ，则 的面积为 .
【答案】
【解析】由椭圆 可知 ，
故 ，结合 ，
可得 ，而 ，
故 为等腰三角形，其面积为 .
故答案为： .
【变式3-2】该椭圆 的左右焦点为 ，点 是 上一点，满足 ，则的面积为 ．
【答案】9
【解析】解法一：由 ，得 ，则 ，
设 ，则由题意得
，
由 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 的面积为
解法二：由 ，得 ，
因为
所以由焦点三角形的面积公式得 ．
故答案为：9
【变式3-3】（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、
右焦点分别为 为椭圆上一点，且 ，若 关于 平分线的对称点在椭圆 上，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆 的长半轴为 ，则
设 关于 平分线的对称点为Q，
由椭圆对称性及角平分线性质可知P， ，Q三点共线且
又因为 ，所以 是正三角形，设 ，
由椭圆定义可得 ， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，即 ， ，
所以 的面积 .
故选：C.
【变式3-4】（2024·河北唐山·统考三模）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点 为 上
异于长轴端点的任意一点， 的角平分线交线段 于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 的角平分线交线段 于点 ，
所以 ，
所以由正弦定理得 ， ，
又因为 ， ，
所以 ，即 ，不妨设 ，如图：则 ，解得 ，
所以 ，
由题意 ， ，所以 ，
故选：D
【变式3-5】（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，
线段 的中垂线与 交于 两点，则 的周长为 ．
【答案】
【解析】设椭圆的右焦点为 ，连接 ， ， ，
依题意可得长半轴长 ，半焦距 ，且 ，
所以 为等边三角形，则直线 过 ，
所以
，即 的周长为 .
故答案为：
【变式3-6】设 分别是离心率为 的椭圆 的左、右焦点，过点 的直线
交椭圆 于 两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ．设 ，则 ．
在 中， ．在 中， ，
所以 ，整理得， ．
于是 ．
故选：D．
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知 为椭圆 上一点，若 的右焦
点 的坐标为 ，点 满足 ， ，若 的最小值为 ，则椭圆 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如图，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，即 ，，
∴ ，
∴当点 为椭圆的右顶点时， 取最小值， ，
此时 的最小值 ，解得 （舍）或 ，∴ ，
∴椭圆 的方程为 .
故选：B.
【典例4-2】已知 是椭圆 的上顶点，点 是椭圆上的任意一点，则 的最大值为
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，且 ，
所以
，
又因为 ，所以当 时取最大值，
所以 ，
故选：C.
【方法技巧】
利用几何意义进行转化.
【变式4-1】如果点P是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，那么 的最大值是 ，
最小值是 ．
【答案】 10 2
【解析】由椭圆方程 可得， ，则 .
则当 点位于右端点时， ；
当 点位于左端点时， .
故答案为：10；2
【变式4-2】已知动点 在椭圆 上，过点P作圆 的切线，切点为M，
则 的最小值是 ．【答案】
【解析】圆 的圆心 ，
椭圆 的焦点为 ， ，
因为 ，
即求焦半径 的最小值.
先证焦半径公式：
设 是椭圆 上任一点，
是椭圆的两焦点，
则
因为 ，所以 ， .
由焦半径公式知 ，则当 时，
取得最小值 ，
则 .
故答案为：
【变式4-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆
用铰链首尾连接而成.已知A，C可在带滑槽的直杆 上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记
为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.
若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为 .【答案】
【解析】如图，连接 ，故点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，结合椭圆的性质分析运算.
因为 为菱形，则 为线段 的垂直平分线，故 ，
所以 ，
故点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，
可得 ，即 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：3.
【变式4-4】点 在圆 上移动，点 在椭圆 上移动，则线段 的最大值
为 ．
【答案】
【解析】如图，设点 在圆 上，设 ，而 ,
则 ，
故 , 此时 ，
又因为 ，
所以|PQ|的最大值是 .故答案为： .
