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专题 8.2 圆的方程
目录
题型一： 圆的方程...........................................................................................................................3
题型二： 与圆有关的轨迹问题.......................................................................................................5
题型三： 与圆有关的最值问题.......................................................................................................7
知识点总结
知识点一、圆的方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为
圆的半径.
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为 ( a ， b ) ，半径为r 的圆的标准
方程.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心，r为半径的圆.
(3)圆的一般方程：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：2＋2＝.
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程；
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点；
③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形.
知识点二、点与圆的位置关系
已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x，y)，设d＝|PC|＝.
0 0
位置 d与r的 图示 点P的坐标满足条件关系 大小关系
点在
d＞r ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＞ r 2
0 0
圆外
点在
d ＝ r (x－a)2＋(y－b)2＝r2
0 0
圆上
点在
d ＜ r (x－a)2＋(y－b)2＜r2
0 0
圆内
【常用结论与知识拓展】
1．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
(x－a)2＋(y－b)2
过原点 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
＝a2＋b2
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝02.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
3．圆的“直径式”方程：以A(x ，y)，B(x ，y)为直径端点的圆的方程为(x－x)(x－x)＋
1 1 2 2 1 2
(y－y)(y－y)＝0.
1 2
4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数. 可用来设圆上
的点的坐标．
例题精讲
题型一：圆的方程
【要点讲解】充分把握题目的特征，标准方程形式更具“几何特征”明确圆心和半径即可
而一般方程形式则更具“代数方程特征”，得到关于待定系数的方程组即可，依据圆的
“直径式”方程可以直接写出圆的方程. 几何法确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过
切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两
条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 确定圆的半径的主
要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三
角形；代数法即设出圆的方程(标准方程或一般方程)，用“待定系数法”求解a，b，r或
D，E，F.
【例1】若圆 的半径为2，则实数 的值为
A． B． C．9 D．8
【变式训练1】已知圆的一条直径的端点分别为 ， ，则此圆的标准方程是
A． B．
C． D．
【变式训练2】若圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上，则圆的方程为
A． B．
C． D．
【变式训练3】若方程 表示圆，则 的范围是
A． B． ， C． D． ，
【变式训练4】经过点 ，且以 为圆心的圆的一般方程为
A． B．
C． D．
【变式训练5】若方程 表示一个圆，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【例2】圆 的圆心和半径分别是
A． ，3 B． ，3 C． ，1 D． ，1
【变式训练1】设 ， ，则以线段 为直径的圆的方程是
A． B． C． D．题型二：与圆有关的轨迹问题
【要点讲解】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法
直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：
利用圆的几何性质列方程；还需注意是否有“特殊点”的需要“抠除”．
【例3】已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，则
线段 的中点 的轨迹方程是
A． B．
C． D．
【变式训练1】圆 关于直线 对称的图形轨迹方程为
A． B．
C． D．
【变式训练2】点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 的中点 的轨迹
方程是
A． B．
C． D．
【例4】已知等腰三角形 的一个顶点为 ，底边的一个端点为 ，求底边的
另一个端点 的轨迹方程，并说明它是什么图形．【变式训练1】在平面内， ， ， 为动点，若 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， ，求 的长．
题型三：与圆有关的最值问题
【要点讲解】求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化.
(1)已知圆的半径为r，则①圆O上一点到圆外一点P的距离d的最大值和最小值分别为d
max
＝|OP|＋r，d ＝|OP|－r；②圆上的点到与该圆相离的某条直线的距离d的最大值和最小值
min
分别为d ＝m＋r，d ＝m－r，其中m为圆心到直线的距离.
max min
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型：
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最
值问题；
④形如|ax＋by＋c|型的最值问题，可转化为动点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的倍的最值
问题.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段最值问题的基本思路：
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之
和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【例5】已知点 ，若过点 的直线 与圆 交于 、 两点，
则 的最大值为
A．12 B． C．10 D．6
【变式训练1】若直线 始终平分圆 的周长，则
的最小值为
A． B．5 C． D．10
【变式训练2】直线 被曲线 截得的弦长的最小值为
A． B．1 C． D．2
【变式训练3】已 知 点 是 圆 上 的 动 点 ， 线 段 是 圆
的一条动弦，且 ，则 的最大值是A． B． C． D．
【变式训练4】 点是圆 上任意一点， 为圆 的弦，
且 ， 为 的中点．则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练5】已知圆 ，则当圆 的面积最小时，
圆上的点到坐标原点的距离的最大值为
A． B．6 C． D．
【例6】已知实数 ， 满足方程 ，则 的最大值是
A． B． C．0 D．
【变式训练1】已知圆 ，点 在圆 上，点 ， 为 的中
点， 为坐标原点，则 的最大值为
A． B． C． D．
【变式训练2】已知圆 ，点 是圆 上的一点，过
作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则四边形 的面积的最小值为A． B． C． D．
【变式训练3】已知直线 ，若直线 与圆 交
于 ， 两点，则 的最小值为
A． B．2 C． D．4
【变式训练4】已知圆 ，直线 与相交于 ，
两点，则 的最小值为
A． B．2 C．4 D．
【例7】过点 引直线 与圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点，当 面
积取最大值时，直线 的斜率为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知圆 的一条直径的两个端点为 和 ．
（1）求圆 的标准方程；（2）过点 的直线 与圆 交于 ， 两点，求 的最小值，并求出当 最小
时直线 的方程．
【变式训练2】已知直线 与圆 相交于 ， 不同
两点．
（1）求 的范围；
（2）设 是圆 上的一动点（异于 ， ， 为坐标原点，若 ，求
面积的最大值．