【变式4-5】已知点 ，P是椭圆 上的动点，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】设 ，
，
，
，
当 时， 取得最大值 ，
故答案为：
【变式4-6】已知圆 ，动圆 满足与 外切且 与内切，
若 为 上的动点，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．2√42
【答案】D
【解析】如图，
设圆 的半径为 ，则 ， ，
则 ，
的轨迹为椭圆，焦点为 ， ，
，即 ， ， ．椭圆方程为： ．
由 ，得 ，故 ，
，要使 的值最大，则 最大，
为椭圆的左焦点，故
即 ．
故选：D．
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
【典例5-1】已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为
（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【解析】
作椭圆的左焦点 ，则 ，
当且仅当点 为线段 的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得 ，故 ，C正确，
故选：C
【典例5-2】已知椭圆 的右焦点为 ，点 ，点 是 上的动点，则 的
最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】若 为椭圆左焦点且 ，则 ，故 ，
所以 ，
而 ，所以 ，仅当 共线时取等号，
综上， 的最小值为 ，取值条件为 共线且 在 之间.
故选：B
【方法技巧】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，
如果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
【变式5-1】设椭圆 的右焦点为 ，动点 在椭圆 上，点 是直线 上的
动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为F(1,0)，左焦点坐标为 ，
根据椭圆的定义可知 ，所以 ，
则 ，
所以 最小时，即 最小，定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段，
根据点到直线的距离公式可得 ，
所以 .
故选：C
【变式5-2】已知椭圆方程 是其左焦点，点 是椭圆内一点，点 是椭圆上任意一点，
若 的最大值为 ，最小值为 ，那么 （ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】C
【解析】由题意，设椭圆的右焦点为 ，连接 ，
则 ，
如图：
当点P在位置M时， 取到最大值 ，
当点P在位置N时， 取到最小值 ，
所以 的取值范围是 ，即 ，
所以 的最大值 ， 最小值 ，
所以 .
故选：C.【变式5-3】设 是椭圆 上一点， ， 分别是两圆 和 上的
点，则 的最小值、最大值分别为（ ）
A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11
【答案】C
【解析】 的圆心为 ， 的圆心为 ，两圆半径均为 ，
由于 ， ，所以椭圆的两个焦点分别为 和 ，
由椭圆定义可知： ，
所以 的最大值为 ， 的最小值为 .
故选：C
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
【典例6-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知 是椭圆 上一点， 是
的两个焦点， ，点 在 的平分线上， 为原点， ，且 ．则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设 ， ，延长 交 于 ，
由题意知 ， 为 的中点，故 为 中点，
又 ，即 ，则 ，又点 在 的平分线上,则 ，故 是等腰直角三角形，
因此 ，
则 ，
可得， ，
又 ，则 ，
因此可得 ，
又在 中， ，则 ，
将 ， 代入 得 ，
即 ，由 所以 ，
所以 ， .
故选：A.
【典例6-2】椭圆 与双曲线 有公共的焦点 、 ， 与 在第一象限内交
于点 ， 是以线段 为底边的等腰三角形，若椭圆 的离心率的范围是 ，则双曲线
的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，设双曲线 的实轴长为 ，
因为 与 在第一象限内交于点 ， 是以线段 为底边的等腰三角形，
则 ，由椭圆的定义可得 ，由双曲线的定义可得 ，
所以， ，则 ，
设椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 ，即 ，
因为 ，则 ，故 .
故选：B.【变式6-1】椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，直线 过
且与椭圆交于A、B两点（A在B左侧），若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
则 ，故 ，
由椭圆的定义知， ，
设 ，则 ，故 ，
所以 ，解得 （正值舍去），
所以 ，
如图，作 ，M为垂足，由 ，得 为 的中点，
所以 ，则 ，故 .
故选：A
【变式6-2】已知O为坐标原点，F为椭圆C： 的右焦点，若C上存在一点P，使
得 为等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
【答案】 /
【解析】取椭圆 的左焦点 ，连结 ，由 为等边三角形，则 ，
可知 为直角三角形，且 ，
设 ，则 ， ，
可得 ，则 ，
所以椭圆 的离心率是 .
故答案为： .
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式
【典例7-1】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知椭圆 的左､右焦点分别为
上一点 满足 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意 ，
在 中， ，
则 ，
即 ，
整理得 ，
所以 的离心率 .故选：D.
【典例7-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 是椭圆 的左、右焦点，若
上存在不同的两点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，延长 交椭圆于 ，根据椭圆的对称性，得 ， ，
当 分别位于 的左、右顶点时， 有最大值，
又因为 不重合，所以 ，即 ，
解得 ，
所以 的离心率的取值范围为 ．
故选：C．
【变式7-1】已知直线 过椭圆 的一个焦点与 交于 两点，若当 垂直于
轴时 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，不妨设直线 经过椭圆的右焦点 ，因 垂直于 轴，由图形对称性知，椭圆经过点 ，
代入椭圆方程 可得， ，整理得， ，
把 代入整理得， ，
两边同除以 ，即得， ，解得 或 ，
因 ，故得， .
故选：C.
【变式7-2】已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是坐标原点， 是椭圆
上一点， 与 轴交于点 ．若 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】由 ，得 ，则 ，则 ，
则 ，即 ，解得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，整理得 ，
则 ，解得 或 ，
故 或 ．故选：B.
θ
方向3：利用最大顶角θ满足sin ≤e＜1
2
【典例8-1】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 ，
，
点的轨迹是以原点 为圆心，半焦距 为半径的圆，
又 点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即 ， ，
， ．
故选：A．
【典例8-2】设 、 是椭圆 的左、右焦点，若椭圆外存在点 使得 ，
则椭圆的离心率的取值范围______．【答案】
【解析】设点 ，易知 ， ，则 ，
故点 的轨迹为圆 ，由题意可知，圆 与椭圆 相交，
由图可知 ，即 ，可得 ，又因为 ，故 ．
故答案为： ．
【变式8-1】已知 ， 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点 使得 （
， 是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】根据椭圆的几何意义可知
椭圆的离心率最小值为
根据椭圆离心率的取值范围可知
故答案为：
【变式8-2】（2024·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ， ，若椭圆上存在一点 使得 ，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】由椭圆的定义可知： ，在△ 中，由余弦定理得：
，
所以 ，
又 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
所以 ， ，解得： .
故答案为：
方向4：坐标法
【典例9-1】焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 ，则椭圆离心率的范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的标准方程为 ，
不妨设矩形 的对角线 所在的直线方程为： （假设 ），
联立 ，则 ，解得： ， ，
所以矩形 的面积为： ，
当且仅当 时取等，
因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 ，所以 ，则 ，即 ，
，即 ，
解得： ，即 .
故选：C.
【典例9-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，
以 为圆心的圆交 轴正半轴于点 ，交 轴于 两点，线段 与 交于点 .若 的面积为
（ 为椭圆的半焦距），则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示， ，所以圆 的方程为 ，
令 ，则 ，由图可知 ，
令 ，则 或 ，所以 .
设点 ，因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
又因为直线 的方程为 ，因为点 在直线 上，
所以令 ，得 ，所以 ，因为点 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
【变式9-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）设M，N，P是椭圆 上的三个点，O为
坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ；
【答案】 /
【解析】
因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知 ，可设 ，
则 ，则 ， 的坐标为 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆的离心率 .
故答案为： .
【变式9-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知椭圆C： 的左，右焦点分别为， ，点M，N在C上，且满足 且 ，若 ，则C
的离心率为 .
【答案】 /
【解析】如图所示，设 ，且F (−c,0)， ，
1
由 ， 得， ，
所以 ，即 ①，
又 ，可化为 ，
将①式代入得， ，
即 ，配方整理得， ，
所以 ，即 ，则 ，
又由 ， ，得 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，根据余弦定理，
，
，
所以 ，解得 ，所以 .方向5：找几何关系，利用余弦定理
【典例10-1】（2024·湖南·三模）已知 是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原
点，过 作直线与C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
我们首先来证明一个引理：若 ，则 ，
证明如下：设 ，则由余弦定理有
，即 ，
所以 ，
所以 ，从而引理得证；
根据题意可得， ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
由 ， ，可得三角形 为等边三角形，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 是 的中点，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【典例10-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 为椭圆 上一点， 分别
为其左、右焦点， 为坐标原点， ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，显然点 不在x轴上， ，
则 ，
由余弦定理得 ，
因此 ，而 ，
于是 ，整理得 ，则 ，
所以 的离心率为 .
故选：C
【变式10-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右
焦点，过 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ， ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 ，所以 ， ，
由对称性可得 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ， ，又 ，
所以由余弦定理 ，
所以 ， 的离心率 .
故选：A.
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【典例11-1】已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P是椭圆E上的点，
，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得： ，
令 ，则 ， ，可得 ，
所以椭圆的离心率为： .
故选：B
【典例11-2】已知椭圆 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，且|FF|＝2c，若椭圆上存在
1 2 1 2
点M使得 中， ，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0， －1) B． C． D．( －1,1)【答案】D
【解析】由正弦定理可得： ,结合题意可得 ，所以
，根据椭圆的定义可得 ，所以 ， ，易
知 .
因为 为椭圆上一点，所以 ，即 ，
整理得 ，所以 ，解得 .故选D.
【变式11-1】过椭圆 的左、右焦点 ， 作倾斜角分别为 和 的两条直线 ，
．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由正弦定理可得
所以 ，
所以该椭圆的离心率 ，
故选：C．
【变式11-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，
若椭圆上一点P，使得 ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意 ， ，
，
，
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ， ，又 ，
可得 ，所以椭圆的离心率 .
故选：B.
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知 是椭圆 的两个焦点，
点 在 上，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，点 为椭圆 上的一点，
由椭圆的定义，可得 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
又 ，所以 ，可得 ，
因为 ，可得 ，则 ，其中 ，
当 或 时， ，
又 ，所以 ，可得 ，则 ，
所以椭圆 的离心率为 .
故选：C.
【典例12-2】设椭圆 的右焦点为 ，椭圆 上的两点 ， 关于原点对你，且
满足 ， ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，
又 ，即 ，所以四边形 为矩形， ，
设 ， ，在直角 中， ， ，
得 ，所以 ，令 ，得 ，
又 ，得 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以
所以椭圆 的离心率的取值范围为 ，
故选：B
【变式12-1】设 、 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 是椭圆 准线上一点，的最大值为60°，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，
由椭圆的对称性不妨设 为第一象限的点，即 ，
则 ， ，因为 ，
所以
，
所以 ，则 ，解得 ，
故选：A.
【变式12-2】（2024·山西运城·高三期末（理））已知点 为椭圆 的左顶点，
为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足 ，则椭圆离
心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设 ， ，
∴
当且仅当 取等号，∵直线l上存在点P满足
∴
即 ，
∴ ，即 ，
所以 ，
故椭圆离心率的最大值为 .
故答案为： .
方向8：利用焦半径的取值范围为 [a−c,a+c]
【典例13-1】在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，
其中 、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为 ，由椭圆的定义可得 ，
解得 ， ，由题意可得 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以椭圆离心率的取值范围是 ．
故答案为： .
【典例13-2】（2024·广西南宁·二模（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是______.
【答案】
【解析】设点 的横坐标为 ， ，
则由椭圆的定义可得 ，
，由题意可得 ，
，
， ，
则该椭圆的离心率 的取值范围是 ， ，
故答案为： ， ．
【变式13-1】已知P为椭圆 上一点， 为椭圆焦点，且 ，则椭
圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由P为椭圆 上一点， .
又 ，所以
又 ，即 .即 ，得 ，即
故选：D
【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）若直线 与椭圆 相交于
两点，以 为直径的圆经过左焦点 ，且 ，则椭圆 的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图，设椭圆 的右焦点为 ，由椭圆的对称性知，四边形 为平行四边形，
因为以 为直径的圆经过点 ，所以 ，所以四边形 为矩形，
故 ．
设 ，则 ．
在 中， ，
所以 ，所以 ，
所以 ．令 ，得 ，
由 ，得 ．
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
即 ，则 ，故 ，
所以 ，
所以椭圆 的离心率的取值范围是 ,故答案为： .
方向9：利用椭圆第三定义
【典例14-1】已知椭圆C： （ ），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点
P，使 ，则椭圆的离心率 的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题可知 ， ，设 ，
由点P在椭圆上，得 ，
所以 ，
可得 ，
所以 ．
故答案为： .
【典例14-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点，
是椭圆上异于 的一点．若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则直线 ， 斜率之积的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】设 ，
由直线 与椭圆 交于 两点可知 两点关于原点对称，
所以 且 ，
由题意知： ，两式相减得：
，
即 ，
又 ，
由椭圆的离心率的取值范围是 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
故选：D.
【变式14-1】（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左
顶点为 ，点 是椭圆 上关于 轴对称的两点.若直线 的斜率之积为 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，椭圆 的左顶点为 ，
因为点 是椭圆 上关于 轴对称的两点，可设 ，则 ，
所以 ，可得 ，又因为 ，即 ，
代入可得 ，所以离心率为 .
故选：D.
【方法技巧】
求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或不等关系便可
求解出 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：椭圆的简单几何性质问题
【典例15-1】（多选题）（2024·高三·广西南宁·开学考试）椭圆C： 的焦点为
， ，上顶点为A，直线 与椭圆C的另一个交点为B，若 ，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2 B． 的周长为8
C．椭圆C的离心率为 D． 的面积为
【答案】ABD
【解析】由题意可知， ， ，
故 为等边三角形，则 ， ，
又 ，
所以 ， ， ，
所以焦距 ，A正确；
离心率 ，C错误；
由椭圆定义可知， 的周长 ，B正确．设 ，则 ，又 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，D正确，
故选：ABD．
【典例15-2】（多选题）已知椭圆 ，且两个焦点分别为 ， ， 是椭圆 上任意一点，
以下结论正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为 B． 的周长为12
C． 的最小值为3 D． 的最大值为16
【答案】BD
【解析】椭圆 ，则
对于A： ，故A错误；
对于B： 的周长为 ，故B正确；
对于C： 的最小值为 ，故C错误；
对于D： ，当且仅当 时等号成立，故D正确．
故选：BD．
【方法技巧】
标准方程图形
焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称
性
关于 轴、 轴和原点对称
性
质
顶点 ， ，
轴 长轴长 ，短轴长
离心
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
率
【变式15-1】（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，P是C上的任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．
C． 的最大值为 D．使 为直角的点P有4个
【答案】BCD
【解析】由原方程可得椭圆标准方程为 ，
， ，故A错误；
由椭圆定义可知 ，故B正确；
由椭圆的性质知 ，故C正确；
易知以线段 为直径的圆（因为 ）与C有4个交点，故满足 为直角的点 有4个，
故D正确.
故选：BCD【变式15-2】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，左
焦点为 为 上异于 的一点，过点 且垂直于 轴的直线与 的另一个交点为 ，交 轴于点 ，
则（ ）
A．存在点 ，使
B．
C． 的最小值为
D． 周长的最大值为8
【答案】BCD
【解析】
对于A,设椭圆的上顶点为 ，则直角三角形 中， ，则 ，
故A错误；
对于B，设 ，则 ， ，且 ，即 ，又 ,
则 ，
又 ，故 ，则B正确；
对于C， ，
， ，
则当 时， 取最小值为 ，故C正确；
对于D，设椭圆的右焦点为 ,的周长为： ,
当且仅当 三点共线时，等号成立，故D正确，
故选：BCD.
【变式15-3】（多选题）（2024·高三·安徽合肥·期末）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
， ，P是C上一点，则（ ）
A． B． 的最大值为8
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
【答案】CD
【解析】由椭圆定义得 ， ， ，A错误；
，当 时取等号，B错误；
，设 ，则 ， ， ，
，由 ，得 ，C正确；
， ，D正确.
故选：CD
【变式15-4】（多选题）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直
线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转 ，即得
“斜椭圆” ，设 在 上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B． 的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为 D．【答案】BCD
【解析】由题意可知，斜椭圆关于 和 对称，联立直线 与 ，可得
，联立直线 与 ，可得 ，所以 两焦点所在直线方程为 ，A
选项错误；
由 可知， 与 相交的两点之间距离等于短轴为 ， 与 相交的两点之间
距离等于长轴为 ，故焦距为 ，故 的离心率为 ， 选
项正确；
旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在 轴上，曲线方程为 选项正确；
因为 ，关于 的方程有解，所以 ，解得 ，所以 选
项正确，
故选：BCD．
【变式15-5】（多选题）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线 交
椭圆于 两点，若 的最小值为4，则（ ）
A．椭圆的短轴长为
B． 的最大值为8
C．离心率为
D．椭圆上不存在点 ，使得
【答案】BD
【解析】易知当 轴时，即线段 为通径时，|AB|最短， ，解得 ， 椭圆方程为
，
对于 ，椭圆的短轴长为 ，故A错误；
对于 ，因为 的周长为 ，且
，故B正确；
对于C， 离心率 ，故C错误；
对于 ，易知当点 位于短轴顶点时， 最大，此时
，又 为三角形内角，
椭圆上不存在点 ，使得 ，故D正确，
故选:BD.
【变式15-6】（多选题）（2024·江西南昌·三模）将椭圆 上所有的点绕原点旋
转 角，得到椭圆 的方程： ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．椭圆 的离心率为
C． 是椭圆 的一个焦点 D．
【答案】ACD
【解析】椭圆 上所有的点绕原点旋转 角，
得到椭圆 的方程： ，
设点 在该椭圆上，则其关于 的对称点 代入椭圆方程有
，即 ，则该对称点位于椭圆方程上，
同理其关于 的对称点 代入椭圆方程有
，即 ，则该对称点位于椭圆方程上，
则 关于 对称，
所以 ，故D正确；将 代入 可得 ，
可得椭圆长轴的顶点为 ，所以 ，故A正确；
将 代入 可得 ，
可得椭圆长轴的顶点为 ，所以 ，
则 ，则 ，故B错误；
所以焦点坐标为 或 ，所以C正确；
故选：ACD
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例16-1】动点 与定点 的距离和 到定直线 ： 的距离的比是常数 ，则动点
的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】因为动点 与定点 的距离和 到定直线 ： 的距离的比是常数 ，
所以 ，即 ，
整理可得： ，即 ，
故答案为： .
【典例16-2】 中， ， ，AC，AB边上的两条中线之和为39，则 的重心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】根据题意，设 的重心为 ，因为 ， 边上的两条中线之和为39，所以
，根据椭圆定义可知，点 轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且 ， ，
因此 的重心的轨迹方程为 .
故答案为： .
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点
标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；
（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足
焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
【变式16-1】已知B( ，0)是圆A： 内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC
的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】连接 ，由题意， ，则 ，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为 ，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为： .
故答案为： .
【变式16-2】一个动圆与圆 外切，与圆 内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设动圆圆心为 ，半径为 ，根据题意知： ， ，
所以 ，所以圆心 的轨迹为椭圆.
其中 ， ，故a=5,b=4，
因为焦点在 轴上，故圆心轨迹方程为： .
故答案为： .
【变式16-3】已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭圆长轴的两个端点，
则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
【答案】 （ ）．
【解析】设 ，
因为椭圆 的长轴端点为 ，
设直线 和 的交点为 ，
因为 三点共线，所以 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
两式相乘得 ，（ ）,
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 （ ），
所以直线 和 的交点 的轨迹方程 （ ）.
故答案为： （ ）.
【变式16-4】已知在 中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐
标系，设 ， ，若 ，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由题得
，
则 ，即 ，
又 ， 为 的内角，则 ，则有 ，故 ，
由题可设 ， ， ，则 ，
所以 且 ，则 ，即 .
故答案为：
【变式16-5】已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并与圆 内切，
则圆心 的轨迹方程为
【答案】
【解析】设动圆P的圆心为 ，半径为 ，
由题意得 ，
所以 ，
所以点P的轨迹为以 为焦点的椭圆，
则 ，即 ， ，则 ，
所以动圆圆心 的轨迹方程为 ，故答案为：
【变式16-6】（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，
， ，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数 ，
使得 ，则顶点C的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ，因为 ，所以 是 的重心，
因为 ，所以 ，
所以 , 所以点 在 的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点 为 的内心.
所以点 ，即 ，
又 ，所以 与 轴平行，又 ，
所以 ,
所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当 是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当 是椭圆的短轴的端点时， 与已知存在非零实数 ，使得 矛盾，所以不能取到椭
圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为 .
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：【变式16-7】（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两定点 ， ，动点P
到 ， 的距离之和为 ，若存在一点P满足 的面积为 ，写出满足条件的一
个动点P的轨迹方程 ．
【答案】
【解析】由题可知，动点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
椭圆方程可设为 ，
椭圆的焦点三角形面积 ，
所以题中所谓的焦点三角形面积 ，
即 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 ，
写出一个符合题意的椭圆方程，则可以是 ，
故答案为： .
【变式16-8】（2024·广东江门·二模）已知圆 内切于圆 ，圆 内切于圆
，则动圆 的圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设圆 的半径为 ，则 ，则 ，
所以点 的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．
则 ，所以 ，
所以动圆 的圆心的轨迹方程为 ．
故答案为： .【变式16-9】已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足 ，则点M的轨
迹方程为 ．
【答案】 .
【解析】设点 ，
由 得点 ，而点P为椭圆 上的任意一点，
于是得 ，整理得： ，
所以点M的轨迹方程是 .
故答案为:
题型九：椭圆的实际应用
【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，
天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空
间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）
扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为 ，则半焦距为 ，
设变轨后椭圆的长半轴长为 ，显然变轨后椭圆离心率为 ，半焦距为 ，
依题意， ，整理得 ，即 ，
而 ，解得 ，
此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为 .
故选：C【典例17-2】开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点
上.若某行星距太阳表面的最大距离为 ，最小距离 ，太阳半径为 ，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的焦距为 ，长轴长为 ，
则由已知可得 ，
两式相加可得 ，两式相减可得 ，
则 ， ，
所以离心率 .
故选：A.
【方法技巧】
椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例
如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆
轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，
椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。
【变式17-1】（2024·河北·一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球
的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为 （ ， ，且a，b，c不
全相等）.若该建筑的室内地面是面积为 的圆，给出下列结论：① ；② ；③ ；
④若 ，则 ，其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【解析】在 中，令 可得该建筑室内地面对应的曲线方程为 ，
由室内地面是面积为 的圆，故 ，①对；
且 ，则 ，又 不全相等，故 ，②错；
若 ，则 ，可得 ，与 不全相等矛盾，③错；
若 ，则 ，故 ，④对.
故选：B.
【变式17-2】 2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一
个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨
迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为
11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（ ）
A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km
【答案】A
【解析】设椭圆的方程为 （ ），
由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为 ，最大值为 ，
根据题意可得近火点满足 ①，
远火点满足 ②，
由 得 ，
故选：A
【变式17-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通
过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为
一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近
的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的离心率 ，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为
则故选：B
【变式17-4】（2024·云南曲靖·模拟预测）某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口
直径､母线的长度依次等于 ，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达
底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于 .
【答案】
【解析】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，
水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆 ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴
截面 ，则 是椭圆的长轴， 是椭圆的短轴. 是圆台的轴线，作
于 ，则
，
，
记 与 的交点为 的中点为 ，则 ，
，，
，
由实际情形知，点 在圆台的过轴线 的中点 且与轴线垂直的截面圆上，
.由垂径定理知 垂直平分 ，
，
记椭圆的离心率为 ，长半轴长､短半轴长､半焦距为 ，
则 .
故答案为： .
【变式17-5】（多选题）（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为
，玻璃杯高为 （玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示， 表示水平桌面．当玻
璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分 为瓶内水的正视图．设 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．当 时，椭圆的离心率为
B．当椭圆的离心率最大时，
C．当椭圆的焦距为4时，
D．当 时，椭圆的焦距为6
【答案】AD
【解析】过 作 于 ，如图，由 ，当 时，在 中， ，
所以椭圆中 ， ，故A正确；
因为椭圆的短轴长为定值6， ，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大，
由图可知，椭圆长轴为 时，椭圆的长轴最长，此时 ，故B错误；
当椭圆的焦距为4时， ，即 ，
所以 ，所以 ，故C错误；
当 时， ，所以 ，
由勾股定理可得 ，即 ， ，
所以 ，所以焦距 ，故D正确.
故选：AD
【变式17-6】甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一
个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B
处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，
即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆： 上一点M，过点M作切线
l，A，B两点为左右焦点， ，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到
切线l的距离为 .
【答案】【解析】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点 ，
， ，由光学性质可知MN平分 ， ，
则 ，
因为 ，
故 ，
所以 ，
.
故答案为： .
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x
轴作垂线段PP'， 为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】A
【解析】设点 ，则 ，因为 为 的中点，所以 ，即 ，
又 在圆 上，
所以 ，即 ，
即点 的轨迹方程为 .
故选：A
2．（2023年高考全国甲卷数学真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
3．（2023年高考全国甲卷数学真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P
在C上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．
故选：B．
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆 的离心率分别为
．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A1．已知椭圆 ，直线 ．椭圆上是否存在一点，使得：
（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
【解析】设椭圆上点 ，
则点 到直线 距离
，其中 ，
（1）当 时， ，
此时 ，即 ，
所以 ， ，
所以存在点 到直线距离最小，最小值为 ；
（2）当 时， ，
此时 ，即 ，
所以 ， ，
所以存在点 到直线距离最大，最大值为 ；
2．如图，矩形ABCD中， ， ．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，
R，S，T是线段OF的四等分点， ， ， 是线段CF的四等分点．证明直线ER与 、ES与 、
ET与 的交点L，M，N都在椭圆 上．【解析】由题得 ， ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，（1）
由题得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，（2）
联立方程（1）（2）解之得
所以直线 的交点为 ，
代入椭圆方程得 ，
所以直线 的交点 在椭圆上.
同理ES与 、ET与 的交点M，N都在椭圆 上．
3．一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程，
并说明它是什么曲线?
【解析】设动圆圆心为 ，半径为 ，
设圆 和圆 的圆心分别为 、 ，
将圆的方程分别配方得：圆 ，圆
当动圆 与圆 相外切时，有 …①
当动圆 与圆 相内切时，有 …②
将①②两式相加，得 ，
∴动圆圆心 到点 和 的距离和是常数 ，所以点 的轨迹是焦点为点 、 ，长轴长等于 的椭圆．
设该椭圆的长轴为 ，短轴为 ，焦距为 ；
∴ ，
∴
∴
∴动圆圆心轨迹方程为 ，轨迹为椭圆．
4．如图， 轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且 ，当点P在圆 上运
动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【解析】设点 的坐标为 ，点 ，由题意可知 ，
则由题可得 ，即 ，
点P在圆 上运动，
，
即点 的轨迹方程为 ，点 的轨迹为椭圆，除去与 轴的交点.
5．如图，圆 的半径为定长 ， 是圆 内一个定点， 是圆 上任意一点．线段 的垂直平分线
和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹是什么？为什么？【解析】连接 、 ，如下图所示：
因为线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 ，
由中垂线的性质可得 ，
因为点 在半径为 的圆 内，则 ，
因为 ，
由椭圆的定义可知，点 的轨迹是以点 、 为焦点，且长轴长为 的椭圆.
易错点：椭圆焦点位置考虑不周全
易错分析： 考虑椭圆焦点位置时，易错点在于未全面分析椭圆的长短轴与坐标轴的关系。若仅依据
直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断椭圆的长轴、短轴与x、y轴的相对
位置，再确定焦点坐标，避免误判。
【易错题1】已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，焦距等于 ，离心率等于 ，则此椭圆的方程是
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】根据焦距可得 ，再由 ，可得 ，由 即可求解.由题意可得 ，解
得 ，
又 ，可得 ，
，
焦点在 轴上，
椭圆的方程是 .
故选：C
【易错题2】已知椭圆的长轴长为8，离心率为 ，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【解析】∵椭圆的长轴为8，离心率是 ，
∴ ， ，解得 ， ， ，
因此，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为 ；
当椭圆的焦点在y轴上时，其方程为 ．
故选：B．
答题模板：求椭圆的标准方程
1、模板解决思路
求椭圆的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在 x 轴上还是在y轴上，再设出相应的
标准方程，由已知条件确定 的值.
2、模板解决步骤第一步：根据条件判断椭圆的焦点位置，设出椭圆的方程.
第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数。
第三步：写出椭圆的方程.
【典型例题1】中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆 的上、下焦点分别为 ，右顶点为 ，若
的长轴长为 ， ，则 的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由椭圆 的长轴长为4，则可得 ，解得 ，
因为 ，由椭圆的对称性可知 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
又椭圆的焦点在 轴上，所以 的标准方程为 .
故答案为： .
【典型例题2】已知 是椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶点， 在 轴上，
，且 .若坐标原点 到直线 的距离为3，则椭圆 的标准方程为 .
【答案】
【解析】由 可得 ，
由 可得 ，则△ 是等边三角形，
设 ，则 ①，
∴直线 的方程为 ，即 ，∴ 到直线 的距离为 ②，
又 ③，
联立①②③，解得 ， ，故椭圆 方程为 .
故答案为：
